中考数学难点突破与训练：最值问题中的将军饮马模型（原卷版+解析）

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜

访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yin)马，然后

再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为“将军饮马”的问题

广泛流传。

▲

1

E▲廿二■

-ii11111i

特点

实际问题：应该怎样走才能使路程最短？

C

作图问题：在直线1上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

解决方案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短J两点2线段最短)

(2)现在假设点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这个点到点A,

点B的距离的和最短？

作法：

(1)作点B关于直线1的对称点B，

(2)连接AB。与直线1相交于点C.

则点C即为所求.

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线1上任取一点C(与点C不重合),

连接AC,BC,B，C.由轴对称的性质知，

BC=BC,BC,=B,C,.

AAC+BC=AC+B,C=AB,,

AC'+BC'=AC'+B'C'.

在AAB，C中,

ABYAC+BC,

.e.AC+BCVAC+BC.

即AC+BC最短.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形ABCZ）的边长是4,点E是。C上一个点，且。E=l,P点在4c上移动，则PE+PD的最

小值是（）

C.5.5D.5

2.如图，正方形A8C。的边长为4,点〃在。C上，且。M=l,N是AC上一动点，则OV+MN的最小值为

()

C.2A/5D.5

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点尸是矩形ABCD内一动点，且％则尸C+PD的最

小值是（）

A.473B.4有

C.2713D.2a

4.如图，等边AABC的边长为6,是BC边上的中线，M是A。上的动点，E是边AC上一点，若AE=2,

则EM+CM的最小值为（）

C.2币D.472

5.已知线段AB及直线I,在直线/上确定一点尸，使丛+PB最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（）.

6.如图，点M是菱形ABCD的边8C的中点，尸为对角线2D上的动点，若AB=2,ZA=120°,则PM+

PC的最小值为（）

A.2B.&C.72D.1

7.如图，在AABC中，A3=2,ZABC=60°,/ACB=45。，。是BC的中点，直线/经过点。,AE，/,BFLI,

垂足分别为E,F,则AE+B尸的最大值为（）

Di

BC

A.A/6B.272C.2也D.30

8.如图，凸四边形A8CD中，NA=90o,NC=90o,Nr)=60o,AO=3,AB=^,若点M、N分别为边CZ),AD

上的动点，则ABMN的周长最小值为（）

3娓C.6D.3

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形

的长与宽之比都为虚:1,我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形"ABCD中，如图所示,

点。在。C上，且若G为2C边上一动点，当“G。的周长最小时，则能的值为

10.如图，点尸是一403内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线和射线08上的动点,

ZAOB=30。，则APMN周长的最小值是

11.如图，等边AABC的边长为4,点E是AC边的中点，点尸是AABC的中线AD上的动点，则EP+CP的

最小值是.

A

12.如图，正方形ABC。的边长为8,点M在。C上且DM=2,N是AC上的一动点，则。N+MN的最小

13.如图所示，在AA5c中，AB=AC,直线斯是A8的垂直平分线，。是BC的中点，M是EF上一个动

点，AABC的面积为12,BC=4,则周长的最小值是.

14.如图，在四边形A8CD中，ZBC£>=50°,/8=/。=90。，在8C、上分别取一点〃、N,使△AMN

的周长最小，则NMAN='

15.如图，在矩形A8C。中，AB=15,8c=20,把边A8沿对角线8。平移，点4,9分别对应点A,B给

出下列结论:

①顺次连接点4,B',C,。的图形是平行四边形;

②点C到它关于直线AY的对称点的距离为50；

③4C-8C的最大值为15；

④AC+QC的最小值为9J万.

其中正确结论的序号是

16.如图，O为矩形4BCD对角线AC,8。的交点，AB=8,M,N是直线8C上的动点，且MN=2,则OM+ON

的最小值是____________

17.如图，菱形ABC。的边长为6,ZABC=120°,M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点,

当PB+PM的值最小时，的长是

三、解答题

18.如图，在R3ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边△8CE,点。为AB

中点，连接8,点、P、0分别为CE、C。上的动点.

(1)求证：AAOC为等边三角形；

(2)求PO+PQ+QE的最小值.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线A8分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、8两点，其中OA=

2,S4ABe=12,点C在x轴的正半轴上，且0c=02.

(1)求直线A3的解析式；

(2)将直线A8向下平移6个单位长度得到直线直线0与y轴交于点E,与直线C8交于点D过点E作

y轴的垂线⑸若点尸为y轴上一个动点，。为直线/2上一个动点，求PD+PQ+OQ的最小值；

(3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点M使以点A、D、M.N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

20.如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，

则称该直线为三角形的“自相似分割线”.如图1,在AABC中，AB=AC=l,ZBAC=108°,OE垂直平分AB,

且交BC于点连接AD

⑴证明直线AD是公ABC的自相似分割线;

(2)如图2,点P为直线DE上一点,当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度.

(3)如图3,射线CF平分/AC8,点。为射线CF上一点，当AQ+西二1c。取最小值时，求/QAC的正弦

4

值.

21.在长方形ABC。中，AB=4,8c=8,点尸、。为BC边上的两个动点(点P位于点。的左侧，P、。均

不与顶点重合)，PQ=2

(1)如图①，若点E为C。边上的中点，当0移动到BC边上的中点时，求证：AP=QE；

(2)如图②，若点E为。边上的中点，在尸。的移动过程中，若四边形APQE的周长最小时，求8尸的长;

(3)如图③，若M、N分别为边和C。边上的两个动点(M、N均不与顶点重合)，当8P=3,且四边形

PQW的周长最小时，求此时四边形PQVM的面积.

22.在AABC中，？390?,D为延长线上一点，点E为线段AC,CD的垂直平分线的交点，连接E4,

EC,ED.

图1图2图3

(1)如图1,当N54C=50。时，则/AEE>=°；

(2)当NB4C=60。时，

①如图2,连接A。，判断△AED的形状，并证明；

②如图3,直线CP与即交于点R满足NCED=NC4E.P为直线CP上一动点.当PE-尸。的值最大时,

用等式表示PE,PD与之间的数量关系为,并证明.

23.已知如图，在YABCD中，点E是AZ)边上一点，连接BE,CE,BE=CE,BE工CE,点F是EC上一动点,

连接BF.

(1)如图1,当防_LAB时，连接。k，延长BE,CD交于点K,求证：FD=DK；

(2)如图2,以3尸为直角边作等腰RAEBG,NEBG=90。，连接GE,若DE=&CD=E当点厂在运

动过程中，求周长的最小值.

专题17最值问题中的将军饮马模型

【模型展示】

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马

将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，

先到河边饮(yin)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为”将军饮马”的问题广泛流传。

▲

1

F心」.

小，t1M..M?I

||||||g|

特点

三三三

实际问题：应该怎样走才能使路程最短？

C

作图问题：在直线1上求作一点C,

使AC+BC最短问题.

结论AC+BC最短

【模型证明】

(1)现在假设点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

一

解决方

案

连接AB,与直线1相交于一点C.

AC+BC最短(两点之间线段最短)

(2)现在假设点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点，使得这

个点到点A,点B的距离的和最短？

作法：

(1)作点B关于直线1的对称点B，；

(2)连接AB，，与直线1相交于点C.

则点C即为所求.

所作的AC+BC最短吗？请说明理由？

【证明】

如图，在直线1上任取一点C(与点C不重合)，

连接AC,BC,B，C.由轴对称的性质知，

BC=B，C,BC=BC.

AC+BC=AC+B,C=AB;

AC+BC=AC+BC.

在AABC，中，

AB,<AC,+B,C,,

.".AC+BC<AC,+BC,.

即AC+BC最短.

【题型演练】

一、单选题

1.如图，正方形A8CO的边长是4,点E是。C上一个点，且DE=1,尸点在AC上移动,

则PE+P。的最小值是()

A.4B.4.5C.5.5D.5

【答案】D

【分析】连接BE,交AC于点N,连接ON,N即为所求的点，则BE的长即为DP+PE的

最小值，利用勾股定理求出BE的长即可.

【详解】解：如图，

•.•四边形ABCO是正方形，

，点、B与点D关于直线AC对称，

连接交AC于点、N,连接

:.DN=BN,

DN+EN=BN+EN2BD,

则BE的长即为。尸+PE的最小值，

；.AC是线段8。的垂直平分线，

又CE=CD-DE=4-1=3,

在RtABCE中，

BE2=CE2+BC2=25,

VBE>0,

：.BE=5,

即DP+PE的最小值为5,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，两点之间，线段最短等知

识，将PE+PD的最小值转化为BE的长是解题的关键.

2.如图，正方形的边长为4,点M在。C上，且DM=1,N是AC上一动点，则。N+MN

的最小值为（）

C.2#)D.5

【分析】由正方形的对称性可知点8与。关于直线AC对称，连接交AC于M,V即为

所求在RtABCM中利用勾股定理即可求出的长即可.

【详解】•••四边形ABC。是正方形,

点8与。关于直线AC对称,

：.DN=BN,

连接BDBM交AC于N',连接DN',

.•.当8、N、/共线时，ON+MN有最小值，贝!的长即为。N+MN的最小值，

•••AC是线段BD的垂直平分线，

又•；cr>=4,DM=1

：.CM=CD-DM=4-1=^3,

在RtABCM中，BM=y/CM2+BC2=732+42=5

故DN+MN的最小值是5.

故选：D.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出。关于直线AC的对

称点，由轴对称及正方形的性质判断出D的对称点是点B是解答此题的关键.

3.如图，矩形ABCD中，AB=4,8c=6,点P是矩形ABC。内一动点，且S4raB=白.。，

则尸C+PD的最小值是（）

A.4^/3B.4A/5

C.2屈D.2炳

【答案】B

【分析】作于M,作点。关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设由

尸M垂直平分线段。£,推出PO=PE,PC+PD=PC+PE>EC,利用勾股定理求出EC的

值即可.

【详解】解：如图，作于作点。关于直线PM的对称点E,连接PE,EC.设

AM=x.

・・•四边形ABC都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=4,BC=AD=6f

,：SABIB=-SAPCD,

2

A—x4x%=—x—x4x(6-x),

222

.,.x=2,

：.AM=2,DM=EM=4,

在Rt>ECD中，EC=1C£)2+£)£2=4下,

〈PM垂直平分线段O£,

:・PD=PE,

：.PC+PD=PC+PE^EC,

:.PD+Pg非,

.♦.PO+PC的最小值为4G.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的

性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

4.如图，等边△ABC的边长为6,是BC边上的中线，〃是上的动点，E是边AC上

一点，若AE=2,则EM+CM的最小值为()

B

A.726B.3月C.2币D.40

【答案】C

【分析】连接BE,交AD于点M,过点E作EfUBC交于点R此时EM+CM的值最小,

求出BE即可.

【详解】解：连接8E,交A。于点M,过点E作EFL8c交于点凡

♦.•△48C是等边三角形，AD是BC边上的中线，

点与C点关于AD对称，

：.BM=CM,

：.EM+CM=EM+BM=BE,此时EM+CM的值最小，

；AC=6,AE=2,

：.EC=4,

在RfAEPC中，NECF=60。,

:.FC=2,EF=26,

在RmBEF中，BF=4,

：.BE=2y/l,

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定

理是解题的关键.

5.已知线段AB及直线/,在直线/上确定一点尸，使R4+P3最小，则下图中哪一种作图方

法满足条件（）.

A

C.

【答案】c

【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题.

【详解】解：•••点48在直线/的同侧，

，作B点关于I的对称点B',连接4?与/的交点为P,由对称性可知BP=B'P,

：.PA+PB=PB'+PA=AB'^}^.^

故选：C.

【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离

最短的方法是解题的关键.

6.如图，点M是菱形ABC。的边BC的中点，P为对角线8。上的动点，若AB=2,ZA=

120°,则PM+PC的最小值为（）

A.2B.6C.0D.1

【答案】B

【分析】连接AM、AC,AM交BD于P,此时PM+PC最小，连接CP,由菱形的性质可知

C和A关于2。对称,4P=CP,由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知

再根据勾股定理可求4W的值，即可求解.

【详解】解：连接AM、AC,AM交BD于P,

此时PM+PC最小，连接CP,

AD

BMC

:四边形ABC。是菱形，

OA=OC,ACLBD,

；.C和A关于对称，

：.AP=PC,

'：ZA=120°,

ZABC=60°,

...△ABC是等边三角形，

：.AC=AB=2,

是BC的中点，

：.AM±BC,

：.Na4M=30°,

-'-AM=VAB2-BM2=y/3，

:.PM+PC=AM=6.

故选B.

【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与

性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确找到P的位置.

7.如图，在AABC中，AB=2,NABC=60。，ZACB=45°,。是BC的中点，直线/经过

点、D,AELl,BFLI,垂足分别为E,F,贝UAE+B尸的।最大值为（）

c

A.mB.272C.2百D.3金

【答案】A

【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进

行计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CKL1于点K,过点A作AHLBC于点H,

在RtAAHB中,

VZABC=60°,AB=2,

AH=5

在RtAAHC中,ZACB=45°,

•*-AC=^AH-+CH2=7(A/3)2+(^)2=A/6，

•.•点D为BC中点，

；.BD=CD,

在ABFD与八CKD中，

ZBFD=ZCKD=90°

<NBDF=NCDK,

BD=CD

.♦.△BFD也△CKD(AAS),

；.BF=CK,

延长AE,过点C作CNLAE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中，AN<AC,

当直线1J_AC时，最大值为指，

综上所述，AE+BF的最大值为".

故选：A.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形

是解答此题的关键.

8.如图，凸四边形ABC。中，44=90。,/。=90。,/£>=60。,4。=3,48=6，若点M、N

分别为边CRAD上的动点，则的周长最小值为()

c

B

D'--------------------A

A.B.3屈C.6D.3

【答案】C

【分析】由轴对称知识作出对称点，连接两对称点，由两点之间线段最短证明笈8〃最短，

多次用勾股定理求出相关线段的长度，平角的定义及角的和差求出角度的大小，最后计算出

的周长最小值为6.

【详解】解：作点8关于。、的对称点分别为点？和点

连接？"交OC和AD于点〃和点N,DB,连接MB、NB,

再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N）,

连接M'B,MB,N'B和MB",如图1所示：

B'

B

B"

-.B'B"<M'B'+M'N'+N'B",

B'M'=BM',B"N'=BN',

BM'+MN+BN'>B'B",

又B'B"=B'M+MN+NB",

MB=MB',NB=NB",

:.NB+NM+BM<BM'+M'N'+BN',

；•—=NB+MW+BM时周长最小；

连接DB,过点B'作B'H_LDB"于B"D的延长线于点H,

如图示2所示：

在RtAABD中，AD=3,AB=5/3,

DBuy/AD2+AB2、=旧+诋2=2』,

.-.Z2=30°,

.-.Z5=30o,DB=DB",

XvZAZ)C=Zl+Z2=60o,

.•./l=30。，

.-.Z7=30°,DE=DB,

ZB'DB"=Z1+Z2+Z5+Z7=120°,

DB'=DB"=DB=273,

又•.♦ZB'DB"+N6=180。，

.-.Z6=60°,

:.HD=5HB'=3,

在Rf△中,由勾股定理得：

B'B"=-JHB'2+HB"2=行+(3舟=727+9=6.

=NB+NM+BM=6,

故选：C.

【点睛】本题综合考查了轴对称一最短路线问题，勾股定理，平角的定义和两点之间线段最

短等相关知识点，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，难点是构建直角三角形求两点

之间的长度.

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，

其实这些矩形的长与宽之比都为0:1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准

矩形"ABCD中，如图所示，点。在。C上，S.DQ=AD,若G为BC边上一动点，当AAG。

的周长最小时，则笑的值为.

【分析】先设出矩形的边长，将A。和C。表示出来，再通过作对称点确定AAG。的周长最

小时的G点位置后，利用平行线分线段成比例的基本事实的推论建立等式求解即可.

【详解】解：设DC=®x，DQ=AD=x,

\•矩形ABCD

ZD=ZDCB=ZB=90°,AB=DC=&c,BC=A£>=尤，

AQ=S]AD2+DQ2=y[2x,

如图，作。点关于BC的对称点E,连接AE交BC于点M,

AGQ=GE,C2=C£=(V2-l).x

AQ+QG+AG=亚x+AG+EGN也x+AE，

...当A、G、E三点共线时，△AG。的周长最小，

此时G点应位于图中的M点处；

\•矩形ABC。中，ZQCG=9Q°,

；.E点位于QC的延长线上，

：.CE//AB,

...CM__笠_(Ql)x2-母

,MB一瓶一缶一2

BpCG=2-V2；

GB2

故答案为：生史.

【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、最短路径、平行线分线段成比例的基本事实的

推论等内容，解题关键是能正确找到满足题意的G点位置，同时要牢记平行线分线段成比

例的推论，即平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段

成比例.

10.如图，点尸是/AOB内任意一点，。尸=3cm,点M和点N分别是射线。I和射线。3上

的动点，4408=30。，则APMN周长的最小值是.

OA

【答案】3

【分析】根据“将军饮马”模型将最短路径问题转化为所学知识“两点之间线段最短”可找到

周长的最小的位置，作出图示，充分利用对称性以及ZAOB=30。，对线段长度进行等

量转化即可.

解：如图所示，过点P分别作P点关于OB、OA边的对称点P'、P",连接"、PP、PP、

OP'、OP",其中户产分别交。8、于点MM,根据“两点之间线段最短”可知，此时点

M、N的位置是使得APMN周长的最小的位置.

由对称性可知：PN=PN,PM=P"M,ZP'OB=NPOB,ZPOA=ZP"OA

OP=OP"=OP=3,

NPOA+NPOB=ZAOB=30°

:.ZP"OA+ZP'OB=30°

NPOA+NPOB+NP"OA+NPOB=NPOP"=60°

.【△POP"为等边三角形

PP"=OP=OP'=3

^PMN^jJ^^z=PN+PM+MN^P'N+P"M+MN=P'P"=3

故答案为：3

【点睛】本题是典型的的最短路径问题，考查了最短路径中的“将军饮马”模型，能够熟练利

用其原理“两点之间线段最短”作出最短路径示意图是解决本题的关键.

11.如图，等边AABC的边长为4,点E是AC边的中点，点尸是AABC的中线AD上的动点，

则EP+CP的最小值是.

【答案】23

【分析】当连接8E,交于点P时，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值.

【详解】解：连接8E

A

「△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

：.AD±BC,

：.AD是BC的垂直平分线，

；•点C关于AD的对应点为点B,

/.BE就是EP+CP的最小值.

是等边三角形，£是AC边的中点，

BE是△ABC的中线，

：.CE=^AC=2,

BE=^BC2-CE2=243

即EP+CP的最小值为2JL

故答案为：2vL

【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题以及等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌

握等边三角形和轴对称的性质是解题的关键.

12.如图，正方形ABC。的边长为8,点M在。C上且。M=2,N是AC上的一动点，贝U

LW+MN的最小值是.

【分析】要求LW+MN的最小值，DN,不能直接求，可考虑通过作辅助线转化£W,

MN的值，从而找出其最小值求解.

【详解】解：•••正方形是轴对称图形，点2与点〃是关于直线AC为对称轴的对称点,

二连接BN,BD,

：.DN+MN^BN+MN,

连接交AC于点尸，

•.•点N为AC上的动点，

由三角形两边和大于第三边，

知当点N运动到点P时，BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值为BM的长度，

:四边形ABCO为正方形，

:.BC=CD=8,CM=8-2=6,ZBCM=90°,

BM=+8?=10,

.,.ON+MN的最小值是10.

故答案为：10.

【点睛】本题主要考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.

13.如图所示，在44BC中，AB=AC,直线EF是AB的垂直平分线，。是3C的中点，M

是E尸上一个动点，AMC的面积为12,BC=4,则AgZW周长的最小值是.

【答案】8

【分析】连接A。，AM,由EP是线段AB的垂直平分线，得到则△BOM的周长

=BD+BM+DM=AM+DM+BD,要想△的周长最小，即要使的值最小，故当A、

M、。三点共线时，最小，即为A。，由此再根据三线合一定理求解即可.

【详解】解：如图所示，连接4D,AM,

1/EF是线段AB的垂直平分线，

：.AM=BM,

：.△BOM的周长

...要想4的周长最小，即要使AM+OW的值最小，

...当A、M、。三点共线时，4M+DM最小，即为AD,

■：AB=AC,。为BC的中点，

J.ADLBC,BD=LBC=2,

2

S"BC=]AD,BC=12,

.\AD=6f

：.ABDM的周长最小值=AZ)+5Z)=8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据

题意得到当A、。三点共线时，AM+QM最小，即为AD

14.如图，在四边形A8C£＞中，ZBCD=50°,/2=/。=90。，在BC、CD上分别取一点

M、N,使AAMV的周长最小，则NMAN=°.

【分析】作点A关于BC、CD的对称点4、4,根据轴对称确定最短路线问题，连接4、

4分别交BC、0c于点M、N,利用三角形的内角和定理列式求出/4+/A2，再根据轴对

称的性质和角的和差关系即可得/MAN.

【详解】如图，作点A关于BC、C£＞的对称点4、A2,连接4、4分别交BC、DC于点M、

N,连接AM、AN,则此时△AMN的周长最小，

VZBCZ)=50°,ZB=ZD=90°,

：.NA4D=360。-90°-90°-50。=130。，

ZA7+ZA2=180°-130°=50°,

・・•点A关于BC、CO的对称点为A/、A2,

:・NA=NA2,MA=MAI，

：.ZA2=ZNADfZA]=ZMABf

：./NAD+/MAB=ZA7+ZA2=50°,

AZMAN=ZBAD-Q/NAD+/MAB)

=130°-50°

=80°,

故答案为：80.

【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线

段最短问题是解决本题的关键.

15.如图，在矩形A8CD中，AB=15,8c=20,把边AB沿对角线8。平移，点4,9分别

对应点A,B给出下列结论：

①顺次连接点4,B',C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线A4,的对称点的距离为50；

③4C-BC的最大值为15；

®A'C+B'C的最小值为9J万.

其中正确结论的序号是

【答案】③④

【分析】①根据平行四边形的判定定理判断即可；②作点C关于直线A4,的对称点E,交直

线44,于点T,交直线2。于点0,贝UCE=40C,利用等面积法求出0C即可；③根据

川。一3'。＜43',当线段42平移至9与£)点重合,即：4,8,(7三点共线时，AC-3'C=A3'

即可判断;④作D关于直线AV的对称点",连接DD交直线AV于点J,过点M乍D'E±CD,

交C。延长线于E点，连接CD',交直线A4'于点4,此时满足4C+BC的值最小，即为CD'

的长度，结合相似三角形的判定与性质求解即可.

【详解】解：①由平移的性质可知：AB//AB,,AB=AB，

由矩形的性质可知：AB//CD,AB=CD,

：.AB7/CD,AB'=CD,

四边形A'B'CD为平行四边形，

当点*与。重合时，四边形不存在，

故①错误；

②如图1所示，作点C关于直线AV的对称点E,交直线A4,于点T,交直线于点0,则

CE=4OC,

•.•四边形ABCO为矩形，

：.ZBCD=90°,CD=AB=15,

BD=A/BC2+CD2=25，

SZAAoC£z=一2BC・CD=2_BD・0C,

.\£C=4x12=48,故②错误;

E.

如图2所示,当线段AB平移至Q与D点重合，即：4,9,C三点共线时，AC-B'C=AB'=15,

HC-B'C最大值为15,故③正确；

④如图2所示，由①可知，B'C^A'D,

：.AC+B'C^A!C+AD,

作D关于直线44,的对称点连接交直线4V于点J,

过点。掰乍D'ELCD,交C。延长线于E点，连接CD,交直线4r于点4,

此时满足4C+QC的值最小，即为CZX的长度，

由对称的性质可知：ZAJD=9Q°,

由平行的性质可知：ZBDJ=1800-ZAJD=90°,

即：ZADJ+ZADB=9Q°,

'：ZABD+ZADB=90°,

：.ZABD=ZADJ,

：.

.DJAD

••瓦一茄’

DJ20

R即n：一=—,

1525

：.DD'=2DJ=24,

又：D'E//AD,

：.NED'D=ZADJ,

：.ZEDfD=ZABD,

ZE=ZBAD=9Q°,

^ABD^EDfD,

D'E=,ED=—

95«171

EC=ED+DC=--+15=——,

55

由勾股定理：CD'='JiyE2+EC2=9A/17，故④正确,

L

w

AN:

4rx------------1~D

r

故答案为：③④.

【点睛】本题考查矩形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定

与性质等，理解并掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定与性质，熟练运用相似三角形的

判定与性质是解题关键.

16.如图，。为矩形ABC。对角线AC,8。的交点，48=8,M,N是直线BC上的动点，且

MN=2,则OM+ON的最小值是.

【答案】2后

【分析】根据题意，过。作。//〃BC,且令。8=2,连接作。点关于2c的对称点K,

连接OK,KH,典\OM+ON=NH+ON=NH+NK^HK,当H、N、K三点共线的时候，OM+ON

有最小值，最小值为HK的长.根据矩形性质及图形的对称性，易知NKOH=90。，在

RtAKOH中,运用勾股定理求得HK的长即可.

【详解】解：过。作OH〃BC,且令。H=2,连接NH,作O点关于BC的对称点K,连接

OK,KH,

AD

'JOH//BC,0H=MN=2,

・•・四边形OMNH是平行四边形，

・・・OM=NH,

：.OM+ON=NH+ON.

・・•O点关于BC的对称点是点K,

：・ON=NK,

：.OM+ON=NH+ON=NH+NK,

,：NH+NKNHK,

・••当H、N、K三点共线的时候，OM+ON有最小值，最小值为"K的长.

OH//BC,O点关于BC的对称点是点K,

：./KOH=90。.

:。为矩形A5CO对角线AC,3。的交点，O点关于3C的对称点是点K,

：.OK=AB=S.

•：OH=2,NKOH=90。,

HK=JOH?+OK?=2后，

・•・OM+ON的最小值是2JI7.

【点睛】本题考查了最短路径问题，矩形性质，勾股定理求直角三角形的边长，其中熟练画

出OM+ON取最小值时所对应的线段，是解题的关键.

17.如图，菱形ABC。的边长为6,ZABC=120°,M是3。边的一个三等分点，尸是对角

线AC上的动点，当PB+PM的值最小时，的长是.

AD

P

BMC

【答案】旦

2

【分析】如图，连接。P,BD,作8c于H.当D、P、M共线时，P'B+P'M=DM惬最

小，利用勾股定理求出。M,再利用平行线的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接DP,BD,作DH_LBC于H.

:四边形ABCO是菱形，

C.ACLBD,B、。关于AC对称，

：.PB+PM=PD+PM

当。、P、M共线时，夕6+尸〃=我的值最小,

'：CM=-BC=2

3

,/ZABC=120°,

：.ZDBC=ZABD=60°

...△■DBC是等边三角形，

•：BC=6,

:.CM=2,HM=1,DH=3yf3，

在RtADMH中，

DM=4DH2+W2=7（3A/3）2+12=2A/7

\'CM//AD

.P'MCM_2

,•而IF63

P'M=-DM=—

42

故答案为：旦.

2

【点睛】本题考查轴对称一最短问题、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、

平行线线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

三、解答题

18.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,AC=2,以BC为边向左作等边4BCE,

点Z）为AB中点，连接CD点、P、Q分别为CE、C。上的动点.

（1）求证：AAOC为等边三角形；

（2）求尸。+PQ+QE的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）4.

【分析】（1）先根据直角三角形的性质可得ZBAC=60。,AD=CD,再根据等边三角形的判

定即可得证；

（2）连接尸AQB,先根据等边三角形的性质可得ZACE=；NACD,再根据等腰三角形的

三线合一可得CE垂直平分AD,然后根据线段垂直平分线的性质可得可=如，同样的方

法可得QB=QE,PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,最后根据两点之间线段最短即

可得出答案.

【详解】证明：（1）,••在RGABC中，/408=90。,/48。=30。,4。=2,

ABAC=60°,AB=2AC=4,

•点。是RUABC斜边AB的中点，

:.AD=AC=2,

是等边三角形；

（2）如图，连接PAQB,

QVBCE和AADC都是等边三角形，

:./BCE=60。,ZACD=60°,

ZACE=ZACB-NBCE=30°=-ZACD,

2

r.CE垂直平分AO,

:.PA=PD,

同理可得：CD垂直平分5E,

QB=QE,

PD+PQ+QE=PA+PQ+QB,

由两点之间线段最短可知，当点ARQI共线时，尸4+尸。+8取得最小值A3,

故尸。+尸。+QE的最小值为4.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质等知识点，熟

练掌握等边三角形的性质是解题关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，直线A8分别与无轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两

点，其中。4=2,S/ABC=12,点C在x轴的正半轴上，且0c=。艮

(1)求直线AB的解析式；

(2)将直线向下平移6个单位长度得到直线"，直线〃与y轴交于点E,与直线交于

点、D,过点E作y轴的垂线以若点尸为y轴上一个动点，Q为直线为上一个动点，求

PD+PQ+DQ的最小值；

⑶若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N,使以点A、D、M、N为顶点的四

边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=2x+4

(2)4^/5

(3)存在以点A、D、M.N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为(0,-2)或(0,10)

【分析】(1)设02=0C=m,由LABC=12,可得B(0,4),设直线48解析式为〉=日

+b,利用待定系数法即可求解；

(2)将直线向下平移6个单位，则直线//解析式为y=2x-2,可得E(0,-2),垂线心

的解析式为＞=-2,由B(0,4),C(4,0),得直线8C解析式为y=-x+4,从而可求得

D(2,2),作。关于y轴的对称点少，作£＞关于直线＞=-2对称点。"，连接交y

轴于尸，交直线y=一2于。此时PO+PQ+。。的最小，根据少(一2,2),D"(2,-6),

得直线DD"解析式为y=—2x—2,从而尸(0,-2),Q(0,-2),故此时PO=226,PQ

=0,DQ=2A/5,PO+PQ+。。的最小值为4班.

(3)设尸(p,2p+4),N(0,q),而A(-2,0),D(2,2),①以A。、MN为对角线，

此时A。中点即为MN中点，根据中点公式得N(0,-2)；②以AM、LW为对角线，同理可

得NCO,10)；③以AN、为对角线，同理可得N(0,-2).

(1)

解：(1)设08=0C=MI,

,：OA=2,

AC—^n+2,A(-2,0),

u

：SAABC=12f

：.^AC-OB=n,即(m+2)=12,

解得m=4或m=-6(舍去)，

：.OB=OC=4,

：.B(0,4),

设直线AB解析式为y=kx+b,

.jO=-2k+b

,,I4=6'

k=2

解得

6=4

直线AB解析式为y=2x+4;

(2)

将直线ASy=2x+4向下平移6个单位，则直线//解析式为y=2x-2,

令x—0得＞=-2,

：.