自动控制原理（5－2）学习资料

自动控制原理朱亚萍zhuyp@杭州电子科技大学自动化学院5.3控制系统开环频率特性曲线的绘制控制系统开环传递函数的典型环节分解开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）开环对数频率特性曲线的绘制（Bode图）最小相位系统（minimumphasesystem）设其开环传递函数由若干个典型环节相串联其开环频率特性:一、控制系统开环传递函数的典型环节分解系统的开环幅频和相频分别为:系统的开环对数频率特性为:二、开环幅相特性曲线的绘制（Nyquist图）

开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制概略开环幅相曲线的基础。概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：开环幅相曲线的起点和终点；开环幅相曲线与实轴的交点；开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。(1)开环传递函数中不包括积分环节和微分环节ω=0ω=∞n=1G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－90°n=2G(j0)=K∠0°G(j∞)=0∠－2×90°1.几种开环传递函数的Nyquist图

只包含比例和惯性环节的0型系统Nyquist图特点：当开环传递函数由n个惯性环节与比例环节串联时，Nyquist从正实轴开始，随ω从0→∞变化时，顺时针转过n个象限。(2)开环传递函数中含有一阶微分环节ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)=0∠(90°－3×90°)=0∠(－2×90°)例如m=1，n=3可见，由于开环传函中分子含有一阶微分环节，其开环Nyquist图可能出现凹凸。但起点仍从正实轴开始。OKω=∞ω=0ωjm=1,n=3，且T1,T2>τ1>T3时，系统开环Nyquist曲线。若开环传函中分子含有m个一阶微分环节，分母含有n个惯性环节，其Nyquist图随ω的变化趋势为：ω=0G(j0)=K∠0°ω=∞G(j∞)＝0∠(m×90°－n×90°)

＝0∠(m－n)90°II型系统（ν=2）

Ⅰ型系统（ν＝1）(3)开环传递函数中含有积分环节只包含惯性环节的I型系统Nyquist图只包含惯性环节的II型系统Nyquist图开环传递函数含有积分环节时，零频时的幅值为无穷大!当频率ω=0时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。ν＝0G(jω)曲线从正实轴开始G(j0)=K∠0°ν＝1G(jω)曲线从负虚轴方向开始G(j0)=∞∠－90°ν＝2G(jω)曲线从负实轴方向开始G(j0)=∞∠－180°ν＝3G(jω)曲线从正虚轴方向开始G(j0)=∞∠－270°其余依此类推。2.系统开环幅相特性的特点当ω=∞时，若n>m，其G(jω)的模为零，相角为（m－n)×90°,即G(j∞)=0∠(m－n)90°若G(s)分子中含有s因子的环节时，其G(jω)曲线将随ω变化发生弯曲。不含s因子的环节时，G(jω)曲线将随ω变化将是一条平滑曲线。利用G(jω)的虚部Im[G(jω)]=0的关系式求出；利用∠G(jω)=n·180°(其中n为整数)求出。该点所对应的频率称为穿越频率。

开环幅相曲线与实轴的交点是一个关键点，确定方法如下（2种）：写出A(ω)和

(ω)的表达式（或实频X(ω)和虚频Y(ω)的表达式）；分别求出ω=0和ω=+∞时的G(jω)；求Nyquist图与实轴的交点；如果有必要，可求Nyquist图与虚轴的交点，交点可利用G(jω)的实部Re[G(jω)]=0（X(ω)=0）的关系式求出，也可利用∠G(jω)=n·90°（其中n为正整数）求出；必要时画出Nyquist图中间几点；勾画出大致曲线。3.Nyquist图绘制方法试绘制其Nyquist图。

解法一

该传递函数的频率特性为：幅频特性和相频特性分别为：例5-1设系统的开环传递函数为△为正的很小量，故起点为（10，j0），在第Ⅲ象限趋向终点（0，j0）；显然，ω从0变化到＋∞，A(ω)单调递减，而φ

(ω)则从0°到－180°。奈氏图与虚轴的交点可由下式求得。令解得因此解法二

该传递函数的频率特性为：实频特性和虚频特性分别为：当当当即Nyquist图的起点为（10，j0）。即Nyquist图的终点为（0，j0）。即Nyquist图与Y轴的交点为（0，-2.87j）。时，时，时，

例5-1的乃氏图MATLAB绘制例5-1的乃氏图试绘制其Nyquist图。

解该传递函数的幅频特性和相频特性分别为：△为正的很小量，故起点在第Ⅲ象限，在第Ⅱ象限趋向终点（0，j0）；例5-2

设系统的开环传递函数为因为相角从－90°变化到－270°，所以必有与负实轴的交点。解得此时因此，奈氏图与实轴的交点为（－2/3，j0）。解法二

该传递函数的频率特性为：实频特性和虚频特性分别为：当时，即Nyquist图的起点为（－3，j∞）。即Nyquist图的终点为（0，j0）。当时，当时，即Nyquist图与X轴的交点为（－2/3，j0）。例5-2的乃氏图MATLAB绘制例5-2的Nyquist图例5-3已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。解该传递函数的频率特性为：幅频特性和相频特性分别为：故乃氏图起点在第Ⅳ象限，在第Ⅲ象限趋向终点(0，j0)。因为相角范围从－90°到－180°，所以必有与负虚轴的交点。所以，奈氏图与虚轴的交点为(0,－j0.0825)。解得由此时例5－3的奈氏图例5-4已知系统的开环传递函数，绘制系统的开环Nyquist图。解该传递函数的频率特性为：幅频特性和相频特性分别为：当时当时△为正的很小量，故起点在第Ⅲ象限，也是在第Ⅲ象限趋向终点（0，j0）；起点在第Ⅱ象限，也是在第Ⅱ象限趋向终点（0，j0）；例5－4的奈氏图可见，开环对数幅频特性等于各环节对数幅频特性之和；系统开环相频等于各环节相频之和。将各环节对数幅频特性用直线代替，以及对数运算的优点（乘除运算对数化后变为加减），可以很容易绘制出开环对数频率特性。三、开环对数频率特性曲线的绘制1.Bode图绘制的概述和例题分析

解系统开环对数幅频特性和相频特性分别的零型系统的Bode图。例5-5

绘制开环传递函数例5-5的Bode图说明：实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，不必先一一画出各环节的特性，然后相加，而可以采用更简便的方法。由上例可见，零型系统开环对数幅频特性的低频段为20lgK的水平线，随着ω的增加，每遇到一个交接（转折）频率，对数幅频特性就改变一次斜率。解系统开环对数幅频特性和相频特性分别为：例5-6

设Ⅰ型系统的开环传递函数为试绘制系统的Bode图。

例5-6的Bode图不难看出，此系统对数幅频特性的低频段斜率为－20dB/dec，它（或者其延长线）在ω=1处与L1(ω)=20lgK的水平线相交。在交接频率ω=1/T处，幅频特性斜率由－20dB/dec变为－40dB/dec。例5-7

已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Bode图。解开环传递函数可分解成以下5个环节例5－7Bode图2.系统开环对数幅频特性的特点低频段的斜率为－20νdB/dec，ν为开环系统中所包含的串联积分环节的数目。低频段直线（若存在小于1的交接频率时则为其延长线）在ω＝1处的对数幅值为20lgK。在典型环节的交接（转折）频率处，对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化，变化的情况取决于典型环节的类型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的环节，交接频率处斜率改变±20dB/dec；如遇二阶振荡环节G(s)=1/(1+2ζTs+T2s2)，在交接频率处斜率就要改变－40dB/dec，等等。将开环频率特性分解为典型环节相乘形式（时间常数形式）；求出各典型环节的交接频率（各环节时间常数的倒数），将其从小到大排列为ω1，ω2，ω3，…，并标注在ω

轴上；绘制低频渐近线（ω1左边的部分），这是一条斜率为－20νdB/dec的直线，它或它的延长线应通过（1，20lgK）点；（对于微分环节ν取负值）；3.绘制对数幅频特性的步骤随着ω的增加，每遇到一个典型环节的交接频率，就按上述方法改变一次斜率；必要时可用渐近线和精确曲线的误差表，对交接频率附近的曲线进行修正，以求得更精确曲线。对数相频特性可以由各个典型环节的相频特性相加而得，也可以利用相频特性函数

(ω)直接计算。传递函数的零点和极点都位于s平面的左半部，这种传递函数称为最小相位传递函数；否则，称为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统；而具有非最小相位传递函数的系统，则称为非最小相位系统。四、最小相位系统

1.定义对于幅频特性相同的系统，最小相位系统的相位迟后是最小的，而非最小相位系统的相位迟后则必定大于前者。对于最小相位系统，对数幅频特性与相频特性之间存在着唯一的对应关系。根据系统的对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数，反之亦然。但是，对于非最小相位系统，就不存在上述的这种关系。

2.

有关结论另有一非最小相位系统，其频率特性为例5-8

设有一最小相位系统，其频率特性为解用Matlab绘制两者的Bode图

bode([11],[1001])；T1=1，T2=100holdonbode([-11],[1001])例5－8最小相位系统和非最小相位系统的Bode图的Bode图。例5-9

绘制开环传递函数为可见，此系统的幅频特性与惯性环节相同，而其相频特性却比惯性环节多了一项－τω

。显然，它的迟后相角增加很快。解系统的幅