浙江省天域全国协作体2024-2025学年高三年级下册3月联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前

2024-2025学年第二学期天域全国名校协作体联考

高三年级数学学科试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4.考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一符合题目要求的.

1.已知集合4={l,2},B={xeR|log2(x—l)〈l},贝！14nB=

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.0

2.函数/(%)=sin(2x+是

A.最小正周期为27r的奇函数B.最小正周期为2兀的偶函数

C.最小正周期为7T的奇函数D.最小正周期为兀的偶函数

3.已知向量而满足同=2,\b\=l,\a-b\=2,贝嗫在b方向上的投影向量是

A.|B.?C.-D.-

42

4.设a,b为正实数，则“a>b”是“2025。>log2025。”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知等差数列{an}的前n项和为S”,且Su=11(a5+2),则由i-CI5=

A.4B.8C.10D.12

6.某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某

同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为

37

A.—B.—C空D.i

1010

7.正四棱台侧棱长为5加，上下底面边长分别为3企和4企，所有顶点在同一球面上表

面积是

C

A.257rB.100/r'等D.500.

22

8.已知双曲线C:3=1的左焦点为F,过点F的直线与双曲线C左支交于P,Q两点，

Q,R两点关于y轴对称，且|FP|:|FR|:|FQ|=10:5:2,则双曲线C的离心率为

V29„V29„V19„V19

AFB-Vc--D-V

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.下列说法中，正确的是

A.数据4,1,6,2,9,5,8的第60百分位数为9

B.已知随机变量己〜N(0,*),若P隹>2)=0.2,则P(-2<己<2)=0.6

C.样本点=1,2,3,…)的经验回归方程为了=3久+式,若样本点(犯3)与(2,n)

的残差相等，则3m+n=9

D.巧,％2,久3/4和乃，丫2，为，丫4的方差分另为S；和sj,符々+%=10且%=1,2,3,4),

则S；<S}

10.已知方程/=1在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n

等分.下列复数是方程-8=1的根的是

A.1B.1C.»争D.cos8(T+isin8。。

11.已知函数/(%)=ax3-3%2-1,则下列命题中正确的是

A.—1是/(%)的极大值

B.当一1<a<0时，/(a-1)>/(a)

C.当a>2时，/(%)有且仅有一个零点％°,且%o<2

D.若f(%)存在极小值点％1，且/(%1)=/(%2)，其中%1。%2，则％1+2%2=0

非选择题部分

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线Ly-kx-2=0与圆C:/-2x+y2=0相交，则实数々的取值范围为.

13.若函数/(%)=(/-2］+a)sin(a%-§(aEN*)在［0,4］上恰有2个零点，则符合条件

的a为.

14.若存在实数aeR使得A/5+4cosa-Jcos2a+(sina-则实数m的取值范

围为•

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

如图，在斜三棱柱ABC—4/1的中，侧面44/iB1底面48C,侧棱A4与底面ABC

成60。的角，A4=2.底面2BC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段8的

I,_.>1>

上r一点，且=

(1)求证：GE〃平面44止中；

(2)求平面/GE与平面ABC夹角的正切值.

16.(15分)

已知/(x)=—ex+ax,g(x)—2x+bsinx,aeR,bGR.

(1)讨论/O)的单调性；

(2)若a=-l,曲线y=f(x)的任意一条切线，都存在曲线y=g(x)的某条切线与

它垂直，求实数b的取值范围.

17.(15分)

2

2(A

在2x2列联表(表一)的卡方独立性检验中，X=E1<,.<21<,.<2„>其中4/

为第i行第j列的实际频数，如力i,2=b,而稣/=第i行的行频率x第j列的列频率x总频

数，为第i行第，列的理论频数，如％,2=高匕乂点篇x(a+b+c+d).

(1)求表二2x2列联表的X?值；

(2)求证：题干中X2=工*与课本公式X2=…(黑濡)：)5等价，

其中n=a+b+c+d.

(表一)(表二)

18.(17分)

已知抛物线C-.y2=2px(p>0),F为C的焦点,1为C的准线.AB是C上两点，且。A1

OB(。为坐标原点)，过。作。。，力B,垂足为。，点。的坐标为(6,2次).

(1)求C的方程；

(2)在C上是否存在点P,使得过F的任意直线交C于S,7两点，交I于M,直线

PS,PM,PT的斜率均成等差数列？若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

19.(17分)

已知N为偶数，给定数列的,。2,…,弥，记为力0，对40作如下变换：

①将&中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前3项；

②将&中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第?+1项到第N项.

称上述操作为7变换，构成的新数列为记&=7(&)，定义4为操作k次后得到

的新数列，即4=7(4-1)==L2，…，其中4⑴表示数列4中的第i项.

(1)若册=n,(n=1,2,…,8),求4(2)4(2)4(2)；

m

(2)令2=2,meN*,其中数列出的各项互不相同，记的=Ufc(i)|fc6N*},规定图

为集合C的元素个数：

⑴求心|；

(ii)求不超过10的最大正整数m,满足=IC3I=…=匕严_1|.

命题学校：杭州学军中学、西安高新一中、山东省实验中学

2024-2025学年第二学期天域全国名校协作体联考

高三年级数学学科参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

题号12345678

答案BDDADCBB

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

题号91011

答案BCACDACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

.~.1//V17

12.13.I14.加＜---

一2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

解析：

（1）延长交BC于。，则桀=镖=煞=2,即。为8C中点.

BDEDED

连结则4G,。三点共线2分

A（Z

因为上=2,所以GE〃/片，又GE.平面/qu平面ZB44,

GD

所以GE〃平面力448.5分

D

高三数学试题第1页（共5页）

(2)•••侧面及禺B_L底面扇C,侧棱与底面48C成60。的角，.•.4/8=60。，AAl=AB=2,

取力8的中点。，则/QJL平面Z8C6分

以。为原点建立空间直角坐标系。-平如图，则力(0,-1,0),

B（o,i,o）,c（V3,o,o）,4（0,0,6），4仅,2,石）,G（6,1,6上

n_1_

•;G为AABC的重心，，6（子,0,0）,:3£=：8孰，二

:.GE=（Q,\,

设平面30E的一个法向量为7=(x,乂二)，

空工=。

——x-y--

M-O=0

则nI《1即《3J,取、=百，得3=（百,一I,百）分

ii-GE=Q'9

y+=0

又底面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),10分

设平面与底面所成锐二面角的大小为贝〃〃_也_旧

B|GEZBC6,ijcos6=cos(,?)丁〒

2百

斗，."=〒—2百

由于。为锐角，，sin。亘=亍

"T-

故平面BQE与底面Z8C成锐二面角的正切值为乎.

13分

16.(15分)

解析：

(1)/'(x)=-e'+a,下面对。进行分类讨论：

若。<0,则/'(x)<0,可得/(x)在夫上递减：..............................2分

若a>0,令/，(x)=0,得x=lna,当x<Ina时/(x)>0,当x>Ina时/<x)<0,可知/(x)在

(-oojna)递增，在(Ina,+8)递减..........................................5分

高三数学试题第2页(共5页)

综上，当。＜0时，〃x)在R上单调递减：

当。＞0时，/(x)在(-8,Ina)递增，在(Ina,+8)递减........................6分

(2)曲线歹=/(x)上的任意一点色,/3))处的切线斜率为/'(*),即/'(须)=-1-铲；曲线y=g(x)

上的任意一点(*2国(*2))处的切线斜率为g'(*2)，即g'(X2)=2+bC0SX2...........8分

依题意，对任意玉eR,总存在XzeR,使得等式(-1-e"(2+bcosx2)=-1成立.将等式变形为

2+6cos^=-^-j-,则函数*■的值域是函数2+bcosx2值域的子集.......10分

由玉eR,得—一的值域为(0,1)，所以需(2+方cos/LN1，且Q+bcos^L40.

因为(2+6cosx2)m1K=2+|b|,(2+6cosx2)mjn=2-|6|,.........................12分

所以需2+M|Nl,且2-川40,解得64-2,或6N2.所以，实数6的取值范围为

(-oo,-2]U[2,+oo)...........................................................15分

17.(15分)

解析：

(1)由题意得知=12,%=18;%=28,42=42................................4分

.2(10-12)2,(20-18>,(30-28)2,(40-42。50

y---------+---------+---------+---------——.........................6分

1218284263

(2)2x2列联表如下:

aba+b

Cdc+d

a+cb+da+b+c+d

„a+ba+c(a+6)(a+c)

贝ijB.,=------x----x〃=------------

nnn

r(a+6)(a+c)2

,%(a+f>)(a+c)

n

_[a{a+b+c+d)-(a+b)(a+c)]2_{ad-be)2

9分

+b)(a+c)n(a+b)(a+c)

高三数学试题第3页(共5页)

Em(4.2-%)2(ad-be)2(4j一%>(ad-be)2(4.2-%『(ad-be)2

InJ-----------------------------------•-----------------，•-----------------------------------

片2n(a+b)(b+d)'B21〃(a+c)(c+d)'B22n(b+d\c+d)

............................................................................................................................................12分

“2=寸4了二胸-%，(，+，)+，(，+，)]

"B：na+ba+cb+dc+da+cb+d

=〃(ad-bc)2.............................................................................................

(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

18.（17分）

解析：

（1）由%。。=4,所以如=一月.

所以直线/3的方程为＞；-26=-6（》一6）,................................2分

设4（%,弘）,85,%）,

ly-2y/3=-y/3（x-6）消土徂26P八

联立〈/,»消去x得：V2------^-16p=0,

y2=2px3

由韦达定理得必必=T6p,y+%=冬瞥，.................................4分

因为。4_LO8,所以玉工2=0，

即（m6§）1_]60=0,解得p=4.

4P

所以C的方程为V=8x.................................................6分

（2）由（1）得口（2,0）,假设存在尸（工,%）满足题意.

设过F的动直线方程为*=町+2,则〃（-2,-3）,设S（X3，M）,「（X4，M），

m

联立p叩+2,消去X得：/_8叩_16=0,

,y=8x

由韦达定理得必乂=-16,%+居=8加......................................8分

直线PS的斜率为纯泣=」一，直线P7的斜率为维=3=」一，

X。一七为+必X。一x4y0+y4

高三数学试题第4页（共5页）

4_£

直线尸M的斜率为""=上"=8?。+32,.........................................................11分

my+i6m

飞+2Jo_+2°

8

因为直线PS,P",PT的斜率成等差数列，所以

28吵+32=8+8=8(2%+必+乂)=8(2%+8⑼,

216

my^+\6my0+y3y0+y4靖+%(%+%)+%为Jo+8/wy0-,

222

整理得：(70-16>+J0-16=0(*)...................................15分

由题意，对任意实数加，(