重庆市（康德卷）2025届高三第一次联合诊断检测数学试题（含答案解析）

重庆市（康德卷）2025届高三第一次联合诊断检测数学试题

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一、单选题

1.已知集合/={x[3<x<6},8={x|xW4},则/U5=（）

A.{x|3<x<4}B.{x|x<6}C.{x|4<x<6}D.{x|x<4}

2.已知aeR,则+2%+.>0的解集为R”是“a>0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知。为坐标原点，点将次绕点O逆时针方向旋转三得到两，则方-两

的模等于（）

A.2B.272C.2gD.4

4.已知平行六面体/BCD-44GA的体积为1,若将其截去三棱锥则剩余部

分几何体的体积为（）

725

A.——B.一D.-

123-I6

5.若sin/=cos。，则cos20=()

A.V5-3B.2-V5C.V5-2D.3-V5

jr

6.已知VN8C的角42,C的对边分别为。，4c,若a=l,b+c=2,N=—,则sin5+sinC=（）

4

A.—B.C.1D.V2

23

22

7.已知双曲线氏三-彳=1（。>0力>0）的右焦点为尸匕0）,A,B是其一条渐近线上的两

点，且a=2a,若△羽尸的面积等于c,贝Ijc的最小值为（）

A.V2B.2C.272D.4

8.已知数列{%}的通项%=/+助（2eR）,若加,qeN*且使得4=%=-120,则

A的取值个数为（）

A.0个B.1个C.8个D.无数个

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.某科研院所共有科研人员200人，统计得到如下数据:

研究学科数物化生合

性别学理学物计

女1510243180

男45401817120

合计60504248200

欲了解该所科研人员的创新能力，决定抽取40名科研人员进行调查，那么（）

A.若按照研究学科进行分层抽样（比例分配），则数学学科科研人员一定被抽取12人

B.若按照性别进行分层抽样（比例分配），则男性科研人员可能被抽取20人

C.若按照简单随机抽样，则女性科研人员一定被抽取10人

D.若按照简单随机抽样，则可能抽出的均为数学学科科研人员

三、单选题

10.声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动.为了有效地消除噪声，人类研发了

主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相

同，但相位恰好相反（即相位差为无的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消.某

一目标噪声的数学模型函数是〃x）=则可以作为降噪模拟声的数学函数模

型有（）

A.g（x）=-|sinf|x-^B.g（x）=|cosf|x+^

4IJ6/43/

四、多选题

11.在平面直角坐标系xOy中，已知点耳工（1,0）,若满足|尸闻牝旦|=。（。为正常

数）的动点尸（X/）的轨迹为C,则下列说法正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.3a>0,使得曲线C经过原点O

B.Va>l,曲线C既是轴对称图形，也是中心对称图形

C.当。=1.2时，△亚巴面积的最大值为々

D.当“=8时，曲线C围成的面积大于曲线£:2+广=1围成的面积

87

五、填空题

12.已知?=_1，若复数z=(l+i)(l-i)+2i,则目=.

13.已知圆G：x~+/+2x=0C:x?+V?-4x-+4=0,尸，。分别是上的动点，则

|尸。的最大值为.

14.若函数/(x)=x(2T-4)-|x-l|有且仅有一个零点/,且无。>0,则实数。的取值集合

为.

六、解答题

15.已知函数/(x)=2x+2alnx—(aeR).

⑴当a=7时，求〃x)在(1,”1))处的切线方程；

⑵已知“为整数，若/'(X)在(2,3)上单调递减，且在(4,+“)上单调递增，求。.

16.如图，在四棱锥P-/BCD中，底面48c2NBCD为矩形，AB=AD=—PD,

2

点E在棱尸8上，且直线尸。与CE所成的角为

(1)证明：点E为棱尸3的中点；

(2)求直线CD与平面ACE所成角的正弦值.

试卷第3页，共4页

17.已知抛物线C:/=4无，过点尸(1,0)的直线/与抛物线交于A、8两点，A在x轴上方，

AM,BN均垂直于C的准线，垂足分别为N.

⑴当|/a=3忸时时，求直线/的方程；

(2)己知。为坐标原点，证明：]。4|四=|研阿.

18.2019年7月30日国家市场监督管理总局第111次局务会议审议通过《食品安全抽样检验

管理办法》，自2019年10月1日起实施.某地市场监管部门对当地一食品厂生产的水果罐头

开展固形物含量抽样检验，按照国家标准规定，在一瓶水果罐头中，固形物含量不低于55%

为优级品，固形物含量低于55%且不低于50%为一级品，固形物含量低于50%为二级品或

不合格品.

(1)现有6瓶水果罐头，已知其中2瓶为优级品，4瓶为一级品.

(i)若每次从中随机取出1瓶，取出的罐头不放回，求在第1次抽到优级品的条件下，第2次

抽到一级品的概率；

(ii)对这6瓶罐头依次进行检验，每次检验后不放回，直到区分出6瓶罐头的等级时终止

检验，记检验次数为X,求随机变量X的分布列与期望；

(2)已知该食品厂生产的水果罐头优级品率为p(0<p<l),且各件产品是否为优级品相互独

立，若在10次独立重复抽检中，至少有8次抽到优级品的概率不小于7x0.759(约为0.5256),

求。的最小值.

19.由边长为1,1,正的等腰直角三角形出发，用两种方法构造新的直角三角形：

①以原三角形的短直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边；

②以原三角形的长直角边为新三角形的短直角边，原三角形的斜边为新三角形的长直角边.

设行)，由方法①，②均可得到左=(1;血;g)，接下来继续使用上述两种方法，得

到三角形序列｛发加"=(。"屹；。")｝(其中%，“，g是直角三角形七的三条边，且。和

为斜边)，满足对于任意〃eN*,有斜=[“；6；&+用,为+i=(6“；c”;J[+c；).

(1)设4=七tN*),求乩｝的通项公式；

(2)若心=(5;6;府)，求〃；

(3)证明：在直角三角形序列优｝中，若i丰j,则户.

试卷第4页，共4页

《重庆市（康德卷）2025届高三第一次联合诊断检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BAADBDBCADAB

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据集合并集的定义即可得解.

【详解】因为集合/=卜|3<》<6},5={力44},因此/U8={x|x<6}.

故选：B.

2.A

【分析】由不等式尤2+2x+a>0的解集为R可得A<0,即可求解.

【详解】因为不等式f+2x+a>0的解集为R，所以4-4a<0,所以

所以+2尤+a>0的解集为R”是>0”的充分不必要条件.

故选：A.

3.A

【分析】求出|四=|明=2,根据"一声1J伸一瓦，,结合数量积的运算法则求解

即可.

【详解】因为点力绕点o逆时针方向旋转三得到方，

所以|四=|o2|==2,

.一四=，仍一衣『

=^|o3|2-2OA-OA+^d^

=^22-2x2x2xcos|+22=2

故选：A..

4.D

【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可.

【详解】设点A到平面4月。1。1的距离为〃，481GA的面积为s,

显然有1=9,所以匕

答案第1页，共12页

因此剩余部分几何体的体积为1-7=7^

66

【分析】根据同角三角函数基本关系求出cos。的值，再根据二倍角公式求出COS26即可.

【详解】因为sir?。=cos。=1—cos?。，所以cos6=—~.

2

又因为cos26=2cos=2-等.

故选：B.

6.D

【分析】应用正弦定理计算求解.

【详解】因为。=l,6+c=2,/=；7T,

4

1_2

由正弦定理号=.…得正=sinS+sinC,

SIIL4smB+sinC--

2

所以sinfi+sinC=>/2.

故选：D.

7.B

【分析】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为6,根据尸的面积等于c,

可得仍=c,再利用不等式即可求解.

【详解】

答案第2页，共12页

设A，B是渐近线bx-ay=O上的两点，右焦点到渐近线的距离为=b,

所以△4BF的面积为Lx2ab=ab=c,

2

Xc1=a1+b1>2ab=2c,所以c22,当且仅当°=b=应时，等号成立,

所以c的最小值为2.

故选：B.

8.C

【分析】由题意可得“4为方程〃2+加+120=0的两个不等正整数解，彳为负整数，结合韦

达定理分析求解.

【详解】令%="2+4”=-120,BPn2+2«+120=0,

由题意可得“4为方程/+而+120=0的两个不等正整数解，

由韦达定理可得可知丸为负整数，

[120=pq

B^J12O=1x120=2x60=3x40=4x30=5x24=6x20=8x15=10x12,

所以2=-(p+4)=-121,-62,-43,-34,-29,-26,-23,-22,共8个.

故选：C.

9.AD

【分析】选项A,B利用分层抽样即可判断，选项C,D则利用简单随机抽样判断即可.

【详解】对于选项A：按学科分层抽样，则数学学科抽样比为券=:，则数学学科抽取人

3

数为gx40=12人，故A正确；

对于选项B：按性别分层抽样，男性抽样比为12母0=3[,则男性科研人员被抽到的人数为

3

『40=24人，故选项B错误.

对于选项C：若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则女性科研人员不一定

被抽取10人，选项C错误；

对于选项D:若按照简单随机抽样，则每个人被抽到的概率都相等，则可能抽出的均为数学

学科科研人员，故选项D正确；

故选：AD

答案第3页，共12页

10.AB

【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型.

【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为

2兀3.71

g(无)=:sin(2k+1=-—sm，k&Z,,

46,

3(2713.713.2717132兀

或g(x)=1Sin—X-------F（2左+1）兀=—sin—X--------1-71=—sin-X-I------F—=—cos—XH——

364364332433

左eZ,

AB选项满足题意,

故选：AB.

11.ABD

【分析】根据条件，列出曲线C的方程，分析方程的特点，判断各选项的准确性.

选项A：取a=l,,22=1,曲线C经过原点O.A正确.

选项B：用T代替X方程不变，用-y代替了方程也不变，同时用-X代替X,r代替y方程

也不变.所以曲线。关于y轴，％轴和原点。对称.B正确.

选项C：当。=1.2时，①即为而存疗•而二iF寿=1.2.若P0,，则△尸片外的

面积为f;若尸（1,%），由曲线C的对称性，不妨设为>0,则/=后石-2>0.2,所以

y0>*此时AS鸟的面积大于C错误.

2

选项D：当0=8时,由|列讣归&=84,得|尸耳|+|尸周N4A/I.曲线E：

2J

22

上+2=1上任意一点。满足|。制+|。玛|=40.所以曲线E“包含于”曲线C,两条曲线的

87

公共点仅有（o,近6），曲线C围成的面积大于曲线E围成的面积.D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件列出曲线C的方程，然后分析曲线的性质.

12.272

【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数z,再计算其模.

【详解】因为z=(l+i)(l-i)+2i=F-i?+2i=2+2i,

答案第4页，共12页

所以匕卜亚S=20.

故答案为：2行

13.10

【分析】先求出圆心及半径，再根据|尸。|=|。。2|+外+4求出距离的最大值.

【详解】圆G：x?+/+2x=0,圆心（T,0）,G=Y1^=1，

2

圆C2：x2+/-4x-8y+4=0,圆心（2,4）,4+（一87-4x4;廿

22

因为尸,0分别是G，G上的动点，

则|尸。|的最大值为|C©+4+&=J（2+1『+（4-0『+1+4=10.

故答案为：10.

14.

【分析】根据函数的零点个数分x<0,0<x<l,x21三种情况分别讨论函数零点，再结合函

数图象求出参数范围.

【详解】由题可知：函数/（X）有且仅有一个正零点,

又/(0)=-120.

当无/0时，不妨令/(x)=x(2T-a)-|x-l|=0,

则2-'-0=©^,

X

所以“=2-r日.

X

①当x<0时，2-r-=2-1--=2-Y-i-F1,

XXX

由2T>1，-->0,所以2T-"(^^=2T-L+1>2.

XXX

此时函数/(X)没有零点；

②当0<x<l时，2T一^211=2-*」+1,

XX

令g(%)=2-"」+1,0<x<l,

，/、II2r-x2

g(x)=-2y-1ln2d--->—-2Y=---------，

“'x2X2X2-2X

答案第5页，共12页

当0〈尤<1时，2X>1>0<x2<1，所以2,一/>0,

即g，（x）=要">0在（0,1）上恒成立,

则g（x）在（0,1）单调递增,

当x-0时，1,,贝=2-"-工+lf-8,

XX

又g⑴=g,所以g(x)在(0,1)上的值域为［-8,£).

③当xWl时，rx-^^-=2-x--=2-x+—l,

XXX

令〃=2"H---1,

由必=2一、在［1,+8)上单调递减，%=!在［1,+8)上单调递减，

所以〃(x)=2-x+1-l也在［1,+8)上单调递减，

当％—>+oo时，2-，—>0,^0,贝!J〃(X)=2"H---If—1,

XX

又“l）=g，所以“X）在［L+8）上的值域为1-1,；

由上述分析可得。的取值范围为:

。（一1或。二一

2

故答案为：。-I

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数y=2f-口,

xwO的图象，数形结合得

X

出参数范围.

15.⑴尸x

答案第6页，共12页

⑵-4

【分析】(1)由导数的几何意义即可求解；

(2)由单调性与导数符号的关系列出不等式即可求解;

【详解】(1)的定义域为(0,+8),/'(x)=2+?+g=2x2;。x+l.

当a=_［时,f(x)=2x-21nx--,/'(x)=———,

所以/'(1)=1,尸⑴=1，

/(x)在(1,/⑴)处的切线方程为〉=彳

(2)g(x)=2x2+2ax+1.

由题意，当入£(2,3)时，g(x)<0；

当xw(4,+oo)时，g(x)>0.

只需g⑵40,g(3)<0,g(4)>0,

9+4a<0

即19+6“W0

33+8〃20

3319

解得：-^<a<­,

86

因为。为整数，所以〃=-4.

16.(1)证明见解析

【分析】(1)建系标点，设方=4而，根据直线尸。与CE的交点求得2=g,即可得结果;

(2)求平面NCE的法向量，利用空间向量求线面夹角.

【详解】(1)以A为原点，石，万5,万的方向分别为x，%z轴的正方向，建立空间直角坐标

系.

答案第7页，共12页

Zj

不妨设NB=2,则尸0=2后，尸4=2,。(0,2,0),尸0,0,2)C©2,0)8©,0,0).

设而=加=（22,0,-22）,则E（22,0,2-22）（0W；lWl）,

可得加=（0,-2,2）,。=（二-2,-2,2-2A）,

丽在_|8-4川一V3

由题意可得上os丽,近

DP\-\CE272.52(24-2)2+42

整理可得43-44+1=0,解得彳=!，

2

所以点E为棱的中点.

（2）由（1）可得：函=（一2,0,0）,%=（2,2,0）,荏=。,0,1）,

AC-n-2x+2y-0

设平面NCE的法向量为万=（xj,z）,则一_-

AE-n=x+z=0

令x=l,则V=z=-1,可得完=（1,一1,一1）.

设直线CD与平面ACE所成角为0,

I一一I|H«C5|2百

贝Usin。=cos五,CD\=--r=^=----产=——,

11\ri\-\CD\2x百3

所以直线CD与平面NCE所成角的正弦值为

3

17.（l）2V2x-y-2V2=0

（2）证明见解析

【分析】（1）由题意设直线/的方程为：x=ay+l,与抛物线方程联立，可得根与系数的关

系.由|/同=3忸叫结合根与系数关系可求出。的值，从而得到直线的方程.

（2）由向量共线的坐标运算可得O在线段/N上；同理，。在线段即/上，由AM"BN,

可得相似三角形，由相似比即可得证.

答案第8页，共12页

【详解】（1）

由题意，尸（1,0）为抛物线C的焦点.^A（xl,yl）,B（x2,y2）,y1>0.

设直线/的方程为：x=qy+l,代入j?=4x,得：y2-4ay-4=0.

则△>(),%+为=4。①，%力=-4②.

因为|48|=3忸N|,所以刊=2忸尸即％=-2%③.

由①③得：%=8a,%=Ta.又由②，解得a=±1.

4

因为弘>0,所以”=Y2.直线/的方程为2vL;->-20=0.

4

（2）由题意，"（-1,%）,况=（七,％）,而=日,外）・

因为网%+X="j+X=-必+%=0，所以OA//ON,O在线段AN上.

同理，O在线段上.

因为AM"BN,所以A/QM与ANOB相似，

OA\\OM\.........................

从而后=血，^\O4\OB\=\OM\.\ON\.

464

18.（1）（i）-；（ii）分布列见解析，E（X）=]

（2）1

【分析】（1）（i）设第1次抽到优级品为事件A,第2次抽到一级品为事件5,利用条件概

率公式可求得尸伍⑷的值；

（ii）由题意可知，X的取值可能为2、3、4、5,计算出随机变量X在不同取值下的概

率，可得出随机变量X的分布列，进而可求得E（X）的值;

（2）设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为1（0）,利用独立重复试验的概率公式

答案第9页，共12页

可求出1(。)的表达式，利用导数分析函数1(。)的单调性，即可得出。的最小值.

【详解】(1)(i)设第1次抽到优级品为事件A,第2次抽到一级品为事件8,

c©

则尸(叫/)=*=亨4

5

6

(ii)根据题意可知X的取值可能为2、3、4、5.

22

则尸(X=2)=常A=不1，尸(p=3)=%^A=2

15

尸(X=4)=+C产A；=gP(X=5)=C；C：A：+C；C；A：8

A：15

则X的分布列为:

X2345

1248

P

15151515

194R64

所以£(X)=2x—+3x—+4x—+5x—=——

v71515151515

(2)设在10次抽检中至少有8次抽到优级品的概率为/(p),

贝ll/(p)=C；°p8(l-p)2+C：°p9(l-p)+，°=45p8(l-p)2+10，(l-p)+，。

=p8(36/-80p+45),其中0<〃<1,

因为/'(0=36Op7(p7>>O,所以“0)在(0,1)单调递增.

注意到=,所以pW：,故0的最小值为

19.⑴/“=+J〃+2卜

(2)〃=229；

(3)证明见解析.

【分析】⑴根据题设定义得「左=(1;后;百)，w(\；△网,4=网=(1;"；⑹,

进而确定乩｝的通项公式；

答案第10页，共12页

（2）根据定义得，〃是奇数且忆=（而;5;6）,第1是偶数且空1=（而；年;5）,进而得

224

至I」左〃-101—（1;V2;V3）（则纥坦.=1即可求参数；

128128

⑶设?=/,%=（%也;*,则&=（区也”［可），进而得前序三角形应为

2Vs\s\s

（后耳；.加"）或（尸"1'也）‘讨论'>s一厂得到矛盾，证结论.

［详解】（1）t„=4"T=（V；；C2-），

由A=左=（1;行;JJ）,t2-