自动控制原理附录拉氏变换学习资料

附录1：拉普拉斯（LapLace）变换机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。一、拉普拉斯变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为（1-1）式中，s是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。

式（1-1）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。二、几种典型函数的拉氏变换1.单位阶跃函数的拉氏变换单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为0t

图1-1单位阶跃函数

单位阶跃函数的拉氏变换式为

当，则

所以（1-2）2.指数函数的拉氏变换指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（1-3）3．正弦函数与余弦函数的拉氏变换设，，则由欧拉公式，有所以（1-4）同理（1-5）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图1-2所示。图1-2单位脉冲函数单位脉冲函数的数学表达式为其拉氏变换式为

此处因为时，，故积分限变为。(1-6)5.单位速度函数的拉氏变换单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为见图1-3所示。图1-3单位速度函数单位速度函数的拉氏变换式为利用分部积分法令t=u则,所以当Re(s)>0时，,则(1-7)6.单位加速度函数的拉氏变换单位加速度函数的数学表达式为如图1-4所示。0t图1-4单位加速度函数其拉氏变换式为

(Re[s]>0)

（1-8）三、拉氏变换的主要定理

根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。1.叠加定理拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。（1）齐次性设，则（1-9）式中是常数。（2）叠加性设,，则（1-10）两者结合起来，就有这说明拉氏变换是线性变换。2.微分定理设则式中——函数在时刻的值，即初始值。同样，可得的各阶导数的拉氏变换是

（1-11）

（1-11）式中,，…——原函数各阶导数在时刻的值。如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则各阶导数的拉氏变换为

（1-12）3.复微分定理若f(t)可以进行拉氏变换，则除了在F(s)的极点以外，（1-13）式中，F(s)=L[f(t)]。同样有一般地，有（1-14）4.积分定理设

L[f(t)]=F(s)，则（2.24）式中——积分在t=0时刻的值。当初始条件为零时，（1-15）对多重积分是（1-16）当初始条件为零时，则（1-17）5.延迟定理设

L[f(t)]=F(s)且时，f(t)=0，则（1-18）函数为原函数f(t)沿时间轴延迟了，如图1-5所示。0t图1-5函数6.位移定理在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的象函数只需把s用(s+a)代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。设L[f(t)]=F(s)，则L[]=F(s+a)

（1-19）例如的象函数，则的象函数为7.初值定理它表明原函数在时的数值。

（1-20）即原函数的初值等于乘以象函数的终值。8.终值定理

设L[f(t)]=F(s)，并且存在，则

（1-21）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。9.卷积定理

设L[f(t)]=F(s),L[g(t)]=G(s)，则有L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)

（1-22）即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。

式（2.32）中，为卷积分的数学表示，定义为10.时间比例尺的改变

（1-23）式中

c——比例系数例如,的象函数,则的象函数为11.拉氏变换的积分下限在某些情况下,在处有一个脉冲函数。这时必须明确拉普拉斯积分的下限是还是，因为对于这两种下限，的拉氏变换是不同的。为此，可采用如下符号予以区分：（1-24）（1-25）若在处包含一个脉冲函数，则因为在这种情况下显然，如果在处没有脉冲函数，则有四、拉普拉斯反变换

拉普拉斯反变换的公式为

（1-26）式中

——表示拉普拉斯反变换的符号

通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数。1.部分分式展开法

在控制理论中，常遇到的象函数是s的有理分式

为了将写成部分分式，首先将的分母因式分解，则有

式中，是的根的负值，称为的极点，按照这些根的性质，可分为以下几种情况来研究。2.的极点为各不相同的实数时的拉氏反变换（1-27）式中，是待定系数，它是处的留数，其求法如下（1-28）再根据拉氏变换的迭加定理，求原函数[例1.1]

求的原函数。解:

首先将的分母因式分解，则有即得

3.含有共轭复数极点时的拉氏反变换

如果有一对共轭复数极点,，其余极点均为各不相同的实数极点。将展成式中,和可按下式求解即（1-29）

因为(或）是复数，故式（1-29）两边都应是复数，令等号两边的实部、虚部分别相等，得两个方程式，联立求解，即得两个常数。[例1.2]

已知,试求其部分分式。解:

因为（1-30）含有一对共轭复数极点,和一个极点，故可将式（1-30）因式分解成（1-31）以下求系数、和。由式（1-30）和式（1-31）相等，有（1-32）用乘以上式两边，并令，得到上式可进一步写成由上式两边实部和虚部分别相等，可得联立以上两式，可求得为了求出系数,用乘方程（1-32）两边，并令,将代入，得将所求得的,,值代入（1-31），并整理后得的部分分式查拉氏变换表便得。[例1.3]

已知求。解:

将的分母因式分解，得利用方程两边实部、虚部分别相等得解得，所以这种形式再作适当变换：查拉氏变换表得4.中含有重极点的拉氏反变换

设有r个重根，则将上式展开成部分分式（1-33）式中，，，…，的求法与单实数极点情况下相同。，，…，的求法如下：……则

(1-34）[例1.4]

设，试求的部分分式。解:

已知（1-35）含有2个重极点，可将式（1-35）的分母因式分解得（1-36）以下求系数、和。将所求得的、和值代入式（1-36），即得的部分分式查拉氏变换表可得。[例1.5]

求的拉氏反变换。解:

将展开为部分分式上式中各项系数为于是查拉氏变换表，得应当指出，对于在分母中包含有较高阶次多项式的复杂函数，用人工算法进行部分分式展开则相当费时费力。这种情况下，采用MATLAB工具就方便多了。五、应用拉氏变换解线性微分方程

应用拉氏变换解线性微分方程时，采用下列步骤：

(1)对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为的代数方程；

(2)解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；

(3)用拉氏反变换得到微分方程的时域解。

整个求解过程如图1-6所示原函数（微分方程的解）原函数（微分方程的解）象函数象函数的代数方程微分方程取拉式反变换程方数