2024-2025学年下学期初中数学北师大版七年级期中必刷常考题之平行线的性质

第22页（共22页）2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之平行线的性质一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（）A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线2．（2024秋•三原县期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝130°，则∠2等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°3．（2024秋•崂山区期末）如图，直线MN∥PQ，一个直角三角板ABC，其中∠BAC＝30°，将三角板按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线PQ，MN上，AB是∠CAP角平分线，则∠1的度数为（）A．45° B．35° C．30° D．25°4．（2024秋•禅城区期末）如图，直线m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°5．（2025•雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．58° D．60°二．填空题（共5小题）6．（2024秋•沈丘县期末）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）．7．（2024秋•衡阳期末）如图，已知AB∥CD，EF∥BN，MN∥DE，则∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM＝．8．（2024秋•宝应县期末）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为°．9．（2024秋•巴中期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝28°，∠ECD＝114°，则∠A的度数是．10．（2024秋•陈仓区期末）如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•德化县期末）如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠4．∵∠4＝∠3，又∠3＝60°（已知），∴∠1＝∠3＝（等量代换）．∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝（等式的性质）．12．（2024秋•达州期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度数．13．（2024秋•上蔡县期末）填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（）．∴AD∥EG（）．∴∠1＝∠2（），∠E＝∠3（）．又∵∠E＝∠1（），∴∠2＝∠3（）．∴AD平分∠BAC（）．14．（2024秋•祁东县期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．试判断：AF与DC的位置关系？并说明理由．解：AF与DC的位置关系是，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠（）又∵∠1＝∠B（已知），∴∠B＝∠（），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠（）．又∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠（等量代换）．∴AF∥DC（）．15．（2024秋•新余期末）如图1，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．（1）求证：AB∥CD．（2）如图2，G为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，延长FG交射线AB于H，N为线段AH上一动点．若AG平分∠BAF，GN平分∠HGE，∠NHG＝30°时，求2∠AGN+∠FEG的值．

2024-2025学年下学期初中数学北师大版（2024）七年级期中必刷常考题之平行线的性质参考答案与试题解析题号12345答案ACCCA一．选择题（共5小题）1．（2025•长沙一模）世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（）A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线【考点】平行线的判定与性质；直线的性质：两点确定一条直线．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】A【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．【解答】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行，故选：A．【点评】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．2．（2024秋•三原县期末）如图，直线a∥b，CD⊥AB于点D，若∠1＝130°，则∠2等于（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】由平行线的性质推出∠ABC+∠1＝180°，求出∠ABC＝50°，由直角三角形的性质求出∠2＝40°．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABC+∠1＝180°，∵∠1＝130°，∴∠ABC＝50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠ABC+∠2＝90°，∴∠2＝40°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出∠ABC+∠1＝180°．3．（2024秋•崂山区期末）如图，直线MN∥PQ，一个直角三角板ABC，其中∠BAC＝30°，将三角板按如图所示方式放置，顶点A，C分别落在直线PQ，MN上，AB是∠CAP角平分线，则∠1的度数为（）A．45° B．35° C．30° D．25°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据角平分线的定义可得：∠CAP＝60°，然后利用平行线的性质可得∠ACM＝120°，再利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：∵AB是∠CAP角平分线，∴∠CAP＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∵MN∥PQ，∴∠ACM＝180°﹣∠CAP＝120°，∵∠ACB＝90°，∴∠1＝∠ACM﹣∠ACB＝120°﹣90°＝30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．（2024秋•禅城区期末）如图，直线m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据已知易得：∠DCB＝120°，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝60°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝30°，∠4＝90°，∴∠DCB＝∠1+∠4＝120°，∵直线m∥n，∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠3＝30°，∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝30°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2025•雁塔区校级模拟）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°）按如图所示方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°，则∠2的度数是（）A．38° B．45° C．58° D．60°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】过点B作BD∥a，可得∠ABD＝∠1＝22°，a∥b，可得BD∥b，进而可求∠2的度数．【解答】解：如图，过点B作BD∥a，∴∠ABD＝∠1＝22°，∵a∥b，∴BD∥b，∴∠2＝∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣22°＝38°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．二．填空题（共5小题）6．（2024秋•沈丘县期末）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中∠ABC＝45°，∠D＝60°），固定三角尺ABC，将三角尺BDE以每秒30°的速度绕点B按逆时针方向旋转180°停止．在这个过程中，当运动时间为0.5或1.5或3.5或4.5或5秒时，三角尺BDE的一边与三角尺ABC的某一边平行（不共线）．【考点】平行线的性质；平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5．【分析】需要分类讨论，当DE∥AB时，BD∥AC时，当DE∥AC时，当BE∥AC时，当DE∥BC时，分别画出图形，根据平行线的性质求解即可．【解答】解：当DE∥AB时，如图1，此时∠ABE＝∠E＝30°，∴∠CBE＝15°，t＝15°÷30°＝0.5；当BD∥AC时，如图2，此时∠DBC＝45°，t＝45°÷30°＝1.5；当DE∥AC时，如图3，此时，∠EBC＝60°+45°＝105°，t＝105°÷30°＝3.5；当BE∥AC时，如图4，此时∠EBC＝90°+45°＝135°，∴t＝135°÷30°＝4.5；当DE∥BC时，如图5，此时∠EBC＝90°+60°＝150°，t＝150°÷30°＝5，故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5．【点评】本题主要考查平行线的性质，分类讨论思想和数形结合思想，根据题意进行正确的分类讨论并作出图形是解题关键．7．（2024秋•衡阳期末）如图，已知AB∥CD，EF∥BN，MN∥DE，则∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM＝360°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】360°．【分析】过P作PQ∥AB，再证明PQ∥CD，先证明∠E＝∠EPB，∠ABF+∠F＝∠ABP＝∠BPQ，再证明∠N＝∠NPD，∠M+∠CDM＝∠CDP＝∠DPQ，分别代入原式即可得到一个周角，问题得解．【解答】解：如图，过P作PQ∥AB．∵AB∥CD，∴PQ∥CD．∵EF∥BN，∴∠F＝∠FBP，∠E＝∠EPB，∵PQ∥AB，∴∠ABP＝∠BPQ，∴∠ABF+∠F＝∠ABP＝∠BPQ，∵MN∥DE，∴∠M＝∠MDE，∠N＝∠NPD，∵PQ∥CD，∴∠CDP＝∠DPQ，∴∠M+∠CDM＝∠CDP＝∠DPQ，∴∠ABF+∠E+∠F+∠EPN+∠M+∠N+∠CDM＝∠EPB+∠BPQ+∠EPN+∠NPD+∠DPQ＝360°．故答案为：360°．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．8．（2024秋•宝应县期末）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为30°．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】30．【分析】先利用平行线的性质可得∠2＝∠CDB＝60°，再根据垂直定义可得：∠CDE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答．【解答】解：如图：∵AB∥CD，∴∠2＝∠CDB＝60°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝180°﹣∠CDB﹣∠CDE＝30°，故答案为：30．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2024秋•巴中期末）为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝28°，∠ECD＝114°，则∠A的度数是86°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】86°．【分析】延长DC交AE于点F，根据三角形的外角的性质得出∠ECD＝∠E+∠EFD，求出∠EFD＝86°，再根据平行线的性质得出答案．【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F，根据题意，∠E＝28°，∠ECD＝114°，∴根据三角形的外角的性质得，∠ECD＝∠E+∠EFD，即114°＝28°+∠EFD，解得∠EFD＝86°，∵AB∥CD，∴根据平行线的性质得，∠A＝∠EFD＝86°，所以∠A的度数为86°．故答案为：86°．【点评】此题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．10．（2024秋•陈仓区期末）如图，已知AB∥CD，∠ABD＝40°，BE平分∠ABC，且交CD于点D，则∠C的度数为100°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】100°【分析】由角平分线的性质可求得∠ABC的大小，再由平行线的性质可得出∠C与∠ABC互补，可求出结论．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ABD＝40°，∴∠ABC＝2×40°＝80°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．三．解答题（共5小题）11．（2024秋•德化县期末）如图，直线a∥b，∠3＝60°，求∠1，∠2的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．解：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠4两直线平行，同位角相等．∵∠4＝∠3对顶角相等，又∠3＝60°（已知），∴∠1＝∠3＝60°（等量代换）．∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝120°（等式的性质）．【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°．【分析】先利用平行线的性质可得∠1＝∠4，再利用对顶角相等可得∠4＝∠3，从而可得∠1＝∠3＝60°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵a∥b（已知），∴∠1＝∠4两直线平行，同位角相等，∵∠4＝∠3对顶角相等，又∠3＝60°（已知），∴∠1＝∠3＝60°（等量代换）．∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝120°（等式的性质），故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60°；120°．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．12．（2024秋•达州期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，BE∥GF，∠1＝∠2．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠ADE＝50°，求∠2的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）25°．【分析】（1）先根据“两直线平行，同位角相等”得出∠2＝∠CBE，结合∠1＝∠2可得出∠1＝∠CBE，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可得证；（2）先根据“两直线平行，同位角相等”求出∠ABC的度数，然后根据角平分线定义求出∠CBE的度数，最后根据“两直线平行，同位角相等”即可求解．【解答】（1）证明：∵BE∥GF，∴∠2＝∠CBE，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠CBE，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∠ADE＝50°，∴∠ABC＝∠ADE＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC=12∵BE∥GF，∴∠2＝∠CBE＝25°，即∠2的度数为25°．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是平行线判定定理的应用．13．（2024秋•上蔡县期末）填空：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E＝∠1，可得AD平分∠BAC．理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）．∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）．∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（等量代换）．∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义．【分析】由垂直可证明AD∥EG，由平行线的性质可得到∠1＝∠2＝∠3＝∠E，可证得结论，据此填空即可．【解答】证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G（已知），∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义），∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠E＝∠1（已知），∴∠2＝∠3（等量代换），∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；已知；等量代换；角平分线的定义．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．14．（2024秋•祁东县期末）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．试判断：AF与DC的位置关系？并说明理由．解：AF与DC的位置关系是AF∥DC，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠B（已知），∴∠B＝∠DEC（等量代换），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠EGF（两直线平行，同位角相等）．又∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠EGF（等量代换）．∴AF∥DC（同位角相等，两直线平行）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】AF∥DC；DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；EGF；两直线平行，同位角相等；EGF；同位角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：AF与DC的位置关系是AF∥DC，理由如下：∵AD∥BC（已知），∴∠1＝∠DEC（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠B（已知），∴∠B＝∠DEC（等量代换），∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠EGF（两直线平行，同位角相等）．又∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠EGF（等量代换）．∴AF∥DC（同位角相等，两直线平行）．故答案为：AF∥DC；DEC；两直线平行，内错角相等；DEC；等量代换；EGF；两直线平行，同位角相等；EGF；同位角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．15．（2024秋•新余期末）如图1，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF＝180°．（1）求证：AB∥CD．（2）如图2，G为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，延长FG交射线AB于H，N为线段AH上一动点．若AG平分∠BAF，GN平分∠HGE，∠NHG＝30°时，求2∠AGN+∠FEG的值．【考点】平行线的判定与性质．【答案】（1）答案见解答过程；（2）∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，理由见解答过程；（3）150°．【分析】（1）先由∠CEF＝∠AED，∠CEF+∠BAF＝180°，得∠AED+∠BAF＝180°，据此根据平行线的判定进可得出结论；（2）由（1）可知∠AED+∠BAF＝180°，再根据三角形的外角定理得∠AED＝∠AFG+∠CGF，据此可得出∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系；（3）设∠HAG＝α，∠AGN＝β，由（1）可知AB∥CD，则∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝α，再根据∠NHG＝30°得∠HGE＝150°，然后根据AG平分∠BAF得∠BAF＝2α，则∠FEG＝∠BAF＝2α，再由GN平分∠HGE得∠NGE＝75°，即α+β＝75°，据此可求出2∠AGN+∠FEG的值．【解答】（1）证明：∵射线AF交CD于E，∴∠CEF＝∠AED，∵∠CEF+∠BAF＝180°，∴∠AED+∠BAF＝180°，∴AB∥CD；（2）解：∠BAF，∠AFG，∠CGF之间的数量关系是：∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，理由如下：由（1）可知：∠AED+∠BAF＝180°，又∵∠AED＝∠AFG+∠CGF，∴∠AFG+∠CGF+∠BAF＝180°，（3）解：设∠HAG＝α，∠AGN＝β，由（1）可知：AB∥CD，∴∠NHG+∠HGE＝180°，∠AGC＝∠HAG＝α，∵∠NHG＝30°，∴∠HGE＝150°，∵AG平分∠BAF，∴∠BAF＝2α，∵AB∥CD，∴∠FEG＝∠BAF＝2α，∵GN平分∠HGE，∴∠NGE=12∠HGE=12即∠AGC+∠AGN＝75°，∴α+β＝75°，∴2∠AGN+∠FEG＝2β+2α＝2（α+β）＝150°．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，角的计算，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质，角的计算，理解角平分线的定义是解决问题的关键．

考点卡片1．直线的性质：两点确定一条直线（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．简称：两点确定一条直线．（2）经过一点