圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）大题综合（学生卷）-2025年高考数学复习分项汇编

4<24圆雄曲线（摘圆、掀曲钱、搬物钱）

大做焦合

十年考情­探规律

考点十年考情(2015-2024)命题趋势

2022•天津卷、2020.全国卷、2019•全国卷、2019•天津1.熟练掌握椭

考点1第二问求卷圆、双曲线、抛物

曲线方程2018•全国卷、2017•全国卷、2017•天津卷、2015•天津线的定义及方程

（10年6考）卷的求解，通常大题

2015•安徽卷第一问考查方程

考点2求轨迹方求解

2023•全国新I卷、2021•全国新I卷、2019•全国卷

程2.掌握轨迹方程

2017•全国卷、2015•湖北卷

（10年5考）的求解，近年该考

2024•全国新I卷、2023•天津卷、2022•全国甲卷、点多次考查

考点3求直线方2021•天津卷3.熟练掌握直线

程2020•天津卷、2018•江苏卷、2017•全国卷、2017•天津方程的求解，会求

（10年8考）卷斜率值或范围

2015•江苏卷4.会弦长等距离

考点4求斜率值2021•全国新I卷、2021•北京卷、2021•全国乙卷、的求解，会定值定

或范围2019•天津卷点定直线的求解

（10年6考）2018•天津卷、2018•天津卷、2017•天津卷、2017•山东及证明，该内容也

卷是高考命题热点

2016•山东卷、2016•上海卷、2016•天津卷、2016•全国

卷

2016•上海卷、2016•天津卷、2015•天津卷、2015•北京

卷

2024.北京卷、2023•天津卷、2022.天津卷、2020.全国

考点5离心率求卷

值或范围综合2019•天津卷、2019•全国卷、2016•四川卷、2016•浙江

（10年7考）卷

2015•重庆卷、2015•重庆卷

2022•浙江卷、2020•北京卷、2019•全国卷、2017•浙江

考点6弦长类求

卷

值或范围综合

2016•北京卷、2016•全国卷、2015•四川卷、2015•山东

（10年6考）

卷

考点7其他综合2024•上海卷、2024.北京卷、2020.北京卷、2020•浙江

类求值或范围综合卷

（10年5考）2019•全国卷、2016•四川卷、2015•四川卷

2023•全国新H卷、2023•全国乙卷、2022•全国乙卷

考点8定值定点

2020•全国新I卷、2020•全国卷、2019•北京卷、2019•北

定直线问题

乐卷

（10年7考）

2017•全国卷、2017•北京卷、2017•全国卷、2016•北京

卷

2016•北京卷、2015•陕西卷、2015•全国卷

2024•全国甲卷、2023•全国新I卷、2023•北京卷、

2022•全国新H卷、2021•全国新n卷、2019•全国卷

2018•北京卷、2018•全国卷、2018•全国卷、2018•全国

考点9其他证明卷

综合2017.北京卷、2017.全国卷、2016•四川卷、2016•四川

（10年9考）卷

2016•江苏卷、2016•全国卷、2016•四川卷、2015•湖南

卷

2015•全国卷、2015•福建卷

考点10圆锥曲线

与其他知识点杂糅

2024•全国新n卷、2018•全国卷、2016•四川卷

问题

（10年3考）

分考引精准练上

考点01第二问求曲线方程

22

1.（2022・天津・高考真题）椭圆下方=1Q"O）的右焦点为R右顶点为A,上顶点为3,

且满足箓=#.

⑴求椭圆的离心率e；

⑵直线/与椭圆有唯一公共点M,与丁轴相交于MN异于般）.记。为坐标原点，割。=

且AO肱V的面积为百，求椭圆的标准方程.

22

2.（2020,全国•高考真题）已知椭圆G：=+七=l（a>b>0）的右焦点下与抛物线C2的焦点重合，

G的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交G于4B两点，交C2于C,。两点，

4

^\CD\=-\AB\.

（1）求G的离心率；

（2）设M是G与C2的公共点，若|MF|=5,求G与C2的标准方程.

21

3.（2019,全国•高考真题）已知曲线C:y=£r,，为直线二弓上的动点，过。作C的两条切线，

切点分别为

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以£卜,目为圆心的圆与直线A3相切，且切点为线段A3的中点，求该圆的方程.

22

4.（2019・天津•高考真题）设椭圆*•+g=l（a>b>0）的左焦点为心左顶点为A,上顶点为B.

已知6|04|=2|。8|（。为原点）.

（回）求椭圆的离心率；

（回）设经过点产且斜率为:的直线/与椭圆在X轴上方的交点为P,圆C同时与X轴和直线/相

切，圆心C在直线x=4上，且OC〃AP,求椭圆的方程.

5.（2018•全国•高考真题）设抛物线C：/=以的焦点为尸，过/且斜率为M后>0）的直线/与C交

于A,8两点，加|=8.

（1）求/的方程；

（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.

6.（2017•全国•高考真题）已知抛物线C：y2=2x,过点（2,0）的直线/交C于A,3两点，圆M

是以线段A3为直径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆M上；

（2）设圆”过点P（4,-2）,求直线/与圆M的方程.

22

7.（2017•天津•高考真题）已知椭圆二+七=1（。>6>0）的左焦点为歹（-。，0）,右顶点为A,点E的

ab

坐标为（0,c）,△£K4的面积为2.

2

（I）求椭圆的离心率；

（II）设点。在线段AE上，30=，，延长线段做与椭圆交于点P,点〃，N在x轴上，尸MIIQV,

且直线与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

（i）求直线五P的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

8.（2015・天津•高考真题）已知椭圆£+[=1（。”>0）的上顶点为B,左焦点、为F,离心率为乌,

ab5

（回）求直线3R的斜率；

（回）设直线3R与椭圆交于点P（P异于点5）,过点3且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（。

异于点3）直线PQ与丁轴交于点M,\PM\=l\MQ\.

（回）求力的值；

（回）若1PMlsin/2。尸=呼,求椭圆的方程.

22

9.（2015・安徽•高考真题）设椭圆E的方程为方=1Q6>O）,点。为坐标原点，点A的坐

标为（。，0）,点B的坐标为

（。⑼，点M在线段AB上，满足\BM\=2\M^\,直线0M的斜率为。.

（0）求E的离心率e；

7

（回）设点c的坐标为（0,-6）,N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为

求E的方程.

考点02求轨迹方程

1.（2023•全国新I卷•高考真题）在直角坐标系xOy中，点尸到x轴的距离等于点尸到点的

距离，记动点P的轨迹为W.

⑴求W的方程；

⑵已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3VL

2.（2021•全国新I卷•高考真题）在平面直角坐标系xQv中，已知点片「如，。）、

丹（后用-附用=2,点加的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线x=g上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，且

\TA\-\TB\=\TP\-\T^,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

3.（2019•全国•高考真题）

已知点A（-2,0）,3（2,0）,动点M（x,y）满足直线AM与5M的斜率之积为-g.记M的轨迹为曲线

C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E,连结QE

并延长交。于点G.

(i)证明："QG是直角三角形；

(ii)求APQG面积的最大值.

4.(2017•全国•高考真题)设。为坐标原点，动点M在椭圆C:1+y2=l上，过M作x轴的垂

线，垂足为N,点P满足而5=0两.

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)设点。在直线x=-3上，且次5.改=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点

F.

5.(2015・湖北•高考真题)一种作图工具如图1所示.。是滑槽A3的中点，短杆OV可绕。转

动，长杆.T£V通过一V处钱链与。V连接，卜\上的栓子。可沿滑槽AB滑动，旦DN=ON=1,

MN=3.当栓子Z)在滑槽AB内做往复运动时，带动_V绕。转动一周(。不动时，-V也不动)，

”处的笔尖画出的曲线记为C.以。为原点，A3所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直

角坐标系.

(0)求曲线C的方程；

(回)设动直线/与两定直线4：x-2y=0和/2：x+2y=0分别交于RQ两点.若直线/总与曲线C有

且只有一个公共点，试探究：尸的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存

在，说明理由.

考点03求直线方程

1.（2024•全国新I卷•高考真题）已知A（0,3）和尸［3,|j为椭圆c：5+*=lm>b>0）上两点.

⑴求C的离心率；

⑵若过P的直线/交C于另一点5,且AAB尸的面积为9,求/的方程.

22

2.（2023・天津•高考真题）已知椭圆2+a=1（。>6>。）的左右顶点分别为右焦点为尸，

已知|A/=3,|4同=1.

⑴求椭圆的方程和离心率；

⑵点尸在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线4尸交》轴于点Q,若三角形4尸。的面积是三角形

人尸尸面积的二倍，求直线4尸的方程.

3.（2022•全国甲卷•高考真题）设抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为点。（夕,0）,过R的直线

交C于M,N两点.当直线垂直于x轴时，卜3.

⑴求。的方程；

⑵设直线也，即与C的另一个交点分别为A,B,记直线的倾斜角分别为名加当a”

取得最大值时，求直线A3的方程.

4.（2021・天津・高考真题）已知椭圆5+£=1（〃>6>0）的右焦点为尸，上顶点为3,离心率为平，

且忸同=6.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线/与椭圆有唯一的公共点"，与y轴的正半轴交于点N,过N与所垂直的直线交X轴

于点尸.若MPUBF,求直线/的方程.

22

5.（2020•天津高考真题）已知椭圆［+2=1（46>0）的一个顶点为4（0,-3）,右焦点为尸，且

ab

\OA\^OF\,其中。为原点.

（回）求椭圆的方程；

（回）已知点C满足3碇=赤，点8在椭圆上（8异于椭圆的顶点），直线A3与以C为圆心的圆

相切于点尸，且尸为线段的中点.求直线A3的方程.

6.（2018,江苏・高考真题）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（A1），焦点4（-6,0）心（6,0）,

圆。的直径为「居.

（1）求椭圆C及圆。的方程；

（2）设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点尸的坐标；

②直线/与椭圆C交于两点.若钻的面积为2匹，求直线/的方程.

7

7.（2017•全国•高考真题）已知抛物线C：V=2x,过点（2,0）的直线/交C于A,3两点，圆M

是以线段A3为直径的圆.

（1）证明：坐标原点。在圆M上；

（2）设圆M过点尸（4,-2）,求直线/与圆”的方程.

8.（2017•天津・高考真题）设椭圆二十与=1（。>6>0）的左焦点为尸，右顶点为A,离心率为万.

已知A是抛物线V=2Px（p>0）的焦点，F到抛物线的准线/的距离为，

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设/上两点P,。关于x轴对称，直线”与椭圆相交于点8（8异于点A）,直线3。与x轴

相交于点以若△般的面积为理，求直线针的方程.

2

22

9.（2015・江苏•高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离

心率为字，且右焦点F到左准线I的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过F的直线与椭圆交于A,B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线I和AB于点P,C,

若PC=2AB,求直线AB的方程.

考点04求斜率值或范围

L（2021•全国新I卷•高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点£卜上,0）、

8（J万国-阿玛=2,点M的轨迹为C.

（1）求C的方程；

（2）设点T在直线犬=；上，过T的两条直线分别交C于A、8两点和P,Q两点，且

\TA\-\TB\^\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22

2.（2021•北京•高考真题）已知椭圆E:二+与=1（.>6>0）一个顶点4（。,-2）,以椭圆E的四个顶

ab

点为顶点的四边形面积为4石.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过点P（0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点3,C,直线AB,AC分

别与直线交、=-3交于点N,当|PM|+|PN|415时，求左的取值范围.

3.（2021•全国乙卷•高考真题）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点R到准线的距离为2.

（1）求C的方程;

（2）已知。为坐标原点，点P在C上，点。满足加=9衣，求直线3斜率的最大值.

22

4.（2019•天津•高考真题）设椭圆“^（八人。）的左焦点为尸，上顶点为8.已知椭圆的短

轴长为4,离心率为白.

（回）求椭圆的方程；

（回）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点加为直线所与x轴的交点，点N在，轴

的负半轴上.若ION|=|。/|（。为原点），且OPLMN,求直线PB的斜率.

22

5.（2018・天津•高考真题）设椭圆^+方=1（。泌>0）的左焦点为R上顶点为B已知椭圆的离

心率为。，点A的坐标为伍,0）,^\FB\-\AB\=642.

（I）求椭圆的方程；

（II）设直线/：，=右（发>。）与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线A3交于点。.若

1|=乎sinZAOQ。为原点），求左的值.

22

6.（2018・天津•高考真题）设椭圆二+2=1（°>6>0）的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离

ab

心率为半，\AB\=y/13.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线/：>=依（左<。）与椭圆交于P,。两点，/与直线A3交于点M,且点P,M均在第四

象限.若的面积是V3PQ面积的2倍，求上的值.

22

7.（2017•天津•高考真题）已知椭圆二+七=1（°>6>0）的左焦点为尸（-。，0）,右顶点为A,点E的

ab

坐标为（0，c）,△£K4的面积为一.

2

（l）求椭圆的离心率；

（II）设点。在线段AE上，间|=；c,延长线段尸。与椭圆交于点尸，点〃，N在x轴上，PM||QN,

且直线与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.

（i）求直线尸P的斜率；

（ii）求椭圆的方程.

8.（2017・山东・高考真题）在平面直角坐标系》0丫中，椭圆后：「+孑=1（。＞6＞0）的离心率为当，

焦距为2.

（回）求椭圆E的方程；

（回）如图，动直线/：＞=用工-¥交椭圆E于两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为

右,且快=£,M是线段0C延长线上一点，且|MC|：|AB|=2:3,。”的半径为即|,OS,OT是

。加的两条切线，切点分别为S,T.求/SOT的最大值，并求取得最大值时直线/的斜率.

22

9.（2016•山东•高考真题）已知椭圆C:\+与=1（八。＞0）的长轴长为4,焦距为2亚

ab

（回）求椭圆C的方程；

（回）过动点“（0,㈤（〃?＞。）的直线交X轴与点N,交C于点A,P（尸在第一象限），且加是线段尸N

的中点.过点尸作尤轴的垂线交c于另一点Q,延长。”交C于点瓦

（回）设直线尸河，。河的斜率分别为勺&,证明々为定值;

（回）求直线的斜率的最小值.

2

10.（2016・上海•高考真题）双曲线尤2f=13>0）的左、右焦点分别为白、F2,直线/过后且与

双曲线交于A3两点.

（1）若/的倾斜角为方，AGAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设b=6，若/的斜率存在，且（耳5+而）.通=0,求/的斜率.

22_

11.（2016•天津•高考真题）设椭圆1r+'=1（">我的右焦点为尸，右顶点为A,已知

1I3e

方方+而同，其中。为原点，,为椭圆的离心率・

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点A的直线/与椭圆交于点8（3不在x轴上），垂直于/的直线与/交于点与，轴

交于点H,若BFLHF,且NMOAW/M4O,求直线的/斜率的取值范围.

22

12.（2016,全国•高考真题）已知椭圆E:'+g=l的焦点在x轴上,A是E的左顶点,斜率为k（k>

0）的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA回NA.

（回）当t=4,|A"|=|4V|时，求回AMN的面积；

（回）当21AM=|4V|时，求k的取值范围.

2

13.（2016•上海•高考真题）双曲线f年=1（"0）的左、右焦点分别为月，工，直线/过8且与双

曲线交于A,2两点.

（1）若/的倾斜角为擀，△月AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设6=若/的斜率存在，且|AB|=4,求/的斜率.

14.（2016•天津•高考真题）设椭圆二-L=l（Q〉后）的右焦点为尸，右顶点为H，已知

a"3

二彳书」7=黑，其中。为原点，e为椭圆的离心率.

1^1|ai'||.怒|

（回）求椭圆的方程；

（回）设过点M的直线：与椭圆交于点3（3不在X轴上），垂直于：的直线与，交于点A1,与J

轴交于点H，若毅重L痛重，且ZMQ4WNM4O,求直线的,斜率的取值范围.

15.（2015・天津•高考真题）已知椭圆4+[=l（a>6>0）的左焦点为尸（-c,0）,离心率为近，点M

心b23

在椭圆上且位于第一象限，直线被圆尤2+y2=与截得的线段的长为c,|FM|=t8.

（0）求直线根的斜率；

（回）求椭圆的方程；

（回）设动点P在椭圆上，若直线口的斜率大于0,求直线。尸（。为原点）的斜率的取值范

围.

16.（2015•北京・高考真题）已知椭圆C:Y+3y2=3,过点D（l,0）且不过点E（2,l）的直线与椭圆C

交于A,B两点，直线AE与直线x=3交于点M.

（回）求椭圆C的离心率;

（回）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率;

（回）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

考点05离心率求值或范围综合

22

1.（2024•北京•高考真题）已知椭圆E：方=l（a>6>0）,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶

点的四边形是边长为2的正方形.过点（0,。卜>0）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点

,过点A和C（0,l）的直线AC与椭圆E的另一个交点为。.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

⑵若直线3。的斜率为0,求/的值.

22

2.（2023•天津•高考真题）已知椭圆下a=1（。>6>0）的左右顶点分别为A4,右焦点为尸，

已知|A/=3,|4同=1.

⑴求椭圆的方程和离心率；

⑵点尸在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线为尸交y轴于点Q,若三角形4尸。的面积是三角形

&PF面积的二倍，求直线4尸的方程.

22

3.（2022•天津•高考真题）椭圆二+与=1（°>10）的右焦点为R右顶点为A,上顶点为3,

ab

73

且满足百

2

⑴求椭圆的离心率e；

（2）直线I与椭圆有唯一公共点与y轴相交于MN异于M）.记。为坐标原点，若=|QV|,

且△。肱V的面积为6，求椭圆的标准方程.

r22

4.（2020,全国•高考真题）已知椭圆J・+2=：1（。泌>0）的右焦点下与抛物线C2的焦点重合,

ab

G的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交G于4B两点，交C2于C,。两点，

4

^\CD\=-\AB\.

（1）求G的离心率；

（2）设M是G与C2的公共点，若|MF|=5,求G与C2的标准方程.

22

5.（2019・天津•高考真题）设椭圆^+｝=1（°>6>0）的左焦点为心左顶点为A,上顶点为B.

已知石|。4|=2|。8|（。为原点）.

（回）求椭圆的离心率；

（回）设经过点尸且斜率为9的直线/与椭圆在X轴上方的交点为尸，圆c同时与X轴和直线/相

4

切，圆心C在直线x=4上，且OC〃AP,求椭圆的方程.

22

6.（2019•全国•高考真题）已知片，工是椭圆C苏+%=1（〃>6>0）的两个焦点，P为C上一点，

。为坐标原点.

（1）若“。鸟为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得Pf—P与，且△取风的面积等于16,求人的值和。的取值范围.

7.（2016・四川•高考真题）已知数列｛4｝的首项为1,7为数列｛%｝的前n项和,Sn+l=qSn+l,

其中q>0,〃eN*.

（回）若2%吗9+2成等差数列，求数列同｝的通项公式；

（回）设双曲线d-q=1的离心率为e“，且02=1,证明：el+e2+-+en>^-^.

2

8.（2016•浙江•高考真题）如图，设椭圆3+必=1（«>1）.

（回）求直线广质+1被椭圆截得的线段长（用人左表示）；

（回）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

22

9.（2015・重庆・高考真题）如图，椭圆宗+方=1（。>6>0）的左右焦点分别为斗歹2,且过F2的直

线交椭圆于P，Q两点，且产。，理.

⑴若附|=2+夜,\PF2\=2-42,求椭圆的标准方程.

⑵若|尸以=Hw|,且:《人；试确定椭圆离心率的取值范围.

22

10.（2015・重庆•高考真题）如图，椭圆宗+%=1（°>6>0）的左、右焦点分别为耳,库过尼的直

线交椭圆于尸,Q两点，且尸片

（1）若忸耳1=2+仓归阊=2-m,求椭圆的标准方程

（2）若|尸耳|=|尸Q|,求椭圆的离心率e.

考点06弦长类求值或范围综合

L（2022•浙江•高考真题）如图，已知椭圆（+丁=1.设A,3是椭圆上异于P«M）的两点，且

点。在线段上，直线PA尸8分另U交直线y=-gx+3于C,。两点.

⑴求点尸到椭圆上点的距离的最大值；

⑵求IC0的最小值.

22

2.（2020•北京•高考真题）已知椭圆C:=+5=l过点4-2,-1）,且4=26.

ab

（回）求椭圆C的方程：

（回）过点8（-4,0）的直线/交椭圆C于点直线舷4,附分别交直线--4于点尸,。.求⑶的

值.

3.（2019•全国•高考真题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为1•的直线/与C的交点为4

B,与x轴的交点为P.

（1）若|A尸|+|81|=4,求）的方程;

（2）若Q=3而，求|AB|.

4.（2017•浙江•高考真题）如图，已知抛物线x?=y.点d-3），哈幻，抛物线上的点P（x,y）

卜;<x<3,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（I）求直线AP斜率的取值范围；

（II）求忸4|尸0的最大值

5.（2016•北京•高考真题）已知椭圆C：4+4=1（a>8>0）的离心率为3，A（«,0）,3（0,6）,

ab2

0（0,0）,\OAB的面积为1.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设？是椭圆C上一点，直线与，轴交于点直线PB与x轴交于点N,求证：I4VITBMI

为定值.

6.（2016•全国•高考真题）（2016新课标全国卷回文科）在直角坐标系xOy中，直线/:〉=d声0）交

y轴于点交抛物线C：y=2?无（0>0）于点「，M关于点P的对称点为N,连结ON并延长

交C于点H.

（回）除H以外，直线与C是否有其它公共点？说明理由.

7.（2。15・四川・高考真题）如图，椭圆E：的离心率是丰，过点尸（。,1）的

动直线/与椭圆相交于A,3两点，当直线/平行于x轴时，直线/被椭圆E截得的线段长为2&.

（1）求椭圆E的方程；

OAPA

（2）在平面直角坐标系无⑦中，是否存在与点P不同的定点Q,使得%=丘方恒成立？若存

在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

8.（2015•山东•高考真题）平面直角坐标系X。，中，已知椭圆C:J+/=l（a>6>0）的离心率为日,

左、右焦点分别是耳耳，以耳为圆心以3为半径的圆与以用为圆心以1为半径的圆相交，且交

点在椭圆C上.

（回）求椭圆C的方程；

22

（回）设椭圆无仁+为=1,P为椭圆C上任意一点，过点尸的直线尸区+机交椭圆E于两

4a4b

点，射线P。交椭圆E于点。.

OQ,一

（i）求万下的值;

（回）求AABQ面积的最大值.

考点07其他综合类求值或范围综合

2

1.（2024•上海•高考真题）已知双曲线「：尤2一与=1,（6>0）,左右顶点分别为过点/（-2,0）的

b

直线/交双曲线r于尸，。两点.

⑴若离心率e=2时，求6的值.

⑵若》=孚，△跖42P为等腰三角形时，且点尸在第一象限，求点尸的坐标.

⑶连接。。并延长，交双曲线「于点式，若丽•取^=1,求匕的取值范围.

22

2.（2024•北京・高考真题）已知椭圆E：2+方=l（a>b>0）,以椭圆E的焦点和短轴端点为顶

点的四边形是边长为2的正方形.过点（0,。卜>虚）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点

A,B,过点A和C（0,l）的直线AC与椭圆E的另一个交点为。.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

⑵若直线3。的斜率为0,求才的值.

22

3.（2020•北京•高考真题）已知椭圆CJ+与=1过点A（-2,-l）,且4=26.

ab

（回）求椭圆C的方程：

（回）过点8（-4,0）的直线/交椭圆C于点直线舷4,附分别交直线--4于点2,。.求缁的

值.

4.（2020•浙江•高考真题）如图，已知椭圆G：］+V=l,抛物线C2：V=2px（p>0）,点A是椭

圆G与抛物线G的交点，过点A的直线/交椭圆G于点3,交抛物线C2于“（3,"不同于A）.

（回）若p=],求抛物线C2的焦点坐标；

10

（回）若存在不过原点的直线/使M为线段A3的中点，求2的最大值.

22

5.（2019•全国•高考真题）已知用工是椭圆C:2+%=l（a>b>0）的两个焦点，P为C上一点，

。为坐标原点.

（1）若丁。月为等边三角形，求C的离心率；

（2）如果存在点P,使得Pf—P与，且△取风的面积等于16,求6的值和。的取值范围.

22

6.（2016・四川•高考真题）已知椭圆E：二+与=1（°>6>0）的两个焦点与短轴的一个端点是直

角三角形的三个顶点，直线/：y=T+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（回）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（回）设。是坐标原点，直线/'平行于07,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线/交于点尸，

证明：存在常数几，使得|尸7「=21PAi并求入的值.

7.（2015・四川•高考真题）椭圆石:，+与=1（a>b>0）的离心率是比，点PQD在短轴。上，

ab-2

且卮•丽=-l.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设。为坐标原点，过点尸的动直线与椭圆交于A3两点，是否存在常数X,使得

丽.访+4区.所为定值？若存在，求2的值；若不存在，请说明理由

考点08定值定点定直线问题

1.（2023•全国新n卷,高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2君,0）,离心

率为君.

⑴求。的方程;

(2)记C的左、右顶点分别为4,4,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二

象限，直线加4与N4交于点P.证明:点P在定直线上.

2.(2023•全国乙卷•高考真题)已知椭圆C:与+5=l(a>6>0)的离心率是好,点A(-2,0)在C上.

ab3

⑴求c的方程；

⑵过点(-2,3)的直线交C于尸,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为证明：线段MN的

中点为定点.

3.(2022•全国乙卷•高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过

A(0,-两点.

⑴求E的方程；

⑵设过点尸。，-2)的直线交E于N两点，过〃且平行于x轴的直线与线段A3交于点T,点

H满足而=布.证明：直线HN过定点.

4.(2020•全国新I卷•高考真题)已知椭圆C：m+]=l(a>b>0)的离心率为正，且过点A(2,l).

ab2

(I)求C的方程：

(2)点N在C上，且AMLM,ADLMN,。为垂足.证明：存在定点Q,使得眼。为定

值.

5.(2020,全国•高考真题)已知A、3分别为椭圆E：~+y2=l(a>l)的左、右顶点，G为E

a

的上顶点，AGGB=8,P为直线x=6上的动点，必与E的另一交点为C,尸3与E的另一交点

为D.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

22

6.（2019•北京・高考真题）已知椭圆C:=+2=l的右焦点为（1,0）,且经过点40,1）.

（回）求椭圆C的方程；

（回）设。为原点，直线/：>=履+々*±1）与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与X轴交于

点直线AQ与x轴交于点N,若10Ml1。州=？，求证：直线/经过定点.

7.（2019•北京•高考真题）已知抛物线C：/=_2外经过点（2,-1）.

（回）求抛物线C的方程及其准线方程；

（回）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线

尸-1分别交直线OM,ON于点A和点B求证：以A3为直径的圆经过y轴上的两个定点.

22

8.（2017•全国•高考真题）已知椭圆C：3+2=1（a>b>0）,四点Pi（1,1），P2（0,1）,P3（-1,

ab

—P4（1，—）中恰有三点在椭圆C上.

22

（回）求C的方程；

（回）设直线I不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,

证明：I过定点.

9.（2017•北京・高考真题）已知抛物线C：y2=2px过点过点作直线/与抛物线C

交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中。为原

点.

⑴求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（2）求证：A为线段的中点.

10.（2017•全国•高考真题）设。为坐标原点，动点M在椭圆。:1+产=1上，过M作x轴的垂

线，垂足为N,点P满足而=0两.

(1)求点尸的轨迹方程;

(2)设点。在直线x=-3上，且次5.改=1.证明：过点P且垂直于0Q的直线/过C的左焦点

F.

11.(2016•北京・高考真题)已知椭圆C：卫+马=l(a>b>0)的离心率为无，AQO),B(0,b),

a'b-2

0(0,0),AOR的面积为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设P是椭圆C上一点，直线与，轴交于点加，直线网与x轴交于点N,求证：I4VITBMI

为定值.

22

12.(2016•北京・高考真题)已知椭圆口三+3=1过点4(2,0),3(0,1)两点.

(回)求椭圆C的方程及离心率；

(回)设尸为第三象限内一点且在椭圆C上，直线如与，轴交于点"，直线尸8与x轴交于点N,

求证：四边形的面积为定值.

13.(2015•陕西•高考真题)如图，椭圆£：1+%=1(。>6>0)经过点A(0,-l),且离心率为巧.

⑴求椭圆E的方程；

(II)经过点CM),且斜率为左的直线与椭圆E交于不同两点尸，。(均异于点A),

问：直线AP与AQ的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由.

14.(2015•全国•高考真题)已知椭圆C:5+"=l(a>b>0)的离心率为4，点(2,在在C上

（1）求c的方程

（2）直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点AI,线段AB的中点为证明:

直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定值.

考点09其他证明综合

22（3、

1.（2024•全国甲卷•高考真题）已知椭圆C»方=l（a>b>0）的右焦点为P,点町/J在C上,

且MFLx轴.

⑴求C的方程；

⑵过点P（4,0）的直线交C于A3两点，N为线段FP的中点，直线N8交直线于点Q,证明：

AQ_Ly轴.

2.（2023•全国新I卷•高考真题）在直角坐标系xQy中，点P到％轴的距离等于点P到点的

距离，记动点P的轨迹为W.

⑴求W的方程；

⑵已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于36.

3.（2023•北京・高考真题）已知椭圆£：5+《=1（0>10）的离心率为半，4C分别是E的上、

下顶点，B,。分别是E的左、右顶点，IAC|=4.

⑴求E的方程；

⑵设P为第一象限内E上的动点，直线尸。与直线BC交于点加，直线与直线》=-2交于点

N.求证：MN//CD.

4.（2022•全国新n卷•高考真题）已知双曲线cJ-5=l（a>0,b>0）的右焦点为尸（2,0）,渐近线方

程为y=±A/3X.

⑴求C的方程；

⑵过R的直线与C的两条渐近线分别交于A,5两点，点P(4x),Q(x2，y2)在c上，且

%>0，X>。.过P且斜率为-百的直线与过。且斜率为名的直线交于点从下面①②③

中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

①M在A3上；@PQ//AB-③

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

22_

5.(2021•全国新H卷,高考真题)已知椭圆C的方程为=+与=l(a>6>0),右焦点为尸(叵0),

ab

且离心率为逅.

3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线与曲线/+丁=/(尤>0)相切.证明：M,N,F三

点共线的充要条件是I|=6.

6.(2019•全国•高考真题)

已知点A(-2,0),3(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与5M的斜率之积为记M的轨迹为曲线

C.

(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；

(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E,连结QE

并延长交C于点G.

(i)证明："QG是直角三角形；

(ii)求dOG面积的最大值.

7.(2018•北京•高考真题)已知抛物线C：经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线/

与抛物线C有两个不同的交点A,B,且直线必交y轴于直线尸3交y轴于N.

（回）求直线/的斜率的取值范围；

（团）设。为原点，QM=AQO,QN=juQO,求证：J+'为定值.

AjLl

8.（2018•全国,高考真题）已知斜率为七的直线/与椭圆C：£+（=1交于A,B两点，线段A3的

中点为M（L⑹（加〉。）.

（1）证明：k＜；

（2）设下为C的右焦点，P为C上一点，且丽+西+丽=6.证明：I丽I，|可|而|成等差数列，

并求该数列的公差.

9.（2018•全国•高考真题）设抛物线C：y=2x,点A（2,0）,B（-2,0）,过点A的直线/与C交于

M,N两点.

（1）当/与x轴垂直时，求直线的方程；

（2）证明：ZABM=ZABN.

10.（2018•全国•高考真题）设椭圆C：：+y2=i的右焦点为小过b的直线/与C交于AB两点，

点”的坐标为（2,0）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线4W的方程；

（2）设。为坐标原点，证明：ZOMA=ZOMB.

1L（2017•北京・高考真题）已知椭圆C的两个顶点分别为4-2,0）,B（2,0）,焦点在x轴上，离

心率为.

2

（回）求椭圆C的方程；

（回）点。为x轴上一点，过。作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过。作4W的垂

线交BN于点£求证：回BDE与国BDN的面积之比为4:5.

丫2

12.（2017,全国•高考真题）设。为坐标原点，动点M在椭圆C：5+y2=i上，过〃作x轴的垂

线，垂足为N,