整式（讲义）-2025年中考数学一轮复习（全国版）

第02讲整式［3大考点13大题型】

知识网络

题型1实际问题中的代数式

题型2求代数式的值

题型3与代数式有关的规律探究

题型4整式的相关概念

题型整式的加减与幕的运算

//^**—，，5，■，，，--一•二...“一，……—,一

%」画型6整式的乘除）

考点二整式及其运算yi题型7乘法公式的应用；

题型8化简求值

题型9用图形面积验证乘法公式

整式题型10提公因式法因式分解）

题型11直接运用公式法因式分解）

考点三因式分解

题型12提公因式后应用公式法因式分解）

题型13因式分解的实际应用）

新考向：新考法）

新考向：新趋势）

特色专项练新考向：新情境）

新考向：跨学科）

中考真题练

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.代数式的值

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。

典例分析

【题型1实际问题中的代数式】

【例1】(2024中考・湖南长沙•中考真题)为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校

园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读

本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为()

A.8久元B.10(100―久)元C.8(100—%)元D.(100—8x)元

【答案】C

【分析】根据题意列求得购买乙种读本(100-x)本，根据单价乘以数量即可求解.

【详解】解：设购买甲种读本无本，则购买乙种读本(100-x)本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙

种读本的费用为8(100-x)元

故选C

【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键.

【变式1-1](2024中考・浙江温州•中考真题)某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米,

每立方米a元；超过部分每立方米(a+1.2)元.该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为()

A.20a元B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元D.(20a+3.6)元

【答案】D

【分析】分两部分求水费，一部分是前面17立方米的水费，另一部分是剩下的3立方米的水费，最后相加

即可.

【详解】解：心。立方米中，前17立方米单价为。元，后面3立方米单价为(a+1.2)元，

应缴水费为17a+3(a+1.2)=20a+3.6(元)，

故选：D.

【点睛】本题考查的是阶梯水费的问题，解决本题的关键是理解其收费方式，能求出不同段的水费，本题

较基础，重点考查了学生对该种计费方式的理解与计算方法等.

【变式1-2](2024中考•四川雅安・中考真题)如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探

究纸杯叠放在一起后的总高度〃与杯子数量"的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据(字母)，请

选用适当的字母表示H.

①杯子底部到杯沿底边的高加②杯口直径。；③杯底直径1；④杯沿高a.

d

【答案】h+an

【分析】本题考查的是列代数式，由总高度〃等于杯子底部到杯沿底边的高力加上〃个杯子的杯沿高na即

可得到答案；

【详解】解：由题意可得：H=h+an,

故答案为：h+an.

【变式1-3]（2024中考・吉林长春•中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同

学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终

点的路程为公里.（用含x的代数式表示）

【答案】（7.5-10%）

【分析】根据题意列出代数式即可.

【详解】根据题意可得，

他离健康跑终点的路程为（7.5-10久）.

故答案为：（7.5-lOx）.

【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意.

【题型2求代数式的值】

【例2】（2024中考•广西•中考真题）如果a+b=3,ab-1,那么+2a2b2+尤3的值为（）

A.0B.1C.4D.9

【答案】D

【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可.

【详解】解："a+b=3,ab=1,

.,-a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+Z?2）

=ab（a+b）2

=1x32

=9；

故选D.

【变式2-1]（2024中考・四川泸州•中考真题）己知点4（a,-1）与点B（-4,b）关于原点对称，则a-b的值

为（）

A.-5B.5C.3D.-3

【答案】C

【分析】根据关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数，可得出6的值，即可计算a-b的值.

【详解】"A（a,一1）与点8（—4,b）关于原点对称,

.••a=4,b=1,

•'-a—b=4—1=3.

故选：C

【点睛】本题考查中心对称，理解关于原点对称的两点的关系是解题的关键.

【变式2-2]（2024中考•四川达州•中考真题）如图是一个运算程序示意图，若开始输入％的值为3,则输出

y值为•

【答案】2

【分析】根据运算程序的要求，将x=3代入计算可求解.

【详解】解：•.•%=3<4

.,・把x=3代入y=|x|-l（x<4）,

解得：y=|3|-1=2,

・•.y值为2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查列代数式，代数式求值，读懂运算程序的要求是解题的关键.

【变式2-3]（2024中考・山东济宁・中考真题）己知。2一28+1=0,则券的值是.

【答案】2

【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用.根据对已知条件进行变形得

到a2+1=2b,代入进而即可求解

【详解】解：a2-2b+1=0,

a2+1=2b

4b4b

‘下n=五=2n,

故答案为：2

【题型3与代数式有关的规律探究】

【例3】（2024中考・重庆・中考真题）下列图形都是由同样大小的矩形按一定规律组成，其中第（1）个图

形的面积为2cm2,第（2）个图形的面积为8cm2,第（3）个图形的面积为18cm2,……，由第（10）个图

A.196cm2B.200cm2C.216cm2D.256cm2

【答案】B

【详解】寻找规律：第（1）个图形由1=口个矩构成；

第（2）个图形由4=22个矩构成；

第（3）个图形由9=32个矩构成；

第（4）个图形由16=42个矩构成；

第（n）个图形由4=1?个矩构成.

,•,图形都是由同样大小的矩形组成，第（1）个图形的面积为2cm2,

.•.第（n）个图形的面积为（2xM）cm2.

.,.第（10）个图形的面积为（2xl（）2）cm2=200cm2.故选B.

【变式3-1］（2024中考・山东・中考真题）已知一列均不为1的数的，a2,a3,厮满足如下关系：a2=

警"，。3=芝色，。4=芝黄，…，斯+1=关渠，若Cli=2,则。2023的值是（）

j.u-i-Lu-2-L"3"n

11C

A.——B.-C.-3D.2

【答案】A

【分析】根据题意可把的=2代入求解。2=-3,则可得。3=-今«4=！，。5=2……；由此可得规律求解.

【详解】解：.・g=2,

1+2Q1-3111+1Q

•・•劭=口=-3,的=壬=-5,。4=早=］。5=匚1=2,…….

23

由此可得规律为按2、-3、g四个数字一循环，

•••2023+4=505…3,

••42023=a3=-2；

故选A.

【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律.

【变式3-2］（2024中考・青海・中考真题）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第九个图

中共有木料根.

（））（2，）

第1个第2个第3个第4个

r答空1迎±12

【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有1+2=四尹根木料，第三个图形有1+2+3=四户根

木料，第四个图形有1+2+3+4=沼坦根木料，以此类推，得到第九个图形有也罗根木料.

【详解】解：••・第一个图形有1=*里2根木料,

第二个图形有1+2=四”根木料，

第三个图形有1+2+3=咨里2根木料，

第四个图形有1+2+3+4=话担木料,

・・・第n个图形有1+2+3+…+a=或罗根木料,

n(n+l)

故答案为:-2~

【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键.

【变式3-3］（2024中考・山东泰安•中考真题）如图所示，是用图形“。”和“•”按一定规律摆成的“小屋子”.按

照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“。”个数是图形“•”个数的3倍.

o

OOO

CDOOOOOO

0OOOOOOOOOOO

0OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

00OOOOOOoo

OOOOOOOooooo

⑴2

(3)(4)(5)

【答案】12

【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“O”和“・”

的个数变化规律是解题的关键.

根据所给图形，依次求出和“•”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可.

【详解】解：由所给图形可知，

第1个“小屋子”中图形"O”的个数为：1=1,“•"的个数为：4=1x2+2；

第2个“小屋子”中图形"O”的个数为：3=1+2,"•"的个数为：6=2x2+2；

第3个“小屋子”中图形的个数为：6=1+2+3,“・”的个数为：8=3x2+2；

第4个“小屋子”中图形"O”的个数为：10=1+2+3+4,“•"的个数为：10=4x2+2；

...J

所以第”个“小屋子”中图形“O”的个数为：1+2+3+…+九=收罗，"・”的个数为：2n+2；

由题知"-D=3（2几+2）,解得几1=-1,n2=12,

又〃为正整数，则n=12,即第12个“小屋子”中图形“O”个数是图形“•”个数的3倍.

故答案为：12.

考点二整式及其运算

知识导航

1.单项式

用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如-这种表示

3

17

就是错误的，应写成--a2b.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如-5/^0

3

是6次单项式

2.多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式

里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式与多项式统称整式。

3.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

4.合并同类项

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

5.整式的运算

⑴整式的加减

几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。

去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：

如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；

如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。

⑵整式的乘除运算

①同底数塞的乘法：am-an=am+no同底数塞相乘，底数不变，指数相加。

②暴的乘方：（。加）"=。"A塞的乘方，底数不变，指数相乘。

③积的乘方：（。6）"=优3。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的事相乘。

④单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数累分别相乘，对于只在一个

单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

⑤单项式与多项式的乘法：p（a+b+c）=pa+06+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每

一项，再把所得的积相加。

⑥多项式与多项式的乘法：（。+6）。+4）=的+的+如+的。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一

项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

平方差公式：（a+bXa-b）=a2-b\两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫

做平方差公式。

完全平方公式：（。+6）2=。2+2仍+62,（a-by=a2-2ab+b2o两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，

加上（或减去）它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。

⑦同底数塞的除法：a『=a>"-"。同底数幕相除，底数不变，指数相减。

任何不等于0的数的0次募都等于lo

⑥单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幕分别相除作为商的因式，对于只在被除式

里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

⑨多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商

相加。

典例分析

【题型4整式的相关概念】

【例4】（2024中考・山东泰安・中考真题）单项式-3ab2的次数是.

【答案】3

【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可.

【详解】解：单项式一3帅2中，a的指数是1,6的指数是2,

此单项式的次数为：1+2=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数.理解和掌握单项

式次数的定义是解题的关键.

【变式4-1]（2024中考・上海•中考真题）计算：（4/）3=.

【答案】64警

【分析】本题考查了积的乘方以及塞的乘方，掌握相关运算法则是解题关键.先将因式分别乘方，再结合

辕的乘方计算即可.

【详解】解：（4/）3=64*6,

故答案为：64x6.

【变式4-2]（2024中考・湖北荆州•中考真题）下列代数式中，整式为（）

1,1

A-x+1B,—C,V%2+1D.—

【答案】A

【详解】【分析】直接利用整式、分式、二次根式的定义分析得出答案.

【详解】A、x+1是整式，故此选项正确；

B、x+i是分,式，故此选项错误；

c、心"T是二次根式，故此选项错误；

D、等是分式，故此选项错误，

故选A.

【点睛】本题考查了整式、分式、二次根式的定义，熟练掌握相关定义是解题关键.

n

【变式4-3](2024中考・重庆•中考真题)已知整式M:a/+an_!%nT+…+口6+劭，其中n.ciji,…,劭为

自然数，an为正整数，且n+an+斯_1+…+%+&)=5.下列说法：

①满足条件的整式M中有5个单项式；

②不存在任何一个九，使得满足条件的整式M有且只有3个；

③满足条件的整式M共有16个.

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得0W〃W4,再分类讨论得到答

案即可.

【详解】解：…,劭为自然数,On为正整数,且71+即+an_i+…++劭=5,

.,.0<n<4,

当n=4时，则4++a1+a。=5,

**•CL^=1jCZ3—a2=a】=a。=0,

满足条件的整式有一,

当n=3时，则3++。2+%+a。=5,

,•.(。3"2"1,劭)=(2,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),

满足条件的整式有：2炉，%3+%2,%3+x,x3+1,

当n=2时，则2+a2+臼+a。=5,

•••@,由"0)=(3,0,0),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(1,0,2),(1,1,1),

满足条件的整式有：3/,2%2+%,2%2+1,x2+2x,x2+2,%2+x+1；

当n=l时,则l+ai+a()=5,

•••(电劭)=(4,0)，(3,1),(1,3),(2,2),

满足条件的整式有：4%,3x+1,x+3,2%+2；

当n=0时，0+劭=5,

满足条件的整式有：5；

.•・满足条件的单项式有：%4,2炉，3/,4%,5,故①符合题意；

不存在任何一个期使得满足条件的整式M有且只有3个；故②符合题意；

满足条件的整式M共有1+4+6+4+1=16个.故③符合题意；

故选D

【题型5整式的加减与塞的运算】

【例5】(2024中考・四川资阳・中考真题)下列计算正确的是()

A.2a+3b=SabB.(a+h)(a—£>)=a2—b2

C.2a2-3b=6abD.(a3)2=a5

【答案】B

【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，平方差公式，单项式乘单项式，募的乘方的法则，逐一

进行计算，判断即可.

【详解】解：A.2a与3b不能合并，原式计算错误，故A不符合题意；

B.(a+b)(a-b)=a2-b2,原式计算正确，故B符合题意；

C.2a2-3b=6a2b,原式计算错误，故C不符合题意；

D.(。3)2=。6,原式计算错误，故D不符合题意；

故选：B.

【变式5-1](2024中考・广东广州•中考真题)若aK0,则下列运算正确的是()

aCLCL120u

A.2"I"?=5B.a•a=a

C.---=-D.a3-i-a2=1

acia

【答案】B

【分析】本题考查了分式的乘法，同底数募乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键.通分后变为同分

母分数相加，可判断A选项；根据同底数募相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；根据分式乘法法

则计算，可判断C选项；根据同底数幕除法，底数不变，指数相减，可判断D选项.

【详解】解：A、升三=得+署=/原计算错误，不符合题意；

乙DOOO

B、a3.a2=a5,原计算正确，符合题意；

C、原计算错误，不符合题意；

D、a3+a2=a,原计算错误，不符合题意;

故选：B.

【变式5-2](2024中考・吉林・中考真题)下列各式运算结果为a5的是()

A.a2+d3B.a2-a3C.(a2)3D.a10a2

【答案】B

【分析】本题主要考查合并同类项，塞的乘方，同底数幕的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键.根

据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题.

【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；

B、a2-a3=a2+3=a5,符合题意；

C、(a2)3=a2x3=a6,不符合题意；

D、aw^-a2=aw-2=a8,不符合题意；

故选：B.

【变式5-3](2024中考•山东日照・中考真题)下列计算正确的是()

A.(2a2)3-6a6B.a3—a2=aC.d3-a4=a12D.a4a3—a

【答案】D

【分析】本题考查黑的运算及整式加减，解题关键是熟练掌握运算法则.

根据幕的运算法则，整式加减运算法则逐选项判断即可.

【详解】解：A.(2a2)3=8a6,该选项错误，不符合题意；

B.与a2不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；

C.a3-a4-a7,该选项错误，不符合题意；

D.a4-r-a3=a,该选项正确，符合题意.

故选D.

【题型6整式的乘除】

【例6】(2024中考,甘肃兰州,中考真题)计算：2a(a-1)-2a2=()

A.aB.—aC.2aD.—2a

【答案】D

【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可.

【详解】解：2a(a-l)-2a2

=2a2—2a—2a2

=—2a

故选：D.

【变式6-1］（2024中考・山东青岛•中考真题）若（比+4）Q—2）=/+p%+q,则°、q的值是（）

A.2,-8B.-2,-8C.-2,8D.2,8

【答案】A

【分析】首先把。+4）（x-2）根据多项式乘法法则展开，然后根据多项式的各项系数即可确定小q的值.

【详解】解：•••（％+4）（刀-2）=/+2X一8,

而（久+4）（%-2）=x2+px+q,

.,.p=2,q=­8.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了多项式的乘法法则和多项式各项系数的定义，解题关键就是利用它们确定夕、q的

值.

【变式6-2］（2024•河北•模拟预测）如图1是一个长为"，宽为"的矩形（a>n）.用7张图1中的小矩

形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示.若大矩形的长是宽的|.

m

图1图2

（1）求m与n的关系；

（2）若图2中，大矩形的面积为18,求阴影部分的面积.

【答案】⑴m=4n

【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是

解答的关键.

（1）先根据图形，用”、〃表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论；

（2）根据图形，用〃?、〃表示出大矩形的面积，进而求得足，进而可得阴影面积的值.

【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为m+5?1,宽为m+2n,

•••大矩形的长是宽的

•••m+5n=|(m+2n),

化简，得血=4几；

(2)解：,大矩形的面积为(血+2荏)(血+5几)=血2+7nm+IO*,大矩形的面积为18,m=4n,

.,.16n2+28n2+10n2=54n2=18,

解得话=，

••期影部分的面积为18-76n=18—2加2=学

【变式6-3](2022•江苏无锡，一模)已知计算(5—3%+mx2—6%3),(―2%2)—%(—3%3+几%—1)的结果中不含

产和久2的项，求加，〃的值.

【答案】m=f,n=-10

【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式中的无关型问题，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号,

然后合并同类项化简，再根据结果中不含力和久2的项，即含/和/的项的系数为o进行求解即可.

【详解】解：(5—3x+mx2—6x3')■(―2x2)—x(—3x3+nx—1)

=-10x2+6x3-2mx4+12x5+3x4—nx2+%

=12x5+(3-2m)x4+6x3-(10+n)x2+x,

••・结果中不含一和好的项,

：.3-2m=0,-(10+JI)=0,

«八

：.m=3n=—10.

【题型7乘法公式的应用】

【例7】(2024中考•内蒙古赤峰•中考真题)已知2a2-a—3=0,则(2a+3)(2-3)+(2a-的值是

()

A.6B.-5C.-3D.4

【答案】D

【分析】2a2-。-3=0变形为2a2-a=3,将(2a+3)(2a-3)+(2a-1尸变形为4(2a2-a)-8,然后整体代入

求值即可.

【详解】解：由2a2一。一3=0得：2a2-a-3,

.,.(2a+3)(2a—3)+(2a—1)2

=4a2-9+4a2-4a+1

=8a2—4a—8

=4(2cz2-a)-8

=4x3-8

=4,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将(2a+3)(2a-3)+

(2a-1)2变形为4(2a2-a)-8.

【变式7-1](2024中考•四川凉山・中考真题)已知产-my+1是完全平方式，则小的值是.

【答案】±2

【分析[根据(a±厅=a2±2ab+b2,计算求解即可.

【详解】解：-my+1是完全平方式，

m=±2,

解得m=±2,

故答案为：±2.

【点睛】本题考查了完全平方公式.解题的关键在于熟练掌握：(a±b)2=a2±2ab+》2.

【变式7-21(2024中考•湖南益阳•中考真题)已知加，"同时满足2加+〃=3与2"z-〃=l,则4源-层的值

是—.

【答案】3

【分析】观察已知和所求可知，4m2-n2^(2m+n)(2m-n),将代数式的值代入即可得出结论.

【详解】解：,；2%+"=3,2m-n—1,

.-.4m2-n2=(2m+n)(2m-n)=3x1=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键.

【变式7-3](2024中考•山东聊城•中考真题)如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵.从

3开始,把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：(3,5)；(7,10)；(13,17)；(21,26)；

(31,37)…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律.请写出

第"个数对：.

•••37

212019181736

227651635

238141534

249231433

251011121332

262728293031

【答案】（/+n+l,n2+2n+2）

【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第几个数对的第一

个数为：n（n+1）+1,第n个数对的第二个位：（n+1）2+1,即可求解.

【详解】解：每个数对的第一个数分别为3,7,13,21,31,...

即：1x2+1,2x3+1,3x4+1,4x5+1,5x6+1,...

则第n个数对的第一个数为：n（n+1）+1=n2+n+1,

每个数对的第二个数分别为5,10,17,26,37,...

即：22+1；32+1；42+1；52+1；62+1...,

则第n个数对的第二个位：（n+I）2+1=n2+2n+2,

:.第n个数对为：（层+n+l,n2+2n+2）,

故答案为：（九2+九+1,4+2n+2）.

【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题.

【题型8化简求值】

【例8】（2024中考・吉林・中考真题）某同学化简a（a+2b）-（a+b）（a-b）出现了错误，解答过程如下:

原式=a2+2ab-（a2-b2）（第一步）

=a2+2ab-a2-b2（第二步）

=2ab-b2（第三步）

（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；

（2）写出此题正确的解答过程.

【答案】（1）从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；（2）2ab+b2.

【分析】去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是

负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号；根据上述法则判断哪一步错误，再正确的去掉括号，合

并同类项即可.

【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；

⑵原式=22+221)-但2上2)

=a2+2ab-a2+b2

=2ab+b2.

故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2.

【点睛】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则.

【变式8-1](2024中考•湖南长沙•中考真题)先化简，再求值：2爪一爪(小一2)+0n+3)0n—3),其中

5

m=-.

【答案】4m-9；1

【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可.

【详解】解：+(m+

=2m—m2+2m+m2-9

—4m—9.

当m=|时,原式=4x|-9=10—9=l.

【变式8-2](2024中考・北京・中考真题)已知%2一轨一1=。，求代数式(2%-3)2-(％+)/)(%-37)-372的值.

【答案】12

【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将/-4%=1整体代入求值.

【详解】解：4%—1=0,4%=1.

.,.(2x—3)2—(x+y)(x—y)—y2

=4x2—12%+9—x2+y2—y2

=3x2-12x+9

=3(x2—4x)+9

=3x14-9

=12.

【变式8-3](2024中考・湖北随州•中考真题)先化简，再求值：(2+〃)(2-a)+〃(a-5b)

(-a2b)2,其中ab=~.

【答案】5

【分析】原式的第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，第三项先计算乘方

运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，最后把成的值代入化简后的式子计算即可求出值.

【详解】解：原式=4-a2+a2-5ab+3ab

=4-lab,

当ab=-9时,

原式=4+1=5.

【点睛】此题考查了整式的混合运算一化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【题型9用图形面积验证乘法公式】

【例9】(2024中考•湖北随州•中考真题)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学

发展史的一个里程碑.在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利

用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下

面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)

公式①：Qa+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d')=ac+ad+be+bd

公式③：(a—b)2=a2—2ab+b2

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

图1对应公式,图2对应公式,图3对应公式,图4对应公式:

(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a-b)=a2-房的方法，如图5,请写出

证明过程；(已知图中各四边形均为矩形)

图5

(3)如图6,在等腰直角三角形4BC中，z.BAC=90°,。为2C的中点，E为边/C上任意一点(不与端点重

合)，过点E作EG1BC于点G,作EH12D尸点〃过点8作5F//4C交EG的延长线于点足记△8PG与

△CEG的面积之和为Si，AABD与△/叩的面积之和为S2.

①若E为边/C的中点，则的值为；

②若£不为边NC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理

由.

【答案】⑴①，②，④，③

(2)证明见解析

⑶①2

②结论仍成立，理由见解析

【分析】(1)观察图形，根据面积计算方法即可快速判断；

(2)根据面积关系：矩形/KAD面积=矩形4KLe面积+矩形CLHD面积=矩形D3FG面积+矩形CLHD面

积=正方形BCE尸面积一正方形LEG//面积，即可证明；

(3)①由题意可得A4AD,^AEH,△CEG,AB尸G都是等腰直角三角形，四边形DG昉■是正方形，设

BD=a,从而用含°的代数式表示出S/、进行计算即可；②由题意可得A4AD,/^AEH,ACEG,ABFG

都是等腰直角三角形，四边形DGE"是矩形，设BD=a,DG=b,从而用含a、6的代数式表示出$、&进

行计算即可.

【详解】(1)解：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；

故答案为：①，②，④，③；

(2)解：由图可知，矩形8CE产和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=ai,

•••S矩形4Kze=S矩形DBFG=a(a—b)，

矩形4KHD=S矩形4KLe+S矩形CD，

矩形矩形正方形正方形22

•••S4KHD=S^DBFG+sCLHD=SBCEF—SLEGH=a~b,

又「S矩形4KH。=(a+b)(a—b)，

.,.(a+b)(a—b)=a2—b2；

(3)解：①由题意可得：AABD,AAEH,△CEG,ASFG都是等腰直角三角形，四边形。GEa是正方形,

设BO=a,

113

•\AD=BD=a,AH=HE=DG=-a,EG=CG=-a,FG=BG=-a,

小，

.\S1=S^BFG+S^CEG=1x(|a)+1x(1a)=9

S2=S△由+SfEH=押+TX(轲2=>2,

・鲁=2；

故答案为：2；

②成立，证明如下：

由题意可得：MBD,XAEH,ACEG,都是等腰直角三角形，四边形QGE〃是矩形，

设BD=a,DG=b,

：.AD=BD=a,AH=HE=DG=b,EG=CG=a—b,FG=BG=a+b,

••・Si=S4BFG+S^CEG=+b)2+1(a—h)2=a2+h2,

=与力

s?=S4ABD+S&AEH2+*2=l(a2+2),

得=2仍成立.

【点睛】本题主要考查了公式的几何验证方法，矩形和正方形的判定与性质，掌握数形结合思想，观察图

形，通过图形面积解决问题是解题的关键.

【变式9-1](2024中考・浙江衢州•中考真题)有一张边长为。厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正

方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案:

小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=(a+6)2,对于方案一，小明是这样验证的:

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=Ca+b)2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.

方案二：

方案三：

【答案】见解析

【分析】根据题目中的图形可以分别写出方案二和方案三的推导过程，本题得以解决.

【详解】解：由题意可得：

方案二：a2+ab+(a+6)b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=(a+6)2,

2

方案三：1[a+*b)]b।+ab+?+ab+(a+b).

【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，写出相应的推导过程.

【变式9-2](2024中考・浙江金华・中考真题)如图1,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小

正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形.

(1)设图1中阴影部分面积为Si，图2中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示Si和S2；

(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.

22

【答案】解：(1)S!=a—b,S2=1(2a+2b)(a—b)=(a+b)(a—b).

(2)(a+b)(a—b)=a2—b2.

【详解】解：(1)••,大正方形的边长为。，小正方形的边长为6,

=a2—b2.

$2=((2a+26)(a-6)=(。+6)(a-b)；

(2)根据题意得：(a+6)(a-b)=a2-b2.

【变式9-3](2024中考・江苏常州•中考真题)【阅读】：数学中，常对同一个量(图形的面积、点的个数、

三角形的内角和等)用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”

也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想.

【理解】：(1)如图，两个边长分别为a、6、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一

个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2=

♦二

i

【运用】：(3)ri边形有n个顶点，在它的内部再画小个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个

三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，

所以y=7.

②对于一般的情形，在n边形内画小个点，通过归纳猜想，可得y=(用含小、鹿的代数式表示).请

对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.

【答案】(1)见解析，故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+/=c2；(2)

1+3+5+7+…+2n—1；(3)①6,3；@n+2(m—1),见解析.

【分析】(1)此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出

方程并整理.

(2)由图可知n行九列的棋子排成一个正方形棋子个数为序,每层棋子分别为1,3,5,7,2n-l.故

可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答.

(3)根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，即可得出结论.

【详解】(1)有三个其面积分别为京仇》b和》2.

直角梯形的面积为+b)(a+b).

由图形可知：］(a+b)(a+b)=^ab+^ab+^c2

整理得(a+b)2=2ab+c2,a2+b2+2ab=2ab+c2,

•••a2+b2—c2.

故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中。2+岳=。2.

(2)n行九列的棋子排成一个正方形棋子个数为"，每层棋子分别为1,3,5,7,2n-l.

由图形可知：n2=14-3+5+7+■••+2n-l.

故答案为1+3+5+7+…+2n-1.

(3)①如图，当n=4,巾=2时，y=6,

②方法1.对于一般的情形，在几边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形

内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得丫=九+2(巾-1).

方法2.以2MBe的二个顶点和它内部的小个点，共(6+3)个点为顶点，可把ZMBC分割成3+2(小一1)个

互不重叠的小三角形.以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(巾+4)个点为顶点，可把四边形分割

成4+2(巾-1)个互不重叠的小三角形.故以71边形的71个顶点和它内部的m个点，共(山+九)个点作为顶点,

可把原n边形分割成几+2(小一1)个互不重叠的小三角形.故可得y=n+2(m-l).

故答案为①6,3；@n+2(m-l).

【点睛】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键.

1.因式分解的定义

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这

个多项式分解因式。

以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：

①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；

②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；d2+2.ab+b2=(a+b')2；a2-2ab+b2=(a-b)2»

③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)

④十字相乘法：cfi+(p+q)a+pq=(a+q)

2.因式分解的一般步骤：

(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式

法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解

法分解因式

(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解

典例分析

【题型10提公因式法因式分解】

【例10】(2024中考・江苏徐州•中考真题)若nm=2,m-n=1,则代数式小2n一77m2的值是.

【答案】2

【分析】本题考查代数式求值.先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值.

【详解】解：=m-n-1,

m2n—mn2—mn(m—7i)=2x1=2,

故答案为：2.

【变式10-1】(2024中考•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)分解因式：a+2"+a〃=

【答案】a(1+b)2

【分析】先提公因式，再用完全平方公式.

【详解】原式=a(l+2b+炉)=a(1+6)2,

故填：a(l+b)2.

【点睛】本题考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式和完全平方是关键.

【变式10-2］(2024中考・湖北黄石•中考真题)因式分解：+4(l-y)=.

【答案】(?一1)("4)

【分析】将整式x(y—1)+4(1—y)变形含有公因式(y—1),提取即可.

【详解】解:x(y-l)+4(l-y)

=%(y—1)—4(y—1)

=(y-l)(%-4)

故答案为