中考数学解题方法专项训练：圆之证明切线的方法（原卷版+解析）

36第7章圆之证明切线的方法

一、单选题

1.同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（）

A.15°B.65°C.75°D.135°

二、填空题

2.如图，A8是。。的直径，点。、E是半圆的三等分点，AE,8。的延长线交于点C,若CE=2,则图中

阴，影部分的面积为一.

3.如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）,则该几何体的侧面积为cm2.

4.如图，A2是。。的直径，AB=13,AC=5,则tan/AOC=

5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+0与以0点为圆心，1为半径的圆的位置关系为

三、解答题

6.如图，在RMABC中，ZC=90°,以BC为直径的。0交AB于点D,在线段AC上取点E,使NA=NADE.

(1)求证：DE是。0的切线;

(2)若NA=30。，。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.(结果保留兀)

7.如图已知是。。的直径，A8=10,点C,。在。。上,OC平分/4CB,点E在。。外，NEAC=ZD.

(1)求证：AE是。。的切线;

(2)求的长.

8.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的OO分别交AC,BC于

点M,N,过点N作NELAB,垂足为E,

(1)若。O的半径为』，AC=6,求BN的长；

2

(2)求证：NE与。。相切.

9.如图，抛物线y='x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的

4

25

顶点为M,对称轴交x轴于E,点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE=OC,DM=—.

4

（1）求抛物线的对称轴方程；

（2）若DA=DC,求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q,使NPQC

=45°,求点P的坐标.

10.如图，已知P是O外一点，PO交圆。于点C,OC=CP=2,弦ABLOC,ZAOB=120°,连接P8.

⑴求BC的长；

（2）求证：P8是。的切线.

11.如图，为。。的直径，且AB=4,O8LA8于8,点C是弧AB上的任一点，过点C作。O的切线

交BD于点、E.连接OE交。。于足

(1)求证：AD//OE；

(2)填空：连接。C、CF,

①当DB=时，四边形OCEB是正方形；

②当DB=时，四边形OACF是菱形.

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,是/BAC的角平分线，以上一点。为圆心，为弦作00.

(1)尺规作图：作出。。(不写作法与证明，保留作图痕迹)；

(2)求证：8c为。。的切线.

13.如图，在。。中，点。在直径的延长线上，点C、E在。。上，CE=CB,NBCD=NCAE,延长

AE、8c交于点反

,c

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若BD=1,CD=母,求线段所的长.

14.如图，在AA2C中，AB=AC,NBAC=120。，点。在BC边上，。£＞经过点A和点8且与8C边相交

于点E.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若CE=2下,求。。的半径.

15.如图，已知是。。的直径，。。与HAACD的两直角边分别交于点E、点R是弧助的中

点，ZC=90°,连接AF.

C

(1)求证：直线。尸是。。的切线;

（2）若5。=1,03=2,求tan/C4/的值.

16.已知AB为。0直径，C、。为。。上两点，连接C£)交于点点E为AC延长线上一点，且

CD1

——二一，?DFA2?DEC

AB2

(1)求证：石。为。。切线

RJ71

(2)若DF<CF,且——=—,求tan/ACD的值

17.如图1,CD是。O的直径，且CD过弦AB的中点H,连接BC,过弧AD上一点E作EF〃BC,交BA

的延长线于点F,连接CE,其中CE交AB于点G,且FE=FG.

(1)求证：EF是。O的切线;

(2)如图2,连接BE,求证：BE2=BG・BF；

3L

(3)如图3,若CD的延长线与FE的延长线交于点M,tanF=—,BC=5币,求DM的值.

4

18.如图，在R3ABC中，ZABC=9Q°,以A8为直径作。0,。为。。上一点，且CO=C8,连接。。并

延长交CB的延长线于点E.

(1)判断直线。与。。的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4,OE=5,求AC的长.

19.已知，如图，A3是的直径，点C为0。上一点，OF,5c于点/，交。。于点E.AE与BC

交于点H,点。为OE的延长线上一点，且NODB=ZAEC.

(1)求证：BD是0。的切线;

(2)求证：CE2=EHEA.

20.如图，已知。。的直径为AB，4。，43于点4，3C与。。相交于点。，在AC上取一点E，使

得ED=EA.

(1)求证：ED是0。的切线;

(2)填空：

①当0A=3,AE=4时，则3C=.

②连接OD,当NA5C的度数为时，四边形AODE为正方形.

36第7章圆之证明切线的方法

一、单选题

1.同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（）

A.15°B.65°C.75°D.135°

【答案】B

【解析】试题分析：一副三角板中有30。，45°,60。和90。，

60。-45°=15°,30°+45°=75°,45°+90°=135°,

所以可画出15。、75。和135。等，但65。画不出.

故选B.

点睛：本题考查了角的和差运算，用一副三角板只能画出三角板上各个角的和差组成的角.

二、填空题

2.如图，A8是。。的直径，点。、E是半圆的三等分点，AE、8D的延长线交于点C,若CE=2,则图中

阴，影部分的面积为一.

【分析】

结合题意，利用三角形边长关系，得出△OAE、AODE.△08。、△COE都是等边三角形，将阴影部分的

面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.

【详解】

连接OE、OD,点。、E是半圆的三等分点，

ZA0E=ZE0D=ZDOB=60°

•：OA=OE=OD=OB

；.AOAE、AODE,AOBD,△C£）E都是等边三角形，

AB//DE,SAODE—SABDE;

图中阴影部分的面积=S扇彩（ME-SAOAE+S扇形ODE=色盟乡—x2-Y3x2?=—万一石.

36043

【点睛】

考查圆综合问题，考查等边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等.

3.如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm）,则该几何体的侧面积为cm2.

【答案】2兀.

【分析】

结合题意，得出直径和母线的长度，发现侧面展开的图形是以2为半径的半圆，计算面积，即可.

【详解】

解：由题意得底面直径为2,母线长为2,

/.几何体的侧面积为±X2X27I=2TI,

故答案为2兀.

【点睛】

考查圆面积计算公式，关键得出侧面展开图形是一个半圆，难度中等.

4.如图，是。。的直径，AB=13,AC=5,则tan/AOC=.

【答案】—

12

【分析】

结合勾股定理，计算BC的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可.

【详解】

解：：AB为。0直径，

.•.ZACB=90°,

•••BC=A/132-52=12,

tanNADC=tanB=里

BC12

故答案为:二.

12

【点睛】

考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出tanNADC=tan3,计算结果，即可，难度中等.

5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y=x+夜与以。点为圆心，1为半径的圆的位置关系为

【答案】相切

【详解】

解：令y=x+J^=O,解得：x=-应,令x=0,解得：y=V2-

，直线y=x+J^与x轴交于点A(-,0),

与y轴交于点B(0,正),OA=&,OB=0,

AB=y/oA^+OB-=J(扬2+(42=2

设圆心到直线y=x+V2的距离为r,

则以3厂」。403

22

・.・7r=2---x---7---2---=1.,

2

•・•半径为1,

d=r,

.••直线丫=*+应与以。点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，

故答案为：相切.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质.

三、解答题

6.如图，在RMABC中，ZC=90°,以BC为直径的。0交AB于点D,在线段AC上取点E,使NA=NADE.

（1）求证：DE是。0的切线；

（2）若NA=30。，。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.（结果保留兀）

【答案】（1）证明见解析；（2）--V3.

3

【分析】

（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得=再根据直角三角形的两锐角互余、等

量代换可得NAZ）E+NOD8=9（）°,从而可得。然后根据圆的切线的判定即可得证；

（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得N58=60。,60=03=2,再利用勾股定理

可得OH=6，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得.

【详解】

（1）如图，连接0D,

,/OD=OB,

ZB=ZODB,

,:ZC=90°,

ZA+ZB=90°f

:.ZA+ZODB^90°,

又•；ZA=ZADE，

ZADE+ZODB=9Q°,

：.ZEDO=180°-(ZADE+NODB)=90°,即0。，DE,

:点D在。。上，即OD为。。的半径，

二DE是。。的切线；

(2)如图，过点。作(?//，&)于点H,

VZA=30°,ZC=90°,

；・4=60°，

*/OD=OB=2,

；•△OBD为等边三角形，

ZBOD=60°,BD=OB=2,

：.BH=DH=LBD=1,OH=y/OB2-BH2=6,

2

则阴影部分的面积为-S=60%X2-_L.H=--j3.

屈形。60tjOjDBLD)3602BDO3

B

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是

题（2）,熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键.

7.如图己知AB是。。的直径，A8=10,点C,。在。。上,DC平分NAC8,点E在。。外，NEAC=ZD.

（1）求证：AE是。。的切线；

⑵求AD的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）5日

【分析】

（1）根据圆周角定理可知，/D=N5，由直径所对圆周角是90°，可知和ABAC互余,推出/£）和ABAC

互余，/EAC和㈤C互余，从而证明结论.

（2）。。平分44。2可知"。4=45°,根据圆周角定理可知NZXM=90°,是等腰直角三角形,

AD的长是圆半径的血倍，计算求出答案.

【详解】

（1）•••/£）和E>3是AC所对圆周角,

ZD=ZB；

•••AB是圆的直径，

ZBCA=90°,

在中，ZB+ZBAC=90°,

：.ZD+ZBAC=90°,

-.-ZEAC=ZD,

ZEAC+ABAC=9Q°,

：.BA±AE，AE是。。的切线.

(2)如图：

B

AF.

••,AB是圆的直径，0c平分/ACB,

：.ZBCA=90°,ZDCA=45°,

ZDOA=2ZDCA,

：.ZDOA=9Q°,△£>Q4是直角三角形;

QOD=OA,OA=^AB=5,

AD=V5I+5I=572-

【点睛】

本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键.

8.如图，在RSABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的OO分别交AC,BC于

点M,N,过点N作NELAB,垂足为E,

(1)若。O的半径为』，AC=6,求BN的长；

2

(2)求证：NE与。0相切.

CM八

【答案】⑴BN=4；⑵见解析

【分析】

(1)由直角三角形的性质可求AB=10,由勾股定理可求BC=8,由等腰三角形的性质可得BN=4；

(2)欲证明NE为。O的切线，只要证明ONJ_NE.

【详解】

解：(1)连接DN,ON

2

：.CD=5

・・・ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线,

・・・BD=CD=AD=5,

AAB=10,

ABC=VAB2-AC2=8

VCD为直径

AZCND=90°,且BD=CD

ABN=NC=4

(2)VZACB=90°,D为斜边的中点,

・・・CD=DA=DB」AB,

2

AZBCD=ZB,

VOC=ON,

AZBCD=ZONC,

.*.ZONC=ZB,

AON//AB,

VNE±AB,

AON±NE,

・・・NE为。O的切线.

【点睛】

本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

9.如图，抛物线y='x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,抛物线的

4

25

顶点为M,对称轴交x轴于E,点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DE=OC,DM=—.

4

（1）求抛物线的对称轴方程；

（2）若DA=DC,求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q,使NPQC

=45°,求点P的坐标.

41

【答案】(1)x=5；(2)y=—x2-—x+4；(3)点P的坐标为（5,9）或（5,——）

4249

【分析】

(1)D点坐标(——,c),M点坐标(——,~—),DM=c——―—―=,化简求出b值;

2a2a4a4a4

b

代入计算，x=-3即是对称轴的方程.

2a

2

(2)利用韦达定理求出AE,AE=；AB,AB=［区-犷=^(xA+xB)-4xAxB=J100-16c；在R

tAADE中，DE=c,AD=DC=5,由勾股定理得：AD2=DE2+AE2,即可求解.

（3）作VCQP的外接圆，圆心点K到点C、Q距离相等，构造一个含坐标参数的方程，线段KQ只有一

个解，利用根的判别式，计算出P点坐标.

【详解】

（1）VOC=c,DE=OC=c,点D在抛物线对称轴上,

・••点D纵坐标为c,

・・,点M是抛物线顶点，

・••点M的纵坐标为--------=c-b2,

4a

2525

则DM=c-(c-b2)=—，b1=——；

44

解得b=?(舍去)，或b=-°,

22

_5

抛物线的对称轴为直线x=-2=--2r=5；

2a2xl

4

(2)由(1)可知抛物线的表达式为丫=工*2--X+C,

42

令y=Lx?-°x+c=O,设A、B两点横坐标为XA、XB,贝!]XA+XB=10,XAXB=4C,

42

则AB==J(XA+%B)2—4X/B=&oo-16c，

在RtAADE中，AE=3AB,DE=c,AD=DC=5,

222

由勾股定理得：AD=DE+AE,52=c2+(V100-16£2,

2

25=c2+25-4c,化简得：c2-4c=0，解得c=4,

故抛物线的表达式为y=-x2--x+4；

42

(3)如图，连接PQ、PC、QC,作△PQC的外接圆K,连接KP、KC,

过点K作y轴的垂线，交y轴于点F,交抛物线的对称轴于点N,

设点K的坐标为(m,n),点P(5,t),

VZPQC=45°,故NPKC=90。，且PK=CK=QK,

VZFKC+ZNKP=90°,NNKP+NNPK=90°,

.\ZFKC=ZNPK,

•••RSKFC咨RjPNK(AAS),

・・・CF=NK,PN=MK,

.*.4-n=5-m,t-n=m,

.*.n=m-1,t=2m-1,

故点K的坐标为(m,m-1),点P的坐标为(5,2m-1).

9

由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为(5,-一)，点B的坐标为(8,0),

4

3

由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为y=—x-6,

4

一3

设点Q的坐标为(r,—r-6),

4

3

由KC2=KQ2得，m2+(m-1-4)2=(m-r)2+(m-1-----r+6)2,

4

25715

整理得：一r2-(—m+一)r+20m=0,关于r的一元二次方程，

1622

・・,直线BM上只存在一个点Q,r的解只有一个,

71525

.*.△=(—m+—)2-4x——x20m=0,

2216

45

解得m=5或一,

49

点P坐标(5,t),t=2m-1,当m=5时，t=9；

m=竺时，

当

4949

41

故点P的坐标为(5,9)或(5,—).

49

【点睛】

本题考查勾股定理，一元二次方程根的判别式，二次函数图像性质，圆与直线关系；涵盖知识点多，理解

题中“直线BM上只存在一个点Q”隐含的条件，即△PQC的外接圆与直线BM相切，这是解决第三个问题

的关键.

10.如图，已知P是。外一点，尸0交圆。于点C,OC=CP=2,弦AB_LOC,ZAOB=120°,连接尸艮

(1)求BC的长；

(2)求证：P8是。的切线.

【答案】(1)2；(2)见解析

【分析】

(1)由OA=OB,弦AB_LOC,易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；

(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形，可求得BC=CP,即可得NP=NCBP,又由等边三角形的性质,

ZOBC=60°,ZCBP=30°,则可证得OB_LBP,继而证得PB是。。的切线.

【详解】

解：（1）VOA=OB,弦AB_LOC,

?.ZAOC=ZBOC=12ZAOB=6Qo,

VOB=OC,

AAOBC是等边三角形，

；.BC=OC=2；

(2)证明：VOC=CP,BC=OC,

；.BC=CP,

AZCBP=ZCPB,

AOBC是等边三角形，

ZOBC=ZOCB=60°,

ZCBP=300,

ZOBP=ZCBP+ZOBC=90°,

AOBXBP,

;点B在。上，

；.PB是O的切线.

【点睛】

本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆

心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

11.如图，为。。的直径，且AB=4,于8,点C是弧A8上的任一点，过点C作。。的切线

交BD于点E.连接0E交。。于足

(1)求证：AD//OE；

(2)填空：连接。C、CF,

①当DB=时，四边形OCEB是正方形；

②当DB=时，四边形OACP是菱形.

【答案】(1)见解析；(2)①4,②BD=4y[i•

【分析】

(1)连接OC、BC,由A8为。。的直径于8,推出是。。的切线，进而证明0E_L8C,ACLLBC,

即可得出结论；

1BEBO

(2)①若四边形OCEB是正方形，CE=BE=OB=OC=—AB=2,由(1)可证---=----=1,得到DE

2ED0A

=BE=2,8O=B£+OE=4即可求出；

②若四边形OACF是菱形，贝|OA=AC,又OA=OC,于是△OAC为等边三角形，ZA=60°,在RtAA3。

中，由tanA=g—=,即可求得8D.

AB

【详解】

(1)证明：连接OC、BC,如图1,

为。。的直径，DBLAB^-B,

是。。的切线，

：CE与。。相切于点C,

：.BE=CE,

；•点E在BC的垂直平分线上,

•：OB=OC,

...点。在BC的垂直平分线上,

C.OELBC,

VZACB=90°,KPAC±BC,

：.AD//OE；

图1

(2)如图2,①若四边形。CEB是正方形，AB=4,

:.CE=BE=OB=OC=LAB=2,

2

'：OE//AC,

BEBO，

・.-----=-----=1,

EDOA

:,DE=BE=2,

：・BD=BE+DE=4,

故答案为：4；

②若四边形QAC尸是菱形，

・・・。。平分/4。尸，CF//OA,

：.ZACO=ZFCO=Z.AOC,

u

：OA=OCf

：.ZA=ZACO=ZAOC,

.•.△AO。是等边三角形，

・・・NA=60。，

*.*/ABD=90。,

・»BDr-

・・RtAABD中,tanA=-----=<3,

AB

：.BD=4y/j,

故答案为：4-73;

图2

【点睛】

本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以

及菱形和正方形的性质是解题的关键.

12.如图，在RtAABC中，ZC=90°,是N8AC的角平分线，以上一点。为圆心，AD为弦作。。.

（1）尺规作图：作出。。（不写作法与证明，保留作图痕迹）；

（2）求证：8c为。。的切线.

【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）因为是弦，所以圆心。即在AB上，也在的垂直平分线上，作AO的垂直平分线，与A8的交

点即为所求；

（2）因为。在圆上，所以只要能证明OOLBC就说明8c为。。的切线.

【详解】

解：（1）如图所示，。。即为所求；

（2）证明：连接OD

"：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

是/BAC的角平分线,

：.ZCAD=ZOAD,

：.ZODA=ZCAD,

：.OD//AC.

又：NC=90°,

ZODB=90°,

.♦.BC是。。的切线.

【点睛】

本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键.

13.如图，在。。中，点。在直径的延长线上，点C、E在。。上，CE=CB,NBCD=NCAE,延长

AE、BC交于点F.

(1)求证：CO是。。的切线；

(2)若BD=1,CD=41，求线段所的长.

2

【答案】(1)详见解析；(2)-

3

【分析】

(1)连。C,根据切线的判定，证明NOCD=90。；

(2)设半径为厂，在加△OCD用勾股定理列式求出半径，过。作于证明△AHO〜△OCD,

利用对应边成比例列式求出AH,由垂径定理得到AE,最后用AF-AE求得EF长.

【详解】

(1)连。c,

：OA=OC,

：.ZOAC^ZOCA,

,：AB为直径，

ZACB=90°,

"：CE=CB,：.CE=CB，

J.ZCAE^ZOAC,

•：NBCD=NCAE,

：.ZBCD^ZOCA,

：.ZOCD^ZBCD+ZOCB^ZOCA+ZOCB^90°,

'：OC是。。半径，

...CO是。。的切线；

(2)设。。的半径为厂，

在RtAOCD中，00+CD2=OD2,

即：产+(0)2=0+1)2,解得厂=称,

由(1)得，ZCAB=ZCAF,ACYBF,

：.AF=AB=1,

过。作OH_LAE于H,则AH=EH,

；CE=CB,CE=CB，

：.ZEAB=ZCOB,

ZAHO=ZOCD=90°,

*,■&AHO~AOCD，

.AHAO

"'~OC~^D

即包

0.50.5+1

1

：.AH=~,

6

1

：.AE=2AH=-,

3

12

EF^AF-AE^］一=一.

33

【点睛】

本题考查的是圆的综合题，涉及切线的证明和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理

结合题目条件进行证明.

14.如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，点。在BC边上，。£＞经过点A和点2且与2C边相交

于点E.

A

—c

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)若CE=2下,求。。的半径.

【答案】(1)见解析；(2)。。的半径AO=2逝.

【分析】

(1)连接AD,根据等腰三角形的性质得到/B=NC=30。，ZBAD=ZB=30°,求得NADC=60。，根据三角

形的内角和得到/DAC=180O-60130o=90。，于是得到AC是。D的切线；

(2)连接AE,推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE,ZAED=60°,求得NEAC=NAED-NC=30。，得

至I]AE=CE=273，于是得到结论.

【详解】

(1)证明：连接AD,

'：AB=AC,ZBAC=120°,

；.NB=NC=30。，

'：AD=BD,

：.ZBAD=ZB=30°,

，ZADC=60°,

：.ZZ)AC=180°-60°-30°=90°,

是。。的切线；

(2)解：连接AE,

"：AD=DE,ZA£)E=60°,

/.△ADE是等边三角形，

：.AE=DE,ZA£D=60°,

AZEAC=ZAED-ZC=30°,

：.ZEAC^ZC,

:.AE=CE=2g,

二。。的半径AZ)=2指.

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题

的关键.

15.如图，已知AB是。。的直径，。。与HAACD的两直角边分别交于点E、点R是弧BE的中

点，ZC=90°,连接AF.

(1)求证：直线。尸是0。的切线;

(2)若5D=1,OB=2,求tan/C4/的值.

【答案】(1)见解析；(2)tanZCAF=^-.

5

【分析】

(1)连结OF,BE,由题意易得BE〃CD,再由点F是中点可求证OF,CD,问题得证;

(2)由题意易得△oms^Ac。，然后利用相似三角形的性质进行求解AC的长，然后利用勾股定理及线

段比例关系进行求解即可.

【详解】

(1)证明：连结ORBE,

\'AB是。O的直径，ZAEB=9Q°,

VZC=90°,AZAEB=ZACD,：.BE//CD,

:点尸是弧BE的中点，C.OFLBE,J.OFLCD,

直线。尸是。。的切线；

(2)解：'：ZC=ZOFD=90°,J.AC//OF,AAOFD^AACD,

.OFOP

••一,

ACAD

S2x510

'：BD=1,OB=2,：,OD=3,AD=5,OF=2,.\AC=-----=—,

33

：.CD=y/AD2-AC2=

3

DF=y/OD2-OF2=A/32-22=75，

；•CF=CD—DF=^Y=^~,

33

2A/5

CFQ

tanZCAF=—=3—

AC10

T

【点睛】

本题主要考查圆与直线的位置关系及解直角三角形，关键是根据题意得到切线，然后根据相似三角形的性

质及勾股定理进行求解三角函数即可.

16.已知A6为。O直径，C、。为。。上两点，连接CZ）交A3于点点E为AC延长线上一点，且

CD1

——=--?DFA2?DEC

AB2

（1）求证：ED为。。切线

BF（，求tanNACD的值

(2)若DFvCF,且——

AF

【答案】（1）见解析；（2）3百

【分析】

CDI

(1)连接CD、OC,根据——=—,且AB=2OB=2OC=2OD,得到AODC为正三角形，得到

AB2

?ODC1OCD60°,设/。4c=/OC4=(z可得？。/弘60°+2a,则有？DEC30°+。，可求出

?CDE30°,贝!I有EJODEn?ODCDCDE=90°,可证矶)为。0切线；

(2)连接BD，作or八CD、AHVCD,根据NC4B=NCD5,2AFC2DFB,可得DC4F〜DB。/"

一DFAFBF1

得至!j——=——，设AF=15%，DF—a,根据——=—,则有=AB=16x,OF=7x,可得

BFCFAF15

AF1BFDF1CF15x2,根据。尸vCF,可解得DF=3x,CF=5x,则CT=4x

FT=X,根据AQDC为正三角形得到。。=OC=OC=：AB=8x,OT=46,

根据。T〃A?/得到DO7F~DA/iF,可有些=竺=旦=亘=工，可得AH=FH=—x,则

AHHFAF}5x1577

CW=型无，利用tan?AC。任可得结果.

7HC

【详解】

解：（1）连接OD、OC

CD1)

­.•——=一，且AB=203=2OC=2OZ)

AB2

\OD=OC=DC

；•AODC为正三角形

\?ODC?OCD60°

又•.•Q4=OC

^ZOAC=ZOCA=a

贝I]?DFA?FAC?FCO?ACO60°+la

又？DE42?DEC

\?DEC300+a,

*.*?ACD2OCD1ACO60。+。

?CDE?ACD?£（60。+a）-（30。+a）=30。

\?ODE=?ODC?CDE60°30°=90°

即为。O切线

（2）连接5。，作0TA8、AHA.CD,

易知NC4B=NCD5,2AFC1DFB

\DCAF-DBDF

DF_AF

~BF~~CF

..BF_1

・AF-15

设AF=15x,DF=a，

则5方二%,AB=16x,OF=7x

由上式，AF?BFDFKF15x2

又由（1）可知，DF+CF=CD=-AB=8x

2

・・・CF=8x-DF=8x-a

\a(8x-a)=15x2

解得a=3x或5x

又DF<CF

:.DF=3x,CF=5x

又QOT八CD

\CT=DT=-CD=4x

2

/.FT—CF-CT=5x-4x=xf

•・・AODC为正三角形

OD=OC=DC=8X,OT=4出

QOT//AH

\DOTF-DAHF

OT_TF_OF_lx_7

HF~^F~15x~15

・人口IS"606口口15515

..AH=——OT=——\3x,FH=——TF=­x

7777

・

..CEH=fCr-rT-tTiT=J:X-——15x=——20x

77

60A/3

<4H------%—

\tan?AC。一=三—=3』

HC20、

x

7

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定与性质，三角函数等知识,

掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

17.如图1,CD是。O的直径，且CD过弦AB的中点H,连接BC,过弧AD上一点E作EF〃:BC,交BA

的延长线于点F,连接CE,其中CE交AB于点G,且FE=FG.

(1)求证：EF是。0的切线；

(2)如图2,连接BE,求证：BE2=BG・BF；

3厂

(3)如图3,若CD的延长线与FE的延长线交于点M,tanF=1,BC=5币,求DM的值.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

e25夕

24

【分析】

(1)根据已知得出NGCH+NCGH=a+[3=9O。，而NFEO=NFEG+NCEO=a+p=90。，即可求解；

(2)ZCBA=ZF,故NF=NCEB,而/FBE=NGBE,FEB^AEGB,即可求解；

334

(3)在RtABCH中，BC=5出，tanZCBH=tany=-贝！Jsiny=—,cosy=-,CH=BCsinY=3S,同理

455

HB=4，7,设圆的半径为r,则OB2=OH2+BH2,求出r的值，解RtACDE求得FG=交互，继而得出答

2

案

【详解】

(1)连接OE,则/OCE=NOEC=a,

图1

VFE=FG,

；.NFGE=NFEG=£,

：H是AB的中点，

；.CH_LAB,

.*.ZGCH+ZCGH=«+0=90°,

AZFEO=ZFEG+ZCEO=a+0=90°,

；.EF是。O的切线；

(2)VCH±AB,

AC=BC

ZCBA=ZCEB,

VEF/7BC,

NCBA=NF,故NF=NCEB,

.\ZFBE=ZGBE,

AFEB^AEGB,

.BE_BF

^~BG~~BE

：・BE?=BGBF;

（3）如图2,过点F作FR_LCE于点R,

3

设NCBA=NCEB=NGFE=/,贝Utan/=—,

4

・.・EF〃BC,

・・・NFEC=NBCG=/?,故△BCG为等腰三角形，贝!]BG=BC=5近,

3

在R3BCH中，BC=5近,tanZCBH=tan/

34

贝Usin/=y,cos/=y,

3

CH=BCsin/=5正义§=34，同理HB=4«；

设圆的半径为r,贝IOB2=OH2+BH2,

22

即d=（r-3币）+（A币）,解得：r=至互；

6

GH=BG-BH=5近-4币=币,

GH13

tanZGCH==——==一,贝UcosNGCH=<——,

CH3a3VW

则tanNCGH=3=tan0,则cos0—i——

A/10

连接DE,则/CED=90。,

在RtACDE中

CECE3CE=①

cosZGCH=—=—解得:

2

LGE即

在^FEG中，cos0=2_41

~FG~FG-Z/10

解得：FG="E

2

VFH=FG+GH=i2^I

2

•,.HM=FHtanZF=lZ^x-=^b/l

248

：CM=HM+CH=15币

8

MD=CM-CD=CM-2r=至互

24

【点睛】

此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，切线的判定，熟练掌握相关

知识是解题的关键，综合性较强.

18.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,以48为直径作OO,D为。。上一点，且CO=C8,连接。。并

延长