杨辉三角与裴波那契数列（2大题型）解析版-2025高考数学重难题型解题技巧

重难题型•解题技巧攻略

专题09杨辉三角与裴波那契数列

题型归纳•定方向检

目

题型01杨辉三角中的数列问题1

题型02裴波那契数列........6

题型探析・明规律

题型01杨辉三角中的数列问题

【解题规律•提分快招】

1、第二层是自然数列

m

,1

S[166]4ft3]必]।“11

[220]E[E[，N6[E]J吗[230]M>[I，

1|制：1|71.[171川1璘：I；I112MI7B1口II1

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2、第三层是三角数列

E

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这个数列中的数字始终可以组成一个完美的等边三角形.

3、每一层的数字之和是一个2倍增长的数列

【典例训练】

一、单选题

1.（2024•江西景德镇•三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列且记该

数歹U前几项和为S",设"=J510g2（S“+1）+1,将数列也,｝中的整数项依次取出组成新的数列记为｛q｝,则

的值为（）

A.545B.51C.560D.48

【答案】B

【分析】根据杨辉三角每行的数字特征，结合等比数列求和公式可得S“，由此可整理得到口；根据2的整

数项可确定数列｛%｝的奇数项和偶数项的变化规律，结合等差数列通项公式可求得结果.

【详解】由题意知：第〃行数字之和构成的数列的通项为2“T，

1_________

S=------=2"-1,b=V5M+1；

1-2

则数列也｝的整数项为：4,6,9,11,14,16,-,

二数列｛%｝的奇数项是以4为首项，5为公差的等差数列；偶数项是以6为首项，5为公差的等差数列，

c

-'-2n-i=4+5（n-l）=5n-l,c2n=6+5（n-l）=5n+l,c20=5x10+1=51.

故选：B.

二、填空题

2.（24-25高三上•天津•阶段练习）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成

果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶

等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某

个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13,则该数列的第15项为.

【答案】211

【分析】设数列为｛%｝,根据题意外=2，%-%=4,“一。,1=2（〃-累加法求出｛叫的通项公

式，求出仆.

【详解】设数列为｛%｝,根据题意%-q=2,%-电=4,,an-an_1=2（n-l）,n>2,

贝!I累力口可得-4=2+4++2伍-1）=（"一1）（2；2〃-2）=〃伍_］）,

所以a“="2_〃+l,故牝=211.

故答案为：211.

3.（23-24高三下•安徽合肥•阶段练习）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示

的三角形解释二项展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,

1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,L,记作数列｛%｝,贝1］卬4=；若数列｛%｝的前〃项和

为Sn，贝!J$67=•

1

11

121

1331

14641

【答案】42048

【分析】由题意可知«14是第5行第4个数，故而直接能得到答案；

令每行的序数与该行的项数相等可得第Z行最后项在数列｛〃“｝中的项数为绢“；根据

乂匕1<674也。可求得上=12,进而可确定物位于第12行第1个；根据每一行数字和的规律可知

22

$67=（2°+2+22+…+2°）+C1,计算可得结果.

【详解】由题意可知知是第5行第4个数，所以%=4；

使得每行的序数与该行的项数相等，则第％行最后项在数列｛%｝中的项数为：号D

设。67位于第M左eN*）行，贝!）：与解得：左=12

且第11行最后一项在数列｛4｝中的项数为：上产=66,

位于杨辉三角数阵的第12行第1个

而第一行各项和为1=2°,第二行各项和为2=2、第三行各项的和为4=22

依此类推，第％行各项的和为

1210n

S61=(2°+2+2+---+2)+C°1=^y+l=2=2048

故答案为：4,2048.

【点睛】本题考查与杨辉三角有关的数列的前〃项和的求解问题，关键是能够根据杨辉三角的数字特征，

确定第"项所处的位置，通过对于每一行各项和的规律的总结可将问题转化为等比数列求和问题.

4.(2024•浙江绍兴•模拟预测)某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项

的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2：第二

行得到数列1,2,2：第三行得到数列1,2,2,4,2,…，则第5行从左数起第8个数的值为；4表示第〃

行所有项的乘积，设凡=log24,则与=.

I2

\/

122

12242

122428482

【答案】8365

【分析】空1：直接写出第5行的数列，即可解决；空2：首先归纳出4,进而可以求得数列但,｝的通项

公式，即可得解得.

【详解】空1：由题意可得：第5行得到数列1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2,

所以第5行从左数起第8个数的值为8；

空2：根据题意可得：=1x2=2',A,=1x2x2=22=21+3,Ai=1X2X2X4X2=25=2|+3+31

4=1x2x2x4x2x8x4x8x2=214=2"30+3'+32,

4=1X2X2X4X2X8X4X8X2X16X8X32X4X32X8X16X2=241=21+3°+31+32+33,

总结可得4=2""+，+…+3"-2=2〃1-3-22

3叫1।1Q6+1

所以纥=log2A=log222二-----，可得坊=一--=365.

22

故答案为：8；365.

【点睛】关键点点睛：根据题意列出前几项，并据此归纳总结一般规律，分析运算.

1

5.（23-24高三下.重庆璧山.阶段练习）将杨辉三角中的每一个数C：都换成分数正诉7,就得到一个如图

111

所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：西可+诃严=范；，

111111r、

令％=飞+一十一+一+■H卜/\O+（〃+2）C2，S〃是｛见｝的前几项和，贝！!S”二

123060(〃+i)C

111

122

111

363

1111

412124

11111

52030205

111111

6306060306

1111111

742105140105427

n1_1

【答案】—+

2n+22

【分析】由题设关系，应用裂项相消法可得进而可得S“.

2n+\n+2

、[1_1]1_1

【详解】由(w+l)C：+("+l)C'=V可z得:(〃+2)C；+:(〃+2)(一伍+1)《'

、1___1__________1________1__________]

所以(〃+2)C3=(〃+l)C[(/+2)C：+「(〃+l)〃-(/+2)W+l)'

（贵W）一白+岛-白+L+]

所以见=

(〃+2)(〃+1)

11_1__1_]

2(〃+2)(〃+1)2n+1n+2

1

所以S=———+———+—+L

“22334n+1n+22n+22

nil

故答案为:—+-----------

2n+22

题型02裴波那契数列

【解题规律•提分快招】

一、斐波那契数列

1、斐波那契数列概念

把这个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...称为斐波那契数列，一般记为｛6｝。

2、斐波那契数列的递推公式

递推公式［耳=F?=1

1F._2+F“T=F〃(〃23,〃eN*)

3、斐波那契数列的通项公式

、国市八卡F如n+君丫n-君丫］

通项公式：F=-x\——--------

5\［2JI2Jj

4、斐波那契数列的性质(通项公式而前几项和片)

(I)S”=%+%+。3++%=。〃+2T；

(2)%+。3+〃5++a2n-l=a2n；

(3)a2+a4+a6++a2n=a2n+l-1；

(5)an_2+an+2=3an；

aa

(6)Q根+〃T=+m-\n-\；

(7)片=4+4-4%;

(8)a；+=a2n+1；

(9)+〃；=〃/A+i;

(10)—=an-\+an\

an+

【典例训练】

一、单选题

1.(2024.海南省直辖县级单位.模拟预测)斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那

契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学

上，这一数列以如下递推的方法定义：*1)=L1)+打〃-2乂〃23,〃wN*),记此数列为也｝,

A.。2023B.。2024D.。2026

【答案】C

【分析】由题意得，%=1,an+an+l=an+2,„gN*,进而结合递推关系求解即可.

【详解】由题意得，生=1，«„+an+l=an+2,neN*»

贝1%019+a2020+a2022+fl2024=fl2021+fl2022+^2024=fl2023+02024="2025•

故选：c.

2.(23-24高三上•陕西宝鸡•期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：

1,1,2,3,...；该数列的特点是：前两个数都是1,从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的

和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若记此数列为｛%｝,则以下结论中错误的是()

A.as=5B.“6=8

C.af+al++a；=a„a,l+lD.a^+a[++片=院]

【答案】D

【分析】列举法判断AB,根据数列裂项消项求和判断CD选项.

【详解】由题意数列前六项为：1,1,2,3,5,8,故AB正确；

由题意4+1_q_1=为(〃22)

aa

则n=n(%+1-%)=anan+1-%an，可得：

+aaaa

a；+W++a；=a；+-a1a2)+(%%—%%)+(„n+i~n-i„)

aa

=如+%%+]-%%=nn+l，所以选项C正确，D错误；

故选：D

3.(24-25高三上•甘肃甘南•期末)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：

1,1,2,3,5,…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数

列｛%｝称为“斐波那契数列”，记S,为数列｛4｝的前〃项和，则下列结论正确的为()

A.%=21B.2an=a„_2+a„+2(n>3)

F=^2025—'2HF2024a2025

C.+a2+a3-i<J2024D.4+act2024=a

【答案】D

【分析】依题意可得4=1,%=1,an=an_1+an_2(«>3),利用递推公式一一验证即可.

【详解】依题意4=1,a2=l,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,故A错误；

当月23时%=a,-+an_2,an+l=%+an,an+2=an+l+an,

上述三式相加可得3%=4-+a.23),故B错误；

%++03+,,,+〃2024

=%++〃2+“3-----〃2024-]

=%+%+-----%024-1

=%+〃3〃2024—1==々2025+〃2024~^=〃2026—>故C错误；

a；+a；H-----FQ；O24

+^"2C^^3)+^^3(^^4^^2)++^^2024(^^2025—。2023)="2024”2025，故D正确.

故选：D

二、填空题

4.(2024.四川.模拟预测)数列｛4｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,……称为斐波那契数列，该数列是

由意大利数学家莱昂纳多・斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，

｛%｝满足=。2=1，(”23,〃eN*),则1+%+。4+。6++。2024是斐波那契数列的第___

项.

【答案】2025

【分析】由斐波那契数列的递推关系式可得47=。“-。"一2(«>3,〃eN*),结合累加法求解即可.

【详解】由题意知，一2(«>3,/ieN,),

所以氏_1=%一凡_2("23,〃eN*),

所以生=%—%,。4=%—“3，.......”2024="2025—%023，

由累加法可得。2+。4+4++々2024=(生—乌)+(“5—4)+(%一。5)++(4()25一/023)=%025-1，

贝［|1+%+%+〃6++〃2024=1+〃2025~^=〃2025，

所以1+%+。4+4++。2024是斐波那契数列的第2025项.

故答案为：2025.

5.(23-24高三下•云南昆明•期中)斐波那契数列(Fibonaccisequence)由数学家莱昂纳多-斐波那契(Leonardo

Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，又称为“兔子数列”.斐波那契数列｛%｝有如下递推公式：

%=lM,=lM,=%T+为-2("Z3,"eN*),通项公式为a,=)-二^，故又称黄金分割数

V5R2JI2人

歹U.若4=｛%,〃2M3，M3“｝(〃WN*),3=A且则8中所有元素之和为偶数的概率为.(结

果用含〃的代数式表达)

【分析】先分析出A=｛%，W，，%,｝中的元素有〃个偶数，2〃个奇数，且集合8共有(23"-1)个，再得到3中

所有元素之和为偶数时，8中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成，结合二项式系数的性质得到B中所有

元素之和为偶数时B共有(23M-1)个，从而求出概率.

【详解】由斐波那契数列规律可知，集合A=｛阳4,,见“｝中的元素有〃个偶数，2〃个奇数，

因为3aA且8x0,所以8共有Q3"-l)个，

当B中所有元素之和为偶数时，B中元素由偶数个奇数和任意个偶数组成.

选出偶数个奇数有CM+C；“+C；“++C；：=22i种方法，

选出任意个偶数有C：+C：+C：+.+C：=2"种方法，

其中，选出0个奇数和0个偶数时，3为空集，不符合要求，

所以8中所有元素之和为偶数时3共有22ax20-1=Q3M-1）个,

所以8中所有元素之和为偶数的概率为.

23K-1

故答案为:

O----------------题型通关•冲高考----------♦>

一、单选题

1.（23-24高三下•北京大兴・期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示

的“杨辉三角”.若将这些数字依次排列构成数列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

则此数列的第2024项为（）

A.C北B.小

C.匿D.%

【答案】D

【分析】根据“杨辉三角”的性质、等差数列求和公式及组合数判断即可.

【详解】由“杨辉三角”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第〃行“个数，

所以前〃行共有：吗\个数，当〃=63时，63x（*1）=2016,又2024-2016=8,

所以第2024项是第64行的第8个数字，即为<4，

故选：D.

2.（23-24高三下.湖南邵阳•期中）如图，若在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所

指的数依次构成一个数列：1,2,3,3,6,4,10,5,...»则此数列的前20项的和为（）

第1行11

第2行12、+1

第3行13+31

第4行14、-641

第5行5<-101051

A.350B.295C.285D.230

【答案】C

【分析】利用分组求和法和组合数的性质进行求解即可.

【详解】记此数列的前20项的和为S20,则S2。=q+++〃20=（4+%++49）+（42+“4++”2。）

=（C；+C"C：+.+C；J+C+C；+C［++Cj=（C+C；+C；+.+C；］）+（2+3+4++11）

2+1xl

=（C；+C；++cf,）+（p°=（C3+C2+c；J+65==或+65=285.

故选：C.

3.（23-24高三下•河南信阳・期末）意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数

列.数列｛%｝满足q=%=1，。“+2=4+。…现从数列的前2024项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是

()

253505—758759

A.------B.------C.------D.------

2023202320232023

【答案】D

【分析】求出数列各项的余数，得到余数数列为周期数列，周期为8,从而得到前2024项中被3除余1的

有252x3+3=759项，得到概率.

【详解】根据斐波那契数列的定义知，｛。"｝=｛1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,｝,

被3除的余数依次为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,…，

余数数列为周期数列，周期为8,2023=252x8+7,

所以数列的前2024项中被3除余1的有252x3+3=759项，

故所求概率为尸=事759.

故选：D.

4.（24-25高三上•四川绵阳•阶段练习）斐波那契数列因数学家斐波那契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子

数列”.这一数列如下定义：设｛%｝为斐波那契数列，4=1,2=1，%=qT+4L2（〃N3,“eN*）,其通项公

式为%"J-［f设〃是log2［（l+有'）-（1-乔）］＜x+4的正整数解，则〃的最大值为

（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】利用给定条件结合对数的性质将1。氏[(1+6)”-(1-6)[<〃+4化为(1+石)"-(1-逐)"<2"+4,

结合1<2J[V](得到%<5*23根据｛叫递增，得到｛叫也是递增数列，得

a;,<-X28<52,即可求解.

5

【详解】由题知”是log?(1+A/5)'-(1->/5)V<x+4的正整数解，

，，，，

故log。[(1+斯)”-(1-•)“卜"+4,取指数得(1+V5)-(1-V5)<2*,

同…学-号六畦性!-(¥)[<»,

即外,<[X24,根据｛4｝是递增数列可以得到｛4｝也是递增数列，

于是原不等式转化为^<|X28<52.

5

由斐波那契数列可得，。5=5,d=25<52,4=8,d=64>52

可以得到满足要求的〃的最大值为5,故A正确.

故选：A

【点睛】关键点点睛：

本题关键在于利用对数的运算将log?[+6)”-(1-君)]<几+4,

转化为(1+班)"-(1-6)“<2"4,结合”“的表达式得到a；<|X28<52,

从而求解〃的最大值.

5.(23-24高三上.安徽合肥•阶段练习)数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列｛%｝：

1,1,2,3,5,8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即弓=%=1,an+2=an+1+an,这

样的数列称为“斐波那契数列”.若4“=2(4+4+佝++%4)+1，则切=()

A.175B.176C.177D.178

【答案】B

【分析】根据数列的特点，每个数等于它前面两个数的和，移项得：an=an+2-an+l,使用累加法求得

5“=。“+2-1，然后将2(%+%+%++674)+1中的2倍展成和的形式(如2%=4+%=4+。2+4)即可

求解.

【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，%=%=1，

由%+2=4+1+%(〃wN*),得a“=%+2-%+i，

所以4=%-/，

%=〃4—〃3，

a3=a5-2

•••，

an=4+2一。〃+1，

将这〃个式子左右两边分别相加可得：

Sn=al+a2++〃〃=an+2-a2=an+2-l,

所以S〃+l=%+2.

以2(g+4+q++tig)+1=(q+/+%+。6+%+%++%74+/74)+1

=%+%+%+“4+05+〃6+%+〃8+09+弓72+%73+474+1

=$174+1=0176•

故选：B.

二、多选题

6.(2024高三・全国.专题练习)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列

数：1,1,2,3,5,…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的

数列｛曲｝称为“斐波那契数列”，记取为数列｛即｝的前〃项和，则下列结论正确的是()

A.<28=21B.$7=32

n]2021

C.1=a2nD.=。2022

i=la202l;=1

【答案】ACD

【详解】

A选项显然正确；8选项S7=33,所以8选项不正确；因为“4-42="3,a6—a4—as,...»a2ti—a2n-2—a2n

-i,累加得C选项正确；因为壮2时,质=。2㈤,(A=ar(a3-ai),a*=wQ—&),…，ai=an-(an+i—an-

i),累加得。选项正确.故选ACO.

7.(2024•福建宁德•模拟预测)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第〃行

从左至右的数字之和记为%,如4=1+1=2,%=1+2+1=4,[｛q｝的前”项和记为$“，依次去掉每一行中

所有的1构成的新数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,记为也｝,｛%｝的前〃项和记为骞,则下列

说法正确的有()

第

1行

第行

2

第行

3

第行

4

第行

5

r

;----

项和

前况

1的

J?

B.1

22

0=10

A.$

，

+2-

，册

3〃+iJ

13〃,

150

々=4

D.

=66

C.%

CD

案】B

【答

即可.

一分析

各项逐

，再对

项和

其前

再求

列，

比数

｝为等

列｛%

出数

分析

题意

】由

【分析

，

系数

项式

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应（。

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每一

始，

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【详解

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