阅读材料题（双空题36道）（解析版）-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题06阅读材料题(双空题精选36道)

1.对于一个各位数字都不为零的四位正整数N,若千位数字比十位数字大3,百位数字是个位数字的3倍,

那么称这个数N为"三生有幸数”，例如：N=5321,5=2+3,3=1x3,5321是个“三生有幸数”；又如

N=8642,•；8H4+3,8642不是一个"三生有幸数则最小的“三生有幸数”是.若将N的千位数字

与个位数字互换，百位数字与十位数字互换，得到一个新的四位数，那么称这个新的数为数N的"反序数”,

记作N',例如：N=5321,其"反序数"N'=1235.若一个"三生有幸数"N的十位数字为X,个位数字为y,

设P(N)=N~Nj18x,若P(N)除以6余数是1,则所有满足题意的四位正整数N的最大值与最小值的差是_____.

ol

【答案】43113331

【分析】本题考查了不等式组，整式的混合运算等知识，理解"三生有幸数"定义是解题的关键.

依据"三生有幸数"定义，要想它最小，每位数字都取到最小，即可得到答案；根据题意，算出N和N',得

到P(N)=ll%-9y+37,利用P(N)除以6余数是1,得到llx-9y是6的倍数，且x、y为正整数，求出X、

夕的取值范围，确定N的最大值与最小值，即可得到答案.

【详解】解：由题意，首先"三生有幸数”是一个各位数字都不为零的四位正整数，千位数字比十位数字大

3,百位数字是个位数字的3倍，要想它最小，每位数字都取到最小，则十位数字应该取1,则千位数字应

该取4,,个位数字也取1,百位数字取3,

最小的"三生有幸数"是4311,

由题意，“三生有幸数"N的十位数字为无，则个位数字为y,则

N=1000(%+3)+300y+10%+y=1010%+301y+3000,

则N'=1000y+100%+3Oy+(x+3)=101%+1030y+3,

891x-729y+2997

N-N'—18x=11%—9y+37,

••・P(N)=-81-81

••・P(N)除以6余数是1,〃为正整数,

.,.llx—9y+37=6"+1,

则11%—9y=6n—36,

・・.11久-9y是6的倍数，且x、y为正整数,

(l<x<9

乂1<%+3<9'

1<3y<9

•<•1<%<6,1<y<3,

.,.x=3,y=3或％=6,y=2,

当x=6,y=2时，N的最大值为9662,

当刀=3)=1时，N的最小值为6331,

:.N的最大值与最小值的差是9662-6331=3331,

故答案为：4311；3331.

2.如果一个四位自然数4其数位上的数字均不为零，满足千位与十位之和为9,百位数字与个位数字之和

为6.则称力为"静心养德数”，交换千位数字与十位数字，交换百位和个位数字得到新的四位数4,则PQ4)=

蓊，4的千位数字与百位数字之差记为QQ4)；又尸(力)=貌.若硒I是"静心养德数"，则a+6=；

若FQ4)能被3整除，则满足条件的力的最大值与最小值的差是.

【答案】117128

【分析】本题考查了整式中的新定义问题，涉及整式和分式的混合运算.根据"静心养德数"的定义可得：

a+l=6,3+6=9,即可求得a+b；设4的千位数字为m,百位数字为九，根据"静心养德数”的定义可得:

力=990m+99n+85,4=—990m—99n+8500,根据尸(4)能被3整除，进而分类讨论，即可求解.

【详解】解：根据"静心养德数”的定义可得：a+l=6,3+b=9,

•••a=5,b=6,

••・a+b=5+6=11；

设4的千位数字为小，百位数字为n,则十位数字为9-个位数字为6-71,

：.A=1000m+100n+10(9—m)+6—n=990m+99n+96,

A'—1000(9—m)+100(6—n)+10m+几=—990m—99n+9600,

Q⑷=7nf,

••・4-4=(990m+99n+96)-(-990m-99n+9600)=99(20m+2几-96)，

••・尸(4)—=20m+2n—96,

lPQ4)20m+2n-96

”(4)=丽=xn，

,・,千位数字为TH,百位数字为71,则十位数字为9-僧，个位数字为6-几，F(/)能被3整除，

.,.20m+2n-96=3fc(m-n),k为整数

.,.1<m<8,0<n<5,

mnP(4)Q(力F(4)

10-761-76

11-740不存在

12-72-172是3的倍数

13-70-235

68

14-68-3

T

33

15—69一4

20-562-28

21-541-54是3的倍数

22-520不存在

23-50-150

24-48-224是3的倍数

46

25一46-3

一'3"

......

806488

66

81667

T

34

82686

T

8370514

8472418是3的倍数

74

85743

••・力的最大值为：8412；最小值为1284

满足条件的力的最大值与最小值的差是8412-1284=7128

故答案为：7128.

3.任意一个四位正整数m=abed,如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10,

百位与个位上的数字之和是9,则这个数称为"十拿九稳数将加的千位与十位对调、百位与个位对调后的

四位数记为加，其中尸(小)=喑，贝叶(3871)=;若〃1(陶+4口+106+1为整数，则满足条件的"十

拿九稳数"小的最大值为.

【答案】-339316

【分析】本题考查了新定义下的实数运算，利用二次根式的性质进行化简.理解题意，熟练掌握利用二次

根式的性质进行化简是解题的关键.

由题意知，a+c=10,b+d=9,加=edab,贝！Jc=10-a,d=9-b,当TH=3871时，m=7138,则F(3871)

opyi_71oo

=---....,计算求解即可；由题意知，m=1000a+100/?+10c+d,m=1000c+lOOd+10a+b,贝lj

l1000ci+100b+10c+d-(1000c+100d+10tt+Z?)oMo7-八小LA>-I।-iyc

F(m)=------------------------------------------------=20a+26-109,F(m)+4a+10b+1=12(2a+b—9)，

VF(m)+4a+10b+1=2,3(2a+b—9)，由JF(zn)+4a+10b+1为整数，可矢口

2a+b-9=3,2a+b-9=12,由题意知，当a值最大时，m的值最大，然后求出两种情况的最大值，最后

比较大小即可.

【详解】解：由题意知，a+c=10,b+d=9,m=edab,

•••c=10-a,d=9—b,

当zn=3871时，加=7138,

「3871-7138

•*(3871)=—而一-33,

由题意知，m=1000(1+100b+10c+d,m'=1000c+lOOd+10a+b,

「lOOOa+lOOb+lOc+d—(lOOOc+lOOd+lOcz+b)990a+99b—990c—99d3八7,仁八«,八八

=------------------------------------------------=---------------------=10a+b-10c-d=20a+26-109,

+4a+10b+1=20a+2b—109+4a+10b+1=24a+12b—108=12(2a+b—9)，

•••VF(m)+4a+10b+1=J12(2a+6-9)=213(2a+6-9)，

:〃(m)+4a+10b+1为整数，

.,.2a+b—9=3或2a+b-9=12,

由题意知，当a值最大时，m的值最大，

当2a+b—9=3时，最大的。值为5,此时b=2,6的最大值为5257；

当2a+b-9=12时，最大的a值为9,此时b=3,m的最大值为9316；

•■•5257<9316,

.,・满足条件的"十拿九稳数的最大值为9316,

故答案为：—33,9316.

4.若一个四位数N,前两位数字之和为8,后两位数字之和为5,且各位数字均不为0,则称N为"同城

数".把四位数N的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数N'.规定

F(N)=*.例如：N=3523,「3+5=8,2+3=5,；.3523是“同城数"，则"3523)=当笋箜

=12.若"同城数"M=2641,则F(M)=；已知T=血3是"同城数”(a,b,c,d均为正整数)，若*弋。+4c

是整数，则满足条件的T的最大值是.

【答案】T52632

【分析】本题考查了新定义下实数的运算、二元一次方程等相关内容，关键在于理解同城数的定义，正确

列式计算.根据题意直接计算F(M),即可求解；根据同城数的定义，a+b=8,c+d=5,由题意可得

苧+喈=(a-c)+必等是整数，即可求解出满足条件的所有T的值.

OOO

【详解】解：根据题意，F(M)=生与产=—15；

因为丁=济次是同城数，所以a+b=8,c+d=5,

F(T)+a+4c

8

abcd—cdaba+4c

=-----------------1----------

8x998

1a+4c

100/?10c

=8x99+++d)-(1000c+lOOd+10a+6)]+8

由6Tm/i,日F(T')+a+4cF(T'),a+4cl.，a+4c9a—9c+3,,2a+3c+3

整理化间得，—=zMM一,

ooo=ro(10a+b-10c-d)+—o---―-o-=(a—c)+--o

所以，2a+3c+3是8的倍数；

a+fo=8,c+d=5,

•••a<8,b<8,c<5,d<5,

那么a、c可能的取值为a=1,c=1；或a=2,c=3；

••・当。最大时，T取最大值，

a=2,c=3时，T取最大值，此时b=6,d=2,

••・满足条件的T的最大值是2632.

故答案为：—15；2632.

5.对于一个各个数位上的数字不相等且均不为零的四位自然数根=抽出，且满足a+6+c=d2,则称这个

数为"前和幕数"，如：爪=5924,因为5+9+2=42,所以5924是"前和暴数若彷方是“前和幕数”，则

这个数是;若四位数N是"前和幕数"，将"前和幕数"的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位

数字对调，得到新数3,若力+B能被33整除，则满足条件的/的最大值和最小值的差是.

【答案】36744950

【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用，因式分解的应用.理解新定义，正确推

理计算是解题关键.

根据"前和塞数"的定义求解即可；设这个四位数4=赤3,则2=而而，再结合"前和幕数"的定义，得出

4+8=1089(。+6)+11(1+砌，再由4+8能被33整除可知小是整数，得到满足条件的d的值为3,进

而得出满足条件的等式，即可得到/的最大值与最小值，即可解答.

【详解】解：,•・希河是"前和嘉数"，

...3+b+7=42,

.,.b=6,

・•・这个数是3674；

设这个四位数4=abed,则B=badc,

4+8=1000。+100b+10c+d+10006+100a+lOd+c

=1100a+11006+lie+lid

=(1089a+10896)+(11a+11b+lie+lid)

—1089(。+b)+H(a+6+c+d)，

•••四位数/是"前和基数"，

a+b+c-d2,

2

■-A+B=1089(a+b)+ll(d+d)，

A+B能被33整除，

•・•飞；+幻=等是整数,且。中67©不乙l<a<9,l<b<9,l<c<9,l<d<9

二满足条件的d的值为3,

・••Q+力+c=储=9,

满足条件的等式为1+2+6=9,

满足条件的/的最大值是6213,最小值为1263,

它们的差为6213-1263=4950.

故答案为：3674；4950.

6.对于任意一个四位数"，若它的千位数字与个位数字均不为0,且满足千位与百位上的数字之差等于个

位与十位上的数字之差，则称〃为“对称等差数"，将这个"对称等差数"反序排列(即个位与千位对调，十位

与百位对调)得到一个新的四位数小，记。0)=詈，则0(1232)=,若X,y都为"对称等差数"，记

x的千位数字与个位数字分别为夕q,且x的千位与十位上的数字之和为8；y的千位数字与个位数字分别

为s,t.当。(久)能被8整除时，有D(x)+D(y)=3s+4t+st-46成立，则满足条件的。(y)的最小值为.

【答案】一1一4

【分析】本题考查列代数式，分式的性质.理解"对称等差数"的定义，正确表示出x,y是解题的关键.

根据"对称等差数"的定义即可直接求出。(1232).根据题意求出x的十位数字和百位数字，进而求得D(x)

=p-q,根据。(久)能被8整除，得至ljp-q=±8或0,当p-q=±8时均不合题意，舍去；而当p-q=0时，

D(x)=。，设y的十位数字为。，则百位数字为s-t+a,进而得到D(y)=s-t,根据

尤)+D(y)=3s+4t+st—46得至!Js—t=3s+4t+st-46,因此s=^^—5,根据s,t的取值范围可得｛；_g

或或g,进而£>(y)=s—1=7,—2,-4,即可得到。(y)的最小值为一4.

【详解】解：当几=1232时，m=2321,

,、1232-2321

.••0(1232)=-—=-1

••・x的千位数字与个位数字分别为p,q,且x的千位与十位上的数字之和为8,

•■•X的十位数字为8-p,

•••x是"对称等差数"，满足千位与百位上的数字之差等于个位与十位上的数字之差,

•1-X的百位数字为p-[q-(8—p)]=8-q,

••X=1000p+100(8—q)+10(8—p)+q，

[1000p+100(8-q)+10(8-p)+q]-[1000Q+100(8-p)+10(8-q)+p]1089(p-q)

・.・%=----------------本------------------=3-

=p-q，

・・・D(%)能被8整除，

•,.p-q=±8或0,

①当p-q=-8时，p=1,(?=9,不合题意，舍去;

②当p—q=8时，p=9,q=l,不合题意，舍去；

③当p-q=O时，p=q,D(x)=O,

的千位数字与个位数字分别为s,3设其十位数字为a,

则百位数字为s-t+a,

**.y=1000s+100(s—t+CL)+10a+t,

[1000s+100(s-t+a)+10a4-t]-[1000t+100a+10(s-t+a)+s]1089(s-t)

•,•%)=--------------------------------------------------------=^^=ST,

vD(x)+D(y)=3s+4t+st—46,

:.s—t—3s+4t+st—46,

：.2s++st=46,

46-5t56-5(t+2)56-

・•・s=H=2+t=而一5

•・・s,/均为整数，且1WSW9,1<t<9,

ft=2=5=6

Us=9或ts=3或ts=2，

=s—t=7,—2,—4,

・•.D(y)的最小值为-4.

故答案为：-1;-4

7.一个四位数M,若干位数字与十位数字之和为11,百位数字与个位数字之和也为11,则称M为"双11

数".将M的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换，得到M的逆序数并记K(M)=

筌.若M是最大的"双11数"，则K(M)=;若M是"双11数”且华卫是完全平方数，则满足条

件的M的最大值为.

【答案】777744

【分析】本题考查利用新定义解题，根据"双11数"定义得到最大的"双11数"千位数字和百位数字都为9,

十位数字和个位数字都为2；设M的千位数字和百位数字分别为a,b,根据"双11数"定义求解即可.

【详解】解：是最大的“双11数"，"双11数"的千位数字与十位数字之和为11,百位数字与个位数字之

和也为11,

・•・最大的"双11数"千位数字和百位数字都为9,十位数字和个位数字都为2,

9922-2299

-99-=77;

设M的千位数字和百位数字分别为a,b,

是"双11数”，

••.M的十位数字和个位数字分别为ll-a,11-b,

.-.M=1000a+100b+10(n-a)+U-b=990a+99b+121,

••.M的逆序数M'=1000(n-a)+100(n-b)+10a+b=-990a—99b+12100,

=嗟==990a+99b+121-f99b+12100)=-2],

.K(M)+111_20a+2b-121+lll_20a+2b-10_2a+2b-l

■■9-9—9—'a-1H9'

•••竺坦是完全平方数，

.•・2a+26—1是9的倍数，

由题意得，lWaW9,l<ll-a<9,l<b<9,1<11-/?<9,

/.2<a<9,2<6<9,

.,.7<2a+26—1<35,

.•・2a+26—1最大值为27,整理得a+6=14,"竽义=2a—1+等=2a+2为完全平方数，

•.•在6<2a+2<20范围内的最大完全平方数为16,

■,-2a+2=16,解得a=7,

此时b=7,M=7744为最大值；

故答案为：77,7744.

8.若一个四位自然数的千位数字比百位数字大3,十位数字比个位数字大2,则称这个四位数为"奋斗数”;

若千位数字比百位数字大2,十位数字比个位数字大5,则称这个四位数为"前进数".例如：5286是“奋斗

数"；3194是"前进数”.则最小的"奋斗数"是；若P、Q分别是“奋斗数"、"前进数"，且它们的个位数字

均为1，P、Q各数位上的数字之和分别记为G（p）和G（Q）,若就怒能被11整除，则怒的最大值为.

【答案】3020得

【分析】本题考查了新定义下的实数运算.理解"奋斗数"，"前进数"的定义，正确的表示数和式子是解题的

关键.

由题意知，最小的"奋斗数"千位数字要最小，百位和个位最小为0,然后求解即可；设P、Q百位数字分别为

Q、b,则P=1000（。+3）+100。+30+1、Q=1000（/）+2）+100h+60+1,G（p）

=a+3+a+3+l=2a+7,G（Q）=b+2+b+6+l=2b+9,进而可得G（p）-G（Q）=2（q-b—1）,

P-Q-420=ll[100（a-h-l）+150].G（P）-G（Q）=------2（ii）-----,丽=诉，由G（P）-G（Q）耳匕被,整除，

可知=5。+小彳是整数,即^^是整数，贝必-6-1=±1或a-b-l=±3或a-b-l=±5,

”°z^哈a—7D—/L5)°a—b—1a—b—1

当。一6-1=一1时，a=b,且b的取值为小于10的自然数，由黑^=|^=卷^=1一引言，可知当b=9时,

tr(Q)ZD4-yZo+9ZD+9

彩的值最大，为募；同理，计算其他情况下的最大值，最后比较大小确定较大值即可.

【详解】解：由题意知，最小的"奋斗数"千位数字要最小，

•••"奋斗数"的千位数字比百位数字大3,十位数字比个位数字大2,百位和个位最小为0,

千位最小为3,十位最小为2,

•••最小的"奋斗数”为3020；

设P、Q百位数字分另IJ为a、b,贝产=1000(a+3)+100a+30+1,Q=1000(6+2)+100/?+60+1,G(p)

=a+3+a+3+l=2a+7,G(Q)=b+2+b+6+l=2b+9,

•••G(p)—G(Q)=2a+7—(2b+9)=2(Q—b—1),

・••尸一Q—42。=1000(a+3)+100。+30+1—1000(/)+2)—1006—60—1—420=ll[100(a—Z?—1)+150]>

P-Q-420ll[100(a-b-l)+150]G(P)2a+7

•'G(P)—G(Q)=2(a-b-l)'G(Q)=2d+9，

•••就悬能被11整除，

100U(a-b)-l)+150=-50+曰是整数，即鼻是整数,

.,.a-b—1=±1,a—b-1=±3或a—b—1=±5,

当a-b—l=-l时，a=b,且b的取值为小于10的自然数,

G(P)_2a+7_2b+72

•・G(Q)-2b+9-2b+9-—2b+9,

当。=9时，黑的值最大，为第

27

同理，当a—6-1=—3时，繇的最大值为||；

当a-b—1=-5时，•怒的最大值为总

G(Q)27

当a-力一1=1时，2景的最大值为当；

当a—Al=3时，黑的最大值为?；

当a—b—1=5时，磊的最大值为三；

.Z〈卫〈至〈至

,272727999'

•,•春祭的最大值为

1Q

故答案为：3020,

9.对于一个四位自然数N,如果N满足各数位上的数字不全相同且均不为0,它的千位数字减去个位数字之

差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N为"差同数”.对于一个"差同数"N,将它的千位和个位

构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s,将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位

构成的两位数所得差记为如规定：F侬)=答.例：N=7513,因为7-3=5-1,故：7513是一个“差同

数”.所以：s=73—51=22,t=71—53=18,贝I」：F(7513)=^^=2.已知4378是一个"差同数"，则

尸(4378)=,若自然数P,Q都是"差同数"，其中P=1000%+10y+616,Q=10(hn+n+3042

(l<x<9,0<y<8,l<mW9,0WnW7,%,外科几都是整数)，规定：fc当3F(P)-尸(Q)能被11整

除时，贝收的最小值为.

【答案】1

【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用.理解"差同数"的定

义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键.

(1)根据"差同数"的定义求得s和和3进而求得尸(N)；

(2)根据"差同数"的定义和已知条件，求得F(P)=x-6,F(Q)=3-进而求得3尸(P)-F(Q)=3x+m-21,

再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出发的最小值.

【详解】解：由题意知，s=48-37=ll,t=47-38=9,

11+2x9

-29-

•;P=1000%+10y+616=1000%+6x100+10(y+1)+6,其中04y48,

・・/的千位数字为x,百位数字为6,十位数字为y+1,个位数字为6,

・•・由“差同数〃知：x-6=6-(y+l),

即％+y=11；

而Sp=(10x+6)—(60+y+1)=10x—y—55,

tP=(10%+y+1)—66=10%+y—65,

,、_10x-y-55+2(10x+y-65)_30x+y-185_29x4-11-185_

•・•广⑺-29—29—29-X-6;

♦：Q=100m+n+3042=3x1000+100m+4x10+(n+2),其中1<m<9,0<n<7,

・・・。的千位数字为3,百位数字为冽，十位数字为4,个位数字为ri+2,

・•・由“差同数”知：3-(n+2)=m-4,

即租+九=5；

而SQ=30+ri+2—(10m+4)=n—10m+28,

“=34—(10m+几+2)=—10m—n+32,

EVC、九―10m+28+2(—10m—n+32)—30m—n+93Q

••(Q)—29-29——

.,.3F(p)—F(Q)=3%+m—21,

vl<%<9,0<y<8,%+y=11,

.,.3<%<9；

vl<m<9,0<n<7,m+n=5,

.,.1<m<5,

.,.-11<3x+m-21<11；

V3F(P)-F(Q)=3%+zn-21能被11整除，

.,.3%+m—21=-11或0或11；

①当3x+m—21=—11时，X=3+F，

v—4<1—m<0,

.,.1—m=0或—3,

；・m=1或4,

当m=l时，荏=4,%=3,y=8；

当?n=4时，n=1,x=2,y=9,不合题意；

7F(P)3-63

,\K------=----=----

F(Q)3-12'

②当3久+m—21=0时，%=7-p

vl<m<5,

：.m=3,

.,.n=2,x=6,y=5；

•••3—m=0,

.*(P)=F(Q)=0,

・•.k不存在；

③当3x+m—21=11时，x=10+^,

vl<m<5,

-3W2—7nW1,

.,.1—m=-3或0,

.,.m=4或1；

由①知，k=-I；

••.k的最小值为-|；

故答案为：1；—

10.对任意一个三位数n,如果打满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“雅慧数”,

将一个“雅慧数"任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111

的商记为尸0).例如几=123,对调百位与十位上的数字得到213,对调百位与个位上的数字得到321,对调

十位与个位上的数字得到132,这三个新三位数的和为213+321+132=666,666+111=6,所以F(123)

=6.计算:尸(617)=;若s,t都是“雅慧数"，其中s=100久+32,t=150+y(lWxW9,lWyW9,%y

都是正整数)，规定k=黯，当尸(s)+F(t)=18时，所有满足条件k的和等于—.

【答案】14?

【分析】本题考查了不定方程的应用，新定义运算，根据新定义直接求得尸(617)=14,设s=100x+32,

t=150+y,根据F(s)+F(t)=18得出x+y=7,进而分类讨论，根据k=黯，求得k的值，即可求解.

【详解】解：根据题意尸(617)=(167+716+671)+Hl=14

故答案为：14,

vs,t都是"雅慧数"，s=100%+32,t=150+y,

・•・F(s)=(302+10x+230+%+lOOx+23)+111=%+5,

F(t)=(510+y+lOOy+51+105+lOy)+111=y+6.

•・・F(t)+尸(s)=18,

%+5+y+6=x+y+ll=18,

%+y=7.

<•<1<x<9,1<y<9,且％,y都是正整数，

(x—1—p.f%—2—p.(x—3-p.(x—4-p.(x—5—p(x—6

・•・[y=6或ty=5或ty=4或ty=3或ty=2或ty=1-

s是“雅慧数"，

•••%W2,%H3.

是"雅慧数〃，

・•・yw1,yw5.

(x=1-^.(x=4-^(x=5

•••ly=6或ty=3或ty=2，

.1(s)=6或fF(s)=9或fF(s)=10

-IF(t)=12=9F(t)=8，

.%)l—c尸⑸L尸(S)5

••卜=西=5或/=府=1或卜=而=牙

所有满足条件k的和等于J+1+1=^-

11.若正整数加满足个位数字是1,其他数位上的数字均不为1,且百位数字和十位数字相等，则称正整数

m为"群凤和鸣数"，交换"群凤和鸣数"加的首位数字和个位得到一个新数n,并记P(m)=誓-3+15,

那么最小的四位“群凤和鸣数”为；若四位正整数k=1000%+100y+10y+l(2<x<9,0<y<9M

y^l,X、y均为整数)与p(k)均为"群凤和鸣数"，那么所有满足条件的四位“群凤和鸣数组的和为.

【答案】200111442

【分析】本题主要考查了新定义一一"群凤和鸣数熟练掌握新定义，整数数字的表达式，整式的混合运算，

是解答本题的关键.

根据"群凤和鸣数"的定义和最小数的性质即可确定最小的四位“群凤和鸣数"；然后根据"群凤和鸣数"和交换

"群凤和鸣数”求得左、k',进而求得P(k)，然后再根据“群凤和鸣数”的定义即可解答.

【详解】解：由题意可得，在"群凤和鸣数"中，百位数字和十位数字相等且不为1,

则最小的四位"群凤和鸣数"的千位上只能是2,十位和百位数为0,个为位为1,

即2001.

故答案为：2001.

•■k=1000%+100y+10y+1(2<x<9,0<丫49且)/71,尤、y均为整数)与P(k)均为"群凤和鸣数”，

••・交换k的首位数字和个位数字得到一个新数K

则川=1000+100y+10y+x.

：.k+k'=1001%+220y+1001,k-k'=999久一999.

.P_1001久+220y+1001999--999

••二(A)—ii111

=91%+2Oy+91—(9x—9)+15

=82x+2Oy+115.

•；P(k)为"群凤和鸣数"，且20y的末位数数字为0,115的末尾数字为5,

••.82久的末尾数字必为6.

.-.X—3或x=8.

当久=3时，P(k)=361+20y.

・••P(k)为"群凤和鸣数"，即百位和十位上数字相同，

：.y=4,P(fc)=441.

：.k=1000%+100y+10y+1=3000+400+40+1=3441.

当x=8时，P(k)=771+20y.

・；P(k)为"群凤和鸣数”，即百位和十位上数字相同，

.-.y=0,P(k)=771.

：.k=1000%+100y+lOy+1=8000+1=8001.

.,•所有满足条件的k的和为：3441+8001=11442.

故答案为：11442.

12.一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数.若干位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字

与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为"倍和数"，对于"倍和数任意去掉一个数位上的数字,

得到四个三位数，这四个三位数的和记为F(m),贝中(2124)=—，若"倍和数"皿千位上的数字与个位上的

数字之和为8,且笔处能被7整除，则所有满足条件的"倍和数"中的最大值与最小值的和为—.

【答案】7749357

【分析】此题主要考查了新定义，二元一次方程以及不等式的性质，根据题意列出相关式子是解本题的关

键.

第一空，根据题意直接计算，即可求出答案；第二空，设6的千位数字为a,百位数字为6得出

m=1000a+100b+10(4-b)+(8-a)>(l<a<7,1WbW3且a力为整数)，则可得F(m)

=297a+996+108,故可推得一黑^，=7(4a+b+2)+2fe-a-2,26—a-2能被7整除，进而分类讨论

即可.

【详解】解：尸(2124)=212+214+224+124=774,

故答案为:774；

设机的千位数字为。，百位数字为b,

•••"倍和数千位上的数字与个位上的数字之和为8,

■■m的个位数字为(8-a)，

•••千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，

•••百位上的数字与十位上的数字之和为4,

■■m的十位数字为(4-b)，

：.m=1000a+100b+10(4-h)+(8-a)>(1<a<7,1WbW3且a力为整数)，

•••尸(nt)=100a+106+(4—b)+100。+10/?+(8—CL)+100。+10(4—b)+(8—ct)+100b+10(4—b)+

(8-a)=297a+99b+108,

..尸(m)+24

■n-

_297a+996+108+24

二11

11(27。+9b+12)

二11

=27a+9b+12

—7(4a+b+2)+2b—CL—2

・•.2b-a—2能被7整除，

vl<a<7,1WbW3且为整数，

*'.-7W2b—ci—243,

：2b—CL—2=-0,

：.2b—a—5或2b=a+2,

当2b=a—5时，由a-5>0,

故a=7,b=1或Q=9力=2(舍去)

则此m=7131,

当2b=a+2时，

.•.a=2,b=2或a=4力=3或a=6/=4(不符合题意),

m=2226或4314,

所有满足条件的“倍和数〃加的最大值与最小值的和为7131+2226=9357,

故答案为：9357.

13.我们规定：如果一个四位自然数4满足千位数字与个位数字之和为6,百位数字与十位数字之和也为

6,则称人为〃六六大顺数〃，若/、B均为〃六六大顺数〃，其中/=abed,B=5xyl(1<a,b,y<6f

0<c,d,x<5,且a,b,c,d,x,y均为整数)，将/的前三位数字组成的三位数万瓦记为/的后三位数字

组成的三位数原记为九，若租十九能被13整除，贝b+b=,在此条件下，将人的前两位数字组成的两

位数斜记为s,将B的后两位数字组成的两位数yl记为3若3s+t=/(k为整数)，则满足条件的8的最大

值与最小值的差为.

【答案】490

【分析】本题属于实数的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键.

(1)根据定义血+几=13(7a+7b+5)+8a+8b+7,8a+8b+7能被13整除即可,确定8a+8b+7的

范围，列举即可；

(2)根据定义得到/=27a+10y+13,确定50工/4235,再分类讨论，一一列举即可.

【详解】解：©m=abc=100a+10/)+c,n=bed=100b+10c+d,

由题意得a+d=6,b+c=6,

.'-d=6—a,c=6—b,

--Tn+zi=lOOct+110b+11(6—b)+6-a

=99a+995+72

=13(7a+7b+5)+8a+8b4-7

•・a力为整数，

•-13(7a+7b+5)能被13整除，

・•・使得zn+九能被13整除，则8a+8b+7需要能被13整除,

,•,1<a,b<6,

.,.16<8a+8b<96,

.-.23<8a+8b+7<103

/.8a+8b+7可取26,39,52,65,78,91

・・.8a+8b可取19,32,45,58,71,84,

显然19,45,58,71,84不是8的整数倍，故舍，

.,.8a+8b=32,

.,.a+b=4；

②vs=ab,t=yl,

.,./c2=3ab+yl,

va+6=4,

：.b=4—a,

■•■k2=3a(4-a)+yl=3(i0a+4-a)+10y+1=27a+lOy+13,

••,1<a,b<6

可求50<27a+lOy+13<235,

即504/4235,

可取64,81,100,121,144,169,225,

当廿=64,则27a+10y=51,

此时无符合题意的整数解，舍；

当〃2=81,则27a+10y=68,

此时无符合题意的整数解，舍；

当公=100,则27a+10y=87,

则符合题意；

当廿=121,则27a+10y=108,

则不符合题意，舍；

当廿=144,贝Ij27a+10y=131,

则符合题意；

当々2=169,则27a+10y=156,

此时无符合题意的整数解，舍；

当上2=225,贝！|27a+10y=212,

则｛；：§，不满足a+b=4,舍，

fa=1-=3

,Ay=6或ty=5'

,•,%+y=6,

...y=6时，则％=0,则5=抽1,

y=5时，贝!J%=1,则8=5151,

・•・Bmax—Bmm=5151-5061=90，

故答案为：4,90.

14.若一个四位数的千位数字比百位数字大2,十位数字比个位数字大3,则称这个四位数为"霜降数”.若

其千位数字比百位数字大3,十位数字比个位数字大5,则称这个四位数为"寒露数"，如4241是“霜降数”,

6361是"寒露数"，最小的"寒露数"是,若M、N分别是“霜降数"、"寒露数"，且它们的个位数字均为

1,M,N各数位上的数字之和分别记为尸（M）和尸（N），若F（M）_F（N）能被11整除，则当品取得最小值时M

的值是.

【答案】30502041

【分析】本题考查了对题干"霜降数"与"寒露数"概念的理解，以及用代数式表示数字，根据未知数的范围推

算最小值，根据题意即可得出最小的“寒露数"；设M=a641,N=cd61,且。=b+2,c=d+3,再结合a,b

M—N—201

取值范围和尸（M）T（N）能被11整除，即可得出a，6取值情况，分别计算不同情况下的值，再进行比较，即

可解题.

【详解】解：根据题意可得：最小的"寒露数〃千位数字要最小，

・・・〃寒露数"千位数字比百位数字大3,十位数字比个位数字大5,百位和个位最小为0,

二千位最小为3,十位最小为5,

・•・最小的〃寒露数〃为3050；

•:M、N分别是〃霜降数〃、〃寒露数〃，且它们的个位数字均为1,

・•・可设M=ab41,N=cd61,且a=b+2fc=d+3,

•*(M)=a+b+5=2b+7,F(N)=c+d+7=2d+10,

M-N-201_1000a+100b+41-1000c-100d-61-201

人JR(M)一产(N)―2b+7—2d—10

_1100b-1100d-1221

2b—2d—3

_H(lOOb-lOOd-lll)

2b—2d—3'

M-/V-201,士…N

能被11整除，

100d-100d-lll为整数,

-2b-2d-3-

.lOOb-lOOd-111_100b-100d-150+39

•2b-2d-3-2b-2d-3-

••・二为整数，

：.2b-2d-3=±1,±3,±13,±39,

则b—d=2,1,0,3,8,-5,21-18,

•­-0</?<7,0<d<6,

.'.-64b—d<7,

，b—d=-5,0,1,23

”(M)=2b+7,F(N)=2d+10,

F(M)_2b+7

'F(N)=2d+10,

设b—d=/c,则匕=4+匕

F(M)2b+7_2d+2k+7

'F(N)―2d+10-2d+10'

当需取得最小值时，k应最小，即b-d=-5,

：,b=0,d=5或b=l,d=6,

出〃匚1F(M)2b+77

当b=°,d=5时，丽=亦行—元，

*八1/ZLH-FF(M)2b+79

当b=l,d=6时，丽=痂而=五，

.•二<2

■20、22'

此时b=0,d—5,

止匕时M=2041.

故答案为：3050,2041.

15.若一个四位数M=赤3满足〃的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是M的后两位数字组成

的两位数，则称这个四位数河为"均衡数"，则最大的"均衡数"为;将均衡数”的千位数字与十位

数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为M',记P(M)=g，G(M)=/当P(M)、G(M)均为整

数时，则满足条件的所有州的中位数为.

【答案】98176327

【分析】本题主要考查了定义新运算，中位数的定义，

根据"均衡数"的定义判断①即可，再将各数位对调，由P(M),G(M)为整数得出多种可能，然后根据中位数

的定义解答即可.

【详解】千位数字最大为9,再根据"均衡数”的定义可知百位数字最大为8,则(9+8)x(9-8)=17,

所以最大的"均衡数"是9817；

故答案为：9817；

=［是整数,

・•.a是b的倍数，且1工。工9,

72937293一目由后立人

当a=9,b=3时,M=9372,M'=