自动控制原理 7.1学习资料

7状态空间分析与设计引言经典控制理论中常常采用系统输入和输出之间的关系来描述一个控制系统。这称之为控制系统的输入－输出描述。微分方程和传递函数就是属于这种系统描述所采用的数学模型。

但是输入－输出描述有一个很大的局限性。它只能从系统的外部，概括输入－输出之间的关系，即将系统看作是一个“黑盒子”，而不管其内部结构如何。实际上，一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，并且以某种方式相互关联或耦合。为了分析这样的系统，必须简化其数学表达式，转而借助于计算机来进行各种大量而乏味的分析与计算。从这个观点来看，状态空间法对于系统分析是最适宜的。

经典控制理论分析和设计控制系统所采用的方法是频率特性法和根轨迹法。这两种方法用来分析和设计线性、定常单变量系统是很有效的。但是，对于非线性系统、时变系统、多变量系统等，经典控制理论就显得无能为力了。同时，随着生产过程自动化水平要求的提高，控制系统的任务越来越复杂，控制精度要求也越来越高，因此，建立在状态空间分析方法基础上的现代控制理论便迅速地发展起来。控制系统的状态空间模型状态空间的线性变换线性定常系统状态方程的解线性定常系统的可控性与可观测性分析线性定常系统的状态反馈和极点配置主要内容7.1.1状态空间模型的相关概念1、状态是指系统过去、现在和将来的状况。2、状态变量能完全确定系统运动状态的最少数目的一组变量。对于用n阶微分方程描述的系统，应有n个状态变量。这n个状态变量用x1(t)，x2(t)，…，xn(t)表示。3、状态向量由上述n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)所构成的列向量x(t)称为状态向量，记作x(t)4、状态空间以n个状态变量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)为基底所构成的n维向量空间叫做状态空间。5、状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系称为状态方程。对于n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程或差分方程所构成的方程组。6、输出方程系统输出量与状态变量、输入量的关系称为输出方程。例：RLC电路选择i(t)和uc(t)为状态变量，uc(t)为系统输出。原始方程为令上式化为输出方程7、状态空间表达式（状态空间模型）状态方程和输出方程合称状态空间表达式。完全描述其中A、B、C和D分别是维数为n×n、n×p、q×n和q×p的矩阵；A称为系统矩阵，或状态矩阵，B称为输入矩阵，C称为输出矩阵，D称为直接传递矩阵x—n×1维状态向量；y--q×1维输出向量；u--p×1维输入向量对于具有q个输出,p个输入的n阶系统,,线性系统状态空间表达式为:通常用{A、B、C、D}表示系统。对于单输入单输出线性定常系统其中u、y、d均为标量，b和c均为向量。非线性系统状态方程为状态空间表达式的结构示意图选取n个状态变量为，7.1.2

由微分方程建立状态变量表达式（1）线性微分方程中不含有输入函数的导数项

其中可以写为绘制出状态变量之间关系的结构图例：RLC电路，uc(t)为系统输出。原始方程为消去中间变量选择结论:状态变量不唯一；两组状态变量可以互相表示。式中是n个待定常数。由上式第一个方程可得输出方程，其余可得（n-1）个状态方程。按照下列公式选择状态变量（2）线性微分方程中含有输入函数的导数项设n阶单输入单输出系统由微分方程以一个三阶系统为例设系统的微分方程为按照上面提到的选择状态变量的方法可得代入原始微分方程左边＝令左边＝左边＝待定系数有所得的状态方程为输出方程推广到n阶系统有其中写成矩阵向量的形式为注意：bn输入项最高阶导数的系数;当bn

＝0时，直接传递矩阵为零。当bn=0时，原始微分方程变为状态空间表达式形为还可以按如下规则选择另一组状态变量*

对*求导数*

原始微分方程这样得到n个状态方程输出方程为状态空间表达式A阵为友矩阵的转置，c向量只有最后一列为1，其余全为零。可观测标准型例：设系统微分方程为用上述两种方法建立状态空间表达式。解：方法一，n=3,而b3=0，b2=1，b1=1，b0=3，

a2=4，a1=2，a0=1，方法二，因为b3=0，所以可以用方法二，可直接根据微分方程的系数写出状态空间表达式。7.1.3

由传递函数建立状态空间表达式1、传递函数为有理分式的形式采用长除法得其系数为bn只与直接传递矩阵d有关，而G’(s)与d无关，可以分离考虑，再叠加。可以将分解为两部分相串联的形式z、y1应满足下面的微分方程

选取状态变量为那么状态方程为与输出方程有关这是对应的状态空间表达式而对应的状态空间表达式为A阵为友矩阵，b向量最后一行为1，其他全为零。可控标准型，用{Ac，bc}表示给出一个传递函数，就可以对应的建立一个可控标准型按照微分方程求状态空间表达式的方法二选择状态变量，所不同的是系统状态变量与y1有关对系统G(s)而言，所不同的仅仅是输出方程。可控标准型，记为可观测标准型，记为称上述两个状态空间表达式为对偶关系例：设传递函数为分别建立可控标准型和可观测标准型。解：b’2=－15，b’1=２，b’0=１，a2=５，a1=６，a0=1，可控标准型可观测标准型可控标准型2、传递函数为极点形式a、系统传递函数只有单实极点（没有重极点）传递函数可以通过部分分式展开成下列形式为系统传递函数的n个实数极点。如果选择状态变量为

状态空间表达式对角阵标准型如果选择状态变量为b、系统传递函数存在实数重极点假设极点λ1为三重极点，其它均为单实极点，即λ4、λ5、…λn,那么系统传递函数可表示为如果选择状态变量为重极点对应的约当块，约当标准型由系统结构图，指定状态变量求状态空间表达式例：已知系统结构图及状态变量定义如