中考数学难点突破与训练：旋转综合题中的面积问题（原卷版+解析）

专题34旋转综合题中的面积问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2020・广西玉林.九年级期中）将直角边长为3cm的等腰直角AABC绕点A逆时针旋转15。后得到△ABC,

则图中阴影部分的面积（）

3\/3cm2C.2V3cm2D.6cm2

2

2.（2022.广东.广州天省实验学校九年级阶段练习）如图，中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,点、

。是斜边上任意一点，将点。绕点C逆时针旋转60。得到点E,则线段长度的最小值为（）

A.竺

BcD.3

5-1-1

3.（2022.新疆.乌鲁木齐市第126中学九年级期末）如图，在正方形A5CD中，点。为对角线的交点，点尸

为正方形外一点，且满足N8PC=90。，连接PO.若PO=4,则四边形OBPC的面积为（）

C.10D.16

4.（2021•新疆农业大学附属中学九年级期末）如图，P是等边三角形A3C内一点，将AAC尸绕点A顺时针

旋转60。得到△ABQ,若必=2,PB=4,PC=26,则四边形AP3。的面积为（）

B

A.273B.373C.4A/3D.5yli

5.（2022•天津•塘沽二中九年级期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如果把图①中

的谶可绕点C逆时针旋转90。得△ACF,连接A1尸，如图②.下列结论错误的是（）

图①图②

A.AABC必CEDB.ABOV^AACFC.AAMC^ABOVD.AMFC^AMNC

6.（2021•湖北荆州•九年级期中）如图，两个边长都为2的正方形ABCZ）和OPQR,如果。点正好是正方形

ABC。的中心，而正方形OPQR可以绕。点旋转，那么它们重叠部分的面积为（）

A.4B.2C.1D.1

7.（2022•重庆一中九年级阶段练习）如图，在矩形A8CD中，ZAB£>=60°,BD=16,连接2D,BCD

绕点。顺时针旋转w°（0°<〃<90。），得到4B'C'Z）,连接89，CC,延长CC咬89于点N,连接A9，当

夕=N2NC时，则△A3夕的面积为（）

9

C.85/39-245/3D.

4

8.（2022•浙江•宁波市镇海区骆驼中学九年级期中）如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=：BC=2,点。

是A3上一动点，连接CD,将线段8绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,连接DE,BE,当团面积

最大时，AO的长为（）

A.2B.75C.-V5D.

55

9.（2020・湖北武汉•模拟预测）如图，将“LBC绕点A逆时针旋转60。得到VADE,连接8.若NCDE=75。,

AD=6,则四边形E4CD面积的最小值是（）

A.9右-9拒B.973-9C.972-9D.90-9立+9

10.（2021・广东・广州市第七中学九年级期中）如图，。是正△ABC内一点，0A=3,。8=4,OC=5,将线段

BO以点8为旋转中心逆时针旋转60。得到线段BO',下列结论：①△203可以由△80C绕点2逆时针旋转

60。得到；②点。与。'的距离为4；③NAO2=150。；④S逑形AOBO，=6+4退；@SAAOC+SAAOB=6+^^3,

其中正确的结论是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②④⑤D.①②③④⑤

11.（2021・四川内江•一模）一副三角板按图1所示的位置摆放，将△。所绕点4（F）逆时针旋转60。后（图2）,

测得CG=10cm,则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）

图1图2

A.75cm2；B.（25+2573）cm2；C.（25+）cm2；D.（25+）cm2

12.（2022・福建・厦门市华侨中学九年级期中）如图（1）,有两全等的正三角形ABC,DEF,且。，A分别

为AABC,ADEF的重心.固定。点，将ADEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图（2）所示.则图（1）

与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（）

D.5：4

13.（2021・湖北武汉・九年级期中）如图，/M4N=60。，点8、C分别在AM、4V上，AB=AC,点。在/MAN

内部、△ABC外部，连接80、CD、AD.下列结论：®DB+DC>DA；BDC<^BD-DC-,③若DB=m,

DC=n,则”且病+其中错误的结论个数为（）个.

42

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

14.（2022.浙江宁波•一模）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=y[6,顶点E重合，将ADEC绕其顶

点E旋转，如图2,在旋转过程中，当NA£E>=75。，连接AO,BC,此时四边形ABCD的面积是.

15.（2022•天津市第五十五中学九年级期中）如图，在Rf/ABC中，^ACB=90°,AC=4,BC=3,点、D

是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点。的对应点为点E,连接则ZAE2

面积的最小值是.

16.（2022・广东.湖景中学九年级阶段练习）如图在RgABC中，ZBAC=90°,AB=AC=10,等腰直角三角

形AOE绕点A旋转，ZZ）AE=90°,AD=AE=4,连接DC,点M、P、N分别为DE、DC、8C的中点，连接

MP、PN、MN,则△PMN面积的最小值是.

Dt

17.（2022・广东•九年级专题练习）如图所示，在RtZ\A3c和RtaADE中，ABAC=ZDAE=90°,AC=AD=3,

AB=AE=5,连接8。、CE,将VADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当NDBA最大时，\AC£=.

三、解答题

18.（2022・四川绵阳.九年级期中）如图1,在Rt^ABC中，ZA=90°,AB=AC,点。、E分别在边A3、

AC上，AD=AE,连接。C,点加、P、N分别为DE、DC、8C的中点.

（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；

⑵探究证明：把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状，

并说明理由；

⑶拓展延伸：把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2,AB=4,直接写出APMN面积的最大值.

19.（2022・安徽•阜阳实验中学九年级阶段练习）如图，。。为等边AABC的外接圆，半径为2,点D在劣弧

AB上运动（不与点A,8重合），连接ZM,DB,DC.

（1）求证：。。是NADB的平分线；

（2）四边形AOBC的面积S是线段。C的长x的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出x的范围；如果不

是，请说明理由.

20.（2022•黑龙江省新华农场中学九年级阶段练习）如图①，在△ABC中，A2=AC=4,ZBAC=9Q°,AD±BC,

垂足为D

a）SAABD=.（直接写出结果）

（2）如图②，将AABD绕点。按顺时针方向旋转得到△/9。，设旋转角为a（a＜90。），在旋转过程中：

探究一：四边形的面积是否随旋转而变化？说明理由；

探究二：当。=时，四边形人尸£＞。是正方形.

21.（2022•吉林通化•九年级期末）如图，融。中，AB=AC,NBAC=90。，点。、E在3C边上，NDAE=45。,

将"CE绕点A顺时针旋转90。得.

(2)连接DF,求证：VADF^VADE；

(3)若BD=3,CE=4,贝,四边形AFDE的面积=

22.（2022•吉林省第二实验学校模拟预测）如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=120。,AB=AC,点。、£

分别在边AB、AC上，AD=AE,连接BE.点M、N、P分别为DE、BE、8C的中点.

（1）观察猜想.

图1中，线段NM,NP的数量关系是,ZMNP的大小为°.

⑵探究证明

把VADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接拉尸、BD、CE,判断△MNP的形状，并说明理

由；

（3）拓展延伸

将图1中的VADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=2,AB=6,请直接写出△AWP面积的最大值.

23.（2022.湖北省水果湖第一中学九年级期中）如图1,AABC中，AB=AC,44C=a,点。、E分别在

AB.AC上，AD=AE.将VADE绕点A逆时针旋转/度（0＜尸＜360）,使得8、D、E三点共线.

A

A

A

(1)直接写出：ZADB=(用a表示)；

⑵若a=60。，当180<360时，作AF1DE于F在图2中画出符合要求的图形，并探究BE、CE、AF之

间的数量关系，并证明你的结论;

(3)如图3,若。=90。，AC=8亚,当0<A<180时，直接写出S四边形ABCE的最大值________.

24.(2022•辽宁•盘锦市双台子区实验中学九年级阶段练习)如图在AASC中，AB=BC^6,ZABC=90°,

直线/〃8C,点E是直线/上的一个动点，连接BE,将BE绕E逆时针旋转90。得到E尸，连接火交直线AC

于点G.

(1)如图，当点E与点A重合，点尸在/上时，线段8G和线段GF的数量关系是；

(2)如图，当点E在点A的右侧时，(1)问中的关系是否成立，请证明，若不成立，请写出你的结论并说明

理由；

(3)连接CF,若AE=2,请直接写出ACFG面积大小.

专题34旋转综合题中的面积问题

【题型演练】

一、单选题

1.（2020•广西玉林•九年级期中）将直角边长为3cm的等腰直角AABC绕点A逆时针旋转15。

后得到△AB'C',则图中阴影部分的面积（）

A.B.36cmiC.2垂1cmiD.6cm2

2

【答案】A

【分析】根据旋转的性质，旋转角NC4O=15。，则NA4O=45。-15。=30。，可见阴影部分

是一个锐角为30。的直角三角形，且已知直角边AO=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求

出另一直角边即可解答.

【详解】解：设与玄。交于。点，

根据旋转性质得ZCAC,=15°,而ZCAB=45°,

Z.CAD=ZCAB-ZCAC=30°,

又•.•A（7=AC=3cm,"="=90°,

C'D=AC'.tan3O0=,

,阴影部分的面积=4x3xG=¥cm2.

22

故选：A.

【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形.旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相

等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等.要注意旋转的三要素：①定点•旋

转中心；②旋转方向；③旋转角度

2.（2022・广东•广州天省实验学校九年级阶段练习）如图，R3ABC中，ZACB=90°,AB

=5,BC=3,点。是斜边上任意一点，将点。绕点C逆时针旋转60。得到点E,则线段。E

长度的最小值为（）

【答案】A

【分析】由旋转的性质可证△COE为等边三角形，当。E最短，CD最短，COL48时，CD

最短，由直角三角形等面积法，即可求得.

【详解】解：由旋转的性质得，CD=CE,ZDCE=60°,

...△CDE为等边三角形，

:.CD=CE=DE,

当OE最短，C。最短，

当COJ_A8时，CD最短，

止匕时SAABC^gAC・2C=1AB«CD,

即AC・BC=AB・CD,

在RtAABC中，ZACD=90°,A2=5,BC=3,

由勾股定理得，AC=4,

.,.3x4=5C£）,

线段。E长度的最小值是年，

故选：A.

【点睛】本题主要考查了旋转以及等边三角形，熟练等面积法是解决本题的关键.

3.（2022.新疆・乌鲁木齐市第126中学九年级期末）如图，在正方形ABC。中，点。为对角

线的交点，点P为正方形外一点，且满足/BPC=90。，连接PO.若尸。=4,贝U四边形O8PC

的面积为（）

DC

A.6B.8C.10D.16

【答案】B

【分析】先画出将△OCP顺时针旋转90。到△。2。的位置的图形，再证。、B、尸在同一条

直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证^尸。。是直角三角形，求出以尸。。=!

四边形

Op.（92=lx4x4=8,最后由SOBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ^

解.

【详解】解：如图，

:四边形ABCD是正方形，

：.OC=OB,ZBOC^90°,

...将△OCP顺时针旋转90°,则到△OB。的位置，

贝必OCPQXOBQ,

'：ZBPC=90°,

：.ZOCP+ZOBP=360°-90°-90°=180°,

：.ZOCP=ZOBQ,

.•./0BQ+/08尸=180°,

：.Q.B、P在同一条直线上，

'：PO=4,△OCP^/\OBQ,

；.QO=PO=4,ZCOP=ZBOQ,

：.ZQOP=ZBOC=90°,

...△P。。是直角三角形，

SAPOQ=I■。尸•。。=gX4x4=8,

:・S四边形OBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ=S,

故选：B.

【点睛】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结

合思想得出S四边形OBPC=SAOCP+SAOBP=SAOBQ+SAOBP=SAPOQ是解题的关键.

4.（2021•新疆农业大学附属中学九年级期末）如图，尸是等边三角形A8C内一点，将AACP

绕点A顺时针旋转60。得到△A3。，若B4=2,PB=4,PC=2退,则四边形AP时的面积

为（）

A.2A/3B.3后C.473D.56

【答案】B

【分析】如图，连接尸。.由题意△尸是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明NPQB

=90。即可解决问题.

【详解】解：如图，连接尸Q.

•/△ACP绕点A顺时针旋转60。得到△ABQ,

：.AP=AQ=2,PC=BQ=2>Jj,NB4Q=60。，

ZXB4。是等边三角形，

：.PQ^PA=2,

:尸2=4,

：.PB2=BQ2+PQ1,

：.NPQB=90。，

2

"'$四边形APS。=S"BQ+S^,Q=^PQ.QB+^-.PA=1X2X2V3+^X4=3A/3,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握

相关内容是解题的关键.

5.（2022・天津•塘沽二中九年级期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，

如果把图①中的段可绕点C逆时针旋转90。得△ACR,连接如图②.下列结论错误

的是（）

A.△ABC且△CEDB.ABOV^AACFC.AAMC/ABOVD.AMFgAMNC

【答案】C

【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案.

【详解】解：；AABC和△CE£）是等腰直角三角形，且斜边相等,

Z£=ZA=45°

\CE=AB,

ZDCE=ZB=45°

/.AABC^ACED（ASA）,

故选项A正确；

根据旋转的性质可得加⑺名/XACF,

故选项B正确；

'：AB=BC,ZA=ZB,NACM,/BCN并不一定相等，

AAMC,/kBCN不一定全等，

故选项C错误；

ZDCE=45°,

：.ZACD+ZNCB=45。,

ZFCA=ZNCB.

：.ZACD+ZFCA=45°,

：.ZACD+ZFCA=45°,

：.NFCM=45°,

FC=BC

'：\ZDCE=ZFCM,

MC=MC

：.AMFC^AAWC,

故选项D正确；

故选C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是

熟练掌握全等三角形的判定方法.

6.（2021•湖北荆州.九年级期中）如图，两个边长都为2的正方形ABC。和OPQR,如果O

点正好是正方形ABC。的中心，而正方形OPQR可以绕。点旋转，那么它们重叠部分的面

积为（）

C.1D-T

【答案】c

【分析】连04,OB,设OR交8c于M,0P交AB于N,由四边形ABC。为正方形，得到

OB=OA,ZBOA=90°,ZMBO=ZOAN=45°,而四边形OR。尸为正方形，得NNOM=90。,

所以ZMOB=ZNOA,则△OBMm△OAN,即可得到S四边形M0NB=S4AOB=:x2x2=1.

【详解】连。4,OB,设OR交3c于M,OP交AB于N,如图,

•..四边形ABC。为正方形，

O

AOB=OA,ZBOA=90°,ZMBO=ZOAN=459

而四边形0火。尸为正方形，

・,.ZNOM=90°,

：.ZMOB=ZNOAf

.••△0创修△O4N,

S四边形MONB=S4x2x2=l,

即它们重叠部分的面积为1.

故选C.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的

夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等.也考查了正方形的性质.

7.（2022.重庆一中九年级阶段练习）如图，在矩形A8C。中，ZABD=60°,BD=16,连接

BD,将△BCD绕点。顺时针旋转暖（0°<n<90°）,得到/夕CD,连接89，CC,延长

CC交BB'于■点N,连接A9，当时，则AAB9的面积为（）

9

C.8月-246D.

4

【答案】C

【分析】过点。作交8'A的延长线于点E,利用直角三角形的边角关系可得A。

的长，由旋转可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'^ZBDB',得到△CDC'^/\BDB',则/£>CC

=ZDBB',利用三角形的内角和定理可得NBNC=/CD8=60。，于是/BAB，=60。；在

RfAWE中利用直角三角形的边角关系可得AE,DE,在Rt^B'DE中,利用勾股定理可求8名,

则AB=8E-AE；利用平行线之间的距离相等可得AAB®中边上的高等于DE,利用三

角形的面积公式结论可求.

【详解】解：过点。作交2幺的延长线于点E,如图，

在矩形A8CO中，

VZABD=60°,30=16,

n

：.AD=BC=B"n/ABD=16x口=8百.

2

由旋转可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'=ZBDB',

.CDBD

"CD~B'D'

:.ACDC'sABDB'.

：.ZDCC'=ZDBB'.

：.ZBNC=ZCDB.

'：ZCDB=ZABD,/BNC=/BAB\NABD=60。，

：.ZBABr=60°.

*：ZBAD=90°,

：.ZEAD=180°-ZBABr-NBAD=30。.

DE=AD=473,

AE=AD9cosZEAD=Sy/_3x^n——i2.

2

ur2

•-BE=YJB'D1-DE=4y/13・

：.AB,^B,E-AE=4y/13-12.

,?NBAB』NABD=60。,

：.AB'//BD.

：.△ABE中A9边上的高等于DE.

，—

S^AADRDR=2xAB'xDE

=；X（45/13-12）x4g

=8V39-24&.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系，相

似三角形的判定与性质，过点。作。ELAB,添加适当的辅助线，利用直角三角形的边角

关系求得AQ的长是解题的关键.

8.（2022・浙江・宁波市镇海区骆驼中学九年级期中）如图，Rt^ABC中，

ZACB=90°,AC=；BC=2,点。是AB上一动点，连接8,将线段8绕点C逆时针旋

转90。得到线段CE,连接DE,BE,当△血）面积最大时，AO的长为（）

C.|石

【答案】c

【分析】连接点A和BC中点尸，过点尸作EF/LAB,垂足为点X,连接E尸，证明点X、

F、E三点共线，则团为ABED的高，根据三角形的面积公式将ABED的面积表示出来即可

解答.

【详解】

连接点A和3C中点E过点P作EF/LAS,垂足为点连接收,

,••点」为BC中点尸,

：.CF=-BC=1,

2

•/ZACB=NDCE=90°,

：.ZACB-ZDCF=ZDCE-ZDCF,即ZACD=ZFCE,

在AACD和△a?£■中，

AC=CF

<ZACD=NFCE,

DC=CE

：.AACD珏FCE（SSA）,

：.NCFE=NCAD,

FH±AB,

：.ZABC+NBFH=ZABC+ACAD=90°,

NBFH=NCAD,

：.ZBFH=ZCFE,

"?NCFE+ZBFE=180°,

：.ZBFH+ZBFE=180°,则点H、尸、E三点共线，

故EH为ABED的高，

设AD=x,贝l|EF=x,

根据勾股定理得：AB=VAC2+BC2=百，

:,BD=4^-X,

•・•ZBFH=ZCAD,

：.小BFHs^ABC,

.BF_FH1FH〜FH.小

即忑二丁",解传:rri-----，

AC5

EH=FH+EF=~+x,

5

S®E=ga-+x=一；1一⑹x+去

・••当面积最大时，20，

x=--------=

25

故选：C.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形和相似三角形的判定，以及二

次函数的性质，解题的关键是根据题意画出辅助线构造全等三角形.

9.（2020・湖北武汉•模拟预测）如图，将AABC绕点A逆时针旋转60。得到VADE,连接C。.若

ZCDE=75°,AD=6,则四边形胡CD面积的最小值是（）

A.9括-90B.9A/3-9C.9日-9D.9陋-9垃+9

【答案】D

【分析】将四边形的面积转化为SAMD-SABCD，再进行分析解答

【详解】由旋转得：ABAC必DEA,

,•%ABC=S^DEA，

设四边形E4CD面积为S,

•,S=S&DCA+S^ADE=S&DCA+S&BCA=^AABD-S&BCD■

由旋转可知，AB=AD,而NDAB=60。，

.1.△ABD是等边三角形，

?.BD^AD=AB=6,ZADB=ZABD=ZDAB=6Q°,

S&ABD=-ABBD-sin600=—x62=9A/3,

24

・•SgCD最大时，s最小,

作△DCB的外接圆0,

易知NDCB=75。+60。=135°.

.,."05=90。，OB=OD=3五.

当C为BC中点时，A。。面积最大，

过。作”_L3产于尸，则/OCF=45。.

^DF=CF=a,DC=BC=y/2a.

♦•=36,Q~=18-9^2•

,*S&CDB=5xxa=2cT=9A/2_9•

/.5>9^/3-（972-9）=973-972+9.

故选D.

【点睛】本题求面积的最小值，考查的知识点有等边三角形的判定与性质、圆周角定理、旋

转的性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大.

10.（2021・广东・广州市第七中学九年级期中）如图，。是正△ABC内一点，。4=3,OB=4,

OC=5,将线段80以点8为旋转中心逆时针旋转60。得到线段BO，，下列结论：①△80N

可以由ABOC绕点2逆时针旋转60。得到；②点。与。'的距离为4；③44。8=150。；④）S四

兹殄4080=6+4百；⑤S/AOC+S」408=6+^43,其中正确的结论是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②④⑤D.①②③④⑤

【答案】D

【分析】证明△BO'AgZ\BOC,又/。2。=60。，所以△2。幺可以由△BOC绕点2逆时针旋

转60。得到，故结论①正确；

由4080是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO,中，由三边长为3,4,5,得△AOO是直角三角形；进而求得/AOB=150。，故结

论③正确；

S四边形AOBO=SAAOO+SA080=6+46，故结论④正确；

将^AOC绕A点顺时针旋转60。至！］△AB。，位置，S承^AOBOUSAAOO+SA。8。=6+(g，

故结论⑤正确.

【详解】如图，

由题意可知，Zl+Z2=Z3+Z2=60°,

.-.Z1=Z3,

XVOB=O'B,AB=BC,

：./\B0'A^/\B0C,

又：/08。，=60。，

ABO,A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60。得到,

故结论①正确；

如图，连接。。，，

VOB=O'B,且/。80，=60。，

...△080,是等边三角形，

OO'=OB=4.

故结论②正确；

:△BO'A四△80C,

O'A=5.

在AAO。，中，三边长为3,4,5,这是一组勾股数，

△400,是直角三角形，ZAOO'=90°,

：.ZAOB=ZAOO'+ZBOO'=9Q°+60°=15Q°,

故结论③正确；

S举形AOBO=SAAOO,+SaOBOu4x3x4+昱x42=6+4£

24

故结论④正确;

如图2,将^AOC绕A点顺时针旋转60。到八ABO位置,

同理可得SAAOC+SAAOB=S四边形AOBO-SAAOO+SA。2。=6+:出,故⑤正确；

故选D.

【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质.利用勾股定理的逆定理,

判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点.

11.（2021.四川内江.一模）一副三角板按图1所示的位置摆放，将△。所绕点4（用逆时针

旋转60。后（图2）,测得CG=10cm,则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）

图1图2

A.75cHi2；B.（25+25G）cm2；C.（25+y^）cm2；D.（25+m5cm2

【答案】C

【分析】过点G作根据题意及三角函数可得G〃=C"=50，AH=皿,结

3

合图形求解即可得出结果.

【详解】解：过点G作GHLAC,如图所示,

E

NG4c=60。，ZGCA=45°,CG=10,

在Rt^GCH中,

GH=CH==572,

2

在R,AG”中，

CGH5a

33

AC=50+亚，

3

阴影部分的面积为：gG"/C=gx5应x［应+半］=25+芋，

故选：C.

【点睛】本题考查旋转、三角形的面积公式，锐角三角函数解三角形等，掌握旋转的特征和

三角形的面积公式是解答本题的关键.

12.（2022•福建・厦门市华侨中学九年级期中）如图（1）,有两全等的正三角形ABC,DEF,

且。，4分别为AABC,由EF的重心.固定。点，将ADEF逆时针旋转，使得A落在DE上，

如图（2）所示.则图（1）与图（2）中，两个三角形重叠区域的面积比为（）

【答案】C

【分析】连接A。，MN交于点。，根据等边三角形的性质及三角形重心的性质得出

AD=-x^x=^x,，ADM=30。，再结合图形及三角函数计算阴影部分的面积求解即

323

可.

设等边三角形的边长是X,

图（1）中阴影部分为一个内角是60。的菱形，

：.AD=-^—x=—x,ADM=30°,

323

AO=-AD=-x,

26

MO=AOxtan30°=—x,

6

：.MN=-x,

3

则阴影部分的面积为：'且=34

23318

图2中，AD=Z*BX=BX,NZMB=30。,

323

・•・NDHA=90。,

・•・DH=-xAD=­x,

26

AH=-x,

2

，阴影部分的面积为：LXAHXDH=』，

224

两个重叠区域的面积比为：鼻走X2=&3,

1824

故选：C.

【点睛】题目主要考查等边三角形的性质及解三角形的应用，菱形的性质等，理解题意，作

出相应辅助线及掌握三角形重心的性质是解题关键.

13.（2021・湖北武汉.九年级期中）如图，NMAN=60。，点B、C分别在AM、AN上，42=

AC,点。在NM4N内部、△ABC外部，连接CD、AD.下列结论：®DB+DC>DA；

②S4BDC*BD,DC；③若DB=m,DC=n,则SAAD把也苏+1加.其中错误的结论

242

个数为（）个.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】①将△AC。绕点A逆时针旋转60。得到△AB。，可证得△AUD是等边三角形，再

运用三角形三边关系即可判断①正确；

②过点C作于“，则/8"C=90。，根据由垂线段最短判断

出②正确；

③把△BDC绕点、B顺时针旋转60。得到△ABK,连接DK,由旋转的性质可证得△BDK是等

边三角形，分K落在△的边上、内部、外部讨论即可判断③正确.

图1

则AABC3AAC。,

：.AC'=AD,BC'=CD,

'：ZDAC'=60°,

.♦.△ACT）是等边三角形，

/.C'D=AD,

在△BCD中，BC'+BD>C'D,

：.CD+BD>AD,

当/AOC=60。，即/ACB=60。时，C\B、。三点共线,

CD+BD=AD,

故①正确；

②如图2,过点C作于"，

图2

则/3HC=90°,

:.SXBDC=^BD>CH,

由垂线段最短知，CH<CD,

:.SXBDC<^BD-CD,

故②正确；

③把△BDC绕点、B顺时针旋转60。得到△ABK,连接DK,

由旋转得：BD=BK,ZDBK=6Q°,

...△BDK是等边三角形，

（推导等边三角形的面积公式如下:

B

SAABC=-ABCD=-AB\BC2-[-BC\=-AB—BC=—AB2)

22、(2)224

J7

：.S^BDK=^nr,

4

•：/\ABK^/\BDC(根据旋转的性质)，

当K落在△ABD外部时，SAABK=SABDC<|BD・CD,

即S&ABK<^mn,

/.SAABD<SLABK+S^BDKWB疗+Lmn>

-42

SAABD=SAABK+SABDK<^-m2+^mn,

~42

当K落在△AB。内部时，

过点8、。分别作BALLAK于MZ)M_LAK于M,设AK与8。交于点。,

SAABD=SABDK+S4ABK+S4ADK

=Bm2+gAKBN+gAKDM=—m2+5AK(BN+DM)

42242

9

：BO>BN,OD>DMf

22

/.SAABD<^-m+^-AK(03+00)=^_m+^mn

~4242

故③正确；

综上所述，正确的结论为3个，错误的结论为0个,

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质,

三角形面积等知识点，解题关键是利用旋转变换构造全等三角形.

、填空题

14.（2022•浙江宁波•一模）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=屈,顶点E重合，

将ADEC绕其顶点E旋转，如图2,在旋转过程中，当/AED=75。，连接AD,BC,此时

四边形ABCD的面积是.

【答案】2石+3

【分析】延长CE文AB于点尸，先根据特殊直角三角形的性质和上4矶＞=75。,推出AB〃CD,

从而可证四边形ABC。为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出

C尸长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可.

【详解】解：如图2,延长CE交A3于点R

,/ZAED=15°,

：.ZEAD+ZADE=180°-ZAED=105°,

又ZBAE+ZCDE=45°+30°=75°,

ABAD+Z.CDA=ZBAE+Z.CDE+ZEAD+ZADE=180°,

C.AB//CD,

"：AB=CD,

•••四边形是ABCD平行四边形，

CE±CD,

ACELAB,BPEF±AB,

；・EF、AB=^,EC=-CD=^2,

223

•厂口口厂।口口A/6+2A/2

.•CF=EC+EF=-------------,

2

S四边形ABC。=ABxCF=忘xV6=2币+3・

故答案为：2道+3.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边

形ABCD是平行四边形是解题的关键.

15.（2022•天津市第五十五中学九年级期中）如图，在RMABC中，^ACB=90°,AC=4,

8C=3,点。是AC的中点，将C。绕着点C逆时针旋转，在旋转的过程中点。的对应点为

点E,连接BE,则面积的最小值是.

【答案】1

【分析】作CHLA3于如图，先利用勾股定理计算出AB=5,再利用面积法计算出

12

CH=q,再根据旋转的性质得CE=2,然后利用E点在线段"C上时，点E到AB的距离

最小，从而可计算出AAEB的面积的最小值.

【详解】解：作于H,如图，

ZACB=90°,AC=4,BC=3,

.•.A5=j32+4,=5,

}-CH-AB=-AC>BC,

22

"""，

105

:点。是AC的中点，

/.CD=2,

将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E,

；.CE=2,即点E在以C为圆心，2为半径的圆上，

・.■点E在线段HC上时，点E到AB的距离最小，

iI?

:.AAEB的面积的最大值为m'(1-2)x5=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线

段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理.

16.(2022・广东•湖景中学九年级阶段练习)如图在中，ZBAC=90°,AB=AC=10,

等腰直角三角形4DE绕点A旋转，ZDAE=90°,AD=AE=4,连接。C,点M、P、N分别

为DE、DC、3C的中点，连接MP、PN、MN,贝必PMN面积的最小值是.

g

【答案】j

【分析】通过AABC和VADE为等腰直角三角形，判定出△&£厉三AEC,得到

DB=EC,ZABD=ACE,通过已知条件，再设4庭=工。,乙4。=y。,得到/AW为等腰直

角三角形,所以S“PMN='PN?=：8加,当BD最小时，APMN的面积最小,。是以A为圆心，

2o

4。=4为半径的圆上的点，所以点。在A3上时，BD最小,即可得到最终结果.

【详解】Rt^ABC^p,/ft4c=90。，AB=AC=10,

AABC为等腰直角三角形，

又/£)AE=90。，AD=AE=4,

VADE为等腰直角三角形，

ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,

ZBAD=ZCAE,

:.^ADB=AEC(SAS\

DB=EC,ZABD=ACE,

••・点M、P、N分别为OE、DC、BC的中点,

...MPHEC,MP=-EC,NP//BD,NP=-BD,

22

MP=NP,ZDPM=4DCE,/PNC=/DBC,

设ZACE=x°,ZACD=y。，

/.ABD=x°,ZDBC=45°-x°=/PNC,ZDCB=45°-y。，

/.ZDPN=NDCB+NPNC=90°-x°-y。，

•・・ZDPM=ZDCE=x°+y。，

/MPN=ZDPM+ZDPN=90°,

:ZMN是等腰直角三角形，

12919

-^PMN=-PN=-BD\

Zo

当2。最小时，APMN的面积最小，

•是以A为圆心，&。=4为半径的圆上的点，

.,.点。在48上时，3。最小，

BD=AB-AD=10-4=6,

:£PMN=1x62=2，

ooZ

9

△PMN面积的最小值是］.

,0

故答案为：-.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，涉及全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性

质等知识，有一定难度和综合性，属于压轴题，熟练掌握这些性质，利用旋转解题是关键.

17.（2022・广东•九年级专题练习）如图所示，在RtZkABC和Rt^ADE中，

ZBAC=ZDAE