中考数学解题方法专项训练：相似三角形之旋转相似（原卷版+解析）

28第5章相似三角形之旋转相似

一、单选题

1.在RtAABC中，NBAC=90。，AD是△ABC的中线，ZADC=45°,把△ADC沿对折，使点C落在

BQ

。的位置，CD交AB于点Q,则—的值为（）

AQ

A.V2B.73

C'TD'T

2.如图，在矩形ABC。中,E是AD边的中点,BE,AC于点E连接。R给出下列四个结论:①

@CF=2AF；®DF^DC-,④SAABF：S四边影CDEF=2：5,其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题

3.已知正方形。EFG的顶点厂在正方形A8C£）的一边的延长线上，连结AG,CE交于点“，若AB=3,

DE=0，则CH的长为.

BC

4.如图，己知四边形ABCD与四边形CFGE都是矩形,点石在C。上，点X为AG的中点，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,则。X的长为.

5.如图，在AABC中，AB=5,。为边AB上一动点，以C。为一边作正方形CDER当点。从点8运动

到点A时，点E运动的路径长为.

6.已知正方形A3CD的边长为12,E、R分别在边A3、3c上，将AB历沿"折叠，使得点3落在

正方形内部（不含边界）的点？处，的延长线交于点G.若点3'在正方形的对称轴上，且满足

S/VIDG=4S正方形ABC0，则折痕EF的长为---------------

三、解答题

7.如图，在凡AABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,MN//AC,D为BC边上一点,连接AZ）,作

DELAD交MN于点、E，连接AE.猜想线段4。与。石之间的数量关系，并证明.

BD

'N

8.已知AABC中NA3C=90。，点。、石分别在边3C、边AC上，连接尸，OE,点/、点C在

,.,.L-rABDE,

直线OE同侧,连接尸C,且——=­一-=k

BCDF

(1)点。与点6重合时,

①如图1,左=1时，AE和FC的数量关系是；位置关系是

②如图2,左=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；

(2)BD=2CD时,

③如图3,左=1时，若AE=2,1°F=6,求/C的长度；

④如图4,左=2时，点M、N分别为和AC的中点，若AB=10,直接写出MN的最小值.

9.如图1,点。为正方形A8CO的中心，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△功尸的周长等于BC的

长.

(1)求/EOF的度数.

(2)连接OA,0C(如图2).求证：zAOEsXCFO.

(3)若OE=@OF,求处的值.

2CF

E\

B

10.在必△ABC和咫△DEF中，ZABC=NEDF=30°,ABAC=ZDEC=90°,3c与。厂在同一条直

线上，点C与点E重合，AC=2,如图为将△CEO绕点C顺时针旋转30。后的图形，连接BD，AE,

若=求△血。和AAEC的面积.

C⑺

11.问题背景：如图（1）,已知求证：△ABD-AACE；

尝试应用：如图（2）,在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°>AC与

OE相交于点歹.点。在3C边上，—=A/3,求的值；

BDCF

拓展创新：如图（3）,。是AABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°，NBDC=90°，AB=4,AC=2®

直接写出AD的长.

B，C

(2)

(1)

(3)

12.在AABC中，NACB=90°,CD是中线，AC=BC,一个以点。为顶点的45。角绕点D旋转，使

角的两边分别与AC、8C的延长线相交，交点分别为点£、F,。尸与AE交于点DE与BC交于点N.

图2

(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF-,

(2)如图2,在NEZ*绕点D旋转的过程中，试证明CZ>2=“.c广恒成立;

(3)若CD=2,CF=&，求。N的长.

13.AABE内接于OO,C在劣弧AB上，连CO交AB于D,连BO,ZCOB=ZE

(1)如图1,求证：COXAB；

(2)如图2,BO平分/ABE,求证：AB=BE；

(3)如图3,在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB,ETLAB于T,ZP=2ZAET,ET=18,OP=

25,求。。半径的长.

14.如图，四边形ABC。和四边形AEPG都是正方形，C,F,G三点在一直线上，连接A尸并延长交边8

于点M.

(1)求证：△MFCs△MCA；

CF

(2)求J的值,

BE

(3)若。M=l,CM=2,求正方形AE/G的边长.

15.如图1,若点P是小ABC内一点，且有/PBC=/PCA=/PAB,则称点P是小ABC的“等角点

(1)如图1,ZABC=70°,贝1|NAPB=

(2)如图2,在△ABC中，NACB=90。，点P是AABC的“等角点”，若NBAC=45。

CP

①求---的值;

AP

②求tanZPBC的值;

16.如图，在MAABC中，NAC8=90。，/BAC=a，点D在边AC上(不与点A、C重合)连接BD,点K

为线段BD的中点，过点D作于点E,连结CK,EK,CE,将△ADE绕点A顺时针旋转一定的

角度(旋转角小于90度)

(1)如图1.若a=45。，则A3CK的形状为；

(2)在(1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D,E,B三点共线，点K为线段BD的

中点，如图2所示，求证：BE—AE=2CK；

(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D,E,B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直

接写出BE,AE,CK三者之间的数量关系(用含a的三角函数表示)

17.如图，。。是△ABC的外接圆，AB为。。的直径，过点A作A。平分/54C交。。于点。，过点。作

BC的平行线分别交AC、A2的延长线于点E、F,OGLAB于点G,连接BZX

(1)求证：AAEDS4DGB；

(2)求证：E尸是。。的切线;

(3)若竺=正，0A=4,求劣弧5。的长度(结果保留无).

DF3

18.如图1,抛物线y=a(x+2)(x-6)(a>0)与x轴交于C,D两点(点C在点D的左边)，与y轴负

半轴交于点A.

(1)若4ACD的面积为16.

①求抛物线解析式；

②S为线段OD上一点，过S作x轴的垂线，交抛物线于点P,将线段SC,SP绕点S顺时针旋转任意相同

的角到SCi,SPi的位置，使点C,P的对应点Ci,Pi都在x轴上方，CiC与PiS交于点M,PiP与x轴交

于点N.求——的最大值;

SM

(2)如图2,直线y=x-12a与x轴交于点B,点M在抛物线上，且满足/MAB=75。的点M有且只有两

个，求a的取值范围.

19.已知，如图1,抛物线丫=。/+法+3与X轴交于点3、c,与y轴交于点A，且AO=CO,BC=4.

(1)求抛物线解析式；

(2)如图2,点p是抛物线第一象限上一点，连接尸3交y轴于点。，设点p的横坐标为线段长为

d,求d与♦之间的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，过点Q作直线轴，在/上取一点〃(点朋■在第二象限)，连接AM，使

AM=PQ,连接CP并延长CP交y轴于点K,过点P作尸N，/于点N,连接血V、CN、CM.若

NMCN+NNKQ=45。时，求t值.

20.如图，函数y=-N+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n)两点，m,"分别是方程N-2x-3=0

的两个实数根，且机＜”.

(I)求机，〃的值以及函数的解析式;

(II)设抛物线y=-x2+6x+c与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为。，连接AB,BC,BD,CD.求

证：△BCDS^OBA；

(III)对于(I)中所求的函数y=-x2+bx+c,

(1)当0姿3时，求函数y的最大值和最小值;

(2)设函数y在也烂r+1内的最大值为p,最小值为q,若p-g=3,求r的值.

28第5章相似三角形之旋转相似

一、单选题

1.在RS48C中，NBAC=90。，是△ABC的中线，ZADC=45°,把AAOC沿AD对折，使点C落在

BQ

。的位置，CZ）交A8于点Q,则二万的值为（）

AQ

A.五B-6C.口.与

【答案】A

【解析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD

=DC=BD,AC=AC,ZADC=ZADC/=45°,CD=CD,进而求出/C、/B的度数，求出其他角的度

数，可得AQ=AC,将与乌转化为些，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案.

AQAC

【解答】解：如图，过点A作AEL8C,垂足为E,

,/ZADC=45°,

是等腰直角三角形，即A。，

2

在RtAABC中，

VZBAC=90°,AD是△ABC的中线，

：.AD=CD=BD,

由折叠得：AC=AC,ZADC=ZADC=45°,CD=C'D,

，/CDC'=450+45°=90°,

：.ZDAC=ZDCA=(180°-45°)4-2=67.5°=ZCAD,

ZB=90°-/C=/CAE=225°,N8Q£>=90°-ZB=ZC'QA=67.5°,

：.AC'=AQ=AC,

qBQBD

由△AECs/XBOQ得：~^~二——

ACAE

.BQ__BQ_AD_V2AE_

"AQ~~AC~~^E~AE

【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识,

合理的转化是解决问题的关键.

2.如图，在矩形ABCD中,E是边的中点于点F连接。E给出下列四个结论:①尸/△C4B；

@CF=2AF；®DF=DC；④SAABF：S四边彩CDEF=2：5,其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】①根据四边形ABCD是矩形，BE±AC,可得/ABC=/AFB=90。，又/BAF=/CAB,于是

△AEF^ACAB,故①正确；

②根据点E是AD边的中点，以及AD〃:BC,得出AAEFs/XCBF,根据相似三角形对应边成比例，可得

CF=2AF,故②正确；

③过D作DM〃:BE交AC于N,得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=

-BC,得到CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；

2

11

④根据△AEF-ACBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值,据此求出SAAEF=-SAABF,SAABF=—S

26

矩形ABCD，可得s四边形CDEF=SAACD-SAAEF=—■S矩形ABCD,即可得到s四边形CDEF=—SAABF,故④正确.

122

【解答】如图，过。作。/〃BE交AC于N,

•••四边形是矩形，

J.AD//BC,NABC=90°,AD=BC,

•.•2£，4。于点尸，

/EAC=ZACB,ZABC^ZAFE=90°,

/.AAEF^/\CAB,故①正确；

'：AD//BC,

AEAF

:•△AEFs^CBF,：.——=——,

BCCF

11

9

：AE=-AD=-BCf

22

AF1

/.—=一,；.b=2AR故②正确，

CF2

'：DE//BM,BE//DM,

，四边形BMDE是平行四边形，

1

BM=DE=—BC,：.BM=CM,

2

CN=NF,

•.•BE_LAC于点RDM//BE,

：.DNLCF,：.DF=DC,故③正确；

△AEFsLCBF,

.EF_AE_1

"BF~^C~2,

._1_1

••SAAEF=—S&ABF,SAABF=—S矩形ABC£),

26

._1

••SAAEF-S矩形ABC。,

12

▼_11_5

又•S四边彩CDEF=SAACD-SAAEF=—S矩形ABC。-S矩形----S矩形ABC。，

21212

SAABF:S四边形C0EF=2:5,故④正确；

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题

的关键.

二、填空题

3.已知正方形DE/G的顶点P在正方形ABC。的一边的延长线上，连结AG,CE交于点H,若AB=3,

DE=g，则的长为.

E

【答案】哈

【解析】连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,证明△ANGSADM,得到也=任，从而求出

NGAN

DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG也Z\CDE得到NDAG二NDCE,从而说明

AnAI\4

△ADMS^CHM,得到k三，最后算出CH的长

【解答】解：连接EG,与DF交于N,设CD和AH交于M,

AZGNA=90°,DN=FN=EN=GN,

VZMAD=ZGAN,ZMDA=ZGNA=90°,

:•△ANGSADM,

.DMAD

NG~AN9

•:DE=y[i，

.*.DF=EG=2,

.*.DN=NG=1,

VAD=AB=3,

.DM3

-3+l

3

解得：DM二一，

4

.*.MC=-,AM=7AD2+DM2=

44

ZADM+ZMDG=ZEDG+ZCDG,

.\ZADG=ZEDC,

在小ADG^DACDE中，

AD=CD

<NADG=NCDE,

DG=DE

.,.△ADG^ACDE(SAS),

ZDAG=ZDCE,

ZAMD=ZCMH,

.".ZADM=ZCHM=90°,

AADM^ACHM,

.ADAM

••而一河‘

3如

即3=--,

CH9

4

解得：CH=^^.

17

E

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综

合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长.

4.如图，已知四边形A8CD与四边形CFGE都是矩形，点E在。上，点”为AG的中点，AB=3,3C=2,

CE=1.5,CF=1,则。X的长为.

【答案】巫

4

【解析】延长GE交48于点M,作DNLAG于N.首先求出AG、AH,由AOVs△G4M,得

---=----=-----,求出D/V、AN,HN,在中利用勾股定理即可解决问题.

AGMGAM

【解答】延长GE交于点M,作OVLAG于N.

四边形A8CD与四边形CFGE都是矩形,

四边形89GM是矩形,

：.MG=BF=BC+CF=2+\=3,

:.BM=CE=FG=1.5,

：.AM=AB-BM=1.5,

：.AG=yjAM2+GM2=-V5,

2

•.•点〃为4G的中点，

:.AH=-AG^-45,

24

AD//MG,

:.ZDAN=ZAGM,-,•ZAND=ZAMG,

：.^ADNs/\GAM,

.ADAN_DN

"AG~MG~AM'

.2_ANDN

-y[53-'

22

:.AN=上百,DN=-y/5,

55

:.HN=AN=AH=-45--y/5=—45,

5420

在Rt&DHN中，DH=yjDN2+HN2=<I-+—=—

\5804

故答案为巫.

4

【点睛】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造直角三角形解决问题.

5.如图，在△ABC中，AB=5,。为边AB上一动点，以CD为一边作正方形CQEF,当点。从点8运动

到点A时，点E运动的路径长为.

F

【答案】5行

【解析】如图，构造等腰R3CBG,ZCBG=90°,则由ACGEs^CBD,得GE=&BD,即可求得点E运

动的路径长.

【解答】如图：作GBLBC于B,取GB=BC,

当点D与点B重合时，则点E与点G重合,

ZCBG=90°,

.".CG=72BC,ZGCB=45°,

,/四边形CDEF是正方形，

；.CE=&DC,ZECD=45°,

ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=45°,

.lCGCE/-

・・/BCD=NGCE,且---=----=J2,

BCDC

.,.△CGE^ACBD,

=V2,BPGE=J2BD,

BDDC、

VBD=5,

点E运动的路径长为GE=V2BD=5V2.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是

解题的关键.

6.已知正方形ABCD的边长为12,E、R分别在边AB、BC±,将ABEF沿"折叠，使得点3落在

正方形内部（不含边界）的点3'处，的延长线交A6于点G.若点3,在正方形的对称轴上，且满足

SAADG=4S正方形"CO，则折痕EF的长为---------------

【答案】5君或受叵

4

【解析】根据又40G=；S正方切BCD得到点G是A3的中点，再分两种情况讨论，①如答案图1,当点6'在

对角线AC上时，过点£作于点尸，过点歹作交尸8的延长线于点Q，则四边形

PBFO为矩形;利用相似三角形的性质即可求出EF；②答案如图2.当点3'在的中垂线上时，B'

为。G的中点，过点3'作于点尸，过点R作歹交尸8的延长线于点。，得到

AP=-AG=-AB=3,B'P=6,同①即可求出EF.

24

【解答】解：：SMDC=­S正方形ABC。，

二点G是AB的中点，

又•..点3'在正方形的对称轴上，

.•.分以下两种情况讨论:

①如答案图1,当点B'在对角线AC上时，过点作于点尸，过点R作42,8。交P8的延

长线于点Q,则四边形PBR9为矩形，

答案图1

:在正方形A3CD中，AG//CD,

.AGAB,_1

•,CD—8C—2'

,/AB=12,

二AC=1272，

/.AB，」AC=4夜，

3

Z£L4C=45°,

AAP=PB'=4,PB=QF=8,由折叠可知NEB'F=NEM=90°,

APEBSkQB'F,

.B'E_PE_B'P

••/一丽一丁一5，

设BE=B，E=m,BF=B'F=PQ=2m,则B'Q=2m—4,

PE=-(2/n-4),

*/PB=QF,

/--(2m-4)+m-8,解得m=5,

；•BF=10,

•*-EF=VBE2+BF2=545；

②如答案图2.当点3'在的中垂线上时，3'为。G的中点，过点3'作8尸，人8于点尸，过点歹

作FQ工BC交PB的延长线于点Q,

BNFC

答案图2

则AP」AG」AB=3,B'P=6,

24

:.QF=BP=9,同理①可得ER=巨竺，

4

综上所述，折痕所的长为5百或身叵.

4

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称变换，相似三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想

思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

三、解答题

7.如图，在心AABC中，NE4c=90°,ZABC=30°,MN//AC,。为3c边上一点，连接AD，作

DELAD交MN于点、E，连接AE.猜想线段与。石之间的数量关系，并证明.

A

【答案】DE=6AD，见解析

【解析】过点。作。G，3c交AB于点G,通过证明2\8£)£54604,可得必>=必，即在比@50

DEBD

中，—=tan30°---故空■=《!，即。E="4£>.

BD3DE3

【解答】解：DE=6AD.

证明：如图，过点。作。G,3c交A3于点G,

则/BDE+NGDE=90°,

■.DE±AD,

:.ZGDE+ZADG=9Q°,

:./GDA=ZBDE,

Z£L4C=90%ZABC=30°,

:.ZC=6Q°,

;MN//AC,

:.ZEBD=180°-ZC=120°,

vZABC=3Q°,DG1BC,

..ZBGD=60°,

:.ZAGD=120°^ZEBD,

・•△BDEs^GDA,

.DAGD

"~DE~~BD，

在拉ABDG中,^=tan30°=—

BD3

,即。E=6AD.

DE3

A

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的

关键.

8.已知AABC中NABC=90°,点。、E分别在边5C、边AC上，连接。E,。尸，。E,点R、点。在

4DDF

直线OE同侧，连接尸C且一=——=k.

BCDF

（1）点。与点5重合时,

①如图1,左=1时，AE和FC的数量关系是；位置关系是

C

图1图2

图3

B

图4

②如图2,攵=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；

（2）BD=2CD时,

③如图3,左=1时，若==6,求/C的长度；

④如图4,左=2时，点M、N分别为"和AC的中点，若AB=10,直接写出MN的最小值.

【答案】（1）①AE1FC；②AE=2FC；AE1FC；理由见解析；⑵③PC=6；④MN的最小值为*.

3

【解析】（1）①利用SAS证出△ABE0Z\CDF,从而证出AE=FC,ZA=ZDCF,然后证出NACF=90。即可

得出结论；

AE

②根据相似三角形的判定证出△从而得出­=2,然后证出NACF=90。即可

CF

得出结论；

（2）③作GOL8C于点。，交AC于点G；作GHLA8于点H,交于点"；DMLAC,利用SAS证出

AEDG^AFDC,从而得出EG=FC,令DC=a,BD=2a,根据三角形的面积公式即可求出a值，从而求出

结论；

④连接MD和MC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=CM=」EE,从而得出点M的

2

运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H,然后证出四边形NMHG

为平行四边形，从而求出结论.

【解答】（1）①解：；ZABC=90。，DF±DE,

：.ZABC=ZEDF=90°,ZA+ZBCA=90°

:.ZABE+NEDONCDF+ZEDC

.•.ZABE=ZCDF

ABDE一

----=------=K=1

BCDF

・・・AB=CB,DE=DF

.,.△ABE^ACDF

・・・AE=FC,NA=NDCF

AZDCF+ZBCA=90°

・•・ZACF=90°

・・・AE_LFC

故答案为：AE=FC；AEA.FC；

②证明：AE=2FC；AELFC

•；DF上DE

：.ZEDF=ZABC=90°

：.ZABE=ZCDF-

..ABDE.

・-----二-------二2

BCDF

：.AABACDF

A石

/.ZA=ZDCF——=2

fCF

•・・ZA+ZACB=90°

：.ZDCF+ZACB=90°

AZACF=90°；BPFCLAE-

(2)③解：作G0L8C于点。，交AC于点G；作于点H,交于点H；DM±AC.

・•・四边形BDGH为矩形

：.DB=HG

ABDEi

ZABC=90°,——=——=1

BCDF

：.ZA=ZHGA=ZACB=45°

：.DC=DG

9：DE±DF

：.ZEDG=ZFDC

:.LEDG当AFDC(SAS)

：.EG=FC

•:BD=2CD

:,令DC=a,BD=2a

：・AG=2亚a

••.EG=2缶—2,MD=W(i.

S^CDF~6

SACDF=^EG-MD=^2j2a-2^^^=6

解得4=20,4=-手（舍）

：.FC=EG=6

oAB

④；—-----k=2AB=10

BCDFf

：.BC=5

•:BD=2CD

CD=—BC=—

33

由③易证/ECF=90。

在RtAEDF和RtAECF中，点M为EF的中点，连接MD和MC

.,.DM=CM=-EF

2

•••点M的运动轨迹为是CD的垂直平分线的一部分，作CD的垂直平分线MH交BC于H

.•.当NM_LMH时，MN的最小，易知MN〃:BC,MH〃AB,CH=-CD=-

26

取BC的中点G,连接NG,则CG=」8C=2

22

ANG为4ABC的中位线

；.NG〃AB

；.MH〃NG

四边形NMHG为平行四边形

止匕时MN=GH=CG-CH=-

3

即MN的最小值为*.

3

【点睛】本题主要考查几何变换综合题、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质，解题关键

是熟练掌握三角形的中位线的性质、相似三角形的判定及性质和全等三角形的判定及性质.

9.如图1,点。为正方形ABC。的中心，E为AB边上一点，尸为BC边上一点，△仍尸的周长等于BC的

长.

（1）求/EOE的度数.

（2）连接。4、OC（如图2）.求证：AAOEsACFO.

（3）若0E=2^0F,求处的值.

2CF

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）-

4

【解析】（1）.在BC上取一点G,使得CG=BE,连接OB、OC、OG,然后证明△OBE和△OCG全等，从而

得出NBOE=NCOG,NBEO=NCGO,OE=OG,根据三角形的周长得出EF=GF,从而得出4FOE和4GOF

全等，得出/EOF的度数；（2）、连接OA,根据点O为正方形ABCD的中心得出/OAE=/FCO=45。，结

合/BOE=/COG得出NAEO=NCOF,从而得出三角形相似；（3）、根据相似得出线段比，根据相似比求出

AE和CO的关系，CF和A0的关系，从而得出答案.

【解答】解：（1）.如图，在BC上取一点G,使得CG=BE,连接OB、OC、0G.

'••点O为正方形ABCD的中心，

AOB=OC,ZBOC=90°,ZOBE=ZOCG=45°.

AAOBE^AOCG(SAS).

AZBOE=ZCOG,ZBEO=ZCGO,OE=OG.

・・・NEOG=90。，

VABEF的周长等于BC的长，

EF=GF.

AAEOF^AGOF(SSS).

・・・NEOF=NGOF=45。.

⑵.连接OA.・・•点。为正方形ABCD的中心，

.*.ZOAE=ZFCO=45°.

NBOE=ZCOG,NAEO=ZBOE+NOBE=NBOE+45。,

NCOF=ZCOG+NGOF=ZCOG+450.

・•・NAEO=NCOF,且NOAE=NFCO.

J△AOE^ACFO.

(3).VAAOE^ACFO,

,AO_OE_AE

**CF-FO-CO,

一OEOE

即AE=——xCO,CF=ACH

FOFO

J5OE

VOE=^r.OF,・•・-------=

2FO2

、氏2

・・・AE=±CO,CF=TAO.

2V5

AE5

CF4.

D

点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非

常强，难度较大.熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键.

10.在必AABC和应△/）防中，ZABC=ZEDF=30°,ZBAC=ZDEC=90°,3c与。厂在同一条直

线上，点C与点P重合，AC=2,如图为将△CEO绕点。顺时针旋转30。后的图形，连接BD，AE,

若匹=^AC,求48DC和△AEC的面积.

2

【答案】ABDC和AAEC的面积分别为2和人.

2

【解析】过点D作DM，BC于点M,根据30。所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证

△BDCSAAEC,在RtZ\DMC中，可得DM=1,即ABDC的面积可求，且§△瓯

即AAEC

^ABDC

的面积可求.

【解答】解：如图所示，过点D作DM^BC于点M,

VAC=2,EF=-AC,

2

EC=1,

XVZABC=30°,ZEDC=30°,

...在Rt^BAC和Rt^DEC中，BC=2AC=4,DC=2EC=2,由旋转性质知，NBCD=NACE=30°,

BCCDc

-----=-----=2,

ACEF

,-----------------------"BDBC=

..ABDCs△AEC»故=2,

AEAC

在RtADMC中,ZBCD=30°,DC=2,

•••DM=1，

_BCDM_4xl

,,dABDC-一―2~1/，

VABDC^AAEC,

.•.^c=f-Y=-,/.5AAEC=-X2=-,

%DCUJ442

ABDC和△AEC的面积分别为2和工.

2

【点睛】本题主要考察了含30。角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于

证明ABDCSAAEC,且相似三角形的面积之比为边长之比的平方.

11.问题背景：如图(1),已知△ABCSAWE,求证：△ABD-AACE；

尝试应用：如图(2),在AABC和AADE中，ZBAC=ZDAE=90°>ZABC=ZADE=30°，AC与

。石相交于点R.点。在3c边上，-^73,求生的值；

BDCF

拓展创新：如图(3),。是AABC内一点，ZBAD=ZCBD=30°-NBDC=90°，AB=4,AC=26,

直接写出AD的长.

【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：AD=B

4HACABAC

【解析】问题背景：通过△ABCs△的得到7一=，，一=—匕，再找到相等的角，从而可证

ADAEADAE

△ABDSAACE；

尝试应用：连接CE,通过可以证得△ABD-AACE,得到处=42,然后去证

CEAE

△AFEs^DFC,AADFs^ECF,通过对应边成比例即可得到答案;

拓展创新：在AD的右侧作NDAE=/BAC,AE交BD延长线于E,连接CE,通过△B4C5AEME,

△BAD^&AE,然后利用对应边成比例即可得到答案.

【解答】问题背景：•..△ABCSZSADE,

,ABAC

••NBAC=NDAE,------------,

ADAE

：.NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

・•・NBAD=NCAE,

**•AABD~AACE；

尝试应用：连接CE,

BC

D

•­•ABAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30°，

**•ABAC~ADAE,

.ABAD

ACAE

*：NBAD+NDAC=CAE+NDAC,

AZBAD=ZCAE,

*'•AAJBD^AACE,

BDAD

CEAE

由于NADE=30°，/DAE=90°，

Ap

・・・加〃30。=——

AD3

即变=四=6,

CEAE

翳6

小

VZBAC=ZDAE=90，ZABC=ZADE=30，

；•ZC=ZE=60°，

又：ZAFE=ZDFC,

Z\AFE^Z\DFC,

.AFEFAFDF

>>----=----,即an-----=----

DFCFEFCF

又：ZAFD^ZEFC

AADFS/\ECF,

.DF_AD_

••---------------J;

CFCE

拓展创新：AD=45

如图，在AD的右侧作NDAE二NBAC,AE交BD延长线于E,连接CE,

VZADE=ZBAD+ZABD,ZABC=ZABD+ZCBD,/BADZCBD=30°，

AZADE=ZABC,

又"DAE=NBAC,

**•^BAC~ADAE,

.ABAC_BC

**AD-AE-DE?

XVZDAE=ZBAC,

AZBAD=ZCAE,

/.^BAD^^CAE,

.BDABAD_4_243

•,瓦一瓦―瓦—访一丁’

设CD=x,在直角三角形BCD中，由于/CBD=30。，

；.BD=6X，BC=2X,

3

/.CE=—x

29

..AB_BC

•AD-?

4_2x

•••而一有，

—X

•*.AD=厉

【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

12.在AABC中，NACB=90°,C。是中线，AC=BC,一个以点。为顶点的45。角绕点。旋转，使

角的两边分别与AC、8C的延长线相交，交点分别为点£、F,。尸与AE交于点DE与BC交于点、N.

图2

(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF；

如图2,在NEA*绕点。旋转的过程中，试证明CZ>2=CE.C广恒成立;

(3)若CD=2,CF=近,求。N的长.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）£>N=2叵

3

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到/BCD=NACD=45。，/BCE=NACF=90。，于是得到NDCE

=/DCF=135。，根据全等三角形的性质即可的结论;

rA「7-।

(2)证得ACDFs/XCED,根据相似三角形的性质得到J=——，即CD2=CE・CF；

CECD

(3)如图，过D作DG_LBC于G,于是得到/DGN=/ECN=90。，CG=DG,当CD=2,=应时,

求得CE=20，再推出ACENsAGDN,根据相似三角形的性质得到0=C£=¥=2,

求出GN,

GNDGV2

再根据勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：：NACB=90°，AC^BC,。是中线,

AZBCD=ZACD=45°,ZBCE=ZACF=9Q。,

:.NDCE=ZDCF=135°.

CE=CF

在ADCE与&DCF中，<NDCE=NDCF,

CD=CD

：.ADCE学ADCF.

，DE=DF；

(2)证明：：NZ)CF=NZ)CE=135°,

；•ZCDF+ZF=180°-135°=45°

•••ZCDF+ZCDE=45°,

；•/F=NCDE.

ACDF^ACED.

CDCF,

•••-=—>BnnPCD2=CECF.

CECD

(3)如图，过。作。GLBC于点G,

则NDG/V=N£GV=90°,CG=DG.

当8=2,=0时,

由。02=虑・。尸，得CE=26.

在RMDCG中,

CG=DG=CD-sinNDCG=2xsin45。="

,:NECN=/DGN,ZENC=ZDNG,

△CENs^GDN.

.CNCE2V2c

•,----=-----=——2,

GNDGV2

GN=-CG=-XS/2^—.

333

图2

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三