中考数学难点突破与训练：全等三角形中的半角模型（原卷版+解析）

专题02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特点

过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为号；这两条射线与

过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条

相关直线及顶角A相关.

【模型证明】

以点A为中心，把AADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至AABF;

解决方法

1、AAMN全等于AAMN,MN=MN';

2、△AEF全等于△AEF',EF=EF-BE+EF=EF;

结论

3、MN2^BM2+DN\

4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；

5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）o

1:顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;

2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

应用环境3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻补角的两条角

平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4:此等腰三角形的相关弦.

【模型拓展】

90。中夹45。（正方形中的半角模型）

ADAD

BEcBEC

图1图2

条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,BD为对角线，交

AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD

证明证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90。，F点落在F处，连接BP,

.*.ZEAF,=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZEAF,

且AE=AE,AF=AF,

・•・AFAE^AF^ECSAS),

・•・EF=EP,

又ND二NABF'=90°,ZABE=90°,,NABE+NABF'=900+90°=180。，

・・・FFB、E三点共线，

・•・EF=BE+BF=BE+DF。

结论②：图2中MN2=BM2+DN2;

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90。，N点落在N'处，连接AN'、BN\MN\

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN\

AMAN?2AMAN(SAS),

・・・MN=MN',

又NADN=450=NABN',ZABD=45°,

.•.ZMBN,=ZABD+ZABN,=45°+45°=90°,

・•・在RtAMBN'中,MN，2=BM2+BN，2,

即MN』BM2+BN'2。

结论③：图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

证明过程见证明①中时4FAE^AF'AE即可。

结论④：图1、2中8凶所=S0BE+^/SADF°

AD

BEC

图5

证明：如图5中，过A点作AH_LEF于H点，由结论③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

・・・AH=AB=AD,进而可以证明△AHF^AADF(AAS),

,,SMEF=S^HE+S^HF-S^BE+SMDF，

【题型演练】

一、单选题

1.如图，四边形ABC。内接于。O,AB=AD,ZBCD=120°,E、尸分另ij为BC、CD上一点，ZEAF=30°,

EF=3,DF=1.则BE的长为(

A.1B.2C.3D.4

2.如图，点M、N分别是正方形ABC。的边BC、CD上的两个动点，在运动过程中保持/M4N=45。，连

接EN、相交于点0,以下结论：①MN=8M+DN；②台严+八产二后尸；③BC2=BF・DE；®0M=72OF

)

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

二、填空题

3.如图，在RtAABC和R38C。中，ZBAC^ZBDC^90°,BC=4,AB=AC,NCBD=30。,M,N分别

在BD,CD±,ZMAN^45°,则△OWN的周长为.

4.如图，在边长为6的正方形ABC。内作ZE4F=45。，AE交3C于点E,AF交CD于点尸，连接E1尸，将

一ADF绕点A顺时针旋转90。得到若BE=2,则政的长为.

D

5.如图，正方形ABC。的边长为6,点E,尸分别在边AB,2c上，若尸是BC的中点，且/即P=45。,

则DE的长为

三、解答题

6.正方形ABCD的边长为3,E、尸分别是AB、BC边上的点，且/即尸=45。.将4D4E绕点。逆时针旋转90°,

得到△DCM.

(1)求证：EF=FM

(2)当AE=1时，求EF的长.

E,尸分别在边8C,CO上，且ZE4F=45。，AE,AF分别交5。

于H,G,连跖，求证:

@DF+BE=EF②DG+BH2=H停.

8.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将一AD尸绕点A顺时针旋转90°后，得至上ABM,

连接EM,AE,且使得NA£4E=45。.

(1)求证：ME=EF；(2)求证：EF2=BE2+DF1.

9.已知：边长为4的正方形ABC。，的两边分别与射线CB、0c相交于点E、F,且NE4F=45。,

连接EF求证：EF^BE+DF.

图1图2图3

思路分析：

⑴如图1,「正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=90°,

...把AABE绕点A逆时针旋转90。至△&£>£,则只。、E在一条直线上,

ZE'AF^度，……

根据定理，可证：AAEFdAEF.

；.EF=BE+DF.

类比探究:

(2)如图2,当点E在线段的延长线上，探究ERBE、。尸之间存在的数量关系，并写出证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在△ABC中，AB=AC,。、£在8C上，ZBAC=2ZDAE.若SAABC=14,SAADE=6,求线

段B。、DE、EC围成的三角形的面积.

10.如图1,在菱形A8CD中，AC=2,BD=2^,AC,8。相交于点。.

(1)求边AB的长；

(2)求/8AC的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三

角板60。角的两边分别与边BC,C。相交于点E,F,连接£尺判断△AEE是哪一种特殊三角形，并说明理

由.

11.(1)如图1,在正方形A8CD中，E是A8上一点，G是上一点，ZECG=45°,求证EG=BE+GO.

(2)请用(1)的经验和知识完成此题：如图2,在四边形48。中，AG//8C(8C>AG),ZB=90°,AB=BC=12,

E是A3上一点，且NECG=45。，BE=4,求EG的长？

12.如图，点E是正方形ABC。的边2C上一点，连接OE,将DE绕着点E逆时针旋转90。，得至UEG,过

点G作GF_LC8,垂足为RGHA.AB,垂足为“，连接。G,交AB于/.

(1)求证：一GEF'EDC

(2)求证：四边形是正方形；

(3)求证：ED平分/CEI

13.学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形A8CZ)中，ZEAF=45°,求证：EF=BE+DF.,,

小明同学的思路：\•四边形A8C。是正方形，：.AB^AD,ZB=ZADC^90°.

把小ABE绕点A逆时针旋转到AADE1的位置，然后证明AAFE也△AF0,从而可得EF=E'F.

EF=E'D+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图3图4

(D【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题:

如图2,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB=ZD=90°,ZEAF=^ZBAD,直接写出EF,BE,。尸之间的

数量关系.

(2)【应用】如图3,在四边形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,ZEAF=^ZBAD,求证：EF=BE+

DF.

(3)【知识迁移】如图4,四边形ABPC是：。的内接四边形，8c是直径，AB=AC,请直接写出P2+PC与

AP的关系.

专题02全等三角形中的半角模型

【模型展示】

特点

过正方形ABCD顶角顶点（设顶角为A）,引两条射线且它们的夹角为竽；

这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点E、F,则BE,EF,FC之间必存在固

定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.

【模型证明】

以点A为中心，把AADF（顺时针或逆时针）旋转角A度，至AABF;

解决方

法

1、△AMN全等于△AMN',MN=MN';

2、AAEF全等于AAEF,EF=EF'—BE+EF=EF;

结论3、MN~^BM2+DN2;

4、△CEF的周长等于正方形ABCD的一半；

5、点A到EF的距离等于正方形的边长（AB）。

1：顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30。、45。、60。、75。或它们的补角、90°;

应用环2:正方形、菱形等也能产生等腰三角形；

境3:过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条平分线、腰上的两高、底角的邻

补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或棱形的另外两边；

4:此等腰三角形的相关弦.

【模型拓展】

90。中央45。(正方形中的半角模型)

ADAD

E「

BECBEC

图1图2

条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，ZEAF=45°,BD为

对角线，交AE于M点，交AF于N点。

结论①：图1、2中，EF=BE+FD

证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90。，F点落在F处，连接BF\

.•./EAF=90°-NEAF=90°-45°=45°=NEAF,

且AE=AE,AF=AF',

△FAE0AF,AE(SAS),

证明

・・・EF=EP,

又ND二NABF'=90。，ZABE=90°,\NABE+NABF'=900+90°=180。，

AF\B、E三点共线，

EF=BE+BF=BE+DF。

结论②：图2中MN2=BM2+DN2;

证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90。，N点落在N，处，连接AN'、BN\

MN',

ZN,AM=90o-ZEAF=90°-45o=45°=ZMAN,

且AM=AM,AN=AN',

△MAN5gAMAN(SAS),

.,.MN=MN,,

又NADN=45°=NABN',/ABD=45°,

；./MBN'=/ABD+/ABN'=45°+45°=90°,

.•.在RtAMBN'中,MN，2=BM2+BN，2,

即MN2=BM2+BN，2o

结论③：图1、2中EA平分NBEF,FA平分NDFE。

证明过程见证明①中时4FAEgZiF'AE即可。

结论④：图1、2中S,即二SMBE+S.DF°

AD

BEc

图5

证明：如图5中，过A点作AH_LEF于H点，由结论③可知：ZAEH=ZAEB,

且NAHE=NABE=90。，AE=AE,△AEB△AEH(AAS),

・・・AH=AB二AD,进而可以证明△AHF^AADF(AAS),

**SMEF~SMHE+SMHF~SMBE+$MDF*

【题型演练】

一、单选题

1.如图，四边形ABCZ）内接于＜30,AB=AD,ZBCD=\2Q0,E、/分别为BC、CD上一

点，/EAF=30°,EF=3,DF=1.则BE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】延长CB到X,使BH=DF=1,连接AH,则可证得△ABH0△ADR从而

ZBAH=ZDAF,易证△可得HE=EP=3,则可求得BE■的长.

【详解】延长CB到H,使BH=DF=1,连接AH,如图

•・・四边形ABCD内接于。。

ZABC+ZA£>C=180°

VZABH+ZABC=1SO°

・•・ZABH=ZADF

在△AB〃和△AD/中

AB=AD

</ABH=ZADF

BH=DF

：.AABH^AADF

：.AH=AFfZBAH=ZDAF

VZBA£>+ZBC£>=180°,ZBCD=120°

ZBAD=180°-ZBCD=60°

VZEAF=30°

AZBAE-^ZDAF=ZBAD-ZEAF=30°

AZEAH=ZBAE+ZBAH=30°

在△AHE和△AbE中

AH=AD

<NEAH=ZEAF

AE=AE

：.HE=EF=3

：.BE=HE-BH=3-1=2

故选：B

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等

三角形的问题的关键与难点.

2.如图，点"、N分别是正方形A5CD的边5。、CD上的两个动点，在运动过程中保持NM4N

=45°,连接EN、相交于点0,以下结论：®MN=BM+DN；②BEZ+DF^nEF2；③5。

=BF・DE；@OM=41OF()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由旋转的性质可得BM=DM,ZBAM=ZDAM,,ZA/AAf=90°,

ZABM=ZADM'=90°,由“SAS”可证AAMN四△AATN,可得MN=NM\可得MN=BM+DN,

故①正确；由“SAS'可证△AEPq△AED',可得EF=DE,由勾股定理可得2层+£）产=石产；

故②正确；通过证明AZMEs△9丸可得”=42,可证BCZMDQBF故③正确；通过

证明点4点3,点点F四点共圆，ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,

NBAM=NBFM,可证MO二行80,由NA4MrNQAN,可得OE手OF,故④错误，即可求解.

【详解】解：将绕点A逆时针旋转90。，得到将△ADb绕点A顺时针旋转

90°,得到△A3。，

,

：.AM=AM,BM=DM,ZBAM=ZDAM'fZMAAf=90°,ZABM=ZADM=90°,

：.NADM+NA00180。,

・••点M在直线CO上，

•IZMAN=45°,

：.ZDAN+ZMAB=45°=ZDAN+ZDA^ZNfAN,

：./M'AN=/MAN=45。,

又"：AN=AN,AM=AM^,

：.LAMN咨AAMW(SAS),

：.MN=NM'

：.M，N=M，D+DN=BM+DN,

：.MN=BM+DN；故①正确；

・・,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABD\

：.AF=AD',DF=D'B,ZADF=ZABD'=45°,ZDAF=ZBAD\

：./D'BE=90。,

,/ZMAN=45°,

,,

・•・ZBAE+ZDAF=45°=ZBAD+ZBAE=ZDAEf

ZD'AE=ZEAF=45°f

5L'：AE=AE,AF=AD',

：./\AEF^/\AED'(SAS),

：.EF=D'E,

D'E2=BE2+D'B2,

：.BE2+DF2=EF2；故②正确；

,?ZBAF=ZBAE+ZEAF=ZBAE+45°,ZAEF=ZBAE+ZABE=45°+ZBAE,

：.NBAF=NAEF,

又,/ZABF=ZADE=45°,

：.4DAEs4BFA,

.DEAD

AB=AD=BC,

：.BC2=DE>BF,故③正确；

ZFBM^ZFAM=45°,

.•.点4,点、B,点M,点尸四点共圆，

/.ZABM=ZAFM=90°,ZAMF=ZABF=45°,/BAM=/BFM,

同理可求NAEN=90。，NDAN=NDEN,

：.ZEOM=45°=ZEMO,

：.EO=EM,

：.MO=4iEO,

ZBAM^ZDAN,

：.NBFM丰NDEN,

J.EOtFO,

：.OM^y/2FO,故④错误，

故选：A.

BMC

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质,

旋转的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题

3.如图，在R3ABC和RtABCD中，ZBAC=ZBZ)C=90°,BC=4,AB=AC,NCBD=

30°,M,N分别在2D,CD上，ZMAN=45°,则AOMN的周长为.

【分析】将AACN绕点A逆时针旋转，得到AABE,由旋转得出NNAE=90。，AN=AE,

ZABE=ZACD，/EAB=NCAN,求出/EAM=/MAN,根据SAS推出△AEM0AANM,

根据全等得出MN=ME,求出MN=CN+BM,解直角三角形求出DC,即可求出△DMN

的周长=BD+DC,代入求出答案即可.

【详解】将AACN绕点A逆时针旋转，得到AABE,如图：

由旋转得：NNAE=90。,AN=AE,ZABE=ZACD,ZEAB=ZCAN,

•.,ZBAC=ZD=90°,

ZABD+ZACD=36Q°-90°-90°=180°,

ZABD+NABE=180°,

：.E,B,M三点共线，

'：ZMAN=45°,/R4c=90°,

ZEAM=ZEAB+ZBAM=ZCAN+ZBAM=ABAC-ZMAN=90°-45°=45°,

：.ZEAM=ZMAN,

在△AEM和△ANM中,

AE=AN

<NEAM=/NAM,

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS),

:・MN=ME,

：・MN=CN+BM,

•・•在R35CQ中，/BDC=90。,ZCBD=30°,8C=4,

i.----------------------

.,.CD=-BC=2,BD=VBC2-CD2=V42-22=2出,

：.ADMN的周长为DM+DN+MN^DM+DN+BM+CN=BD+DC=2S/3+2,

故答案为：2&+2.

【点睛】本题考查直角三角形、全等三角形的性质和判定、旋转的性质的应用，能正确作出

辅助线是解此题的关键.

4.如图，在边长为6的正方形ABCD内作ZE4F=45。，AE交BC于点E,AF交以»于点

连接跖，将AD尸绕点A顺时针旋转90。得到ABG,若BE=2,则政的长为.

【答案】5

【分析】由题意易得BG=ORAG=A尸,NG4F=90。，则有/G4E=NE4E=45。，然后可

vEi.GAE^FAE,则有GE=EF,T^GB=DF=X,贝!］有C尸=6-x,CE=4,£F=x+2,进

而根据勾股定理可求解.

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，且边长为6,

，CD=BC=6,ZC=ZABC=ZD=90°,

•/^ADF绕点A顺时针旋转90。得到，ABG,

BG=DF,AG=AF,ZGAF=ZABC=ND=90°,

...点G、B、E三点共线，

ZE4F=45°,

ZGAE=ZFAE^45°,

'：AE=AE,

：.^GAE^,FAE,

：.GE=EF,

设GB=DP=x,则有CF=6—无,庭=4,跖=尤+2,

...在RtXECF中，由勾股定理可得EC2+CF2=EF-,

即16+(6-J;—=(x+2)2,

解得：x=3,

二EF=5；

故答案为5.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋

转的性质及勾股定理是解题的关键.

5.如图，正方形A8C。的边长为6,点E,尸分别在边A8,8C上，若歹是的中点，且

NEDF=45°,则。E的长为.

【答案】2厢

【分析】延长54到点G,使AG=CF,连接OG,EF,利用SAS证明△AOGg△C。尸，得

/CDF=/GDA,DG=DF,再证明△GDEgZXEDE(SAS),得GE=EF,设则BE=6-

x,EF=x+3,再利用勾股定理解决问题.

【详解】解：延长8A到点G,使AG=CR连接。G,EF,

,:AD=CD,NDAG=NDCF,

：.^ADG^/\CDF(SAS),

：.ZCDF=ZGDA,DG=DF,

"：ZEDF=45°,

：.ZEDG=ZADE+ZADG=ZADE+ZCDF=45°,

,:DE=DE,

:AGDE"4FDE(SAS),

：.GE=EF,

1尸是BC的中点,

：.AG=CF=BF=3,

设AE=x,贝i」8E=6-x,EF=x+3,

由勾股定理得，（6-x）2+32=（x+3）2,

解得x=2,

.,.4£=2,

DE=VAD2+AE2=依+2?=2回，

故答案为：2M.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练

掌握半角模型的处理策略是解题的关键.

三、解答题

6.正方形A8CD的边长为3,E、尸分别是A3、BC边上的点，且NEZ）尸=45。.将△D4E绕点

。逆时针旋转90。，得到△OCM.

（1）求证：EF=FM

（2）当AE=1时，求取的长.

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）由折叠可得。/EZW为直角，可得出（尸=90。，由/E。尸=45。，

得到尸为45。，可得出/££甲=/四。/，MSDF=DF,利用SAS可得出三角形DE尸与

三角形ML甲全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；

（2）由第一问的全等得到AE=CM=1,正方形的边长为3,用求出EB的长，再由

8C+CM求出的长，设EF=MF=x,可得出尸M=8M-EF=4-无，在直角三角形8EF

中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为的长.

【详解】⑴••,△D4E逆时针旋转90。得到△DCM,

：.DE=DM,ZEDM=90°,

ZEDF+ZFDM=90°,

'：ZEDF=45°,

・•・ZFDM=ZEDM=45°,

'：DF=DF,

:・ADEFmADMF,

：.EF=MF

(2)设EF=x,

'：AE=CM=1,

BF=BM-MF=BM-EF=4-xf

;EB=2,

在放AM尸中，由勾股定理得石片+吕尸二石尸，

即22+(4-x)2=x2,

解得，

7.已知，如图所示，正方形ABC。中，E,b分别在边3C,CD上，且ZE4F=45。，AE,

AF分别交3D于"，G,连石尸，求证：

@DF+BE=EF®DG-+BH2=HG2.

【答案】见解析

【分析】①把△ABE逆时针旋转90。得到△ADG,根据旋转的性质可得BE=GD,AE=AG,

再根据NEAF=45。求出/FAG=45。，然后利用边角边定理证明△AEF与△AGF全等，根据

全等三角形对应边相等可得EF=GF,即EF=GD+FD,即可证明EF=BE+DF；

②把△ADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,根据旋转的性质得到

ZNAE=ZEAF,根据全等三角形的性质得到GH=GN,求得

ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45°=90°,根据勾股定理得到BG2+HD2=GH2；

【详解】①如图，把△ABE逆时针旋转90。得到△ADM,

M

ABE=MD,AE=AM,

・.,ZEAF=45°,

・•・ZFAM=90°-45o=45°,

ZEAF=ZFAM,

在△AEF和△AMF中，

AE=AM

<ZEAF=ZFAM,

AF=AF

.'.△AEF^AAMF(SAS),

.*.EF=MF,

即EF=MD+DF,

ABE+DF=EF；

②如图，把AADH绕点A顺时针旋转90。得到△ABN,连接GN,

・・・BN=DH,AN=AH,ZBAN=ZDAH,NABN=NADH,

ZEAF=45°,

.,.ZNAE=ZBAN+ZBAE=ZDAH+ZBAE=ZBAD-ZEAF=90°-45o=45°,

/.ZNAE=ZEAF,

在^ANG和^AGH中，

AN=AH

<ZNAG=ZEAF,

AG=AG

/.△AGN^AAGH(SAS),

・・・GH=GN,

在正方形ABCD中，ZABE=ZADH=45°,

・・・ZNBG=ZABN+ZABG=45°+45°=90°,

.*.BG2+BN2=NG2,

即BG2+HD2=GH2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质；熟练掌握正方形的性质是解

决问题的关键.

8.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将，ADR绕点A顺时针旋转90。

后，得到一连接EM,AE,且使得NMAE=45。.

（1）求证：ME=EF；（2）求证：EF1=BE1+DF1.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【分析】（1）直接利用旋转的性质证明△AME0ZXAFE（SAS）,即可得出答案;

（2）利用（1）中所证，再结合勾股定理即可得出答案.

【详解】证明：（1）:将AD尸绕点A顺时针旋转90。后，得到

:.MB=DF,AM=AF,ZBAM=NDAF,

:.MA±AF,

ZMAE^45°,

ZE4F=45°,

:.ZMAE=ZFAE,

在^AME和AAFE中

AM=AF

<NMAE=ZFAE,

AE=AE

AME=AFE（SAS）,

.\ME=EF；

（2）由（1）得：ME=EFf

在RtMBE中，MB2+BE2=ME2,

又：MB=DF,

EF2=BE2+DF2.

【点睛】此题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确

得出△AME^AAFE是解题关键.

9.已知：边长为4的正方形ABC。，NE4尸的两边分别与射线CB、。。相交于点E、F,且

ZEAF=45°,连接EE求证：EF=BE+DF.

图1图2图3

思路分析：

⑴如图1,,正方形A8CD中，AB=AD,/BAD=/B=/ADC=90°,

...把△ABE绕点A逆时针旋转90。至△AOE,则F、D、E在一条直线上,

ZE'AF=.度，

根据定理，可证：△AEF0ZVIET.

:.EF=BE+DF.

类比探究：

(2)如图2,当点E在线段C8的延长线上，探究EF、BE、。尸之间存在的数量关系，并写出

证明过程；

拓展应用：

(3)如图3,在^ABC中，AB=AC,£>、E在8C上，ZBAC=2ZDAE.若ABC=14,SAADE

=6,求线段80、DE、EC围成的三角形的面积.

【答案】⑴45

(2)DF=BE+EF,证明见解析

(3)2

【分析】(1)把AABE绕点A逆时针旋转90。至A4DE,则尸、。、厅在一条直线上，

MDE刍SBE,再证AE'F,得EF=EF,进而得出结论；

(2)将AABE绕点A逆时针旋转90。得到A4DE,由旋转的性质得AWE2A4BE,再证AAEF/

△AE'F,得EF=EF,进而得出结论；

(3)将AABD绕点A逆时针旋转得到AACD',连接£D"则AACD3AABD,得

因此SMBC=S四边形£A)，C£>=14,同(2)得AADE^AAD'E,则DE=DE，DE=SAD'E=6，得BD、

DE、EC围成的三角形面积=Sme,即可求解.

U)

解：如图1,•.,正方形ABC。中，AB=AD,ZBAD=ZB=ZADC=90°,

：.把4ABE绕点A逆时针旋转90。至AADE,

E'

图1

则RD、£在一条直线上，MDE'^AABE,

：.DE'=BE,ZDAE'=ZBAE,AE'=AE,

：.ZE'AE=ZEAD+ZDAE'=ZEAD+ZBAE=ZBAD=90°,

则ZEAF=ZE'AE-ZEAF=45°,

：.ZEAF^ZEAF,

/.^AEF^/\AE'F(SAS),

/.E'F=EF,

'：E'F=DE'+DF,

：.EF=BE+DF.

故答案为：45；

(2)

解：DF=BE+EF理由如下：

将4ABE绕点A逆时针旋转90。得到△ADE^t,

图2

.,.△ADE^AABE,

：.AE=AE',BE=DE',/DAE'=/BAE,

：.ZE'AE=ZBAE+ZE'AB=ZE'AD+Z.E'AB=ZBAD=90°,

则ZE'AF=ZE'AE-ZEAF=45°,

，ZEAF=ZEAF=45°,

在AAE尸和△AEN中，

'AE=AE'

<NE'AF=NEAF,

AF=AF

：.^AEF^^AE'F(SAS),

E'F=EF,

,/DF=DE'+E'F,

；.DF=BE+EF；

(3)

解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到AACD,,连接ED',

则4ACD'ABD,

:.CD,=BD,

,—<J—14

••OMac一。四边形ACTco-if,

同(2)得：AADE丝AAD，E(SAS),

DE=D'E，S&ADE=S,毋£=6，

:・BD、DE、EC围成的三角形面积为CD、D'E,EC围成的三角形面积

S&ED'C=S四边舷urczi-ADE~SfjyE=2.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性

质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作

出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型.

10.如图1,在菱形48C。中，AC=2,BD=25AC,8。相交于点。.

⑴求边AB的长；

(2)求N8AC的度数；

(3)如图2,将一个足够大的直角三角板60。角的顶点放在菱形A8CD的顶点A处，绕点A左

右旋转，其中三角板60。角的两边分别与边8C,CD相交于点E,F,连接取.判断AAEF

是哪一种特殊三角形，并说明理由.

【答案】(1)2；(2)60°；(3)见详解

【分析】(由菱形的性质得出,根据勾股定理可得出答案；

1)OA=1,OB=A/3

(2)得出△ABC是等边三角形即可；

(3)由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE咨Z\ACF；可得AE=AF,

根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形推出即可.

【详解】解：(1):四边形ABCD是菱形，

/.AC±BD,

...△AOB为直角三角形，且OA=^AC=1,OB=-BD=y/3.

22

AB=yjo^+OB2=+诋2=2.

(2)•.•四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC,

由(1)得：AB=AC=BC=2,

/.△ABC为等边三角形，

ZBAC=60°；

(3)△AEF是等边三角形，

•.•由(1)知，菱形ABCD的边长是2,AC=2,

.,.△ABC和八ACD是等边三角形，

NBAC=NBAE+NCAE=60。，

,?ZEAF=ZCAF+ZCAE=60°,

ZBAE=ZCAF,

在4ABEAACF中，

ZBAE=ZCAF

<AB=AC

ZEBA=ZFCA

/.△ABE^AACF(ASA),

/.AE=AF,

ZEAF=60°,

/.△AEF是等边三角形.

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质以及图形的

旋转.解题的关键是熟练掌握菱形的性质.

11.(1)如图1,在正方形A8CD中，E是A2上一点，G是上一点，ZECG=45°,求证

EG=BE+GD.

(2)请用(1)的经验和知识完成此题:如图2,在四边形A8C£>中,AG//BC(BC>AG),ZB=90°,

AB=BC=12,E是AB上一点，且/ECG=45。，BE=4,求EG的长？

【答案】(1)证明见解析；(2)EG=10.

【分析】(1)延长AD至E使DF=BE,连接CR根据正方形的性质，可直接证明

AEBC^/\FDC,从而得出NBCE=NDCF,根据/GCE=45。，得NGCF=NGCE=45。,利用

全等三角形的判定方法得出△ECG必FCG,即GE=GF,即可证出EG=BE+GD；

(2)过C作CDLAG,交AG延长线于。，则四边形ABCD是正方形，设EG=_r,则AE=8,

根据（1）可得：AG=16-x,在直角△AGE中利用勾股定理即可求解.

【详解】（1）证明：如图3所示，延长AO至尸，使DF=BE,连接CR

图3

•・•四边形ABCO是正方形，

:・BC=DC,ZABC^ZADC^ZBCD^90°,

'：ZCDF=1SO°-ZADC,

：.ZCDF=90°,

：.NABC=/CDF,

■:BE=DF,

:•△EBCm/\FDC,

：.ZBCE=ZDCF,EC=FC,

•・•ZECG=45°,

.•.ZBCE+ZGC£>=90°-ZECG=90o-45o=45°,

・•・ZGCD+ZDCF=ZFCG=45°,

・•・ZECG=ZFCG.

■:GC=GC,EC=FC,

AAECG^AFCG,

：.EG=GF.

•・•GF=GD+DF=BE+GD,

；・EG=BE+GD.

(2)解：如图4,过C作。OLAG,交AG延长线于。,

在直角梯形A8CG中,

\'AG.BC,ZA=ZB=90°,

XZCDA=90°,AB=BC,

...四边形ABC。为正方形.

：.AD=AB=BC=12.

已知/ECG=45°,根据(1)可知，EG=BE+DG,

设EG=x,贝i|AG=AD-DG=AD-(EG-BE)=12-(x-4)=16-x,

；.AE=12-BE=12-4=8.

在RtXAEG中

•：EG2=AG2+AE2,

即(16-x)2+82,

解得:x=10.

.\EG=10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，注意每个题目之间的关系,

正确作出辅助线是解题的关键.

12.如图，点E是正方形A8C。的边上一点，连接。E,将。E绕着点E逆时针旋转90°,

得到EG,过点G作GF_LCB,垂足为FGH±AB,垂足为H,连接。G,交AB于I.

⑴求证：GEF3EDC

(2)求证：四边形8FG8是正方形;

(3)求证：ED平分NCEI

【答案】⑴见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】(1)先证明/尸EG=/EOC,即可利用A4S证明全等；

(2)首先证明四边形FBHG是矩形，再证明F8=FG即可解决问题；

(3)延长BC到J,使得CJ=A/.证明△/DEgZVDE(SAS)即可解决问题.

(1)

•四边形A8CZ)是正方形，

:.BC=CD,ZDCE=ZABC=ZABF=90°,

VGF±CF,GHLAB,

：.ZF=ZGHB=ZFBH=90°,

・•・四边形MHG是矩形，

■:ED=EG,NDEG=90。,

VZDEC+ZFEG=90°,ZDEC+ZEDC=90°,

：.NFEG=NEDC,

在△DCE和AE尸G中

ZF=ZDCE

<ZFEG=ZEDC

GE=DE

:•△DCE/AEFG(AAS)