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文档简介
第24节直线、平面平行的判定与性质
基础知识要夯实
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线/与平面a没有公共点,则称直线/与平面a平行.
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形表示符号表示
平面外一条直线与此平面内的a______
bua,a//b=>a
判定定理一条直线平行,则该直线平行
//a
于此平面
一条直线和一个平面平行,则
u//a,,aC\0=
性质定理过这条直线的任一平面与此平
b=a"b
面的交线与该直线平行与
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
(2)判定定理与性质定理
文字语言图形表示符号表示
一个平面内的两条相交直线
aua,bua,尸,
判定定理与另一个平面平行,则这两
a//p,b〃ga〃B
个平面平行
两个平面平行,则其中一个
/k/
平面内的直线平行于另一个a//p,〃ua=a〃4
平面
性质定理
如果两个平行平面同时和第
a//P,aC\y=a,
三个平面相交,那么它们的
=b=a〃b
交线平行
核心素养要做实
考点一直线与平面平行的判定与性质
【例1】在如图所示的几何体中,四边形A8CD是正方形,ABCD,E,尸分别是线段A。,
的中点,E4=AB=1.
(1)证明:EF〃平面PDC;
⑵求点B到平面PDC的距离.
【解析】⑴证明取PC的中点M,连接DM,MF,
,:M,尸分别是尸C,的中点,J.MF//CB,MF=-CB,
2
为D4的中点,四边形ABCO为正方形,
J.DE//CB,DE=-CB,
2
J.MF//DE,MF=DE,四边形DEPM为平行四边形,
J.EF//DM,PDC,DWu平面POC,
.♦.EV〃平面PDC.
(2)解〃平面P£>C,...点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.
:•必_L平面ABC。,C.PALDA,在R3B4D中,PA=AD=l,:.DP=42.
平面A2C£),J.PALCB,':CB.LAB,PA^AB^A,CB_L平面
:.CB±PB,则PC=g,:.PD2+DC2=PC2,
...△PCC为直角三角形,
xlx^2正
SAPDC=
2T
连接EP,EC,易知VE-PDC=VC-PDE,设E到平面POC的距离为力,
':CDLAD,CDLPA,ADC\PA^A,CZ)_L平面B4D
lA/2111VI
贝n!Jl—x〃x---=—xlx—x—xl,:,h=---,
323224
/.点F到平面PDC的距离为巫
4
【例2】如图所示,在正方体ABCD-A13Gp中,棱长为2,E,P分别是棱。。i,GZ)i的中点.
(1)求三棱锥Bi—AiBE的体积;
(2)试判断直线81尸与平面是否平行,如果平行,请在平面A/E上作出与助产平行的直线,并
说明理由.
一1114
【解析】(1)如图所不,VB,-A,BE=VE-A,B,B——S^A,B.B-DA=—x—x2x2x2=—
1111311323
(2)8/〃平面ALBE.延长A1E交A。延长线于点H,连即/交C。于点G,则2G就是所求直线.证明
如下:
尸
因为84〃平面CDDiCi,平面AiBHD平面CDDCGE,所以AYB//GE.
又A出〃CDi,所以GE〃CA.
又E为。A的中点,则G为CZ)的中点.
故8G〃8iRBG就是所求直线.
【方法技巧】1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形
的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平
行,,,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.
【跟踪训练】
1.(2020•江苏卷)如图,在三棱锥A—8CZ)中,AB1AD,BCA.BD,平面AB£)_L平面8C。,点E,F(E
与A,。不重合)分别在棱AO,8。上,且EF_LAD.
(2)AD±AC.
【解析】(1)在平面A3。内,AB.LAD,EFLAD,
贝UA2〃EE
:ABu平面ABC,ERt平面ABC,
尸〃平面ABC.
(2)':BC±BD,平面ABOn平面BCD=B。,平面ABD_L平面BCDBCu平面BCO,
,BCJ_平面ABD
:A£)u平面ABD,:.BC±AD.
又AB_LAD,BC,ABu平面ABC,BCP\AB=B,
,A。_L平面ABC,
又因为ACu平面ABC,:.AD.LAC.
考点二面面平行的判定与性质
【例2】如图所示,在三棱柱48C—AiSG中,E,F,G,X分别是AB,AC,4防,4G的中点,
求证:
(1)2,C,H,G四点共面;
⑵平面£7%〃平面BCHG.
【解析】⑴:G,H分别是45,4G的中点,
.•.G4是△481G的中位线,则Ga〃8iG.
又,:B\C\〃BC,
:.GH//BC,:,B,C,H,G四点共面.
(2)V£,尸分别为AB,AC的中点,:.EF//BC,
平面BCHG,BCu平面BCHG,
〃平面BCHG.
又G,E分别为A向,AB的中点,AiBi^AB,
:.AxG^EB,
四边形4E2G是平行四边形,.••4E〃GA
平面BCHG,GBu平面BCHG,
;.AiE〃平面BCHG.又,:AiECEF=E,
平面EE%〃平面BCHG.
【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法
(1)利用面面平行的判定定理.
(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行).
2.面面平行条件的应用
(1)两平面平行,分析构造与之相交的第三个平面,交线平行.
(2)两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
提醒利用面面平行的判定定理证明两平面平行,需要说明是在一个平面内的两条直线是相交直线.
【跟踪训练】
1.如图,四棱锥尸一ABCD中,底面A8CD是直角梯形,AB//CD,AB±AD,AB=2CD=2AD=4,
侧面孙B是等腰直角三角形,PA=PB,平面丛8,平面A8CD,点E,F分别是棱AB,上的点,
平面CE7"平面PAD.
⑴确定点E,尸的位置,并说明理由;
(2)求三棱锥F-DCE的体积.
【解析】(1)因为平面CEP〃平面PAD,平面CEFn¥ffiABCD=CE,
平面平面ABCD=AD,
所以CE〃AO,又AB“DC,
所以四边形AECD是平行四边形,
所以OC=AE=LAB,
2
即点E是AB的中点.
因为平面CEP〃平面PAD,平面CEFQ平面PAB=EF,平面B4OCI平面PAB=PA,
所以EF〃以,又点E是A8的中点,
所以点尸是P8的中点.
综上,E,歹分别是A2,尸8的中点.
(2)连接PE,由题意及(1)知用=尸8,AE=EB,
所以尸E_LAB,又平面B4B_L平面ABC。,平面出20平面ABCZ)=AB,
所以PE_L平面ABCD
5LAB//CD,ABLAD,
,11112
所以VF-DEC=-VP-DEC=-SADECXPE=—x—x2x2x2=—.
26623
:.CE^1.
达标检测要扎实
一、单选题
1.设。是直线,。是平面,则能推出。//0的条件是()
A.存在一条直线6,a//b,buaB.存在一条直线b,a±b'b±a
C.存在一个平面au°,all/3D.存在一个平面夕,a,B,a(3
【答案】C
【解析】对于A,若aua,可满足a//),bua,但无法得到a//a,A错误;
对于B,若auar,可满足:,bA.a,但无法得到a//a,B错误;
对于C,由面面平行的性质知:若a〃/,au/3,则a//a,C正确;
对于D,若“ua,可满足。_L#,a,(3,但无法得到a//a,D错误.故选:C.
2.如图,正方体ABC。-A用G2中,E为中点,尸在线段上.给出下列判断:①存在点尸使
得AC,平面4EF;②在平面4月£2内总存在与平面片所平行的直线;③平面4EF与平面ABC。
所成的二面角(锐角)的大小与点尸的位置无关;④三棱锥B-屁口的体积与点尸的位置无关,其中
正确判断的有()
A.①②B.③④C.①③D.②④
【答案】D
7
【解析】对于①,假设存在F使得4C_L平面耳或,则AC,瓦石,又BC工BRBCHA1C=C,
.•.瓦平面ABC,则与这与42,A与矛盾,所以①错误;
对于②,因为平面瓦£厂与平面相交,设交线为/,则在平面A与G2内与/平行的直线平行
于平面耳E厂,故②正确;
对于③,以。点为坐标原点,以ZM所在直线为X轴,OC所在直线为y轴,D2所在直线为Z轴,
建立空间坐标系,则平面MCD的法向量为正=(0,0,1)而平面用E歹的法向量入随着尸位置变化,
故平面耳与平面ABC。所成的二面角(锐角)的大小与点P的位置有关,故③错误;
对于④,三棱锥尸的体积即为三棱锥尸-3旦石,因为平面AB4A,所以,当/在线段
OR上移动时,P到平面AB与A的距离不变,故三棱锥2-与后尸的体积与点产的位置无关,即④正
确.故选:D.
3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体,四边形EFGH为截面,长方形A5CD为底面,则四
边形EFG。的形状为()
A.梯形B.平行四边形
C.可能是梯形也可能是平行四边形D.矩形
【答案】B
【解析】因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH口平面ABFE=,平面EFGHPl平面
CGHD=GH,根据面面平行的性质可知EF〃GH,同理可证明EH//FG.
所以四边形EFG”为平行四边形.故选:B.
4.如图,A8CD-A/SC/Q为正方体,则以下结论:①BD〃平面C8/。/;②AGL3。;③AC平
面can其中正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】由正方体的性质得42,所以结合线面平行的判定定理可得:平面c与2;所以
①正确.
由正方体的性质得ACLBO,QCLBD,可得5。,平面CQA,所以所以②正确.
由正方体的性质得42,由②可得所以AG^BQ,同理可得Ac「cq,进而结
合线面垂直的判定定理得到:4C],平面CgR,所以③正确.故选:D.
5.平面。〃平面夕,aua,bu/3,则直线a和6的位置关系()
A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.平行或相交或异面
【答案】B
【解析】•••平面a〃平面夕,.•.平面a与平面夕没有公共点
,:aua,Au。,.•.直线a,b没有公共点
直线。,6的位置关系是平行或异面,故选:B.
6.如图,在正三棱台ABC-AB©中,AB^2,4耳=4,必=2TLM,N分别是明,BG的
中点,贝!1()
A.直线MN〃平面ABC,直线与BG垂直
IT
B.直线MN〃平面ABC,直线A片与BC所成角的大小是右
C.直线MN与平面ABC相交,直线AB1与BG垂直
D.直线MN与平面ABC相交,直线4月与BC所成角的大小是三
【答案】B
【解析】取8月中点。,连接DM,DN,由题意可知,DM//AB,DN//BC,
所以平面〃平面A3C,
所以直线〃平面A3C,
取48中点/,4G中点E,AC中点G,连接DE,EF,FG,GQ,B.F,
易知〃4片,DE/IBC,,
所以直线DE与直线DF所成角即为直线A4与BCi所成角,
在等腰梯形AB4A中,AB=2,A瓦=4,的=2后,
可得做=26,B、F=@),F,。分别为A3,2耳中点,所以。歹=:A4=J7,
同理:DE=-J1,
在等腰梯形FGC再中,FG=1,耳4=4,B、F=应,可得EF=后,
在ADEF中,DE=DF=>/1,EF=后,
由余弦定理可得:cosZEDF=㈤+DF"-淖=7+7-21=一J_,
2DEDF2x72
9TTTT
所以/也/=彳,即直线DE与直线。尸所成角的大小是巳,
因此直线A片与BG所成角的大小是巳,故选:B.
C
G
7.给出以下四个命题,能判断平面a和平面£平行的条件是
A.a内有无数条直线都与£平行B.a内的任一条直线都与夕平行
C.直线aua,直线,u/?,且。//夕,b//aD.直线autz,且a〃/
【答案】B
【解析】A.平面a内有无数条直线与平面夕平行时,两个平面可能平行也可能相交,故A不满足条
件;
B.平面a内的任何一条直线都与平面夕平行,则能够保证平面a内有两条相交的直线与平面夕平行,
故B满足条件;
C.直线“ua,直线bu0,且a///7,blla,则两个平面可能平行也可能相交,故C不满足条件;
D.直线aua,且。〃尸,则两平面可能相交或平行,故D不满足条件故选:B.
8.如图,在棱长为1的正方体ABCD-aqGR中,点P在线段上运动,则下列命题中错误的是
()
A.直线PC和平面所成的角为定值
B.点尸到平面GB3的距离为定值
C.异面直线C|P和C4所成的角为定值
D.直线CD和平面BPG平行
【答案】A
【解析】对A,由平面当点P分别在点A或2时,线面角不一致,故A错误;
对B,由ADJ/BC\,BQu平面CtBD,AD,<z平面ClBD,所以AR//平面C(BD,
所以点P到平面C{BD的距离为直线AD,上任意点到平面C.BD的距离,故B正确
对C,由平面C/3即平面BQ=B.
A民BGu平面ABG2,所以C耳,平面ABCS,所以C与,C/,故C正确
对D,由平面C/B即平面ABC12,CDHCR,CQu平面ABCQ,
CD<Z平面ABCQ,所以8〃平面ABCQ,所以D正确故选:A
二、多选题
9.在正方体ABC。-AqGR中,点P在线段AR上运动,则下列命题正确的是()
A.异面直线C7和C4所成的角为定值
B.直线。和平面BPG相交
C.三棱锥。-BPG的体积为定值
D.直线CP和直线AB可能相交
【答案】AC
【解析】对于A,因为在正方体ABCO-ABCA中,耳Cd.BG,
又BCQCQLQ,BQ,G2u平面ABG2,所以4C,平面AB£2,
而GPu平面ABG2,所以用C,GP,
故这两个异面直线所成的角为定值90。,所以A正确;
对于B,因为平面8PG与面A8GR是同一平面,
DC//AB,ABI平面ABCQI,CD,平面ABC{D1,
故CD〃平面A8CQ,即CD〃平面BPG,故B错误;
对于C,三棱锥。-BPG的体积等于三棱锥尸-DBG的体积,
而平面为固定平面,且ADBG大小一定,
又因为PeAR,
因为叫//g,明仁平面BDC},8Gu平面BOQ,
所以A,//平面D3Q,
所以点A到平面D3C]的距离即为点p到该平面的距离,为定值,
所以三棱锥O-8PG的体积为定值,故C正确;
对于D,直线CP和直线43是异面直线,不可能相交,故D错误.
故选:AC.
4
10.如图,已知四棱锥P-ABCD中,尸£)_1平438,ZDAB=ACBD=90°,ZADB=NBDC60°,
E为PC中点,尸在。上,ZFBC=30°,PD=2AD=2,则下列结论正确的是()
A.BE//®PAD
B.PB与平面ABC。所成角为30°
C.四面体。-施产的体积为且
3
D.平面平面PAD
【答案】ACD
【解析】对于A,连结所,DE,因为NZMB=NCBD=90。,ZADB=2ZBDC=60°,
所以NDCF=30。,ZFBC=3O°,故BB=CF,
同理可得£>尸=防,故DF=CF,
所以尸为8的中点,又E为PC的中点,故EFHPD,
又所(Z平面PA£>,PDu平面PAD,故EF〃平面FAQ,
又因为^ADC=60°+60°=120°,NBFC=180°-/FBC—NBCF=120°,
所以/ADC=/BFC,故ADHBF,
又3Po平面PAD,ADu平面PAD,故3/〃平面PAD,
又EFC]BF=F,EF,族u平面班F,
所以平面BEF〃平面PAD,又BEU平面BEF,所以跳;〃平面尸/⑷,故A正确;
对于B,因为尸DJ_平面ABCO,所以与平面ABCD所成的角即为/尸3£),
PD
因为AD=1,所以应)=2,则tanNP8Z)==1,
BD
又NPBDe0仁,故々班》=45。,故选项B错误;
对于C,S即=*BD.DF.sin60。=布,
因为平面ABCD,EF//CD,所以EF_L平面45cD,
XEF=-PD,所以/7=即=1,
2
BEF=VBDF=~S-h=-x43xl=~,故选项C正确;
LJ—iftLrcE,—£fUr3^UBUDrF3V3
对于D,因为PD,平面ABCD,ABi平面ABCD,所以尸
又因为AB_LAD,ADIPD=D,AD,PDu平面PAD,
所以AB_L平面PA£),又AB1平面R4B,
所以平面PAB_L平面尸AD,故选项D正确.
故选:ACD.
11.如图,在正四棱锥S-ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点尸在线段
上运动时,下列四个结论中恒成立的为().
D
B
A.EP^ACB.EP//BDC.E尸〃面S3£>D.£?_1面54。
【答案】AC
【解析】如图所示,连接AC、即相交于点。,连接EM,EN.
由正四棱锥S-ABCD,可得SO_L底面ABCD,AC±BD,所以SO_LAC.
因为SOcBD=O,所以AC_L平面SBD,
因为E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,
所以EM//D,MN//SD,而EMcMN=N,
所以平面〃平面5B£>,所以AC_L平面EMN,所以AC_LEP,故A正确;
由异面直线的定义可知:£P与8£>是异面直线,不可能EP〃皿,因此8不正确;
平面EW〃平面SBD,所以EP〃平面5BD,因此C正确;
£M_L平面SAC,若EP_L平面SAC,则EP//EM,与口口加二后相矛盾,
因此当P与M不重合时,EP与平面&LC不垂直,即。不正确.
故选:AC.
12.如图,已知正方体则四个推断正确的是()
A.AC11AD1B.AC11BD
C.平面4GB//平面ACRD.平面AC]B_L平面BBQO
【答案】BCD
【解析】在正方体4BCD-A耳G2中,
对于A,由正方体的性质可知ADJIBC,,
所以NAgB即为异面直线AG与A2所成的角,
在△AgB中显然N4G8=60。,所以A©与A,成60。角,故A错误;
对于B,•••AG//AC,ACLBD,.-.AC,-LBD,故B正确;
对于C,V11AC,AD\UBC\,AG、3Ga平面AC,,AC>A,U平面AC£)],
AC"/平面ACR,8C1〃平面ACR,XAC,nsci=c>>
平面AC///平面ACR,故C正确;
对于D,•.•ACJ8Q,AG±BB},B1D1QBB,=B1,耳。,84U平面班QD,
所以AG,平面B8QO,又AQu平面AC出
平面AGB-L平面BBQ。,故D正确.故选:BCD.
三、填空题
13.已知相,n,〃是三条不同的直线,a,(3,7是三个不同的平面,有下列命题:
_[mlIn_
①《二mHp;②若zn//a,血则;
[p//n
③mua,nlla,则相〃〃;④直线初/a,直线加/a,那么加〃”;
⑤若mJIa,n///?,mlln,则q〃/?;⑥若a"y,/3lly,则a//6.
其中正确的说法为(填序号)
【答案】①⑥
{mlIn
【解析】对于①,根据平行的性质有:〃,即机〃P,故①正确;
[p//n
对于②,由根〃/小//6,得&//£或a,6相交,故②错误;
对于③,由机u%”〃a,得力〃〃,或"2,”异面,故③错误;
对于④,由直线用//a,直线〃〃a,可得加〃",加,"异面,加,〃相交,故④错误;
对于⑤,由机//%〃//£,加〃〃,得a/〃?或a,/?相交,故⑤错误;
对于⑥,若a〃7,PH7,由面面平行的传递性得c//尸,故⑥正确,
故答案为:①⑥.
14.如图,正方体ABCD-AB'C'D的棱长为1,E,歹分别是棱A4',CC'的中点,过直线E尸的
平面分别与棱班',交于点M,N,设=给出下列四个结论:
①四边形MENF一定为菱形;
②若四边形MENF的面积为S=/(x),xe(O,l),则/⑺有最大值;
③若四棱锥A-MENF的体积为卜=8(尤),xe(0.5,1),则g(x)为单调函数;
④设3c'与CB'交于点G,连接3D,在线段3D上取点P,在线段AD上取点Q,则GP+PQ的
最小值为里.
6
其中所有正确结论的序号是.
【答案】①④
(解析】①平面ADDA//平面BCC'B',平面MENFc平面ADDA'=EN,平面MEVFc平面
BCC'B'=MF,EN//MF.同理可证£M〃2VF.
,四边形MEM为平行四边形.连接MMAC,BD、DB':
,四边形ABC。是正方形,C.ACLBD,
"/BB',平面ABCD,:.BB'-LAC,
':BB'[}BD=B,;.AC_L平面BDDB,
,/MNu平面BDDB',:.AC1MN.
与PC平行且相等,
.••ACFE是平行四边形,
C.AC//EF,
;.EF垂直MN,
.•.MEFN是菱形.故①正确.
②四边形MENF面积S=/(x)=;.E6脑V,EF为定值,当〃为2或B时,即尤=0或x=l时,MN
最长,此时面积最大,但即M不能取线段班,的端点,,四边形MEN尸面积无最大值.故
②错误.
③连结"、AN、AM,则四棱锥被分割成两个小的三棱锥,它们是都以AEF为底,以M、N分
别为顶点的两个三棱锥.
D'C
同②中证明AC_L平面BDUB',也可证明平面ACC'A,
则B到平面AEF的距离即为gBD.
':BB'//AA',,88'〃平面AEF,
到平面AEF的距离即为B到平面AEF的距离;劭,
同理N到平面AEF的距离也为:劭,
:.M.N到平面AEF的距离之和是定值BD,
...四棱锥A-MENF的体积为常数.故③错误.
④如图,将RtA5477沿着3。翻转到与矩形ABCD在同一平面,过G作GQLA'。于。,交BD'于
P,贝帆时GP+PQ=G。最短.
过CH作C'〃_LA7y于H,
则四边形是直角梯形,
由题可知G是3C中点,,GQ是梯形的中位线,.•.GQ=;(AJB+C'").
设NADB=ZBDC'=6,设NHD'C=a.
5CD'1
在Rt△区CZ>'中,sin8=-----=—f=,cos0=——-=—f=,
BDfBD,3
/、J212J2
sina—sin(71-2。)=sin20=2sincos3=x—j==
・••在中,C"=CDsin。二迪.
3
GQ=;(AB+C")=;xV2
+二故④正确.
故答案为:①④.
15.已知直线“2,n,平面a,P,若all。,mua,nufi,则直线相与”的关系是.
【答案】平行或异面
【解析】由题意,all/3,muct,nu/3
故直线m与及没有交点
故直线相与”平行或异面
故答案为:平行或异面
16.如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下结论:
①〃平面DE;
②CN〃平面AE;
③平面BDM〃平面AFN;
④平面8DE〃平面NCF.
其中正确结论的序号是.
【答案】①②③④.
【解析】如图,
AY--------------------------------
对①,因为ABUNM,AB=NM,所以四边形ABMN是平行四边形,所以浏///AN,而®"a平
面£>E,ANu平面。E,则加欣//平面£>E.正确;
对②,因为ENUBC,EN=BC,所以四边形3CNE是平行四边形,所以跖〃CV,而CN<Z平面”,
BEu平面AF,则CN//平面AE正确;
对③,因的BF//DN,BF=DN,所以四边形瓦山。是平行四边形,所以BDUFN,
又因为ENUBC,EN=BC,所以四边形3CNE是平行四边形,所以BE//CN,而
BEcBD=B,CNcFN=N,所以平面BDM//平面AFN.正确;
对④,因为EN//BC,EN=8C,所以四边形BCNE是平行四边形,所以班〃CN,同由③:3D〃FN,
而CNcFN=N,BEcBD=B,所以平面BDE〃平面NCE正确.
故答案为:①②③④.
四、解答题
17.如图所示,已知四棱柱ABCD-ABIGR的底面"CD为菱形.
B
(1)证明:平面AB|C//平面AG。;
(2)在直线CG上是否存在点P,使3尸//平面AG。?若存在,确定点尸的位置;若不存在,说明
理由.
【解析】(1)由棱柱A3C。-A4G2的性质可知,AB\IIDG,
•;AB[①平面DAG,0Gu平面\CXD,
44〃平面AG。,
同理可证与C〃平面4GD,而A瓦cB|C=B1,ABpB|Cu平面阴C,
平面A3。//平面4G,
(2)存在这样的点尸,使BP//平面4G。,
,/\BJ/CD,A[B[=CD,
四边形4瓦8为平行四边形,
:.ADUB,C,如图所示:
在C|C的延长线上取点尸,使GC=CP,连接BP,
VB[B=GC,:.BlB//C}P,BlB=CiP,
四边形8耳。尸为平行四边形,则BP//BiC,BP=BlC,
:.BP//AtD,又BPN平面AqDAQu平面AG。,8尸〃平面
18.已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA.的中点,S.AC^BD.
A
(1)判断四边形及G”的形状,并加以证明;
(2)求证:BD〃平面EFGH.
【解析】(1)证明:取AC的中点为G,连结GE,GB,
在AACC中,EG为中位线,所以EG〃C。,EG=gcq,
又因为CCillBBi,CCi=BBi,尸为88/的中点,
所以EG〃BF,EG=BF,
所以四边形EFBG为平行四边形,
所以EF〃GB,又EFN平面ABC,GBu平面ABC,
所以EF7/平面ABC.
(2)因为E为A。的中点,
所以E到底面ABC的距离是C/到底面ABC的距离的一半,
即三棱锥2与,平面A3C,AB1BC,AA
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