整式与因式分解【十二大题型】 原卷版 -2025年中考数学一轮复习

整式与因式分解【十二大题型】

题型7整式的混合运算题型1用代数式表示

/题型2求代数式的值

题型8提公因式法分解因式

题型9公式法分解因式题型3颗的加减

专题。2整式与因式分解

题型10因式分解的应用_题型4幕的运算

题型11数式规律探究_X/题型5乘法公式的运算

/题型6乘法公式的应用

题型12数式中新定义问题探究

亦实双砒,室或完卷知钠体系

1整式的相关概念

1.1代数式

用基本运算符号把数与字母连接而成的式子叫做代数式，如a,3,2x-l,abc.

单独的一个数或一个字母也是代数式.

1.2单项式

表示数与字母的乘积的代数式叫做单项式.

【例】—3a/c4是单项式，次数为4,系数为—3.

1.3多项式

几个单项式的和叫做多项式.

【例】2万3y一盯+3是多项式，有3项：2%3y,一孙3,项数是3,次数为4.

1.4整式

单项式和单项式统称为整式.

2整式的运算

2.1合并同类项

(1)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.

(2)合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.

2.2整式的加减

一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，再合并同类项.

去括号的法则

(1)括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不变；

⑵括号前面是“―”号，把括号和它前面的“―”号去掉，括号里各项的符号要改变.

2.3整式的乘除

(1)塞的运算

同底数幕相乘产塞的乘方(优'尸二口皿

积的乘方(尤尸=陵那；同底数暴相除a机+a"=a小一"。

(2)整式的乘法

(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幕分别相乘，对于只在一个单项式里含

有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相

加.

(3)一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加.

(3)整式的除法

一般地，单项式相除，把系数与同底数塞分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的

字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

3乘法公式

(1)平方差公式

(a+b)(a-b)=a2-扶.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

(2)完全平方公式

(a+b)2—a2+2ab+b2,(a—b)2—a2—2ab+b2

两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.

拓展(a+b)2—(a—b)2=4ab,(a+6)2+(a—b~)2=2(a2+b2).

4因式分解

4.1概念

把一个多项式化成了几个整式的积的形式的变形叫做这个多项式的因式分解(或分解因

式)。

4.2因式分解的方法

(1)提公因式法：多项式的各项都有的一个公共因式；

(2)公式法

平方差公式：a2—h2=(a+b)(a—b).

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2—2ab+b2=(a—b~)2.

(3)分组分解法

把多项式先分成多组，每组内部因式分解，再把多组作为一个整体进行因式分解.

(4)十字相乘法

对二次三项式进行因式分解的一种方法，

x2+px+q=x2+(a+Z?)x+ab=(x+a)(x+6)

ax+bx—(a+b~)x

基本方法横境化学i),也送解我俄力

【题型1】用代数式表示

【典题1】(22-23九年级上•河北张家口•期末)某商店购进一批单价为20元的日用商品,

如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致

销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每件商品涨x元，销售

利润为y元，可列函数为：y=(30+%-20)(400-20x).对所列函数中出现的代数式，下

列说法错误的是()

A.(30+%—20)表示涨价后商品的单价B.20x表示涨价后少售出商品的数量

C.(400—20乂)表示涨价后商品的数量D.(30+x)表示涨价后商品的单价

【巩固练习】

1.（2022•贵州贵阳•一模）贵阳市“一圈两场三改“落地，幸福生活近在咫尺.周末，小高同

学从家出发步行15min到达附近学校的运动场锻炼，较之前步行去城市运动中心少走了

25min.已知小高同学步行的速度为每分钟am,则“一圈两场三改”后，小高同学少走的路程

是（）

A.amB.10«mC.15«mD.25am

2.用8m长的铝合金做成一个如图所示的长方形窗框，设长方形窗框的横条长度为xm,则长

方形窗框的面积为（）

X

A.x（4—x）m2B.x（8—3x）m2C.—|xjm2D.x（8—|久）m2

3.（2024・湖南邵阳•二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、

清正教风、清新学风”等四个建设工程.现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅

读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本x本，

则购买乙种读本的费用为（）

A.15万元B.20（300—比）元C.15（300—乂）元D.（300-15%）元

4.（2023•河北承德•一模）某文具用品商店将原价a元的笔记本进行促销，下列促销方式描述

正确的是（）

A.按0.9a—6的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元

B.按0.9a—6的价格出售，促销方式是先优惠6元，再打九折

C.按0.9（a—6）的价格出售，促销方式是先打九折，再优惠6元

D.按0.9（a+6）的价格出售，促销方式是先涨6元，再打一折

【题型2］求代数式的值

【典题1】（2024•重庆・模拟预测）根据如图所示的程序计算，若输入式的值是1时，则输

出的值是5.若输入x的值是2,则输出值为

降--y输出M

——>y=-2x+b—।

x<2________

【典题2］（2024•山东临沂•模拟预测）已知/+x-l=0,那么％3+2/+2024的值为（

A.2022B.2023C.2024D.2025

【巩固练习】

1.（2024•海南海口•二模）若2x—y=3,贝|6—2x+y的值是（）

A.0B.3C.-9D.9

2.（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a,b,+

今若2※（—2）=1,则（一3/3的值是（）

3232

A.--B.--C.-D.-

3.（2024•广东东莞•模拟预测）直线丫=一3乂+2经过点「（见b）,贝|6a+26+2024的值

为.

4.（2024•内蒙古包头•模拟预测）已知y=l是方程py—1=—3—p的解，则代数式p3—2一

：的值为.

【题型3】整式的加减

【典题1】（2024•河北沧州•模拟预测）已知:整式4=1+2%,整式B=l—2久.

⑴化简：2A-3B；

（2）若4-8+M是关于x的一个完全平方式，请写出一个满足条件的整式M.

【巩固练习】

2

1.(2023•河北石家庄•一模)已知4=/+6x+n2,B=2x2+4x+n,下列结论正确的是

()

A.B—4的最大值是0B.B—a的最小值是一1

C.当B=24时，尤为正数D.当8=24时，尤为负数

2.(2024七年级上•江苏•专题练习)先化简，再求值：3a2y—2y2)—2(；c2y—3y2),其中

%=—3,y=2.

3.(2024•河北邢台•模拟预测)在计算题：“已知，M=□,可=2%2-4%+3求2”—%”时,

嘉琪把“2M-N”看成“M-2N”，得到的计算结果是—x2+4x-4.

(1)求整式M；

(2)若请比较2M与N的大小，并说明理由.

【题型4】塞的运算

【典题1】下列运算正确的是()

A.(3a2)3=9a5B.(ab)2=a-b1C.a2+a2=a4D.a('^ai=cr

【典题2】（2021•广东•中考真题）已知9mM3,27n=4,则32m+3nH（）

A.1B.6C.7D.12

【巩固练习】

1.（2021•广东深圳•中考真题）下列运算中，正确的是（）

A.2a2-a—2a3B.（a2）3=a5C.a2+a3=a5D.a6a2—a3

2.若。帆=4,陵=2,贝以3小-371的值为（）

A.8B.12C.24D.48

3.若ri为正整数，则计算（一a2）"+（—废产的结果是（）

A.0B.2anC.-2a2nD.0或2a2n

4.（2023•四川乐山•中考真题）已知3nl=4,32m-4n=2.若9"=比，贝物的值为（）

A.8B.4C.2V2D.V2

【题型5］乘法公式的运算

【典题1】(2024•广东汕头•一模)下列计算正确的是()

A.(x—2y)(x—2y)=x2—4y2

B.(x+y)(x2—y2)=x3—y3

C.(-2a-l)(2a-1)=1-4a2

D.(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2-4x

【典题2】(2024•广东东莞•三模)已知x+y=6,xy=6,则炉+、2的值为()

A.9B.18C.24D.36

【巩固练习】

1.(2024・广东肇庆•二模)下列计算正确的是()

A.x■x=2xB.(xy)2=xy2

C.(x+y)(x-y)=x2—y2D.(x+y)2=x2+y2

2.(2024•广东深圳•三模)下列计算正确的是()

A.m+m=m2B.(m+2n)2-m2+4n2

C.(m+3)(m—3)=m2—9D.2(m—n)=2m—n

3.三角形的三边长为a,b,c,且满足(a+b)2=c2+2a6,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

4.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)己知2a2—a—3=0,则(2a+3)(2a-3)+(2a-的值

是()

A.6B.—5C.—3D.4

5.(2023•广东湛江•模拟预测)已知a=8—2,6=遮+2,则(^一块的值为.

【题型6】乘法公式的应用

【典题1】(2024•河北秦皇岛•模拟预测)如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们

称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是()

A.268B.330C.512D.588

【典题2］已知实数a,b满足(a-6)2=15,ab=4,则a4+b4的值为

【巩固练习】

1.若a+b=l,则6[2-炉+26的值为()

A.4B.3C.2D.1

2.已知VTT—1的整数部分为a,小数部分为b,贝|(711+£1)(6+1)的值是.

3.(2024,广东梅州,模拟预测)已知a+b=5,ab=2,则代数式a?—3ab+炉的值

为.

4.(2024・广东深圳•二模)已知a+b=2,则多项式一/+仞+2020的值为.

5.(2024•山东烟台•中考真题)若一元二次方程2/-4x-1=0的两根为m,n,贝U3m2_4m+

层的值为.

6.(2023•江苏宿迁•中考真题)若实数%满足⑺一2023)2+(2024-㈤2=2025,则

(m-2023)(2024-m)=.

【题型7】整式的混合运算

【典题1】(2024•江苏扬州•三模)先化简，再求值：[(2x—y)2—(y+2x)(2x—y)—2xy\+2y,

其中久=y=-3.

【巩固练习】

1.(2024•山东济宁•中考真题)先化简，再求值：

1

x(y—4%)+(2%+y)(2x—y),其中％=万，y=2.

2.(2024•广东揭阳•模拟预测)先化简，再求值：(%-I)2-x(3x+2)+(2x+l)(2x-1),

其中X的值为一元二次方程%2-2%—7=0的根.

3.(2024•甘肃・中考真题)先化简，再求值：[(2a+b)2—(2a+6)(2a—b)]+26,其中

a=2,b=—1.

【题型8】提公因式法分解因式

【典题1】(2023・湖北黄石・中考真题)因式分解：x(y-l)+4(1-y)=

【巩固练习】

1.(2024•山东•中考真题)因式分解：x2y+2xy=.

2.(2022•福建龙岩•模拟预测)己知a—6=3,ab=V5,则2a2。—2a/)2=.

3.(2014•青海西宁•中考真题)长和宽分别为a,6的矩形的周长为14,面积为10,则+。

房的值为.

【题型9】公式法分解因式

【典题1】（2024•江苏扬州•模拟预测）分解因式：a/-6axy+9ay2=,

【巩固练习】

1.（2023・湖南益阳・中考真题）下列因式分解正确的是（）

A.2a2—4a+2=2（a—I）2B.a2+ab+a=a（a+b）

C.4a2—b2=（4a+b）（4a—b'）D.a3b—ab3—ab（a—b）2

2.（2024•山东威海•中考真题）因式分解：（x+2）Q+4）+1=.

3.（2023,四川绵阳,模拟预测）若a+6=4,则a?—次+助的值为.

4.（2024•上海嘉定•三模）因式分解：x2—2xy—（4—y2）=

5.（2024•陕西汉中•二模）已知租2=几+2,n2=m+2,且mKn.求证：m+n=-1.

【题型10】因式分解的应用

【典题1】（2024•河北邢台・模拟预测）若〃为任意整数，贝120242—4层的值总能（）

A.被3整除B.被4整除C.被4〃整除D.被2024整除

【典题2】（2024•广东河源•二模）已知a>0,b>0,且=—^7，求证：a=b.

【巩固练习】

1.（2023•河北保定•一模）小李在计算20232。23—20232。21时，发现其计算结果能被三个连

续整数整除，则这三个整数是（）

A.2023,2024,2025B.2022,2023,2024

C.2021,2022,2023D.2020,2021,2022

2.（2023•河北•中考真题）若左为任意整数，则（2k+3乃一4M的值总能（）

A.被2整除B.被3整除C.被5整除D.被7整除

3.（2023•河北邯郸•三模）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正

整数为“神秘数如4=22_（）2,12=42—22,20=62—42.因此，4、12、20这三个数

都是神秘数.

（1）验证28和44这两个数是否为神秘数；

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中左取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是

4的倍数吗？请说明理由.

4.（2024•福建•中考真题）已知实数a,6,c,犯n满足37n+n=^,mn=

⑴求证：b2-12ac为非负数；

（2）若a,b,c均为奇数，小刀是否可以都为整数？说明你的理由.

【题型11】数式规律探究

【典题1】（2024•山东泰安・中考真题）如图所示，是用图形“。”和“・”按一定规律摆成的“小

屋子”.按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“。”个数是图形“•”个数的3

立

口

o

OOO

OOOooo

0OOOOOOOoooo……

0OOOOOooooooooo

^OOOOOooooooooo

0OOOOoooo

oooooooooooo

(1)(2)(3)(4)⑸

【巩固练习】

1.（2024・湖南•模拟预测）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图案，请根据

你的观察，写出第2024个图案中小五角星有颗.

★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★★

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

2.（2024・湖南•模拟预测）有一组数，按以下规律排列：一:，1,—葛，抵—吴“…则这

N1Ui/Zo

组数的第n个数为

3.（2023•黑龙江绥化•中考真题）在求1+2+3+……+100的值时,发现:

1+100=101,2+99=101……,从而得到1+2+3+-+100=101x50=5050.按

此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作的=1；分别连接这个三角形三边中

点得到图（2）,有5个三角形，记作a2=5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点

得到图（3）,有9个三角形，记作。3=9；按此方法继续下去，则。1+。2+。3+……+an

=.（结果用含"的代数式表示）

图⑴图⑵图⑶

【题型12］数式中新定义问题探究

【典题1】(2022・重庆・中考真题)若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M

去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”.

例如：M=2543,：32+42=25,2543是“勾股和数”；

又如：M=4325,V52+22=29,29力43,4325不是“勾股和数”.

(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”,并