直线与圆的位置关系知识归纳与题型训练（6类题型清单）解析版-2024-2025学年浙教版九年级数学下册

直线与因的位置关系知识归纳与题型训练

（6类题型）

01思维导图

直线与圆相离直线与圆没有公共点）

K位置关系A-（直线与圆相切A~（直线与圆有唯一个公共点）

X直线与圆相交A~（直线与圆有2个公共点）

|~一（直线与圆的位置关系）

圆。的半径为r,圆心C®l直线I的距离为d

K位置关系的定理dVro直线，与圆。相交；

d=ro直线Z与圆O相切；

d>ro直线/与圆。相离；

切线的判定］，一［煞整幽脸并且垂直这条半径的直线是圆的切线

切线的判定与性质

直线与圆的切线的性质1经过切点的半径垂直于圆的切线

位置关系

定义：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段

的长叫做切线长

切线长定理

过圆外一点所作的圆的两萩线长相等

内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形叫做圆

.的外切三角形

三角形的内切圆

内心：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心

02知识速记

一、直线与圆的位置关系

1、直线与圆的3种位置关系：

（1）直线与圆相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；

（2）直线与圆相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，该公共点叫作切点;

（3）直线与圆相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；

I、（\I।

•0II'0I•Q

直线/与圆。相交直线/与圆。相切直线,与圆〃相离

2、直线与圆的位置关系定理:

如果圆。的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,那么:

直线/与圆。相交；

d=ro直线/与圆。相切；

d>r直线/与圆。相离；

3、直线与圆相切的判定定理：

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线；

4、圆的切线的性质：

经过切点的半径垂直于圆的切线；

要点诠释：

切线性质的应用口诀：有切点，连半径，得垂直；

切线判定的应用口诀：有切点，连半径，证垂直；

无切点，做垂直，证半径；

二、切线长定理

1、切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切

线长；

如图，线段PA、PB的长是点P到圆0的切线长

2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

如上图，当PA与PB与圆0相切时，PA=PB；

另有性质：①0P垂直平分AB；②0P平分/AOB、ZAPB

三、三角形的内切圆

1、内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的

外切三角形。

2、三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点；A

要点诠释：

如图，RtAABC中，圆0为其内切圆，r为△ABC的内切圆半径；则有

\C

r=a+b—cb/—\

2/0\

•IX

I/\

____________________K\

03题型归纳ca1

题型一直线与圆的位置关系

例题：

1.（2023秋•东阳市期末）已知。。的半径为5,点。到直线a的距离为4,则直线。与。。公共点的个数

为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论.

【解答】解：:。。的半径为5,点。到直线。的距离为4,

d=4<r=5,

直线a与圆相交，

直线a与。O公共点的个数为2个，

故选：B.

2.（2024•镇海区校级二模）已知。。的直径为6c机，点。到直线/的距离为41?%，贝心与0。的位置关系

是（）

A.相离B.相切

C.相交D.相切或相交

【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为d,当d>r,直线与圆相离，当

d=r,直线与圆相切，当直线与圆相交，由的直径为6cw,点。到直线/的距离为40“，得

出d>，，进而/与。。的位置关系.

【解答】解：的直径为6cm,

：.QO的半径为3cm,

♦.•点。到直线/的距离为4c加,

:・d>r

•../与。。的位置关系相离.

故选：A.

3.(2024秋•沐阳县校级月考)已知。。的半径是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根，圆心。到直线/

的距离d=4,则直线/与^。的位置关系是相离.

【分析】解一元二次方程可得xi=-1,X2=3,由题意得OO的半径为，=3,再根据d>r,可得：直线

/与的位置关系是相离.

【解答】解：3=0,

(x+1)(x-3)=0,

•-1,X2=3,

•••(DO的半径为r=3,

圆心。到直线/的距离d=4,

'.d>r,

直线/与O。的位置关系是相离;

故答案为：相离.

巩固训练

4.(2024•西湖区校级开学)如图，在矩形/2CD中，BC=6,48=3,O。是以3C为直径的圆，则直线

AD与。。的位置关系是相切

BC

【分析】作。EL4D于E,则。£=/3=3,由题意得出半径=3,由d=r,即可得出结论.

【解答】解：如图所示：作OEL4D于E.

则OE=AB=3,

"：BC=6,

：.OB=1.BC=3,

2

：.OE=OB,即圆心到直线的距离=半径,

直线AD与。。相切.

故答案为：相切.

AED

BOC

5.（2024•拱墅区一模）在直角坐标系xOy中，对于直线/：y=kx+b,给出如下定义：若直线/与某个圆相

交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截距”.如图，点新的坐标为（-1,0）,若

的半径为2,当左的取值在实数范围内变化时，直线/关于OM的“圆截距”的最小值为加，则方的

值为±1.

【分析】如图所示，设直线/与OM交于2、C,与y轴交于D,过点M作"D,2c于E,连接M2,先

证明当点£与点。重合时，"E最小，即此时3c最小，再由2C最小=2让，求出=可得1+房

=2,解得6=±1.

【解答】解：如图所示，设直线/与。〃交于8、C,与y轴交于。，过点M作〃于E,连接

:・BC=2BE,

在KAMBE中，由勾股定理得BE=7BM2-ME2=V4-ME2,

，当披最小时，BE最大,即此时8c最小，

「MEWMD,

二当点E与点。重合时，ME最大,即此时BC最小，

•..直线/关于的“圆截距”的最小值为2加,即3c最小=26,

:.BD=LBC=®,

2

/.Affi)=^HB2_BD2=72>

,:D(0,b),

二1+62=2,

解得b=±l.

故答案为：±1.

6.(2023秋•江北区期末)如图，在Rta4BC中，NC=90°,NC=4,BC=3,若OC与直线N5相交,

则OC半径7-的值或取值范围为()

r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【分析】过C作于。，根据勾股定理得到/8=10CM,再根据三角形的面积公式得到CD的长,

然后根据圆心到N2的距离与半径的关系即可得到结论.

【解答】解:过C作CDL/8于。，

VZC=90°,/C=4,BC=3,

''•AB=442+、2=5,

；.CD=BC"AC=2.4,

AB

•..直线4g与OC相交，则厂的取值范围是r>2.4.

题型二切线的性质

例题：

I.(2023秋•镇海区月考)如图，在平面直角坐标系中，ON与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交

QA于Af、N两点，若点M的坐标是(-8,-4),则点N的坐标为()

A.(-5,-4)B.(-4,-4)C.(-3,-4)D.(-2,-4)

【分析】作于8,连结如图，设ON的半径为％先根据切线的性质得。/=%则点/的

坐标为(-厂，0),得到8点坐标为(-厂，-4),然后在中，根据勾股定理求得r=5,据此

求解即可.

【解答】解：作于8,连结如图，设。/的半径为人

,：QA与〉轴相切于原点O,

：.OA=r,

点/的坐标为(-r,0).

■:AB1MN,

:.BM=BN.

轴，A/(-8,-4),

•''B点坐标为(-r,-4).

在RtzX/BM中，AB=4,AM=r,BM=8-r.

\'AB2+BM2^AAf,

：.42+(8-r)2=/,

解得：r=5,

:.BM=3,

:.BN=3,

点坐标为(-2,-4).

故选：D.

y

V/IJ

I

2.（2023秋•婺城区期末）如图，△/BC的边N8与。。相切于点8,点C在。。上，边NC经过圆心

A.27°B.36°C.40°D.54°

【分析】连接。8,由切线的性质定理得到N/8O=90°,求出//。8=90°-36°=54°,由圆周角定

理得到/C=L//O8=27°.

2

【解答】解:连接。8,

:48与。。相切于点3,

二半径OBLAB,

：.ZABO^9Q°,

VZA=36°,

AZAOB^90°-36°=54°,

.•.4=1■//08=27°,

2

3.（2024秋•婺城区校级期中）如图，是。。的直径，PA,PC分别与。。相切于点N,C,PC交AB

的延长线于点。，。石，尸。交尸。的延长线于点£.

（1）求证：ZPDE=ZPOA；

(2)若PC=12,tan/4PC=_l,求DE的长.

3

p

【分析】(1)根据切线的性质得ZPAO=ZE=90°,证得△/POs2\£P£),进而得

证；

(2)连接。C,利用tan/PZM=芭，可求出CD=4,再证明△。瓦3八0£9,根据相似三角形的性质和

4

勾股定理即可求出OE,DE的长，.

【解答】(1)证明：PA,PC与。。分别相切于点/,C,

：.ZAPO=ZEPD,ZPAO=ZE=90°,

△APOSAEPD,

：.ZPDE=ZPOA；

(2)解：连接。C,DE交圆于点尸，

P

:.PA=pc=n,

,.,tan//PC=9=_^L,

3AP

：.AD=16,

在中，PD=VAP2+AD2=7122+162=20-

：.CD=PD-PC=20-12=8,

VtanZ^PC=A,

3

4CD

：.OC=OA=6,

在RtZXOCD中，O£>=7oc2-K：D2=V62+82=10,

ZEPD=ZODE,

：.ADEPs^OED,

•DP=PE=ED=20=?

DODEOE10

：.DE=2OE,

在RtAOED中，OE2+DE2=OD2,即5O£2=i（）2,

：.OE=2娓,

:.DE=4后.

巩固训练

4.（2024•莲都区二模）如图，48是。。的直径，C,。是O。上的两点，过点C作。。的切线交48的延

长线于点£,若/E=40°,则/。的度数为（）

D

【分析】如图，连接OC,则/OC£=90°,/COE=50。,由圆周角定理可得/D^/COB，计算求

解即可.

【解答】解：如图，连接OC,

.•.NCOE=180°-/OCE-NE=50°,

••,BC=BC-

AZD-|ZCOB=25°，

故选：D.

5.（2024•鹿城区校级三模）如图，。。经过矩形/BCD的顶点/,B,且与边CD相切于点£,与边，D

交于点尸，若/尸=9。尸，则48和5C的比值为（

D-

【分析】过点。作＜W_L4D于延长MO交BC于N,交。0于H,连接04,0B,得到⑷/=」

2

AF,根据矩形的性质得到/EON=90°,AB=MN,AM=BN,根据切线的性质得到NOEC=90°,根

据矩形的性质得到CN=OE,设。尸=x,则//=9x,BC=AD=10x,AM=1JC,OE=DN=\OX-^-X=

22

乌，求得。/=。£=旦丫，根据勾股定理即可得到结论.

22

【解答】解：过点。作于延长交于N,交。。于“，连接CM,OB,

J.AM^XAF,

2

,四边形48C。是矩形，BC=AD,

J.AD//BC,ZA=ZBZC=90°,

：.ONLBC,四边形NBMlf是矩形，

ZEON=90°,AB=MN,AM=BN,

是O。的切线，

ZOEC=90°,

四边形CEON是矩形，

：.CN=OE,

设。尸=x,则/尸=9x,BC=AD=10x,AM=^-x,OE=DN=10x-^-x=Hx,

222

J.OA—OE—,

2

在RtZUOM中，0河=40庆2_「乂2=^!5~

同理可求ON=\flOx,

：.AB=MN=2-/10x,

•AB=2VW£=V10

••而lOx~5~

6.（2023•衢州一模）如图，点。在△NBC的边/C上，。。经过点C,且与相切于点8.若OC=1,

NC=3,则前的长为（）

【分析】设NC与O。的另一个交点为点。，连接3。，解直角三角形求出//=30°,然后可得

和NBOC的度数，再根据弧长公式计算即可.

【解答】解：如图，设NC与OO的另一个交点为点。，连接3。，

：.ZOBA^9Q°,

VOC=1,AC=3,

OA=2,CD=2,

AsinZA=—

0A2

AZA=30°,

/.ZAOB=90°-30°=60°,

：.ZBOC=120°,

・近智舒米

故选：B.

7.（2024•浙江模拟）如图，是。。的直径，2C切。。于点2,N/C2的平分线交N5于点尸，若/C=

5,BC=3,则OP的长为1

2

【分析】过点尸作尸DL/C于点。，根据勾股定理求出四«^^=4,根据角平分线的性质得出

PD=PB,证明RtZ\CPZ）之RtZ\CP5,得出。。=8。=3,设PD=PB=x,则/P=4-x,根据勾股定理

得出（4-x）2=X2+22,求出x的值，最后求出结果即可.

【解答】解：过点尸作尸DL/C于点。，如图所示:

是。。的直径，8c切。。于点8,

：.ABLBC,

：.ZABC=90°,

•；/C=5,BC=3,

•*-AB=7AC2-BC2=4'

：.AO=BO=2,

•.,N/C2的平分线交N5于点P,PDLAC,

：.PD=PB,

"：PC=PC,

.*.RtACPZ)^RtACP5(HL),

；.CD=BC=3,

/.AD=5-3=2,

设PD=PB=x,贝！J4尸=4-x,

根据勾股定理得：AP2=DP2+AD2,

(4-x)2=X2+22,

解得：x=2,

x2

・31

••0P=2_1而.

故答案为：1.

2

8.(2024•定海区三模)如图，尸为。。的直径9延长线上的一点，PC为OO的切线，切点为C,CDL

4B于D,连接NC.

(1)求证：4c平分/PCD；

【分析】(1)连接。C,则/0C8=N2,由切线的性质得PCLOC,而胡是的直径，CDL/8于

D,则//。。=//。3=/。。尸=90°,可证明N0C3=//CP,则N/CP=/3,因为=

900-ZBAC,所以N/CP=N/CD,即可证明/C平分/PCD；

(2)设。。的半径为r,则尸8=3+2-，可证明△P/Cs/XPCB,得弛=达=£则尸。2=「/叩5,

PBPCCB

推导出PC=«C2,则(J5C2)2=3(3+2r),所以。台2=3+2/，由勾股定理得(毒)2+3+2r=

(2r)2,即可求得OO的半径长为3.

2

【解答】(1)证明：连接。C,则OC=O8,

；.NOCB=NB,

••,PC与。。相切于点c,

：.PC±OC,

:BA是。O的直径，CDLAB于D,

/ADC=ZACB=/OCP=9Q°,

：.ZOCB=ZACP=90°-ZOCA,

，NACP=NB,

•；/ACD=NB=90°-ABAC,

，NACP=NACD,

；./C平分/PCD

（2）解：设G）O的半径为r,则48=2r,

"：PA=3,AC=«,

：.PB=3+2r,

由（1）和

•/ZP=ZP,

：.LPACsAPCB,

•PC=PA=AC

"PBPCCB"

:.P©=PA，PB,PC=Ph"CB.=IcB=«CB,

ACV3

（V3CS）2=3（3+2r）,

/.CS2=3+2r,

'：AC2+CB2^AB2,

：.（V3）2+3+2r=（2r）2,

解得「1=3,r2=-1（不符合题意，舍去），

2

；.O。的半径长为巨

1.（2023•拱墅区二模）如图，点3在ON上，点C在ON外，以下条件不能判定3c是O4切线的是（

A.ZA=50°,ZC=40°

B.ZB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2

D.GM与NC的交点是/C中点

【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论.

【解答】解：A,,：ZA=50°,ZC=40°,

/.ZB=180°-N/-NC=90°,

：.BC±AB,

丁点B在ON上，

：.AB是。/的半径，

.•.2C是04切线；

B、:/B-/C=NA,

：./B=/A+/C,

VZ^+Z5+ZC=180°,

AZB=90°,

：.BC±AB,

•点2在ON上，

：.AB是。/的半径，

.•.2C是ON切线；

C、'：AB2+BC2=AC2,

△NBC是直角三角形，ZS=90°,

：.BCLAB,

•点8在ON上，

：.AB是ON的半径，

是04切线；

D、•••。么与NC的交点是NC中点，

.".AB=2-AC,但不能证出N8=90°,

2

.••不能判定3c是ON切线；

故选：D.

2.（2024•金华模拟）如图，已知：以Rt448C的直角边为直径作。O,与斜边/C交于点。，E为BC

边上的中点，连接

（1）猜想DE是。。的切线吗？并证明你的结论；

（2）若NC=40°,AD=6,求。。的半径.（精确到0.01,sin40°^0.64,cos40°^0.77）

【分析】（1）只要证/£DO=90°,即可得到是。。的切线；

（2）根据直角三角形两锐角互余得N/=50°,根据coS=3&,即可求得。。的半径.

AB

【解答】（1）证明：如图1,连接DB；

是OO的直径,

；.NADB=90°,

；./CDB=90°.

・"为2C边上的中点,

：.CE=EB=DE,

.\Z1=Z2.

\'OB=OD,

.*.Z3=Z4.

/.Z1+Z4=Z2+Z3.

•.•在中，ZABC=Z2+Z3=90°,

；./矶)。=/1+/4=90°.

•.•。为。。上的点，

是O。的切线.

(2)解：VZABC=90°,ZC=40°,

ZA—50

*.*cosAAD

AB

：.AB=—知。=——L_^^9.334,

cos500cos500

•••。。的半径为4.67.

巩固训练

3.（2023•龙游县一模）如图，在平面直角坐标系xQy中，半径为2的OP的圆心P的坐标为（-3,0）,

将OP沿X轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使OP与夕轴相切，则平移的时间为2或10秒.

【分析】平移分在V轴的左侧和>轴的右侧两种情况写出答案即可.

【解答】解：当。尸位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；

当OP位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.

故答案为2或10

4.（2023•龙游县校级一模）已知：如图，ZX/BC中，AB=AC,以N8为直径的交3c于点尸，PDA.

AC于点、D.

（1）求证：尸。是。。的切线；

（2）若NC48=120°,AB=6,求2c的值.

【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到N8=NC和则NOPB=NC,于是可判断OP

//AC,由于尸Q_L4C,所以在，尸然后根据切线的判定定理可得到尸。是。。的切线；

（2）由45为直径得N/PB=90°,根据等腰三角形的性质得AP=CP,所以NR4尸=60°,在RtZ\B"

中，根据含30度的直角三角形三边的关系得4尸=LB=3,BP=MAP=3M，所以5C=25尸=6%.

2

【解答】（1）证明：・・Z5=4C,

/B=/C,

•：OP=OB,

：./B=/OPB,

：.ZOPB=ZCf

：.OP//AC,

•・・PDL4C,

：.OP±PD,

•・・。尸为。。的半径，

・••尸。是OO的切线；

(2)解：连接/尸，如图,

*：AB为直径，

AZAPB=90°,

:,BP=CP,

9：ZCAB=nO°,

AZBAP=60°,

在RtZ\5/P中，AB=6,/B=30°,

：.AP=XAB=3,

2

:,BP=^AP=3愿,

:・BC=2BP=6M.

c

P

D

B

题型四切线的判定与性质

例题:

1.（2024•嘉兴一模）如图，AB=6,以45为直径作半圆，弦CD〃AB,将CD上方的图形沿CD向下折

叠，使弧与直径恰好相切于点。，则图中阴影部分的面积为3n-区3.

4—

【分析】取而的中点E,连接。£,交DC于F,连接。C,OD,则OFLCD,根据折叠的性

质，切线的性质，和扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：取面的中点R连接交DC于F,连接。C,OD,

则CF=DF,OFLCD,

OC=OD,

：.ZCOF=ZDOF,

由折叠的性质得EF=OF=1JOE=AOC,

22

在RtZkOCF中，cosNCOP=里=上，

0C2

；.NCOF=NDOF=60°,

：.ZCOD^120°,

\"AB=6,

：.OC=3,OF=3,

2

.•.OP=OC・sin60。3巨，

2

：.CD=3-/3>

阴影部分的面积=扇形OCD的面积-△OCD的面积=120•二二3

360

故答案为：371-生③.

4

2.（2023秋•柯桥区月考）如图，AB=BC,以8C为直径作。O,NC交。。于点£,过点£作于

点、F,交C8的延长线于点G.

(1)求证：EG是。。的切线；

(2)若GP=2北，G2=4,求O。的半径.

【分析】(1)连接。E.根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论;

(2)根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：(1)连接OE.

；AB=BC,

：.ZA=ZC；

；OE=OC,

：.ZOEC=ZC,

：./A=/OEC,

J.OE//AB,

'：BA±GE,

J.OELEG,且为半径；

...EG是O。的切线；

(2),:BFLGE,

：.ZBFG=90°,

：GF=2V§，GB=4,

BF=VBG2-GF2=2>

'.'BF//OE,

：.ABGFsAOGE,

•BFBG

••二,

OEOG

.2=4

"OE"4OE；

：.OE=4,

即。。的半径为4.

巩固训练

3.(2023秋•浙江期末)如图，48是。。的直径，点C、。在。。上，且/。平分NC42.过点。作/C

的垂线，与/C的延长线相交于E,与N5的延长线相交于点尸.

(1)求证：跖与相切；

(2)若DF=2仆，BF=2,求OO的半径.

【分析】(1)连接8,由题可知，£已经是圆上一点，欲证CD为切线，只需证明N。。尸=90°即可;

(2)设圆。的半径为r,则。。=05=r,OF^r+2.OD±DF,根据尸2=。尸2,求出厂即可.

【解答】(1)证明：连接OD,

'：AD平分/CAB,

：.ZOAD=ZEAD.

'：OD=OA,

；./ODA=/OAD.

：.ZODA=ZEAD.

：.OD//AE.

'：ZODF=ZAEF=90°且。在G)O上,

；.£尸与。。相切.

(2)解：设圆。的半径为^OD=OB=r,

：.OF=r+2.

*：OD±DF,

：.OD2+DF2=OF2,

-r2+(2V3)2=(r+2)2'

解得：r=2.

...圆。的半径是2.

4.(2023•婺城区校级模拟)如图，N3为。。的直径，点C是弧A8的中点，点。在圆。上，点、E在AB

的延长线上，且EF=ED.

(1)求证：是。。的切线；

(2)连接BC,若tan/BCD=工，DE=6,求N8的长.

【分析】(1)连接OC,OD,可证明/ODC=/OCD,ZFDE=ZDFE=ZOFC,根据/OCF+/O尸C

=90°,进而证明NODF+NFD£=90°,进一步得出结论；

(2)连接OD,作。G_L/£于G,设DG=a,AG=2a,OA=OD=r,OG=AG-OA=2a-r,在RtA

DOG中列出/-(2a-r)2=a2,从而『=2，进而tan/DOG=19=d-=2,进一步得出结果.

40G3。3

4a

【解答】(1)证明：如图1,

连接OC,OD,

•・,点。是弧45的中点，

AZBOC=ZAOC=90°,

：.ZOCD+ZCFO=90°,

ZBFD=ZCFOf

：.ZOCD+ZBFD=90°,

■:EF=ED,

：./BFD=NEDF,

：.ZOCD+ZEDF=90°,

•：OD=OC,

：.ZODF=ZOCD,

：.ZODF+ZEDF=90°,

；・NODE=90°,

：.ODLDE,

・・,点。在。。上，

・・・。后是。。的切线；

连接O。，作。G_L4£于G,

tanZBAD=tan/BCD=―,

2

•・,—DG=—1,

AG2

设DG=a,AG=2a,OA=OD=r,

OG=AG-04=2a~r,

在RtZXDOG中,

\'OD2-OGZ=DG1,

/.r2-(2a-r)2=a2,

".r=^-a,

4

••OG=2。-=-^47，

44

tanZDOG=电=:A-=A,

OGl3

4a

在Rt^DOE中，

■anNDOG=迈，

OD

•A=A,

*"3而

；.。。=4.5,

：.AB=2OD=9.

5.（2023秋•堇B州区期末）如图，48为。。的直径，点P为A4延长线上一点，以点尸为圆心，P。为半

径画弧，以点。为圆心，48为半径画弧，两弧相交于点C,连结。。交O。于点。，连结PD（1）求

证：尸Z）与。。相切；

（2）若PD=4&，cos/POC」"，求O。的半径.

3

【分析】（1）由作图得尸C=PO,OC=AB,由OC=4B=2O/=2。。，推导出CD=。。，根据等腰三

角形的“三线合一”得PDLOC,即可证明尸。与。。相切;

（2）设。。的半径为r,则O£>=O/=r,由亚=cos/POC=工，得。尸=3。。=3。/=3r，而PD=

0P3

4、叵,由勾股定理得（46）2+户=（3r）2,解方程求出符合题意的r值即可.

【解答】（1）证明：由作图得尸C=PO,OC=AB,

"：OA=OB=OD,

：.OC=AB=20/=2。。，

：.OD+CD=2OD,

:.CD=0D,

J.PDLOC,

是O。的半径，且尸。_L。。，

,尸。与。。相切.

(2)解：设。。的半径为％则。。=CM=r,

VZO£>P=90°,

^P_=cos/POC=工，

OP3

'.OP—'iOD—hOA—'ir,

\'PD2+OD2=OP2,且P£)=4j^,

(4a)2+/=(3r)2,

解得r=2或r=-2(不符合题意，舍去)，

二。。的半径长为2.

题型五切线长定理

例题：

1.(2022•拱墅区模拟)如图，AB、AC,5。是。。的切线，切点分别是P、C、D.若48=10,AC=6,

则BD的长是()

A.3B.4C.5D.6

【分析】由于42、AC、2D是。。的切线，贝BP=BD,求出2P的长即可求出2。的长.

【解答】解：：/C、/P为的切线，

；.4C=4P=6,

,:BP、AD为。。的切线，

：.BP=BD,

：.BD=PB=AB-/尸=10-6=4.

故选：B.

2.（2023秋•玉环市校级期中）如图所示，过半径为6cm的外一点尸引圆的切线尸4PB,连接尸。

交。。于R过尸作的切线，交PA,尸8分别于。，E,如果尸O=10cm,ZAPB=40°,则

的周长=16cm；/DOE的度数70°.

【分析】连接。/,OB,根据勾股定理可得上4=8c%,再由切线长定理可得尸DA=DF,FE=

BE,可求出△尸ED的周长；再证明丝可得尸，从而得到乙4。8=2/。。£,

即可求解.

【解答】解：如图，连接。/,OB,

•*-PA=V0P2-0A2=8cm>

；PA,PB,为。。切线，

:.PA=PB,DA=DF,FE=BE,/OAP=NOBP=90°,

：.APED的周长=P£+£尸+尸。+尸。=尸/+尸8=2尸4=16。加,

即的周长为16cro；

"：AD=FD,OD=OD,OA=OF,

：.AAOD^AFOD(SSS),

，ZAOD=ZDOF,

同理NEO尸=NE02,

/.ZAOB=2CZFOD+ZEOF)=2/DOE,

VZAPB=40°，ZOAP=ZOBP=90°，

：.ZAOB=140°,

•■•ZDOE=yZAOB=70°，

故答案为：16cm；70°.

3.（2021春•永嘉县校级期末）如图，PA,尸2分别切OO与点4,B,AW切。。于点C,分别交尸/,PB

于点M,N,若PA=15cm,则△PAW的周长是（）

A.1.5cmB.10cmC.12.5cmD.15cm

【分析】根据切线长定理得M4=MC,NC=NB,然后根据三角形周长的定义进行计算.

【解答】解：•.•直线尸/、PB、分别与O。相切于点/、B、C,

：.MA=MC,NC=NB,

:.APMN的局长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=15+15=\5（cm）.

故选：D.

巩固训练

4.（2021•绍兴模拟）如图，在矩形/BCD中，4B=3,BC=2,以3C为直径在矩形内作半圆，自点/作

半圆的切线贝Usin/C3£=（）

A.近B.2c.AD.2/IL

33310

【分析】取2C的中点。，则。为圆心，连接OE,AO,N。与2E的交点是尸，则易证ABOF

sAAOB,贝！Jsin/Q?£=_2Z_,求得。尸的长即可求解.

0B

【解答】解：取8c的中点O,则。为圆心，连接O£,AO,/。与8E的交点是R

'：AB,/£都为圆的切线，

：.AE=AB,

"：OB=OE,AO=AO,

：.^ABO^^AEOCSSS),

：.ZOAB^ZOAE,

：.AO±BE,

在直角△/。2中，AO2=OB2+AB2,

；0B=l,AB=3,

易证明ABOFs△40B,

：.BO：AO=OF：OB,

Al：V10=(9F：1,

10_

OB10

故选：D.

5.（2023秋•拱墅区校级月考）如图，一圆内切于四边形4BCD,且/2=16c〃?，CD=10cm,则四边形的

周长为52cm

【分析】设四边形488的内切圆圆心为。，。。与AB、BC、CD、4D分别相切于点E、F、G、H,

由切线长定理得//=/£,8尸=8£,。〃=。6,。尸=。6,所以AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG

=AB+CD=26cm,即可求得四边形4BCD的周长为52ca,于是得到问题的答案.

【解答】解：设四边形N8CD的内切圆圆心为。与48、BC、CD、分别相切于点£、F、G、

H,

•；AH=AE,BF=BE,DH=DG,CF=CG,AB=16cm,CD^lOcm,

：.AD+BC=AH+BF+DH+CF=AE+BE+DG+CG=AB+CD=16+10=26(cm),

.,./8+CD+/D+8C=26+26=52(cm),

四边形/BCD的周长为52cm,

故答案为：52czn.

题型六三角形的内切圆与内心

例题：

1.（2024•拱墅区一模）如图，在△/2C中，AB+AC=»BC,4D_LBC于D,。0为△45C的内切圆，设

3

O。的半径为凡的长为〃，则国的值为（）

h

A.3B.2c.AD.A

8732

【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△NBC的面积，利用面积相等即可解

决问题.

【解答】解：如图所示：。为△NBC中N4BC、ZACB,N2/C的角平分线交点，过点。分别作垂线相

交于4B、AC.BC于点E、G、F,

SAABC=S》OB+Sz®xfOC=