中考数学解题方法专项训练：圆之四点共圆（原卷版+解析）

34第7章圆之四点共圆

一、单选题

1.下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

2.如图，四边形ABC。内接于）0,AB=CD,A为5。中点，NBDC=60°,则NADfi等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

3.如图，圆上有A、B、C、。四点，其中N&LD=80。，若弧ABC、弧ADC的长度分别为7万、1U,

则弧5Ao的长度为（）

c.io»D.15%

4.如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得

ZDAC=ZACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE,得到四边形

ABED.贝ljBE的长是()

63217

A.1B.C.D.

515T

二、填空题

5.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，若。。半径为4,且/C=2/4,则BD的长为_.

6.如图，正五边形ABCDE内接于。0,连接BE,则NA8E的度数为度.

7.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,点。为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE=

FG

1.5,连接OE,过点O作OFLOE交CB延长线于点F,连接FE并延长交AC的延长线于点G,则、=

8.如图，正方形A3CD中，A3=9,点E为A。上一点，且AE:石。=1:2,点P为边A3上一动点，

连接PE，过点E作EF工PE，交射线3c于点/，连接PF,点加■为PF中点，连接ZW，则Q暇的

最小值为•

三、解答题

9.如图，等腰R3ABC中，ZACB=90°,D为BC边上一点，连接AD.

(1)如图1,作BE_LAD延长线于E,连接CE,求证：ZAEC=45°；

(2)如图2,P为AD上一点，且/BPD=45。，连接CP.

①若AP=2,求AAPC的面积；

②若AP=2BP,直接写出sinZACP的值为.

10.在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以lcm/s的速度向点C运动，同时，

点F从点C出发，沿边CB以lcm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、

DF交于点P,设点E.F运动时间为t秒.回答下列问题：

(1)如图1,当t为多少时，EF的长等于4j?cm?

(2)如图2,在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(。。)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的。O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在,

请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为.

11.己知AD为锐角AA3C的高，G为AC中点，于点E，延长ED至歹，使得GR=8

(1)证明：AAED〜AAFC；

(2)证明：AECF2=BEAF\

(3)若A5=6,5C=7,C4=8,求四边形ACFD的面积.

«1弋―'C

12.四边形A3CD内接于圆。,连接BD,ZABD=ZCBD=-ZADC.

一」2

⑴求证：ZADC=90°;

D

(2)求证：AB+BC=®BD；

D

(3)如图2,点E是AD上一点,连接£3并延长交DO的延长线于点/，连接CR交圆。于点

G,ZAEB=2/EFC,AE=2,EF=,求尸G的长.

D

13.已知：ABC内接于O,过点3作。的切线，交C4的延长线于点。，连接08.

(1)如图1,求证：NDAB=NDBC；

(2)如图2,过点。作于点M,连接A0,交3C于点N,BM=AM+AD^vE：BN=CN；

（3）如图3,在（2）的条件下，点E为。。上一点，过点E的切线交。8的延长线于点尸，连接CE,交

A0的延长线于点Q,连接PQ,PQL0Q,点R为AN上一点，连接若NDCF+NCDB=90°,

ON1「

tanZECF=2,诙=,，2°+。°=6可，求CF的长.

14.如图，等腰三角形△ABC中，ZBAC=120°,AB=3.

（1）求BC的长.

A

(2)如图，点。在CA的延长线上，OELA8于E,于尸，连求EF的最小值.

15.如图1,抛物线y=-3炉+6尤+c经过原点(o,o),A(12,0)两点.

8

(1)求6的值；

(2)如图2,点P是第一象限内抛物线y=-且f+法+c上一点，连接尸o,若tanNPQ4=3,求点P的

-82

坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点P的直线y=-随x+m与X轴交于点R,作C尸=。?，连接交

5

抛物线于点。，点3在线段O尸上，连接CP、CB、PB,PB交CF于点、E，若NPBA=2ZPCB,

ZBEF=2ZBCF,求点。的坐标.

16.定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角.已知四边形

ABCD是圆美四边形.

AA

(1)求美角NA的度数；

(2)如图1,若。的半径为5,求BD的长；

(3)如图2,若C4平分N5CD,求证：BC+CD=AC.

17.(1)已知(x+y『=25,(x-y)2=9,求孙的值。

(2)如图，一块半径为的圆形钢板，从中挖去半径分别为a与b的两个圆。

①求剩下的钢板的面积。

②若a=0.625cm,6=1.6cm,那么剩下的钢板面积为多少呢？(结果用乃表示)

18.如图所示中，ZNAM=60°,B,。分别在边AM和AN上，且5c=2,CPLAN,成，A4垂

足分别为C,B,求外的长.

34第7章圆之四点共圆

一、单选题

1.下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）

A.5cm,6cm,7cmB.7cm,3cm,8cm

C.4cm,7cm,3cmD.2cm,4cm,5cm

【答案】c

【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各

个选项，选出正确答案.

【详解】A选项中，5+6>7可以构成三角形；

B选项中，3+7>8,能够构成三角形；

C选项中4+3=7不能构成三角形；

D选项中2+4>5,能够构成三角形.

故选C.

【点睛】

考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.

2.如图，四边形A3CD内接于>9,AB=CD,A为5。中点，NBDC=60°,则NADS等于（）

11D

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】根据A5=CD,A为8。中点求出NCBD=/ADB=/ABD,再根据圆内接四边形的性质得到

ZABC+ZADC=180°,即可求出答案.

【详解】：A为8。中点，

,,AB=AD

AZADB=ZABD,AB=AD,

•：AB=CD,

：.ZCBD=ZADB=ZABD,

•..四边形ABC。内接于O,

/.ZABC+ZADC=180°,

/.3ZADB+60o=180°,

/.ZADB=40°,

故选:A.

【点睛】

此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性

质：对角互补.

3.如图，圆上有A、B、C、。四点，其中N54D=80。，若弧ABC、弧A£>C的长度分别为7万、1U,

则弧的长度为（）

C.10%D.15〃

【答案】C

【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得NC=100°,然后根据圆周角定理可得弧

所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得.

【详解】弧A3C、弧ADC的长度分别为7%、117T

「•圆的周长为7"+11%=18»

ZBAD=S0°

:.ZC=100°（圆内接四边形的对角互补）

•••弧BAD所对圆心角的度数为2NC=200°

则弧B4。的长度为18〃x型=10万

360

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键.

4.如图1,在等腰三角形ABC中，AB=AC=4,BC=6.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得

ZDAC=ZACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE,得到四边形

ABED.则BE的长是（）

A

S------------------飞B1?c\7b…c

图1图2

图3E

63217

A.1B.-C.—D.—

5154

【答案】A

【分析】只要证明AAfiD^AMBE,得芸=空，求出BM、即可解决问题.

BMBE

【详解】解：AB=AC,

.\ZABC=ZC,

ZDAC=ZACDf

,\ZDAC=ZABC,

zc=zc,

:.ACAD^ACBA,

.CA_CD

"Cfi"~CA"

•4_8

••一,

64

0

CD=-,BD=BC-CD=6--=-一,

33：

ZDAM=ZDAC=ADBA,ZADM二ZADB,

:.MDM^ABDA,

8

ADDM3DM

—=——,即HnW=-s—，

BDDA108

T3

326

:.DM=—,MB=BD-DM=—

153

ZABM=Z.C=ZMED,

A、B、E、。四点共圆，

ZADB=ZBEM,ZEBM=ZEAD=ZABD,

AABD^AMBEf

ABBD

血一族，

BM,BD

故选：A.

图3)

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用

相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题

5.如图，四边形ABC。是。。的内接四边形，若。。半径为4,且NC=2NA,则BD的长为_.

【答案】4出

【分析】连接OB,0D,利用内接四边形的性质得出NA=60。，进而得出/BOD=120。，利用含30。的直角

三角形的性质解答即可.

【详解】连接OB,OD,过O作OELBD,

D~------

:四边形ABCD是。。的内接四边形，ZC=2ZA,

.\ZC+ZA=3ZA=180o,

解得：ZA=60°,

ZBOD=120°,

在RtABEO中，OB=4,

；.BE=25

；.AC=4B

故答案为：473.

【点睛】

此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出/A=60。.

6.如图，正五边形ABCOE内接于0。，连接BE,则N4BE的度数为__________度.

【答案】36

【分析】由正五边形的性质可知△ABE是等腰三角形，求出NA的度数即可解决问题.

【详解】：在正五边形ABCDE中，ZA=1x(5-2)xl80=108°,AB=AE,

.\ZABE=ZAEB=—(180°-108°)=36°.

2

故答案为36.

【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简

单.

7.如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=6,点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE=

FG

1.5,连接OE,过点O作OFLOE交CB延长线于点F,连接FE并延长交AC的延长线于点G,则84=

【答案］拽

5

【分析】作OMLCD于M,ONLBC于N,根据三角形中位线定理分别求出OM、ON,根据勾股定理求

出OE,根据相似三角形的性质求出FN,得到FC的长，证明AGFCS^GOE,根据相似三角形的性质列出

比例式，代入计算得到答案.

【详解】角能作OM_LCD于M,ON_LBC于N,

・・•四边形ABCD为矩形，

AZD=90°,ZABC=90°,

・・・OM〃AD,ON〃AB,

•・•点。为AC的中点，

11

・・・OM=—AD=3,ON=一AB=4.5,CM=4.5,CN=3,

22

VCE=1.5,

・・・ME=CM+CE=6,

在R3OME中，OE=[OM2+W£2=五+62=39,

VZMON=90°,ZEOF=90°,

JZMOE+ZNOE=ZNOF+ZNOE=90°,

AZMOE=ZNOF,又NOME=NONF=90。,

.,.△OME^AONF,

.OMME36

..----=-----,即nn----=----,

ONFN4.5FN

解得，FN=9,

；.FC=FN+NC=12,

ZFOE=ZFCE=90°,

；.F、0、C、E四点共圆，

.\ZGFC=ZGOE,又NG=/G,

.".△GFC^AGOE,

.FGFC12_4A/5

,•加—而—访一亏‘

故答案为：逑.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性

质定理是解题的关键.

8.如图，正方形ABCD中，AB=9,点E为上一点，且AE:石。=1:2,点P为边AB上一动点，

连接PE,过点E作EFLPE，交射线3C于点/，连接PF,点M为PF中点，连接DM,则的

最小值为.

A____E_________D

［答案］土叵

10

【分析】由已知可得AE=3,DE=6,又AB=9,ZA=90°>由勾股定理得BE=J32+9?=3回，由

NPEF=9。，NPBF=90°，M为PF中点，可知M为四边形BFEP外接圆的圆心，BE为圆M的弦，

故圆心M在线段BE的垂直平分线上，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G,交CD于H,过点D作

。0，6”于乂，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作石NLDAl于N,则四边形EGMN为矩形,

BEQ/1n

可得NGEN=90°，GE=MN,可证VABE:NNED,可得——=——，代入数据得：DN=H",又

DNDE5

MN=EG=M0,可得DM的长度.

2

【详解】：AE:EL>=1:2,AD=AB=9,

；.AE=3,DE=6,

又：AB=9,ZA=90°.

BE=J32+92=3^/10，

VZPEF=90°>NPBF=90°，

；.B、F、E、P四点共圆，且PF为直径，

：M为PF中点，

M为四边形BFEP外接圆的圆心，

：E、B为定点，

；.BE为圆M的弦，

圆心M在线段BE的垂直平分线上，

如下图，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G,交CD于H,过点D作于M,此时的线段

DM即为所求最小值，

过点E作E/V_LQM于N,则四边形EGMN为矩形,

；・NGEN=96，GE=MN,

ZAEB+ADEN=90°，

：NA=90°，

ZABE+ZAEB=90)>

/.ZDEN=ZABE,

又•:ZA=NDNE=90°，

：.\ABE:VNED,

.AEBE

"~DN~1)E，

即J_=酒，

DN6

解得:DN=3叵，

5

VBE=3V10.

._3回

••JFtSnxj------------,

2

.W3M

..MN=———,

2

DM=DN+MN=3而+^2=21河.

5210

【点睛】

本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定

四点共圆是解题的关键.

三、解答题

9.如图，等腰RtAABC中，ZACB=90°,D为BC边上一点，连接AD.

（1）如图1,作BE_LAD延长线于E,连接CE,求证：ZAEC=45°；

（2）如图2,P为AD上一点，且NBPD=45。，连接CP.

①若AP=2,求AAPC的面积;

②若AP=2BP,直接写出sinZACP的值为.

【答案】（1）证明见解析；（2）①AAPC的面积=1；②勺叵.

17

【分析】（1）由题意可证点A,点B,点E,点C四点共圆，可得/AEC=/ABC=45。；

AP

(2)①通过证明△APBs^CEB,可求CE=75=0由等腰直角三角形的性质可求CF=1,即可求解;

②过点B作BELAD,交AD的延长线于点E,过点C作CFLAD于F,过点P作PHLAC于H,设AP

AP/?

=2a,则BP=a,可得CE=—，==J^a,CF=EF=a,BE=PE=—a,由勾股定理可求AC?,CP2,利用

v22

面积法可求PH2,即可求解.

【详解】证明：(1):等腰RSABC中，ZACB=90°,

・・・AC=BC,NABC=NCAB=45。，AB=^BC,

VBEXAD,

.*.ZAEB=90°=ZACB,

・,•点A,点B,点E,点C四点共圆，

・•・ZAEC=NABC=45。；

(2)①如图2,过点B作BELAD,交AD的延长线于点E,过点C作CFLAD于F,

VZBPD=45°,BE±AD,

.*.ZPBE=45O=ZABC,

・・・NABP=NCBE,

VZAEB=90°=ZACB,

・,•点A,点B,点E,点C四点共圆，

・・・NBAE=NBCE,NAEC=NABC=45。,

AAAPB^ACEB,

APL

・'・CE="^=V2，

VCFXAD,NAEC=45。,

・•・NFCE=NCEF=45。，

・・・CF=EF=W±CE=1,

2

・•・AAPC的面积="xAPxCF=1；

2

②如图，过点B作BELAD,交AD的延长线于点E,过点C作CFLAD于F,过点P作PHLAC于H,

设AP=2a,则BP=a,

AP

由①可知，CE—正=&a,CF=EF=a,

・「BP=a,NBPE=45°,ZBEP=90°,

五

.,.BE=PE=—a,

2

「・AF=AE-EF=2a+^^a-a=a+^^a,PF=a--^1-a,

222

CP2=CF2+PF2=a2+(a--^-a)2=—a2-亚诺,

22

AC2=AF2+CF2=a2+(a+^l-a)2=—^+d2a2,

22

,**SAACP=-xACxPH——xAPxCF,

22

J(AC*PH)2=(AP・CF)2,

8_

(sinZACP)2=^1=5+27216

PC,5_&17

2

・•・sinZACP

17

4A/F7

故答案为:

17

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性

质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键.

10.在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以lcm/s的速度向点C运动，同时，

点F从点C出发，沿边CB以lcm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、

DF交于点P,设点E.F运动时间为t秒.回答下列问题：

(1)如图1,当t为多少时，EF的长等于4j?cm?

(2)如图2,在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆(。。)上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的。。与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在,

请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心o的运动的路径长为

【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm.

【分析】（1）由题意易得DE=CF=t,则有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可；

（2）①由题意易证△ADE^ADCF,贝U有NCDF=/DAE,然后根据平行线的性质可得NAPF=90。，进而可

得/B+NAPF=180。，则问题得证；

②由题意可知当。0与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相

切时，一是当圆与边DC相切时；

③由动点E、F在特殊位置时得出圆心0的运动轨迹，进而求解即可.

【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t,

四边形ABCD是正方形,

AB=CD=BC=AD=12cm,ZC=ZB=ZADC=ZDAB=90°,

EC=12-t,

EF的长等于4指cm,

.,.在RtACEF中，EF2EC2+CF2,即(4指,=(12-〃

解得％=4,与=8；

(2)①由⑴可得AB=CD=BC=AD=12cm,NONB二NADC=NDAB=90。，DE=CF=t,

△ADE^ADCF,

NCDF二NDAE,

ZCDF+ZPDA=90°,

/.ZDAE+ZPDA=90°,

/.ZADP=ZAPF=90°,

ZAPF+ZB=180°,

由四边形APFB内角和为360。可得：ZPAB+ZPFB=180°,

点A、B、F、P在同一个圆（。0）上；

②由题意易得：当。。与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况;

a、当。。与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：

由题意可得AB为。O的直径,

t=12；

b、当。。与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M,过点。作OHLBC交

BC于点H,连接OF,如图所示：

/.OG±DC,GM±AB,HF=HB,

二.四边形OMBH、GOHC是矩形，

/.OH=BM=GC,OG=HC,

AB=BC=12cm,

**.OH=6,

CF=t,BF=12-t,

HF=1^^=6--,CH=OG=OF=t+6--=6+-,

2222

在RtAFOH中，OF?=OH?+FH?,即=62+^6-1^|，

解得：t=3；

综上所述：当/=3或t=12时，。。与正方形ABCD的边相切；

③由(1)(2)可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重

合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：

-.OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm.

故答案为6cm.

【点睛】

本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题.

11.已知4。为锐角AA3C的高，G为AC中点，于点E，延长ED至R,使得GF=GD.

（1）证明：AAED-AAFC；

（2）证明：AECF2=BEAF2;

（3）若AB=6,BC=7,C4=8,求四边形ACFD的面积.

A

\\G

E//\\\

鼠L

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）卫巫

16

【分析】（1）通过G4=GD=GC=GF得A,D,F,C四点共圆，得到NAO£=NACF,结合

ZAED=ZAFC=90°，证得AAEZ)AAFC；

(2)通过用AAEDRt^AFC,RtMEDHfADEB证得cP=座.人尸；

SA4「k,TA..o

(3)利用勾股定理求得AD,BD,CD,在RfAADB中,求出DE,AE,得出5AA小，借助不工=(二")，

^AADE

AE

2

求得^AACF'再用RtAAEFRtAADC,得到跖二^AADC'(An),最后S\ACFD=^M£F^MCF-^^AED•

【详解】解：(l),:GA=GD=GC=GF

A,RRC四点共圆

ZAFC=ZADC=90°

又：ZADE^ZACF

：.RtAAEDRtAAFC

(2)由(1)RtAAEDRtAAFC

.AFAE

"'~CF~~ED

又：MAAE。RtADEB

.AFAEDE

""CF~ED~EB

,AF.AEDEAE

••(----)=-----------=-----

CFEDEBEB

^AE-CF2=BE•AF2

AD2+BD-=36

(3),：\,

A〃+(7—B。)’=64

...AD=BD=-,CD=—

222

中'DE二处察:半，AE=AD245

AB8

_135715

峥128

而「左

同理利用RtMEF&AADC得到SWF=S,比•（坐了=羽斗誉

A.DiZo

弋_弋0_弋_77A/T^

3AAe=+»AACF-77

1O

【点睛】

本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形

的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键.

12.四边形ABCD内接于圆。，连接3D,NABD=NCBD=LNADC.

2

⑴求证：ZADC=90°;

⑵求证：AB+BC=@D；

D

（3）如图2,点E是A£）上一点，连接EB并延长交。。的延长线于点连接W交圆。于点

G,ZAEB=2ZEFC,AE=2,EF=10,求歹G的长.

【答案】⑴见解析；（2）见解析；⑶FG言小

【分析】（1）根据题意可得NA5C=NADC,根据圆的内接四边形对角互补即可得证；

（2）过点。作DPLOB交B4延长线于点P,易证ABDP为等腰直角三角形，通过“角边角”证明

APDA^ABDC,则AP=5C,进而可得证；

（3）连接E4,过点R作月以，区4交£4延长线于点M,延长AM至点N,使AM=MV,连接

易证AZMF且ADCF,FA=FN=FC,设NEFC=。,则NAEF=，整理可得

/EFN=ZENF,=EF=10,根据题意得到相关线段的长，在RtMNF中根据勾股定理可得，

4歹=4石,根据圆周角定理可得/。7。=/。。尸=45°，得到ACDGSACED,进而求得CG的长，最

后得到答案.

［详解】解：(1)ZABD=NCBD=|ZADC,

：.ZABC=ZADC,

ZABC+ZADC=180°.

,-.ZADC=90°;

⑵过点。作DP，D5交R4延长线于点P,

ZCDB+ZADB=90°，

ZPDA+ZADB=90)<

/CDB=ZMDA,

NQBA=45°，

:.DB=DP,PB=4iBD,

..APDA^ABDC(ASA),

：.AP=BC,

:.AB+BC=BP=6BD；

（3）连接E4,过点/作府J_E4交外延长线于点〃，延长AM至点N,使=连接FN,

易证AZMF乌ADCF,

：.FA=FN=FC,

设/EFC=a,则ZAEF=2a,

ZDCF=ZDAF=360°-(180°-2a)-90°-«

=90+a，

・•.ZFAM=/FNM=9。°—a，

ZEFN=180°-2cr-(90°-cr)=90°-a,

NEFN=ZENF,EN=EF=10,

：.AM=4,

：.FM=8=MD,

;.DC=4,

DE=2，

在RfAAA手中根据勾股定理可得，Ab=4j5,

CF=475，

ZCGD=ZCDF=45°，

:.ACDG^ACFD,

CD~=CG-CF，即42=2y/5CG，

.-.CG=1V5,

.'.FG=y^.

【点睛】

本题主要考查圆的综合问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解此题

的关键在于熟练掌握其知识点，构造适当辅助线帮助解题.

13.已知：ABC内接于「0,过点3作。的切线，交C4的延长线于点。，连接03.

久DD

:]

图2图3

图1

(1)如图1,求证：NDAB=NDBC；

(2)如图2,过点。作于点/,连接A0,交3c于点N,=+求证：BN=CN；

(3)如图3,在(2)的条件下，点E为。。上一点，过点E的切线交。8的延长线于点P,连接CE,交

A0的延长线于点Q,连接PQ,PQLOQ,点R为AN上一点，连接若NDCF+NCDB=90。,

ON1「

tanZECF=2,—=PQ+OQ=6yJ10,求C/的长.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）CF=10

【分析】（1）延长BO交：。于G,连接CG,根据切线的性质可得可证/DBC+/CBG=90。，然后根据直

径所对的圆周角是直角可证/CBG+/G=90。，再根据圆的内接四边形的性质可得/DAB=/G,从而证出

结论；

（2）在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH,根据垂直平分线性质可得DH=AD,再根据等边对等

角可得NDHA=NDAH,然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出/ABC=/C,可得AB=AC,再根据

垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC,从而证出结论;

（3）延长CF交BD于M,延长BO交CQ于G,连接OE,证出tan/BGE=tan/ECF=2,然后利用AAS

证出ACFN0ABON,可设CF=BO=r,ON=FN=a,则OE=r,根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四

边形OBPE为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据P。+。。=6后，即可分别求出a和CF.

【详解】解：（1）延长BO交。。于G,连接CG

：BD是。的切线

ZOBD=90°

.\ZDBC+ZCBG=90°

•「BG为直径

ZBCG=90°

.,.ZCBG+ZG=90°

AZDBC=ZG

•・,四边形ABGC为.。的内接四边形

JNDAB二NG

・•・NDAB二NDBC

(2)在MB上截取一点H,使AM=MH,连接DH

■2

ADM垂直平分AH

・・・DH=AD

NDHA=NDAH

BM=AM+AD^BM=MH+BH

・・・AD=BH

二•DH=BH

JNHDB=NHBD

・・・NDHA=NHDB+NHBD=2NHBD

由(1)知NDAB=NDBC

JNDHA=NDAB二NDBC

AZDBC=2ZHBD

ZDBC=NHBD+ZABC

AZHBD=ZABC,ZDBC=2ZABC

・•・ZDAB=2ZABC

•・•NDAB二NABC+NC

:.ZABC=ZC

AAB=AC

・••点A在BC的垂直平分线上

•・,点O也在BC的垂直平分线上

AAO垂直平分BC

：.BN=CN

(3)延长CF交BD于M,延长BO交CQ于G,连接OE,

D

图3

•・・ZDCF+ZCDB=90°

：.ZDMC=90°

ZOBD=90°

AZDMC=ZOBD

：.CF//OB

.*.ZBGE=ZECF,ZCFN=ZBON,

tanNBGE=tanNECF=2

由（2）知OA垂直平分BC

AZCNF=ZBNO=90°,BN=CN

AACFN^ABON

ACF=BO,ON=FN,设CF=BO=r,ON=FN=a,贝（JOE=r

..ON

.~OQ=2

AOQ=2a

VCF//OB

.,.△QGO^AQCF

.OG_Q0

'~CF~~QF

即空=2a」

r2a+a+a2

1

：.OG=-r

2

过点O作OE」BG,交PE于日

OEf=OGtanZBGE=r=OE

・••点日与点E重合

JZEOG=90°

・•・ZBOE=90°

VPB和PE是圆O的切线

AZOBP=ZOEP=ZBOE=90°,OB=OE=r

J四边形OBPE为正方形

AZBOE=90°,PE=OB=r

1

・•・ZBCE=-ZBOE==45°

2

・•・ANQC为等腰直角三角形

ANC=NQ=3a,

・・・BC=2NC=6a

在R3CFN中，CF=QNC2+FN2=阿

・・・PQ1OQ

・・・PQ〃BC

JZPQE=ZBCG

•「PE〃BG

JNPEQ=NBGC

.,.△PQE^ABCG

.PQ_PE

^~BC~~BG

PQ

即6a

r+—r

2

解得：PQ=4a

PQ+0Q=6y/id,

...4a+2a=6V10

解得：a=V10

.,.CF=710x710=10

【点睛】

此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、

勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键.

14.如图，等腰三角形AABC中，NA4c=120。，AB=3.

(1)求的长.

(2)如图，点。在CA的延长线上，DELABE,DFLBC^F,连EF.求EF的最小值.

BC

【答案】⑴BC=36;(2)E尸的最小值为苧

【分析】(1)过点A作AMLBC于点M,根据等腰三角形的性质得/B=30。，BM=CM,由直角三角形的

性质得BM=』K，进而即可求解；

2

(2)连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF,易得B,D,E,F四点共圆，从而得AOEF是等边三角形,

进而得EF='BD,由BD_LCD时，BD的值最小，进而即可求解.

2

【详解】(1)过点A作AMLBC于点M,

;等腰三角形AABC中，ZBAC=120°,AB=3,

：.ZB=(180°-120°)4-2=30°,BM=CM,

.\BM=3^2x73=|^3)

/.BC=2BM=2x1痒33

(2)连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF,

,：DELABE,Z)F_LBC于凡

-q1

在RtABDF与RtABDE中，OB=OD=OE=OF=-BD,

2

AB,D,E,F四点共圆，

/.ZEOF=2ZEBF=2x30°=60°,

AAOEF是等边三角形，

1

.,.EF=OF=-BD,

2

VZC=ZEBF=30°,

]qC

.•.当BD_LCD时，BD=-BC=^-此时，BD的值最小,

22

•出的最小值小D＜芳考

【点睛】

本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，

是解题的关键.

15.如图1,抛物线y=—且/+区+C经过原点(0,0),A(12,0)两点.

8

(1)求6的值；

(2)如图2,点P是第一象限内抛物线+c上一点，连接PO,若tanNPOA=1,求点尸的

82

坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，过点P的直线y=-述x+7”与大轴交于点作CF=OF,连接0c交

5

抛物线于点Q,点3在线段OF上，连接CP、CB、PB,PB交CF于点、E,若NPBA=2NPCB,

ZBEF=2ZBCF,求点。的坐标.

【分析】(1)根据待定系数法，即可得到答案;

(2)过点尸作PELQ4于点E，设点P(加,一心疗+±8根)，(771>0),结合tanNPOA=@,列出关于

822

m的方程，即可求解；

(3)连接OP,易得直线解析式为：y=一座幽1,点歹(?，0),根据三角形内角和定理与外角的

性质，得点。，点6,点P,点C四点共圆，从而得OB=PB,进而得点3(7,0),过点。，点3,点P,

点C四点的圆的圆心，竽)，设点C(a,b),根据两点间的距离公式,列出关于a,b的方程,得b=6a