第十三章　立体几何初步（压轴题专练）（原卷版）

第十三章立体几何初步（压轴题专练）题型一基本立体图形的概念【例1】下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点思维升华此类问题的解法是主要掌握好棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的概念和几何特征，以及它们的展开图的形状，从而正确的得到结论．巩固训练如图所示的组合体，其结构特征是()A．左边是三棱台，右边是圆柱B．左边是三棱柱，右边是圆柱C．左边是三棱台，右边是长方体D．左边是三棱柱，右边是长方体题型二空间中的共点、共线、共面问题【例2】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)GE与HF的交点在直线AC上．思维升华巩固训练在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．题型三直线与平面平行的综合应用【例3】如图所示，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点．(1)设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：AB∥l；(2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．思维升华证明直线与平面平行的实质是证明直线与直线平行，将线线平行转化为线面平行；而证明直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；实现了线线平行与线面平行的相互转化．巩固训练如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．题型四平行关系的综合应用【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．(1)求证：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.思维升华两个平面平行的判定定理与性质定理实现了直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行的相互转化．巩固训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．题型五垂直关系的综合应用【例5】如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.思维升华垂直关系的转化在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：巩固训练如图，在四棱锥A1­BCED中，DE∥BC，A1D＝BD＝A1E＝CE＝eq\r(5)，O为DE的中点，2DE＝BC＝4.F为A1C的中点，平面A1DE⊥平面BCED.(1)求证：平面A1OB⊥平面A1OC；(2)线段OC上是否存在点G，使得OC⊥平面EFG？说明理由．题型六平行、垂直关系【例6】如图，已知在直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．思维升华(1)平行、垂直关系的相互转化(2)证明空间线面平行或垂直需注意三点①由已知想性质，由求证想判定；②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一；③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论．巩固训练已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝BC＝2CD，∠ABC＝60°，M是线段AB的中点．(1)求证：CM⊥平面PAB；(2)已知点N是线段PB的中点，试判断直线CN与平面PAD的位置关系，并证明你的判断．题型七空间角的计算【例7】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2eq\r(3)，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)求证：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．思维升华空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移；②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；③补形平移．(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形．(3)二面角：利用几何体的特征作出所求二面角的平面角，再把该平面角转化到某三角形或其他平面图形中求解．巩固训练如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，侧面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等边三角形．(1)求证：BD⊥PC；(2)求二面角B­PC­D的大小．题型八空间图形的表面积和体积【例8】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．思维升华空间几何体表面积、体积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(3)求复杂几何体的体积时，常用割补法和等体积法求解．巩固训练某广场设置了一些多面体形或球