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文档简介

第24节直线、平面平行的判定与性质

基础知识要夯实

1.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点,则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

平面外一条直线与此平面内的a______

bua,a//b=>a

判定定理一条直线平行,则该直线平行

//a

于此平面

一条直线和一个平面平行,则

u//a,,aC\0=

性质定理过这条直线的任一平面与此平

b=a"b

面的交线与该直线平行与

2.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

一个平面内的两条相交直线

aua,bua,尸,

判定定理与另一个平面平行,则这两

a//p,b〃ga〃B

个平面平行

两个平面平行,则其中一个

/k/

平面内的直线平行于另一个a//p,〃ua=a〃4

平面

性质定理

如果两个平行平面同时和第

a//P,aC\y=a,

三个平面相交,那么它们的

=b=a〃b

交线平行

核心素养要做实

考点一直线与平面平行的判定与性质

【例1】在如图所示的几何体中,四边形A8CD是正方形,ABCD,E,尸分别是线段A。,

的中点,E4=AB=1.

(1)证明:EF〃平面PDC;

⑵求点B到平面PDC的距离.

【解析】⑴证明取PC的中点M,连接DM,MF,

,:M,尸分别是尸C,的中点,J.MF//CB,MF=-CB,

2

为D4的中点,四边形ABCO为正方形,

J.DE//CB,DE=-CB,

2

J.MF//DE,MF=DE,四边形DEPM为平行四边形,

J.EF//DM,PDC,DWu平面POC,

.♦.EV〃平面PDC.

(2)解〃平面P£>C,...点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.

:•必_L平面ABC。,C.PALDA,在R3B4D中,PA=AD=l,:.DP=42.

平面A2C£),J.PALCB,':CB.LAB,PA^AB^A,CB_L平面

:.CB±PB,则PC=g,:.PD2+DC2=PC2,

...△PCC为直角三角形,

xlx^2正

SAPDC=

2T

连接EP,EC,易知VE-PDC=VC-PDE,设E到平面POC的距离为力,

':CDLAD,CDLPA,ADC\PA^A,CZ)_L平面B4D

lA/2111VI

贝n!Jl—x〃x---=—xlx—x—xl,:,h=---,

323224

/.点F到平面PDC的距离为巫

4

【例2】如图所示,在正方体ABCD-A13Gp中,棱长为2,E,P分别是棱。。i,GZ)i的中点.

(1)求三棱锥Bi—AiBE的体积;

(2)试判断直线81尸与平面是否平行,如果平行,请在平面A/E上作出与助产平行的直线,并

说明理由.

一1114

【解析】(1)如图所不,VB,-A,BE=VE-A,B,B——S^A,B.B-DA=—x—x2x2x2=—

1111311323

(2)8/〃平面ALBE.延长A1E交A。延长线于点H,连即/交C。于点G,则2G就是所求直线.证明

如下:

因为84〃平面CDDiCi,平面AiBHD平面CDDCGE,所以AYB//GE.

又A出〃CDi,所以GE〃CA.

又E为。A的中点,则G为CZ)的中点.

故8G〃8iRBG就是所求直线.

【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形

的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.

2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平

行,,,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.

【跟踪训练】

1.(2020•江苏卷)如图,在三棱锥A—8CZ)中,AB1AD,BCA.BD,平面AB£)_L平面8C。,点E,F(E

与A,。不重合)分别在棱AO,8。上,且EF_LAD.

(2)AD±AC.

【解析】(1)在平面A3。内,AB.LAD,EFLAD,

贝UA2〃EE

:ABu平面ABC,ERt平面ABC,

尸〃平面ABC.

(2)':BC±BD,平面ABOn平面BCD=B。,平面ABD_L平面BCDBCu平面BCO,

,BCJ_平面ABD

:A£)u平面ABD,:.BC±AD.

又AB_LAD,BC,ABu平面ABC,BCP\AB=B,

,A。_L平面ABC,

又因为ACu平面ABC,:.AD.LAC.

考点二面面平行的判定与性质

【例2】如图所示,在三棱柱48C—AiSG中,E,F,G,X分别是AB,AC,4防,4G的中点,

求证:

(1)2,C,H,G四点共面;

⑵平面£7%〃平面BCHG.

【解析】⑴:G,H分别是45,4G的中点,

.•.G4是△481G的中位线,则Ga〃8iG.

又,:B\C\〃BC,

:.GH//BC,:,B,C,H,G四点共面.

(2)V£,尸分别为AB,AC的中点,:.EF//BC,

平面BCHG,BCu平面BCHG,

〃平面BCHG.

又G,E分别为A向,AB的中点,AiBi^AB,

:.AxG^EB,

四边形4E2G是平行四边形,.••4E〃GA

平面BCHG,GBu平面BCHG,

;.AiE〃平面BCHG.又,:AiECEF=E,

平面EE%〃平面BCHG.

【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).

2.面面平行条件的应用

(1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.

(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.

【跟踪训练】

1.如图,四棱锥尸一ABCD中,底面A8CD是直角梯形,AB//CD,AB±AD,AB=2CD=2AD=4,

侧面孙B是等腰直角三角形,PA=PB,平面丛8,平面A8CD,点E,F分别是棱AB,上的点,

平面CE7"平面PAD.

⑴确定点E,尸的位置,并说明理由;

(2)求三棱锥F-DCE的体积.

【解析】(1)因为平面CEP〃平面PAD,平面CEFn¥ffiABCD=CE,

平面平面ABCD=AD,

所以CE〃AO,又AB“DC,

所以四边形AECD是平行四边形,

所以OC=AE=LAB,

2

即点E是AB的中点.

因为平面CEP〃平面PAD,平面CEFQ平面PAB=EF,平面B4OCI平面PAB=PA,

所以EF〃以,又点E是A8的中点,

所以点尸是P8的中点.

综上,E,歹分别是A2,尸8的中点.

(2)连接PE,由题意及(1)知用=尸8,AE=EB,

所以尸E_LAB,又平面B4B_L平面ABC。,平面出20平面ABCZ)=AB,

所以PE_L平面ABCD

5LAB//CD,ABLAD,

,11112

所以VF-DEC=-VP-DEC=-SADECXPE=—x—x2x2x2=—.

26623

:.CE^1.

达标检测要扎实

一、单选题

1.设。是直线,。是平面,则能推出。//0的条件是()

A.存在一条直线6,a//b,buaB.存在一条直线b,a±b'b±a

C.存在一个平面au°,all/3D.存在一个平面夕,a,B,a(3

【答案】C

【解析】对于A,若aua,可满足a//),bua,但无法得到a//a,A错误;

对于B,若auar,可满足:,bA.a,但无法得到a//a,B错误;

对于C,由面面平行的性质知:若a〃/,au/3,则a//a,C正确;

对于D,若“ua,可满足。_L#,a,(3,但无法得到a//a,D错误.故选:C.

2.如图,正方体ABC。-A用G2中,E为中点,尸在线段上.给出下列判断:①存在点尸使

得AC,平面4EF;②在平面4月£2内总存在与平面片所平行的直线;③平面4EF与平面ABC。

所成的二面角(锐角)的大小与点尸的位置无关;④三棱锥B-屁口的体积与点尸的位置无关,其中

正确判断的有()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

7

【解析】对于①,假设存在F使得4C_L平面耳或,则AC,瓦石,又BC工BRBCHA1C=C,

.•.瓦平面ABC,则与这与42,A与矛盾,所以①错误;

对于②,因为平面瓦£厂与平面相交,设交线为/,则在平面A与G2内与/平行的直线平行

于平面耳E厂,故②正确;

对于③,以。点为坐标原点,以ZM所在直线为X轴,OC所在直线为y轴,D2所在直线为Z轴,

建立空间坐标系,则平面MCD的法向量为正=(0,0,1)而平面用E歹的法向量入随着尸位置变化,

故平面耳与平面ABC。所成的二面角(锐角)的大小与点P的位置有关,故③错误;

对于④,三棱锥尸的体积即为三棱锥尸-3旦石,因为平面AB4A,所以,当/在线段

OR上移动时,P到平面AB与A的距离不变,故三棱锥2-与后尸的体积与点产的位置无关,即④正

确.故选:D.

3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形A5CD为底面,则四

边形EFG。的形状为()

A.梯形B.平行四边形

C.可能是梯形也可能是平行四边形D.矩形

【答案】B

【解析】因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH口平面ABFE=,平面EFGHPl平面

CGHD=GH,根据面面平行的性质可知EF〃GH,同理可证明EH//FG.

所以四边形EFG”为平行四边形.故选:B.

4.如图,A8CD-A/SC/Q为正方体,则以下结论:①BD〃平面C8/。/;②AGL3。;③AC平

面can其中正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由正方体的性质得42,所以结合线面平行的判定定理可得:平面c与2;所以

①正确.

由正方体的性质得ACLBO,QCLBD,可得5。,平面CQA,所以所以②正确.

由正方体的性质得42,由②可得所以AG^BQ,同理可得Ac「cq,进而结

合线面垂直的判定定理得到:4C],平面CgR,所以③正确.故选:D.

5.平面。〃平面夕,aua,bu/3,则直线a和6的位置关系()

A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.平行或相交或异面

【答案】B

【解析】•••平面a〃平面夕,.•.平面a与平面夕没有公共点

,:aua,Au。,.•.直线a,b没有公共点

直线。,6的位置关系是平行或异面,故选:B.

6.如图,在正三棱台ABC-AB©中,AB^2,4耳=4,必=2TLM,N分别是明,BG的

中点,贝!1()

A.直线MN〃平面ABC,直线与BG垂直

IT

B.直线MN〃平面ABC,直线A片与BC所成角的大小是右

C.直线MN与平面ABC相交,直线AB1与BG垂直

D.直线MN与平面ABC相交,直线4月与BC所成角的大小是三

【答案】B

【解析】取8月中点。,连接DM,DN,由题意可知,DM//AB,DN//BC,

所以平面〃平面A3C,

所以直线〃平面A3C,

取48中点/,4G中点E,AC中点G,连接DE,EF,FG,GQ,B.F,

易知〃4片,DE/IBC,,

所以直线DE与直线DF所成角即为直线A4与BCi所成角,

在等腰梯形AB4A中,AB=2,A瓦=4,的=2后,

可得做=26,B、F=@),F,。分别为A3,2耳中点,所以。歹=:A4=J7,

同理:DE=-J1,

在等腰梯形FGC再中,FG=1,耳4=4,B、F=应,可得EF=后,

在ADEF中,DE=DF=>/1,EF=后,

由余弦定理可得:cosZEDF=㈤+DF"-淖=7+7-21=一J_,

2DEDF2x72

9TTTT

所以/也/=彳,即直线DE与直线。尸所成角的大小是巳,

因此直线A片与BG所成角的大小是巳,故选:B.

C

G

7.给出以下四个命题,能判断平面a和平面£平行的条件是

A.a内有无数条直线都与£平行B.a内的任一条直线都与夕平行

C.直线aua,直线,u/?,且。//夕,b//aD.直线autz,且a〃/

【答案】B

【解析】A.平面a内有无数条直线与平面夕平行时,两个平面可能平行也可能相交,故A不满足条

件;

B.平面a内的任何一条直线都与平面夕平行,则能够保证平面a内有两条相交的直线与平面夕平行,

故B满足条件;

C.直线“ua,直线bu0,且a///7,blla,则两个平面可能平行也可能相交,故C不满足条件;

D.直线aua,且。〃尸,则两平面可能相交或平行,故D不满足条件故选:B.

8.如图,在棱长为1的正方体ABCD-aqGR中,点P在线段上运动,则下列命题中错误的是

()

A.直线PC和平面所成的角为定值

B.点尸到平面GB3的距离为定值

C.异面直线C|P和C4所成的角为定值

D.直线CD和平面BPG平行

【答案】A

【解析】对A,由平面当点P分别在点A或2时,线面角不一致,故A错误;

对B,由ADJ/BC\,BQu平面CtBD,AD,<z平面ClBD,所以AR//平面C(BD,

所以点P到平面C{BD的距离为直线AD,上任意点到平面C.BD的距离,故B正确

对C,由平面C/3即平面BQ=B.

A民BGu平面ABG2,所以C耳,平面ABCS,所以C与,C/,故C正确

对D,由平面C/B即平面ABC12,CDHCR,CQu平面ABCQ,

CD<Z平面ABCQ,所以8〃平面ABCQ,所以D正确故选:A

二、多选题

9.在正方体ABC。-AqGR中,点P在线段AR上运动,则下列命题正确的是()

A.异面直线C7和C4所成的角为定值

B.直线。和平面BPG相交

C.三棱锥。-BPG的体积为定值

D.直线CP和直线AB可能相交

【答案】AC

【解析】对于A,因为在正方体ABCO-ABCA中,耳Cd.BG,

又BCQCQLQ,BQ,G2u平面ABG2,所以4C,平面AB£2,

而GPu平面ABG2,所以用C,GP,

故这两个异面直线所成的角为定值90。,所以A正确;

对于B,因为平面8PG与面A8GR是同一平面,

DC//AB,ABI平面ABCQI,CD,平面ABC{D1,

故CD〃平面A8CQ,即CD〃平面BPG,故B错误;

对于C,三棱锥。-BPG的体积等于三棱锥尸-DBG的体积,

而平面为固定平面,且ADBG大小一定,

又因为PeAR,

因为叫//g,明仁平面BDC},8Gu平面BOQ,

所以A,//平面D3Q,

所以点A到平面D3C]的距离即为点p到该平面的距离,为定值,

所以三棱锥O-8PG的体积为定值,故C正确;

对于D,直线CP和直线43是异面直线,不可能相交,故D错误.

故选:AC.

4

10.如图,已知四棱锥P-ABCD中,尸£)_1平438,ZDAB=ACBD=90°,ZADB=NBDC60°,

E为PC中点,尸在。上,ZFBC=30°,PD=2AD=2,则下列结论正确的是()

A.BE//®PAD

B.PB与平面ABC。所成角为30°

C.四面体。-施产的体积为且

3

D.平面平面PAD

【答案】ACD

【解析】对于A,连结所,DE,因为NZMB=NCBD=90。,ZADB=2ZBDC=60°,

所以NDCF=30。,ZFBC=3O°,故BB=CF,

同理可得£>尸=防,故DF=CF,

所以尸为8的中点,又E为PC的中点,故EFHPD,

又所(Z平面PA£>,PDu平面PAD,故EF〃平面FAQ,

又因为^ADC=60°+60°=120°,NBFC=180°-/FBC—NBCF=120°,

所以/ADC=/BFC,故ADHBF,

又3Po平面PAD,ADu平面PAD,故3/〃平面PAD,

又EFC]BF=F,EF,族u平面班F,

所以平面BEF〃平面PAD,又BEU平面BEF,所以跳;〃平面尸/⑷,故A正确;

对于B,因为尸DJ_平面ABCO,所以与平面ABCD所成的角即为/尸3£),

PD

因为AD=1,所以应)=2,则tanNP8Z)==1,

BD

又NPBDe0仁,故々班》=45。,故选项B错误;

对于C,S即=*BD.DF.sin60。=布,

因为平面ABCD,EF//CD,所以EF_L平面45cD,

XEF=-PD,所以/7=即=1,

2

BEF=VBDF=~S-h=-x43xl=~,故选项C正确;

LJ—iftLrcE,—£fUr3^UBUDrF3V3

对于D,因为PD,平面ABCD,ABi平面ABCD,所以尸

又因为AB_LAD,ADIPD=D,AD,PDu平面PAD,

所以AB_L平面PA£),又AB1平面R4B,

所以平面PAB_L平面尸AD,故选项D正确.

故选:ACD.

11.如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点尸在线段

上运动时,下列四个结论中恒成立的为().

D

B

A.EP^ACB.EP//BDC.E尸〃面S3£>D.£?_1面54。

【答案】AC

【解析】如图所示,连接AC、即相交于点。,连接EM,EN.

由正四棱锥S-ABCD,可得SO_L底面ABCD,AC±BD,所以SO_LAC.

因为SOcBD=O,所以AC_L平面SBD,

因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,

所以EM//D,MN//SD,而EMcMN=N,

所以平面〃平面5B£>,所以AC_L平面EMN,所以AC_LEP,故A正确;

由异面直线的定义可知:£P与8£>是异面直线,不可能EP〃皿,因此8不正确;

平面EW〃平面SBD,所以EP〃平面5BD,因此C正确;

£M_L平面SAC,若EP_L平面SAC,则EP//EM,与口口加二后相矛盾,

因此当P与M不重合时,EP与平面&LC不垂直,即。不正确.

故选:AC.

12.如图,已知正方体则四个推断正确的是()

A.AC11AD1B.AC11BD

C.平面4GB//平面ACRD.平面AC]B_L平面BBQO

【答案】BCD

【解析】在正方体4BCD-A耳G2中,

对于A,由正方体的性质可知ADJIBC,,

所以NAgB即为异面直线AG与A2所成的角,

在△AgB中显然N4G8=60。,所以A©与A,成60。角,故A错误;

对于B,•••AG//AC,ACLBD,.-.AC,-LBD,故B正确;

对于C,V11AC,AD\UBC\,AG、3Ga平面AC,,AC>A,U平面AC£)],

AC"/平面ACR,8C1〃平面ACR,XAC,nsci=c>>

平面AC///平面ACR,故C正确;

对于D,•.•ACJ8Q,AG±BB},B1D1QBB,=B1,耳。,84U平面班QD,

所以AG,平面B8QO,又AQu平面AC出

平面AGB-L平面BBQ。,故D正确.故选:BCD.

三、填空题

13.已知相,n,〃是三条不同的直线,a,(3,7是三个不同的平面,有下列命题:

_[mlIn_

①《二mHp;②若zn//a,血则;

[p//n

③mua,nlla,则相〃〃;④直线初/a,直线加/a,那么加〃”;

⑤若mJIa,n///?,mlln,则q〃/?;⑥若a"y,/3lly,则a//6.

其中正确的说法为(填序号)

【答案】①⑥

{mlIn

【解析】对于①,根据平行的性质有:〃,即机〃P,故①正确;

[p//n

对于②,由根〃/小//6,得&//£或a,6相交,故②错误;

对于③,由机u%”〃a,得力〃〃,或"2,”异面,故③错误;

对于④,由直线用//a,直线〃〃a,可得加〃",加,"异面,加,〃相交,故④错误;

对于⑤,由机//%〃//£,加〃〃,得a/〃?或a,/?相交,故⑤错误;

对于⑥,若a〃7,PH7,由面面平行的传递性得c//尸,故⑥正确,

故答案为:①⑥.

14.如图,正方体ABCD-AB'C'D的棱长为1,E,歹分别是棱A4',CC'的中点,过直线E尸的

平面分别与棱班',交于点M,N,设=给出下列四个结论:

①四边形MENF一定为菱形;

②若四边形MENF的面积为S=/(x),xe(O,l),则/⑺有最大值;

③若四棱锥A-MENF的体积为卜=8(尤),xe(0.5,1),则g(x)为单调函数;

④设3c'与CB'交于点G,连接3D,在线段3D上取点P,在线段AD上取点Q,则GP+PQ的

最小值为里.

6

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①④

(解析】①平面ADDA//平面BCC'B',平面MENFc平面ADDA'=EN,平面MEVFc平面

BCC'B'=MF,EN//MF.同理可证£M〃2VF.

,四边形MEM为平行四边形.连接MMAC,BD、DB':

,四边形ABC。是正方形,C.ACLBD,

"/BB',平面ABCD,:.BB'-LAC,

':BB'[}BD=B,;.AC_L平面BDDB,

,/MNu平面BDDB',:.AC1MN.

与PC平行且相等,

.••ACFE是平行四边形,

C.AC//EF,

;.EF垂直MN,

.•.MEFN是菱形.故①正确.

②四边形MENF面积S=/(x)=;.E6脑V,EF为定值,当〃为2或B时,即尤=0或x=l时,MN

最长,此时面积最大,但即M不能取线段班,的端点,,四边形MEN尸面积无最大值.故

②错误.

③连结"、AN、AM,则四棱锥被分割成两个小的三棱锥,它们是都以AEF为底,以M、N分

别为顶点的两个三棱锥.

D'C

同②中证明AC_L平面BDUB',也可证明平面ACC'A,

则B到平面AEF的距离即为gBD.

':BB'//AA',,88'〃平面AEF,

到平面AEF的距离即为B到平面AEF的距离;劭,

同理N到平面AEF的距离也为:劭,

:.M.N到平面AEF的距离之和是定值BD,

...四棱锥A-MENF的体积为常数.故③错误.

④如图,将RtA5477沿着3。翻转到与矩形ABCD在同一平面,过G作GQLA'。于。,交BD'于

P,贝帆时GP+PQ=G。最短.

过CH作C'〃_LA7y于H,

则四边形是直角梯形,

由题可知G是3C中点,,GQ是梯形的中位线,.•.GQ=;(AJB+C'").

设NADB=ZBDC'=6,设NHD'C=a.

5CD'1

在Rt△区CZ>'中,sin8=-----=—f=,cos0=——-=—f=,

BDfBD,3

/、J212J2

sina—sin(71-2。)=sin20=2sincos3=x—j==

・••在中,C"=CDsin。二迪.

3

GQ=;(AB+C")=;xV2

+二故④正确.

故答案为:①④.

15.已知直线“2,n,平面a,P,若all。,mua,nufi,则直线相与”的关系是.

【答案】平行或异面

【解析】由题意,all/3,muct,nu/3

故直线m与及没有交点

故直线相与”平行或异面

故答案为:平行或异面

16.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下结论:

①〃平面DE;

②CN〃平面AE;

③平面BDM〃平面AFN;

④平面8DE〃平面NCF.

其中正确结论的序号是.

【答案】①②③④.

【解析】如图,

AY--------------------------------

对①,因为ABUNM,AB=NM,所以四边形ABMN是平行四边形,所以浏///AN,而®"a平

面£>E,ANu平面。E,则加欣//平面£>E.正确;

对②,因为ENUBC,EN=BC,所以四边形3CNE是平行四边形,所以跖〃CV,而CN<Z平面”,

BEu平面AF,则CN//平面AE正确;

对③,因的BF//DN,BF=DN,所以四边形瓦山。是平行四边形,所以BDUFN,

又因为ENUBC,EN=BC,所以四边形3CNE是平行四边形,所以BE//CN,而

BEcBD=B,CNcFN=N,所以平面BDM//平面AFN.正确;

对④,因为EN//BC,EN=8C,所以四边形BCNE是平行四边形,所以班〃CN,同由③:3D〃FN,

而CNcFN=N,BEcBD=B,所以平面BDE〃平面NCE正确.

故答案为:①②③④.

四、解答题

17.如图所示,已知四棱柱ABCD-ABIGR的底面"CD为菱形.

B

(1)证明:平面AB|C//平面AG。;

(2)在直线CG上是否存在点P,使3尸//平面AG。?若存在,确定点尸的位置;若不存在,说明

理由.

【解析】(1)由棱柱A3C。-A4G2的性质可知,AB\IIDG,

•;AB[①平面DAG,0Gu平面\CXD,

44〃平面AG。,

同理可证与C〃平面4GD,而A瓦cB|C=B1,ABpB|Cu平面阴C,

平面A3。//平面4G,

(2)存在这样的点尸,使BP//平面4G。,

,/\BJ/CD,A[B[=CD,

四边形4瓦8为平行四边形,

:.ADUB,C,如图所示:

在C|C的延长线上取点尸,使GC=CP,连接BP,

VB[B=GC,:.BlB//C}P,BlB=CiP,

四边形8耳。尸为平行四边形,则BP//BiC,BP=BlC,

:.BP//AtD,又BPN平面AqDAQu平面AG。,8尸〃平面

18.已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA.的中点,S.AC^BD.

A

(1)判断四边形及G”的形状,并加以证明;

(2)求证:BD〃平面EFGH.

【解析】(1)证明:取AC的中点为G,连结GE,GB,

在AACC中,EG为中位线,所以EG〃C。,EG=gcq,

又因为CCillBBi,CCi=BBi,尸为88/的中点,

所以EG〃BF,EG=BF,

所以四边形EFBG为平行四边形,

所以EF〃GB,又EFN平面ABC,GBu平面ABC,

所以EF7/平面ABC.

(2)因为E为A。的中点,

所以E到底面ABC的距离是C/到底面ABC的距离的一半,

即三棱锥2与,平面A3C,AB1BC,AA

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