浙江省丽水市2024-2025学年高二年级上册期末考试 数学试卷（含解析）

丽水市2024学年第一学期普通高中教学质量监控

高二数学试题卷

（2025.01）

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答

题卷规定的位置上.

2.答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题

卷上的作答一律无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.直线*-T=°的倾斜角为（）

兀兀2x

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出tana=正，结合倾斜角的定义，即可求解.

3

【详解】由直线K-JL--I=O,可得直线的斜率为K=W，

3

设直线倾斜角为a,可得tana=巫，

3

因为aE[0.uI,所以a=—.

6

故选：A.

2.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式髭=R|1+Jl「,其甘，为预测期

人口数，匕为初期人口数，上为预测期内人口年增长率，W为预测期间隔年数，如果在某一时期（E（-LQ）

,那么在这期间人口数（）

第1页/共21页

A.呈上升趋势B.呈下降趋势C.摆动变化D.不变

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，可知k为预测期内年增长率，当£w(-l,O),可知年增长率为负，由此即可求出结果.

【详解】由题意，仁为预测期内年增长率，如果在某一时期有££(-LQ),即年增长率为负，故这期间人口

数呈下降趋势.

故选:B.

3.已知/(x)=9,若=I,贝U()

22

A.In%=f+1B.=c.Inxo=-xo+lD.ln.v0=.r0+l

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据一一।求解.

，1-Inx

【详解】解：/|灯=—

即In.v„=-A；；+1,

故选：C.

4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标

系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点P(x,y)是阴影部分(包部边界)的动点.则言的最小

值为()

第2页/共21页

432

A.-1B.C.~~D.-T

【答案】B

【解析】

【分析】表示点P（i.ri与点（2,0）连线的斜率，求出过（2.0）点且与以。h为圆心的半圆相切的切线

x—2

斜率即可得.

【详解】一;表示点"与点（2.0）连线的斜率，

x—2

由图可知过口价点且与以1〕为圆心半圆相切的一条切线的斜率最小，设切线方程为「二八」"，即

012A4

由/,=।,解得k=0或A=-；,

J/+13

所以一二二的最小值是.

x—23

故选：B.

5.PLP8,PC是从点尸出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60,,那么直线PC与平面P.48所成角

的余弦值是（）

y/by/3V?1

A.—3B.-3C.2—D.23

【答案】B

【解析】

【分析】作图，找到直线PC在平面尺48上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而

得到线面角；也可将PLP8,PC三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：

如图，设直线PC在平面218的射影为PO,

■A

第3页/共21页

作CG1PD于点G,CH1PA于点H,连接H；,

易得CG1PA,又CHnCG=C,CH,CGc平面CHG,则Pdi平面C//G,又HGc平面CHG,

贝|JPJ1HG,

PH

cosZCP/4=

~PC

有.

PGPHPH

cosZ.CPDxcosNAPD一正而一正

故cos/.CPA=cosZCP。xcosZAPD.

己知1月PC=60°,乙4PD=30°,

故cosNCPD==/CP"=2£1=立为所求.

cosZJPDcos30°3

解法二：

如图所示，把PLP8JC放在正方体中，PLP8.PC的夹角均为60c.

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

贝"。工3）工（（，,1）"。1]）,，储1川,

所以定=（一1,0,1）.⑸=（0,1,1）,丽=（一1,1,0），

-n-PA=v+z=0

设平面川4的法向量"=（x,V,二），贝叫_.

[n-PB=-x+y=0

令K=l,则।।,所以屋（1,1.一1）,

__PC•n_2

所以cos〈尸C,n）=--=='一

|PC|-|n|Wrr3

设直线PC与平面P.44所成角为H,所以sin。=|cos（PC,n）|=-y--

第4页/共21页

所以“、"I'IU"'.

3

故选B.

6.已知函数/(K)的图象如图所示，不等式M'(x)>0的解集是()

叫

>X

A.(-3,-2IU(0.2)B,<-3,-2)U(2J)

C.|-2.0)U(0.2)D,(-2.0lU(U)

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数图象的单调性确定导函数'"的符号，结合X的符号即可判断.

【详解】由图可得：当卜£1-3,-21时，X<()/%)<。，则#'。)>0；

当XE(-2.Q)时，x<o,/(x)>o,则>，>“<()；

当1E时，V><1.,'lVI<'：,则"；

当x€(2,3)时，r>。，厂⑴>。，则M'(x)>0.

则不等式xf(x)>0的解集是(-3.-2IU(2Ji.

故选：B.

7.记抛物线丁=2px(p>0)的焦点为入加4,〃“为抛物线上一点，|/日=6,直线".与抛物线另一交

|明

点为/贝()

A.-B.gC.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】先求出抛物线方程及直线方程，联立，求出交点进而可得答案.

【详解】M7•[=6,由抛物线定义可知A到准线距离为6,即4+f=6,解得p-4,

第5页/共21页

即抛物线方程为厂=h,不妨取*4.4JI）,又/

所以

联立卜=2"、”],消去r整理得「-5-=。，

/=8x

解得*=4,工=1,即8（1,-28）,

故选：C

8.已知双曲线c：[-1=]|g>0,8>01的右焦点为尸，过歹的直线4L3+W=Q（，”为常数）与

△2K*

C在第一象限交于点P.若I。pI=I。F|（0为原点），则c的离心率是（）

7

B.C.石D.5

5

【答案】D

【解析】

—4f+4c

【分析】先利用直线过右焦点，简化直线方程，设点P（八一-—）分别根据点P在双曲线上和

,-4f+4c、，

+(-------)C,①

3

\OP\=\OF\=c建立方程组，通过①化简得出f=代入②，化成“"的齐

(-4/+4c)225

=1,②

9bl

次式，解方程即得离心率.

如图，由直线M-3,r+m=。过右焦点/，可得加=4c，即直线方程为打+35-0,

第6页/共21页

不妨设点尸",一--),依题意,

②

由①化简得：25r-?2.'c•nf;=(I,解得，一。或f=^c,

因当f-c时，点P(c.O),显然不合题意，舍去；把f=^c代入②，可得：之二W”丁

256254r625x96

化简得：49b*：-5761”=625a6,用b=/-V代入计算可得:49c4-1250J:C;+625a4=0,

,25

即49J-12501+625=0,解得e：=25或e-二一(含去)，故C的离心率是5.

49

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率问题，属于难题.

求圆锥曲线的离心率一般有以下两种方法：

(1)直接法：通过求出“"的值，直接求得；

(2)齐次方程法：利用条件构造关于”"的齐次方程，解方程可得.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆G：/+』=l,G:(A-3);+(.r-3):=r-(r>0),则下列说法正确的是()

A.当r：1时，圆。与圆g相离

B.当，=2时，J=1是圆3与圆g的一条公切线

C.当r=3时，圆3与圆G相交

D.当，”4时，圆3与圆G的公共弦所在直线方程是】'=-x+g

【答案】ABD

【解析】

【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要

判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.

【详解】圆G的圆心坐标为,半径R1；圆C：的圆心坐标为(3,3),半径为

：：

则两圆的圆心距d=|C1C21=^3-0)+(3-0)=W75=3".

第7页/共21页

对于A,当1时，R+r=l+l=2.d>R・r,知圆。与圆G相离，A正确；

对于B,当r-2时，ir=H2=3,由d>R*r可得两圆相离.

因圆心。C,(0,0)到V=I的距离为|=R；圆心Q(3,3|到1:I的距离为31=2=r,

故J=1是圆3与圆G的一条公切线，B正确；

对于C,当r=3时，R+r；4,因为d=3、/F>4:R.r,两圆相离，C错误；

对于D,当r：4时，将两圆方程相减得：r-3「+ir-3「-{1+「］=15,

整理得j=-K+g,即圆。与圆C：的公共弦所在直线方程是j=-x+；,D正确.

故选：ABD.

10.己知等比数列Z,：的公比为〃，前〃项和5,>0,设记也：的前〃项和为则

下列判断正确的是()

A.若9=I,则。=S“B.若9>2,贝I」乙>S“

C.若［=-［,则］>S“D.若"=—=,则乙〉S“

44

【答案】BD

【解析】

【分析】先求得9的取值范围，根据夕的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出•和1的大小关系.

【详解】由于9”；是等比数列，Z>0,所以口'>"“；》,

当4=I时，0,符合题意;

1-q">0

当q工I时,即:"上夕一>0,上式等价于，…>。①或,②•解②得

q>i.解①，由于〃可能是奇数，也可能是偶数，所以gel.i,o|U|o/l.

综上所述，9的取值范围是(T,0|U(0,+8).

3(3、(，3、

4=-丁川=%［『一尸)，所以乙，所以

r.-5,=S.-S,-L+y1-!9-2|,而Z>0,且</€(-1,0)30，+°°).

第8页供21页

所以，当-lv<r或f：时，T.-S.0,即7；>S“，故BD选项正确，C选项错误.

当,2,/，⑺时，J,S.0,即/♦、.

当”:或：时，TS-0.7-S,A选项错误.

综上所述，正确的选项为BD.

故选：BD

【点睛】本小题主要考查等比数列的前〃项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想

方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

11.己知正方体488-44。；。的棱长为2,点E为8c中点，动点尸在正方形CDDC内（包括边界），

则下列说法正确的是（）

A.若EFD8,贝。//的长度是

B.若8尸平面』8。，则凡;的最小值是£

C.若则点尸的轨迹长度是£

D.若CFi平面则点6的位置唯一

【答案】BCD

【解析】

【分析】连接F，取其中点/，由中位线定理得EF口8,可判断A；建立空间直角坐标系并得出各点

坐标，设/,其中0<M<LU<<：<?,利用坐标法分别判断选项BCD.

【详解】选项A：连接F，取其中点/，在ABCA中，EF为中位线，所以DB,

由于=2。，所以订二#,A错误；

选项B：

第9页/共21页

Zk

如图，以。为原点分别以ZM、DC、DD为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0)，8(220),C|0,2,01,D(0,0,0),4(2,0,2),fi,(2,2,2),C.(0,2,2),D,|0,0,2)

,£(L2,0|,

由于动点尸在正方形CDD3内，可设7•'((),〃5l,其中0<加<2,0<«<2,

布=(0,2,-2],BD=[2,-2,0|,

,..[2v-2z=0

设平面4BD的一个法向量为五=(x,y,z>则

令j=l,得卜=1,z\,故。=[1,1,1),

而瓦万=(-2*"12*"2,若4广〃平面LBD,贝江7不=1),

则？•网2-/I2=0,即"I,"=2,所以。,"八2mj,

此时彳=(0,加-2,-m),则|布卜=j2(m_l1+2,

当加=I时，|窃取最小值JT,故选项B正确；

选项c：4E=,8尸=(一2,小一2,〃)，

因为4E-LBF,所以4。・8尸=2+2|加一21-2〃=0,

得加n=1,则点少的轨迹如图线段,其中V、N都为中点，

贝|]M>|=无，c正确；

第10页/共21页

选项D：若CFi平面4CF,则。下1,c-,7-汗.

由于彳=|0,〃1-2,“2),示=|2,2.-2|,CF=|O,/M2,n\,

2x|m-2)-2|M-2)=0[[m=2

则,解得：<，或]、(舍去)，

("i-2)+“"-2)=0[n=I[n=2

此时/•・[(),1,1),即点尸的位置唯一，故选项D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若。=(()[，1],E且«+则实数;.的值是

【答案】-2

【解析】

【分析】根据空间向量垂直，则数量积为零，以及向量的线性运算，列式计算即可.

【详解】因为d=(0,1,1),h=(1,1,0),

故可得1+kb=(+1,-1).

因为口+38)1],

故可得+Aftjo=0,

即/J2=0,解得入=2.

故答案为：-2・

【点睛】本题考查空间向量的线性运算，数量积运算，以及向量垂直的坐标公式，属综合基础题.

13.如图是一座抛物线型拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2m,水面宽4m.当水位下降，水面宽为6nt时,

拱顶到水面的距离是,l>.

第11页/共21页

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为V=-2〃Np>0),求出抛物线的方程，再代点的坐标可

得答案.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为/=2pr(/?>0),

当水面未下降时，水面与拱桥的交点，(2-2),

将422)代入抛物线方程2?=2Px(-2),

得…,所以『=一2「

当水面下降后与拱桥的交点为8,设8(3.K)，代入/=一2尸，

9

得9=,解得,

_9

所以拱桥到水面的距离为5.

9

故答案为：—.

14.已知的定义域是(D,TI,且/(x)</(x),则不等式c'/(Y+x)>的解是.

【答案】(-x,-2)U(1,+x)

【解析】

【分析】变形不等式，构造函数并利用导数确守单调性。进而求解不等式.

第12页/共21页

【详解】依题意，不等式c'/(V：+jr)>e'F/⑵o〃二**>华,

e…e

令函数g(x)=/^,x>0,求导得g(x)=/(x)：〃x),由/(X)</(\),

eeT

得函数g(n在UL-一上单调递增，原不等式为glr+r)>，

因此「‘i>2,解得x<,2或K>1,

所以原不等式的解集为(-工「2)J爪+工I.

故答案为：(-工「2)J|],+1|

【点睛】关键点点睛：利用同构的思想变形，再构造函数是露头角问题的关键.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知公差不为零的等差数列I。」的前〃项和为S,,若,且明,a,加成等比数列.

(1)求数列;。二的通项公式；

(2)若“=a“+3,,求数列的前“项和r,.

【答案】(l)a“=〃+l

⑵『一9

【解析】

【分析】(1)设数列，的公差为d，根据已知求出，X,即得解；

(2)利用分组求和结合等差及等比求和公式计算求和即可.

【小问1详解】

f5a.+10</=20

设数列,：的公差为did工01,则有，,八，,A八，

+2"厂=q(q+6d)

解得:q=2〃=l,

..a,=m\.

【小问2详解】

由(1)知卜，二一’•广，

丁n(2+n+l)32(l-3")n2+3n+3"4l-9

L=-------------+-----------=--------------------.

21-32

第13页/共21页

16.已知函数,"x）=xLH2aj.vaIn.v|aeRi.

（1）当。=1时，求函数的单调递减区间；

（2）求函数在［L2］上的最小值.

【答案】（D（Q1）

2-2a,a<1

⑵lna,l<a<2

6-4a-aln2,a>2

【解析】

【分析】（1）当。=1时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数/（W的单调递减区间；

（2）对实数。的取值进行分类讨论，利用导数分析函数/（W在［1,2］上的单调性，即可求得函数./1W在

［L2］上的最小值.

【小问1详解】

当。=1时，/（”=『-x-lnx,该函数的定义域为（0,+8）,

则门.=2.1十1八”,由f'（x）V0得0<K〈L

所以，函数/（W的单调递减区间为（0,1）.

【小问2详解】

生止也工—，其中

/r(x)=2x+(l-2fl|--

X

当aWl时，对任意的xw［1.2］,f（x）之0，在NW上单调递增,

此时，=/(1)=2-2fl

当a22时，对任意的xw［L2］,/'（x）«0,外力在［L2］上单调递减,

此时，/("mm=/(2)=4+2(1-2a)-aIn2=6-4a-aIn2；

当l<a<2时，令/'（"=0,可得x=a,列表如下:

第14页/共21页

X[㈤a(0.2|

“X)0

/(X)减极小值增

所以，函数在［La］上单调递减，在［仇2］上单调递增,

止匕时，./("mm=二+。(1-2a)-aIna=t7-a2-aInd.

2-2a,a<1

综上所述，/(^)^="a-a2-a\naA<a<2,

6-4«-aln2,a>2

(1)证明：平面PdB1平面P80；

(2)若与平面PBO所成角的正弦值为正，求二面角CPD8的余弦值.

4

【答案】(1)证明见解析

⑵岖

8

【解析】

【分析】⑴取.40中点为。，连接8Q.ED,由题意得8。=CD=。4二I,故有8。,再

由Pd1平面.48。。得P418。，从而8。工平面P48,即可得平面Pd81.平面PB。；

(2)作儿"1PB,垂足为“，证明,4M，平面PB。,得上XCM即为与平面P8。所成角，由之

求出P.4长，建系后求出相关点坐标，继而求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得二面角

的余弦值.

【小问1详解】

第15页/共21页

p

如图，取中点为。，连接80，8D,则8C=QD,又8CQD,4/)=2

所以80=CD=0D=04=1,所以ABD90,即8。1AB,且BD=6,

因为PH1平面.48(7),8。(=平面48(?。，所以P,418D,

又PAD.1S=J,PA..'IBc平面/MB,所以8。1平面P/43

又BDc平面PBD,所以平面P1B1平面PB。

【小问2详解】

作上“1PB,垂足为A7,由(1)知：平面PdB上平面P8D,

因u平面/<45,且平面P48c平面户8。=PB,则4M1平面户8。，

故即为40与平面P8D所成角，

4\fJTJ541/

贝U二L=±1,解得=».在RtAJMB中，由sin/P84='=4,

AD42AB2

可得Z.PBA=45°,故P,4=48=1,

以8为坐标原点，以BD.B4分别为X」轴建立空间直角坐标系0”：，

则8(0.0,0),。(万,0,0),AOJJ).

'122

设平面DBP的一个法向量为〃।=(.vl,r,,z1|

第16页/共21页

〃1-DP=0[-y/3x,+I]+二]=0—

则、,一，得{l，取

n}•DB=0[-y3X|=0

设平面。CP的一个法向量为。=(X?,必，J

\/3X++z=0

・DP=022,坐近,

则，取%=彳

•DC=00H

3G

巫,由图知，二面角锐二面角,

〃/〃27C-POB

所以COSHp/lJ=|一||一|=~=

1"同,""8

所以二面角CPD8的余弦值为基

8

18.已知椭圆C：'；♦==1优>/>>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(Tb-

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设f为c的左焦点，r为直线x=3上任意一点，过/作7户的垂线交c于点P,0.

(i)证明：b平分线段P。(其中。为坐标原点)；

<ii)设线段底的中点为“，若40广7与4。。”面积之积是JT,求点r的纵坐标.

【答案】⑴匚+二=1

62

(2)G)证明见解析；(ii)+7T

【解析】

分析】(1)根据题意求八儿。，即可得椭圆方程；

(2)G)设底的方程为…b-2,联立方程可得线段叩的中点为“，可知。T过P0的中点，即可知

次平分线段以；Gi)根据题意求E0F7'与AOP”的面积，列式求解即可.

【小问1详解】

由题意可知：2c=4,即c=2,

且u=曲，则“-=3/r=31a--cJ=3(a--41,可得/=61厂=2,

第17页/共21页

所以椭圆C的标准方程'+--=1.

62

【小问2详解】

椭圆方程化为「+3：=6,显然直线腿的斜率不为0,且与椭圆必相交,

代入椭圆方程得：（/+3炉-4/ny-2=0.

设尸三』），的中点为M（与,％），

4阳-2

则弘+%=，

m+3明+3

:

r，曰V,•r,2m2m6

可得打=2T—2«2-—27

"1+3w+3m+3

又7F的方程为y-0=-m（x+2）,则X=，得；="，

.vm/

所以3V=」0=-m=kg,即"T过P0的中点，即ar平分线段P0；

册3

（ii）因为兄"7=；|。尸|%|=同，

&晨11|nFi,।I.I1J16-+8忖+3）小正+1

S,8M=彳SAO股=彳，二。尸凹一%=彳凹-M7--------1w-------=-

22222m+3m+3

可得瓜m=>/1,解得m-=3或"厂="-（舍去），

+32

所以w=±6,点/的纵坐标为士G.

【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法

1.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与

系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；

2.面积问题常采用£底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选

第18页/共21页

择容易坐标化的弦长为底.有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积

问题，常转化为三角形的面积后进行求解；

3.在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应

用.

19.已知数表其中=…表示数表中第行第/列的实数，

1旬«22…

%互不相同，且满足下列条件：①q,；②（-1广［初一%）<。（刑="，…，力

（1）对于数表4?,若/：=■»,写出所有满足条件的数表4~

（2）对于数表4”，当卬+1+…+《“取最小值时，求证：存在正整数wISA,使得口.=";

（3）对于数表4”，当"为偶数时，求…+q”的最大值.

（\4）fl4、（14、

【答案】⑴QJ'QJ'QJ

、十rL1+In）

（2）证明见解析（3）—--------

8

【解析】

【分析】（1）根据题意写出满足条件的力“所有数表即可；

（2）用反证法证明，假设对任意的正整数《（卜«।,%*工力"可得可知，〃必定为偶数，

分％1>%*和%<%.讨论证明;

+o

（3）结合定义条件可得i4+。16+…+q0-3