圆中的范围与最值问题（原卷版）

专题25圆中的范围与最值问题

【考点预测】

涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

（1）形如〃=2二2的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x-a

（2）形如。=双+勿；的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如根=（x-a）2+（y-6）2的最值问题，可转化为曲线上的点到点Q,b）的距离平方的最值问

题

【方法技巧与总结】

解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

【题型归纳目录】

题型一：斜率型

题型二：直线型

题型三：距离型

题型四：周长面积型

题型五：数量积型

题型六：坐标与角度型

题型七：长度型

题型八：方程中的参数

【典例例题】

题型一：斜率型

例1.（2022•福建南平•三模）已知尸（私力）为圆C：（元-iy+（y-l）2=l上任意一点，则土二的最大值为

m+1

例2.（多选题）（2022•山东泰安•三模）已知实数x,y满足方程丁+/一4x-2y+4=0,则下列说法正

确的是（）

A.上的最大值为《B.上的最小值为0

x3x

C.f+y2的最大值为君+1D.升y的最大值为3+0

例3.（2022•全国•高三专题练习（理））在正三角形43c中，M为8C中点，尸为三角形内一动点，且

pA

满足丛=22修，则二■最小值为（）

PB

A.1B.在C.受D.B

422

例4.（2022•河南•模拟预测（文））已知点尸（x,y）在圆（尤-iy+（yT）2=3上运动，则言的最大值为

（）

A.-6-730B.6+而C.-6+aD.6-730

题型二：直线型

例5.（2022•全国•高三专题练习）已知点P（无,丁）是圆Y+y2-6x-4y+12=0上的动点，则x+y的最大

值为（）

A.5+0B.5-0C.6D.5

例6.（2022•全国•高三开学考试（文））已知点尸（x,y）是圆C：（x-“）2+y2=3（a>0）上的一动点，若圆

C经过点4（1,百），则的最大值与最小值之和为（）

A.4B.276C.-4D.-276

例7.（2022•全国•高三专题练习）点P（x,y）是圆Y+y2=12上的动点，则》的最大值是.

题型三：距离型

例8.（2022•上海虹口•二模）设acR,keR,三条直线4：ax-y-2a+5=0,l2：x+ay-3a-4=0f

k：y=M,贝也与4的交点”到4的距离的最大值为.

\PA\r-

例9.（2022•黑龙江•哈九中模拟预测（文））若平面内两定点A、B间的距离为2,动点尸满足阿二42,

则附常尸叶的最大值为.

2

例10.（2022•全国•高三专题练习）若A,3是OO：f+y2=4上两个动点，且方.砺=一2，A,8到

直线/：瓜+y-4=0的距离分别为4，d2f则4+a的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

例11.（2022•陕西安康•二模（文））已知直线/与圆+V=4交于A（&y）,5（孙％）两点，且|明=2,

则|%+乂+4+|%2+%+4的最大值为.

例12.（2022•全国•高三专题练习）已知实数％1，%，%，%满足：x；+¥=1，考+代=1,玉%2+%%=。，

则吟曰+$习的最大值为_____.

V2V2

例13.（2022•河北石家庄•模拟预测）若点P在曲线d+y'W+N上运动，则点尸到直线无+>+2=0的

距离的最大值为（）

A.272B.2C.72D.4

例14.（2022•浙江•模拟预测）在平面直角坐标系中，直线、=履+%（k70）与x轴和y轴分别交于A,B

两点，|AB|=20,若C4LCB,则当％,加变化时，点C到点（L1）的距离的最大值为（）

A.4A/2B.3拒C.20D.&

例15.（2022•浙江•高三专题练习）已知点P（TO）,圆（x-l）2+/=9上的两个不同的点A（%,%）、网和为）

满足Q=而（4eR）,贝”4占+3乂一25|+|4马+3%—25|的最大值为（）

27

A.12B.18C.60D.—

2

例16.（2022•江西•宁冈中学高三开学考试（理））已知点尸（x,y）在圆V+y2=i上，则"以+仃一仔

的最大值为（）

A.拒B.2A/2C.1D.72+1

例17.（2022•河北衡水•二模）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上，点3在>轴上，|AB|=2,点C

满足ACL8C,则点C到点尸（班,1）的距离的最大值为（）

7

A.3B.-C.5D.4

2

例18.（2022•全国•高三专题练习）若x、为任意实数，若（a+iy+S-2）2=l,贝版尤-。）？+（lnx-6）2

最小值为（）

A.2A/2B.9C.9-4亚D.2a-1

，满足：

例（立宁•东北育才学校二模）已知平面向量力/二DNER,a-xb>a-b,a=2,a.b=4,

19.2022VtUV

-2cJ=6,贝!|a-c的最小值为（）

A.1B.也土狗C.3V6-2

D.

32

例20.（2022•河南河南•三模（理））已知M,N为圆C：Y+y_2了_今=0上两点，且|肱V|=4,点、p

IuuirUUBI।

在直线/：x-y+3=0上，则+的最小值为（）

A.2V2-2B.2A/2

C.20+2D.2A/2-V5

例21.（2022•全国•高三专题练习）若平面内两定点A,B间的距离为2,动点尸满足黑=石，则;（IW

I尸田/

+|PB|2）的最大值为（）

A.3+y/3B.7+46

C.8+4百D.16+8百

例22.（2022•全国•高三专题练习）已知尸是半圆C："2y_/=f上的点,Q是直线x-y-l=O上的一

点，则|尸。|的最小值为（）

A.还C.叵一1

B.72-1

22"-T

例23.（2022•全国•高三专题练习）若M,N分别为圆G：（x+6y+（y-5）2=4与圆Cz：（x-2）2+（y-l）2=1

上的动点，P为直线x+y+5=0上的动点，贝11PMi+|「叫的最小值为（）

A.4A/5-3B.6C.9D.12

例24.（2022•全国•模拟预测（理））过圆C：。-1）2+/=1外一点尸作圆。的两条切线出、PB,切点

分别为A、B,若BALM,则点尸到直线，：x+y-5=0的距离的最小值为（）

A.1B.&C.20D.3也

题型四：周长面积型

例25.（2022•全国•高三专题练习）已知点A（2,0）,B（0,-1）,点尸是圆炉+（y-1）2=1上任意一

点，则△PAB面积最大值为（）

A.2B.4+75C.1+—D.2+—

22

例26.（2022•河南安阳•模拟预测（文））已知圆C:（x-2）2+（y-6）2=4,点M为直线/：x-y+8=0上一

个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则四边形CWB周长的最小值为（）

A.8B.6他C.50D.2+40

例27.（2022•全国•高三专题练习）已知圆C:（尤-2）2+（y-6>=4,点M为直线/：彳->+8=。上一个动

点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A,B,则当四边形C4MB周长取最小值时，四边形C4M3的

外接圆方程为（）

A.（x-7）2+（y-l）2=4B.（x-1）2+（y-7）2=4

C.（x-7）2+（y-l）2=2D.（x-l）2+（y-7）2=2

例28.（2022•全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆C与圆O:f+产=】外切，且与直线

尤-百y+4=0相切，则圆C的面积的最小值为（）

7171

A.—B.兀C.—D.21

49

例29.（2022•北京昌平•二模）已知直线/：依7+1=0与圆C:（x-1）2+V=4相交于两点A,B,当。变化

时，△ABC的面积的最大值为（）

A.1B.72C.2D.272

例30.（2022•河南•高三阶段练习（理））已知直线/1：7办-〉=0（，"€氏）过定点人，直线4：x+my+4-2n?=。

过定点B,乙与4的交点为C,贝LABC面积的最大值为（）

A.710B.2逐

C.5D.10

题型五：数量积型

例31.（2022•全国•高三专题练习）已知正方形ABCD的边长为2,以B为圆心的圆与直线AC相切.若

点尸是圆2上的动点，则历.屈的最大值是.

例32.（2022•辽宁大连•二模）已知A（4,0）,8（0,-6）,点P在曲线丁=1一M二百上，则西.丽的最小值

为.

例33.（2022•全国•高三专题练习）已知半径为1的圆O上有三个动点A,B,C,且|4用=&,则就.炭

的最小值为.

例34.（多选题）（2022•福建龙岩•模拟预测）已知圆P:（x-5）2+（y-2>=4,直线/:y=依，点/（5,4）,

贝U（）

4

A.当〃=二时，直线/与圆月相切

2

B.若直线/平分圆月的周长，则〃=不

C.若直线/上存在点A,使得NB4M=90。，则〃的最大值为15+庖

24

44

D.当。=2时，N为直线/上的一个动点，则的最小值为不

例35.（多选题）（2022•湖北武汉•模拟预测）已知圆M：（x-4）2+（y-5）2=12,直线/：mx-y-2m+3=O,

直线/与圆M交于A,C两点，则下列说法正确的是（）

A.直线/恒过定点（2,3）

8.|林|的最小值为4

C.市.碇的取值范围为［-12,4］

D.当/AMC最小时，其余弦值为g

例36.（多选题）（2022•湖北•模拟预测）若动直线/：“a->+4-4m=0与圆（7：0-4）2+0-5）2=9相交

于A,8两点，贝I］（）

A.|AB|的最小值为40

B.丽的最大值为-7

C.况•丽（O为坐标原点）的最大值为78

D.而•通的最大值为18

2

例37.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线V-1■=：!的右焦点为F,M（4,3石），直线与y轴交

于点N,点尸为双曲线上一动点，且卜/<3正，直线与以为直径的圆交于点M、。则1PMi・|尸。|的

最大值为（）

A.48B.49C.50D.42

22

例38.（2022•全国•高三专题练习）已知点M为椭圆二+匕=1上任意一点，A,8是圆（x-l）?+丁=8上

2726'"

两点，且A3=4忘，则丽晨丽的最大值与最小值的和是（）

A.20B.12A/3C.40D.48—

例39.（2022•河南开封•二模（文））骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱.如

图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆。（后轮）的半径均为石，AABE,

△BECAECD均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，羽.而达

到最大值时点P到地面的距离为（）

C.-+y/3D.逅+若

22

题型六：坐标与角度型

则l2V的最大值为（）

例40.（2022•全国•高三专题练习）已知龙，丁满足炉+y2=4y-3,

犷+y

A.1B.2C.yj3D.

例41.（2022•福建泉州•模拟预测）若圆河:（％-85。）2+（y一51口。）2=1（0工。＜2»）与圆

":f+/―2%—4y=0交于A、B两点，贝（J/wiNANB的最大值为（）

例42.（2022•全国•高三专题练习）己知£,b，2是非零平面向量，同=2邛-4=1,（^c-b）-b=0,

II

W=口，则rr的最大值是.

例43.（2022•全国•高三专题练习（理））已知圆C:（尤-l>+（y+2应了=16和两点A（0,T〃）、8（0，M，若

圆C上存在点P,使得则机的最大值为（）

A.5B.6C.7D.8

例44.（多选题）（2022•河北•高三阶段练习）已知圆C=1上两点4、8满足点

〃（%,0）满足：|他4|=|府|,则下列结论中正确的是（）

A.当|AB|=0时，尤o=：

B.当％=。时，过M点的圆C的最短弦长是2班

C.线段A8的中点纵坐标最小值是上立

D.过M点作图C的切线且切点为A,B,则为的取值范围是

例45.（2022•全国•高三专题练习）已知直线质—y+2左=0与直线尤+@-2=0相交于点尸，点A（4,0）,

O为坐标原点，贝hanNCM尸的最大值为（）

A.2-s/3B.与C.1D.6

例46.（2022•北京•北大附中高三开学考试）已知圆C：（%-2）2+（y-2）2=r2（r>0）和两点M（T,0）,N（l,0）,

且圆C上有且只有一个点P满足NMPN=90。，则r的最大值为（）

A.2-72-1B.3C.2忘+1D.5

例47.（2022•全国•二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1,则圆心M的横纵坐标之和的最大值

为（）

A.1B.2C.72D.20

例48.（2022•湖北•房县第一中学模拟预测）已知0为坐标原点，点A（cos/sina）,

B^cos:a+讣巾+功以为邻边作平行四边形ACSQ（-2,0）,则"QO的最大值为（）

71n「兀一兀

4B.-C.—D.一

432

例49.（2022•江西•上饶市第一中学模拟预测（理））已知网3,4-20）,过点尸作圆C：（无一/+（、—

（。为参数，且aeR）的两条切线分别切圆C于点A、B,贝Usin/APB的最大值为（）

A/3V6

CRz.----LnJ.------

24

例50.（2022•江苏苏州・高三阶段练习）已知羽y满足/+/=6丁一6,则的最大值为（)

5+y

c1+#K

A.1B.73

例51.（2022•全国•高三专题练习）已知圆C：N+y2=4,M、N是直线/：y=x+4上的两点，若对线段

MV上任意一点P,圆C上均存在两点A、3,使得cos/AP2=g,则线段MN长度的最大值为（）

A.2B.4C.40D.4月

题型七：长度型

例52.（2022•上海•高三阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的

几何问题：在平面上给定两点4B,动点P满足PA|=%P3|（其中2是正常数，且Xrl）,则尸的轨迹是

一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点”（T，。）、"（2,1）,2是圆0：尤2+9=3上的动点，

则也|PM|+|PN|的最小值为

例53.（2022•全国•高三专题练习）已知圆C是以点M（2,2道）和点N（6,-2道）为直径的圆，点P为圆C

上的动点，若点A（2,0）,点3（1,1）,则21PAi-|尸目的最大值为（）

A.y/26B.4+0C.8+5尼D.应

例54.（2022•浙江•高三专题练习）己知圆G：（x-iy+（y+l）2=l，圆。2乂彳-4）2+（丫-5）2=9,点加、

N分别是圆C1、圆C?上的动点，点P为x轴上的动点，则上叫-|尸闾的最大值是（）

A.2.75+4B.9C.7D.275+2

例55.（2022•广东•汕头市第一中学高三阶段练习）已知A,8是曲线国一1=小4一（yr），上两个不同的

点，C（0,l）,则|G4|+|CB|的最大值与最小值的比值是（）

A.述B.72C.渔D.6

52

例56.（2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测（理））已知曲线石:/+/=1,等边三角形ABC的两个顶

点A,8在E上，顶点C在E外，。为坐标原点，则线段OC长的最大值为（）

A.3B.2A/2C.6D.2

例57.（2022•河南新乡•三模（理））已知抛物线y2=16x的焦点为F,尸点在抛物线上，。点在圆

22

C：（%-6）+（y-2）=4±,则|尸。|+|尸盟的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

例58.（2022•北京西城•一模）已知点A为圆。心-帆）2+。-吁1）2=2上一点，点3（3,0）,当根变化时,

线段A8长度的最小值为（）

A.1B.2C.72D.2A/2

例59.（2022•河北•石家庄二中模拟预测）已知P为抛物线C:/=8x上的动点，。为直线/：x-y+4=0

上的动点，过点P作圆E：（x-3『+y2=8的切线，切点为A,则期的最小值为（）

A.72+1B.272-1C.3母-1D.30-2

例60.（2022•全国•模拟预测）已知直线/过点A0,后），则直线/被圆O：f+/=12截得的弦长的

最小值为（）

A.3B.6C.3乖）D.6百

例61.（2022•安徽马鞍山•三模（文））己知尸（狐〃）为抛物线C：y2=i6x上一动点，过C的焦点F作。P：

（x-m）2+（y-nf=1的切线，切点为A,则线段加长度的最小值为（）

A.3B.715C.5D.3a

例62.（2022•全国•高三专题练习（文））己知圆£:（*-1）2+（丫-1）2=1,圆Q：（x-4）?+（y-5p=9,点

M，N分别是圆C1、圆C?上的动点，点「为》=-%上的动点，贝“尸河|+归时的最小值是（）

A.4B.病-4C.761+4D.761-8

例63.（2022•全国•模拟预测（理））已知圆C：x2+y2-2x-3=0,若直线/：办一y+1—。=0