与不等式有关综合解答题（5题型+限时提升练）-2025年上海高考数学复习专练（原卷版）

重难点02与不等式有关综合解答题

明考情■知方向，

2025年考向预测：圆锥曲线与不等式综合的解答题

重难点题型解读

壁1圆锥曲线与基本不等举合

凝瞰于隋式综^

与不等式有关综合题避3解三角形与不等端合

壁4函数与不符湍合

醒5三角函数与不等式综合

题型1圆锥曲线与基本不等式综合

1.（2023・上海普陀•一模）设双曲线「^-y2=lCt>0）,点耳是F的左焦点，点0为坐标原点.

t

（1）若r的离心率为反,求双曲线「的焦距；

3

（2）过点片且一个法向量为的直线与「的一条渐近线相交于点若S温。耳=；,求双曲线r的方

程；

（3）若/=直线/：kx-y+m=0（后>0,）与：T交于p,。两点，|赤+诙|=4,求直线/的斜率左

的取值范围.

2.(2023・上海黄浦•一模)已知椭圆c：，+/=l(a>6>0)的离心率为告，以其四个顶点为顶点的四边形

的面积等于80.动直线4、4都过点M(0,㈤(。<加<1),斜率分别为公-334与椭圆C交于点A、P,12

与椭圆C交于点2、Q,点P、。分别在第一、四象限且尸轴.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若直线4与x轴交于点M求证：|NP|=2|MN|；

(3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线4的方程.

3.(2024.上海.三模)将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”.已知椭圆£:上+y2=i的左、右顶点分

2

别为上顶点为£>.

22

(1)若椭圆下:工+&=1与椭圆E在“一簇椭圆系”中，求常数s的值；

s2

丫2

⑵设椭圆G：y+y2=2(0<2<l),过A作斜率为尢的直线k与椭圆G有且只有一个公共点，过D作斜率为

心的直线4与椭圆G有且只有一个公共点，求当力为何值时，|看+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若椭圆H:；+匕=1("2)与椭圆E在“一簇椭圆系”中，椭圆〃上的任意一点记为C(x0,%),试判断

VABC的垂心M是否都在椭圆E上，并说明理由.

题型2导数与不等式综合

4

4.（2024.上海静安•一模）设函数=x+?无«-8,0）。（0,+8）.

⑴求函数y=〃x）的单调区间；

⑵求不等式/（x）＜2x的解集.

5.（2023・上海宝山•二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程y=Ax+l中，当左取给定

的实数时，表示一条直线；当左在实数范围内变化时，表示过点（o,i）的直线族（不含y轴）.记直线族

2（a—2）x+4y-4。+储=0（其中aeR）为中，直线族y=3/x—（其中t＞0）为Q.

⑴分别判断点4（0,1）,川1,2）是否在乎的某条直线上，并说明理由；

⑵对于给定的正实数%,点尸（%,%）不在。的任意一条直线上，求%的取值范围（用/表示）；

（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上

每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求O的包络和中的包络.

6.（2024.上海.模拟预测）对于一个函数和一个点6）,令s（x）=（x-4+（〃力-力?,若

P（XoJ（x。））是S（x）取到最小值的点，则称尸是M在〃X）的“最近点”.

⑴对于/（尤）=口无＞0），求证：对于点M（0,。），存在点尸，使得点尸是M在/'（X）的"最近点”；

⑵对于〃司=巴"（1,0）,请判断是否存在一个点P,它是M在〃x）的“最近点”，且直线MP与＞=/（尤）在

点尸处的切线垂直；

⑶己知y=/（x）在定义域R上存在导函数「（X）,且函数g（无）在定义域R上恒正，设点

必«-1J⑴-g⑺），陷«+1,f⑺+g（/））.若对任意的feR,存在点尸同时是弧，也在的“最近点”,

试判断的单调性.

题型3解三角形与不等式综合

7.（2021.上海金山•二模）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼.通过“小步道”，走出“大

健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A-3-C-A为某区的一条健康步道，AB,AC

_TT

为线段，8c是以3C为直径的半圆，A8=2/km,AC-4km.ABAC=—

⑴求BC的长度；

（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康步道A-O-C在AC两

7T

侧），其中为线段.若ZADC=q,求新建的健康步道A-O-C的路程最多可比原有健康步道

C的路程增加多少长度？

8.（2022・上海长宁•二模）在VA3C中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.

⑴若sin?A=sin?8+sin?C+sinBsinC,求A

（2）若C=60。，VABC的面积S=Q,求VABC外接圆半径R的最小值.

9.（2022・上海松江•一模）在VABC中，内角A&C所对边分别为,已知csinC-6sinB=a（sinA-sinB）.

⑴求角C的值；

⑵若c=3,求VABC周长的最大值.

10.（2024.上海宝山•二模）在AABC中，角A、8、C的对边分别为。、b、c,已知

sin。A+sin2c=sin2B+sinAsinC.

（1）求角B的大小；

（2）若AABC的面积为出，求a+c的最小值，并判断此时44BC的形状.

题型4函数与不等式综合

11.（2022・上海青浦•一模）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v（公里/小时）控制

在［60,120］范围内.已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油

量）为［-%+号）升，其中左为常数，不同型号汽车左值不同，且满足60V"120.

⑴若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油

耗不超过9升，求车速v的取值范围；

（2）求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

12.（2022・上海虹口•一模）某地政府决定向当地纳税额在4万元至8万元（包括4万元和8万元）的小微

企业发放补助款，发放方案规定：补助款随企业纳税额的增加而增加，且补助款不低于纳税额的50%.设企

业纳税额为x（单位：万元），补助款为=一陵+6+g（单位：万元），其中匕为常数.

⑴分别判断6=0,人=1时，是否符合发放方案规定，并说明理由；

（2）若函数/（X）符合发放方案规定，求6的取值范围.

13.(2021•上海•一模)已知函数〃x)=x+—(mGR).

x-1

(1)当〃7=1时，解不等式/(无)+1>不无+1)；

(2)设xe[3,4],且函数y=f(x)+3存在零点，求实数机的取值范围.

14.(2022・上海闵行•模拟预测)已知函数y=/(x)的定义域为。，值域为A.若DuA,则称/(x)为型

函数”；若Au。，则称/(x)为“N型函数”.

⑴设/(X)J5X+8,d=[1)4],试判断/(x)是型函数”还是“N型函数”；

X

⑵设/(x)=f,g{x)=af(2+x)+bf(2-x),若g(x)既是型函数”又是“N型函数”，求实数的值；

Mf(x)=x2-2ax+b,£>=[1,3],若/(x)为“N型函数”，求/⑵的取值范围.

15.(2022・上海•模拟预测)已知函数/'(x),甲变化：/(x)-/(x-z)；乙变化："(x+r)-/(x)|,t>0.

(1)若f=l,〃x)=21/(x)经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若/(x)=x2,/(尤)经乙变化得到Kx),求不等式〃(x)<f(x)的解集；

⑶若/(尤)在(-8,0)上单调递增，将先进行甲变化得到〃(无)，再将“(X)进行乙变化得到九(x);将f(x)

先进行乙变化得到v(x),再将v(x)进行甲变化得到为(x),若对任意/>0,总存在％。)=饱(x)成立，求证:

fM在R上单调递增.

16.(2022•上海奉贤•一模)图1是某会展中心航拍平面图，由展览场馆、通道等组成，可以假设抽象成图2,

图2中的大正方形是由四个相等的小正方形（如A38）和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根

据实际需要进行重新布局成展览区域和休闲区域，展览区域由四部分组成，每部分是八边形，且它们互相

全等.图2中的八边形所TS8QWG是小正方形ABC。中的展览区域，小正方形ABC。中的四个全等的直角

三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设ABCD的

边长为300米，AAEF的周长为180米.

（1）设AE=x,求△AEF的面积,关于x的函数关系式；

（2）问AE取多少时，使得整个的休闲区域面积最大.（0。1.414,长度精确到1米，利用精确后的长度计算

面积，面积精确到1平方米）

17.（2021・上海嘉定•一模）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.一般情况下，

隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度无（单位：辆/千米）满足关系式：

50,0<x<20,

V=“k”，”研究表明，当隧道内的车流密度达到120辆/千米时会造成堵塞，此时车流速

60-----------,20<x<120.

I140-x

度为0千米/小时.

（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；

（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y=x-v.求隧道内车流量的最

大值（精确到1辆/小时）及隧道内车流量达到最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：77=2.646）

18.（2021・上海青浦•三模）某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4

小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y(单位：摄氏度)与时间t(单

位：小时“€［0,20］近似地满足函数关系y=,-13|+右，其中6为大棚内一天中保温时段的通风量.

(1)当fV13时，若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精

确到o.rc)；

(2)若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17C,求大棚一天中保温时段通风量的最小值.

19.(2021・上海长宁・一模)设〃了)=%3+依2-2了(％€11),其中常数aeR.

(1)判断函数y=〃x)的奇偶性，并说明理由；

31

⑵若不等式“力封在区间$1］上有解，求实数”的取值范围；

(3)已知:若对函数y=/z(x)定义域内的任意X，都有&(x)+/i(2x_x)=2〃,则函数y=/z(x)的图象有对

称中心(〃W).利用以上结论探究：对于任意的实数函数y=f(x)是否都有对称中心？若是，求出对称中

心的坐标(用。表示)；若不是，证明你的结论.

20.(2021.上海徐汇•一模)设〃(x)表示不小于x的最小整数，例如〃(0.3)=(-2.5)=-2.

(1)解方程〃(尤一1)=3；

(2)设/。)=〃(1〃(功,“eN*,试分别求出/(x)在区间(0』、(1,2］以及(2,3］上的值域;若/(x)在区

间(。,加上的值域为，求集合中的元素的个数；

(3)设实数a>0,g(x)=x+a•小2-2,/7(元)=黑上2,若对于任意不，居e(2,4］都有g(xj>〃(%),

xx-5x4-7

求实数。的取值范围.

21.(2022.上海静安.二模)某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计

当一袋桃酥的售价为x元（94尤411）时，一年的销售量为4三8万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3尤万元

x-5

的管理费.一年的利润=一年的销售量x售价一（一年销售桃酥的成本+一年的管理费）.（单位：万元）

（1）求该超市一年的利润L（万元）与每袋桃酥食品的售价尤的函数关系式；

（2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润L最大，并求出L的最大值.

22.（2022.上海宝山.模拟预测）自2017年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续

风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这种生

256,…”

-----------x+64,0W%<4

物复合剂入水后每1个单位的活性随时间无（单位：小时）变化的函数为“=x+4,

。（12-尤）,44尤412

已知当x=4时，比的值为28,且只有在活性不低于3.5时才能产生有效作用.

（1）试计算每1个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到0.1小时）

（2）由于环境影响，每1个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v关于时间x的函数为

V=」7,04XV12,记人丫为每1个单位生物复合剂的实际活性，求出比•丫的最大值.（结果精确到01）

X+1

23.（2022・上海杨浦・二模）已知函数其中相£R.

⑴若不等式〃“<5的解集是（-1,2）,求m的值；

⑵若函数y=〃x）在区间［0,3］上有且仅有一个零点，求相的取值范围.

24.（2022・上海静安•一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为360m°的矩形场地，要求矩形场地

的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出

口，如图所示.已知旧墙的整修费用为45元/m,新建墙的造价为180元/m,建2m宽的进出口需2360元的

单独费用，设利用的旧墙的长度为无（单位：m）,设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）

为y（单位：元）.

（1）将y表示为尤的函数；

（2）试确定无，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用.

25.（2022・上海徐汇・一模）某公司经过测算，计划投资两个项目.若投入A项目资金X（万元），则一年

fiQ-yo<x<2O

创造的利润为:（万元）：若投入3项目资金X（万元），则一年创造的利润为了（力=而一无一（万元）.

2[20,龙>20

（1）当投入A,3两个项目的资金相同且3项目比A项目创造的利润高，求投入A项目的资金了（万元）的取值范

围；

（2）若该公司共有资金30万，全部用于投资A3两个项目，则该公司一年分别投入AB两个项目多少万元,

创造的利润最大.

26.（2022•上海普陀・模拟预测）第四届“进博会”将于2021年11月份在国家会展中心进行.某企业计划在

会展中心租用一个长方形展区ABC。用于产品展示，按照产品的展示要求，需要将展区设计为产品陈列区

4耳GR（阴影部分）和观众人行道两部分.已知产品陈列区4耳GA的面积需要4000平方米，人行道的

宽分别需要4米和10米（如图）

10米10米

（1）设产品陈列区的长和宽的比翼=苫（长〉宽），求展区ABCD所占面积S关于X的函数S（x）的解析式；

4cl

（2）为了使参展所用费用最小（即展区所占面积最小，不考虑其它），问：产品陈列区4片GA的长和宽该如

何设计？

27.（2021・上海嘉定.三模）数学建模小组检测到相距3米的A,B两光源的强度分别为a,b,异于A,2的

线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC=x米.

（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数-左＞0）,

33

测得数据：当尤=1时，y=手左；当x=2时，y=3k，求A,B两处的光强度，并写出函数y=/（x）的解析

4

式；

（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数左（左＞0）,测得数

据：当尤=1时，y=^k;当x=2时，＞=2左，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.

28.（2021・上海浦东新•三模）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已

知该线路通车后，地铁的发车时间间隔f（单位：分钟）满足2WfW20,feN*,经测算，在某一时段，地

铁载客量与发车时间间隔f相关，当10vrv20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2白<10时,

载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁

载客量为p«）.

（1）求P⑴的解析式；

（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为。=竺@二至竺-360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时

t

段这条线路每分钟的净收益最大？

29.（2021.上海杨浦・二模）已知〃力二6+六丁为实常数）

（1）当。=1时，求不等式+的解集；

（2）若函数“X）在（0,—）中有零点，求。的取值范围.

30.（2021•上海浦东新•二模）在对口扶贫工作中，生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元，每产

ax2+49x,xe（0,50]

出X吨需另外投入可变成本/z（x）万元，已知M元）=<13635C/C=八•通过市场分析，该中药

5lxH-----------860,x6（50,100]

.2x+l

材可以每吨50万元的价格全部售完.设基地种植该中药材年利润为>万元，当基地产出该中药材40吨时，

年利润为190万元.

（1）求。的值；

（2）求年利润y的最大值（精确到01万元），并求此时的年产量（精确到0」吨）.

80

100-135^^

31.（2020・上海•模拟预测）已知：v=£,xe(0,80],且吁,xe(0,40)

X

-k(x-40)+85”[40,80K左>0)

（1）若v>95,求x的取值范围；

（2）已知尤=80时，v=50,求x为多少时，4可以取得最大值，并求出该最大值.

32.（2020・上海长宁•二模）培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质N,已知向水中每投放1

个单位的物质N,x（单位：天）时刻后水中含有物质N的量增加“nol/L,y与x的函数关系可近似地表

示为关系可近似地表示为y=JX+2'.根据经验，当水中含有物质N的量不低4mol/L时，物质N

12-x,6<x<12

才能有效发挥作用.

（1）若在水中首次投放1个单位的物质N,计算物质N能持续有效发挥作用几天？

（2）若在水中首次投放1个单位的物质N,第8天再投放1个单位的物质N,试判断第8天至第12天，

水中所含物质N的量是否始终不超过6mol/L,并说明理由.

33.（2020・上海嘉定•二模）某村共有100户农民，且都从事蔬菜种植，平均每户的年收入为2万元.为了

调整产业结构，该镇政府决定动员部分农民从事蔬菜加工.据估计，若能动员x（xeN*）户农民从事蔬菜加

工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入比上一年提高2x%,而从事蔬菜加工的农民平均

每户的年收入为2、x]（。>0）万元.

（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前100户农民的总

年收入，求x的取值范围；

（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的

农民的总年收入，求。的最大值.

34.（2020・上海奉贤•二模）甲、乙两地相距300千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过100千米/

小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/

小时）的平方成正比，比例系数为6（。>0）,固定部分为1000元.

（1）把全程运输成本》（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；

（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

35.（2020・上海青浦•一模）某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销

该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企

101<n10nGN

业在经销这个产品的第〃个月的利润是AM,­。,〃eN*（单位：万元）‘记第〃个月的当月利

第〃个月的利润/(3)

润率为g（"）=例g(3)=

截止到第〃个月投入的资金总和50+("l)+A2))xl0%.

（1）求第〃个月的当月利润率；

（2）求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率.

题型5三角函数与不等式综合

36.（2022.上海宝山.一模）吴淞口灯塔AE采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组

测量其高度H（单位：m）,如示意图，垂直放置的标杆的高度〃=3m,使A,B,。在同一直线上，

也在同一水平面上，仰角==（本题的距离精确至iJO.lm）

E

H

A

（1）该小组测得a、△的一组值为a=5L83。，0=4733。,请据此计算H的值；

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离d（单位：m）,使a与夕之差较大，可

以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为20.1m,试问，为多少时，a-/3最大?

37.（2022・上海•模拟预测）已知/'⑺=Gsinxcosx-cos?x+g.

（1）若xe,求〃尤）的取值范围;

o3

（2）设VABC的三边分别是。，b,c,周长为2,若〃8）=-g,求VABC面积的最大值.

38.（2021.上海闵行.二模）某植物园中有一块等腰三角形ABC的花圃，腰长为20米，顶角为30。，现在花

圃内修一条步行道（步行道的宽度忽略不计），将其分成面积相等的两部分，分别种植玫瑰和百合.步行道用

曲线DE表示（D、E两点分别在腰48、AC上，以下结果精确到0.01）.

（1）如果曲线DE是以A为圆心的一段圆弧（如图1）,求AD的长；

（2）如果曲线QE是直道（如图2）,求AD+AE的最小值，并求此时直道DE的长度.

39.（2021・上海松江•一模）已知函数/OOuA/^sinxcosx+cosZx+l.

（1）求/（无）的最小正周期和值域；

（2）若对任意xeR,产（x）"（元）-240的恒成立，求实数上的取值范围.

40.（2020・上海徐汇・模拟预测）王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC,将点A翻

折后恰好落在边上的点尸处，折痕为。E,设8D=x,BF=y.

（1）求尤、y满足的关系式;

（2）求尤的取值范围.

41.(2023・上海金山•一模)在VABC中，设角A&C所对的边分别为人以。，且〃cosB+伍-4c)cosA=0.

⑴求cosA；

(2)若丽=2配码=1,求c+2/j的最大值.

42.(2022•上海浦东新•模拟预测)设〃x)=sinxcos尤-cos：x+；j,xe[0,可.

⑴求的单调递增区间；

(2)在锐角VABC中，A、B、C的对边分别为°、b、c.若/仁)=°，。=匕求VA3C面积的最大值.

43.(2022・上海崇明・二模)已知＜(x)=0sin2x-2cos2x-l.

⑴求函数y=/(x)的单调递增区间；

⑵设VABC的内角A满足八4)=0,且端.陇=3,求8c边长的最小值.

44.（2022.上海普陀•一模）如图所示，边长为2（百米）的正方形区域是某绿地公园的一个局部，环

线的B4是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段所是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与AD平

行，端点E是该抛物线的顶点且为的中点，端点尸在3C上，且FB长为0.5（百米），建立适当的平面

直角坐标系，解决下列问题.

⑴求弯道段所所确定的函数y=/（x）的表达式；

（2）绿地管理部门欲在弯道段EF上选取一点P安装监控设备，使得点P处监测8段的张角（NCPD）最大,

求点P的坐标.

45.（2022•上海闵行•二模）某学校举办毕业联欢晚会，舞台上方设计了三处光源.如图，VABC是边长为6

的等边三角形，边的中点河处为固定光源，E、尸分别为边AB、AC上的移动光源，且ME始终垂直于

MF,三处光源把舞台照射出五彩缤纷的若干区域.

（1）当下为边AC的中点时，求线段跖的长度;

（2）求AEEM的面积的最小值.

限时提升练

(建议用时：60分钟)

1.(2020・上海崇明.一模)某辆汽车以x公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要

求60WXW120)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为:、-100+手]升.

(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求尤的取值范围；

(2)求该汽车行驶100公里的油耗》关于汽车行驶速度x的函数，并求y