与圆相关求解题（双空题29道）解析版-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题05与圆相关求解题（双空题精选29道）

一、填空题

1.如图，在Rta4BC中，ZXSC=9O°,以4B为直径的。。交47于点E,点。是BC的中点，连接OE、OC,

OC交DE于点、F,AO=10,DE=4,则AC=,而的值是.

BDC

【答案】4V西三

【分析】连接BE、OD,根据直径性质平角性质，得NBEC=90°,根据直角三角形斜边中线性质得BC=8,

根据乙4BC=90。，AB=20,得AC=4屈，证明△ABC“△BEC,得益=与，得CE="图，根据三角形

DL/IC29

中位线性质得。。=2国，OD||AC,得AODFMCEF,得芸=芸=餐.

LFLCO

【详解】解：连接BE、OD,

MB为。。的直径，

・•.乙4EB=90°,

：/BEC=180°-^AEB=90°,

・・•点。是的中点，

：,DE=BD=CD=苑，

•.4。=10,OE=4,

"8=240=20,BC=8,

•・•乙4BC=90。，

-AC=JAB2+BC2=4V29，

-/.ABC=乙BEC=90°,乙ACB=乙BCE,

・•.△ABCFBEC,

CE_BC

~BC~~AC9

.\CE=I6V29

29’

・・・O是中点,

.・.。0=夕。=2屈，OD||AC,

・•・△ODFCEF,

OF_0D_29

~CF~~CE~~Q'

故答案为：

4V29?o

【点睛】本题主要考查了圆与相似三角形综合.熟练掌握圆周角定理推论，直角三角形斜边中线性质，勾

股定理，三角形中位线性质，相似三角形判定和性质，是解题的关键.

2.如图，△ABC是。。内接三角形，。。的半径是任，BC=2,乙4cB=120。，乙4cB的角平分线CD交力B

于点F,交。。于点。，连接4。、BD,过点。作。。的切线交C8的延长线于点E,则线段4B的长度为.

线段DE的长度为

［答案］闻标哼

【分析】如图，作直径BG,连接DG,0D,过点B作8Hle。于点证明△ABZ）是等边三角形，得

AB=BD,由BG是。。的直径，得NBDG=90。，NGBD=90。-60。=30。，进而得DG=：BG=VI^,由勾股

定理得AB=BD=JBG=同，由DE是。。的切线，^BDE=90°-zODB=60°=Z.DCE,进而证

m/^BDE^ADCE,利用相似三角形的性质即可得解.

【详解】解：如图，作直径BG,连接DG,OD,过点2作BH1CD于点H,

=120°,N4C8的角平分线CD交28于点尸，

...乙ACD=4BCD=6Q°,

.".Z.DAB=Z.BCD-Z.ACD=4ABD=(BGD—60°,

.,.Z.ADB=60°=Z-BAD=Z.DBA,

.•.△4BD是等边三角形，

：.AB—BD,

••,8G是。。的直径，

・"OG=90。，

.­.ZGBD=9O°-6O°=3O°,

.•.DG=^BG=V13»

■■AB=BD=YJBG2-DG2=J(2V13)2-(V13)2=闻,

■.■BH1CD,4BCD=60。,

:/CBH=90°-60°=30°,

.-.CW=|BC=1,

■■BH=VfiC2-CW2=V22-l2=百，

■■DH=^BD2-BH2=J(V39)2-(V3)2=6，

.-.CD=CH+DH=7,

,：OB=OD,

...4。80=4008=30。，

••・DE是。。的切线，

：.0D1DE,

"BDE=90°-/.ODB=60°=乙DCE,

vZE=(E,

・••△BDEDCE,

DCDECE口口7DE2+BI

BDBEDE'1V§9BEDE

；.BE=^DE,

7

.」-=2+亭。E

••厮-DE"

解得=

故答案为：V§9>|V39.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及

性质，30度直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论，等边三角形的判定及性质，勾股定理，相似

三角形的判定及性质是解题的关键.

3.如图，在。。中，AB为直径,BD为弦，点C为弧BD的中点，以点C为切点的切线与的延长线交于点

E,连接4c交于点F,若2F=3CF,AB=6,贝U8E的长度为；CE的长度为.

【答案】24

【分析】根据垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】解：连接。配

•.・点C为弧BD的中点,

■.OCLBD,

・•・以点C为切点的切线与4B的延长线交于点E,

：.OC1CE,

：.CE||BD,

AF_AB

'''CF~~BE'

-AF=3CFf48=6,

.,.%=△，0A=OB=OC=^AB=3,

CFBE2

.•.BE=2；

；.0E=OB+BE—5；

:.CE=YOE2-OC2=4,

故答案为：2；4.

【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，切线的性质，勾股定理，批判性的判定，平行线分线段成比例定

理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

4.以4B为直径的。。与AC相切于点4弦DE14B于点H连接CD并延长交AB于点尸、交。。于点G,连接

0D.若乙DOH=24C,0D=3,AH^l.贝,CG=.

【分析】由勾股定理得，DH=NOD2_OH2=近,由垂径定理可求DE=2^；由。。与4C相切于点4可

得B41C4,则DEIIC4,NGDE=4C,如图，连接AE,AG,由圆周角定理可得NDE4=NDG4=：

乙DOA=LC=£GDE,则AC=AG,AE||CG,证明四边形4CDE是平行四边形，则4C=DE=2V^,

AE=CD,AG=2V5,证明△4HE三△FHD(ASA)，则力E=DF,AH=F”=1,AF=2,如图，过G作GM_LC4

的延长线于M,设GM=a,AM^b,则CM=2代+b,证明△GCMs^FCA,则器=器，即悔=空学，可

AC乙2V5

求6=心（£1一2），由勾股定理得，AG2^AM2+GM2,即（2V§）2=b2+a2=[Vi（a—2）]2+a2,可求满足要

求的解为。=¥，则。="，CM=华，由勾股定理得，CG=JCM2+GM2,计算求解即可.

【详解】解：•MB为直径，DELAB,

；.DH=EH=初,

由题意知，。/=。0=3,

：.0H=0A-AH=2f

由勾股定理得，DH=7OD2-OW2=V5.

•'•DE-2V5；

•・•。。与AC相切于点4

：.BA1CA,

.-.DE||CA,

：.Z-GDE=Z.C,

如图，连接ZE,AG,

,：AD=AD,

:.Z.DEA=Z.DGA=jzDOX="=乙GDE,

：.AC=AG,AE||CG,

又〈DE||CA,

四边形ACDE是平行四边形，

.\AC=DE=2V5>ZE=CD,

-'-AG=2V5,

•:乙HEA=^HDF,EH=DH,乙AHE=CFHD,

△AHE=△FHZ)(ASA)，

：.AE=DF,AH=FH=1,

:.AF^2,

如图，过G作GMJ.C4的延长线于M,

设GM=a,AM^b,贝i]CM=2q+b,

vzGCM=/.FCA,NGMC=90°=zJMC,

AGCM“△FCA,

GM_CM„„a_2V5+6

二市=五，E|2=^=">

解得，b=Vi(a—2)，

由勾股定理得，AG2=AM2+GM2,即(2V^)2=b2+a2=[vM(a-2)7+a2,

解得，(2=与或。=0(舍去)，

“=幽

3

3

由勾股定理得，CG=yJcM2+GM2=^

故答案为：2V5.苧.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对

等边，平行四边形的判定与性质等知识.熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似

三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质是解题的关键.

5.如图，以为直径的。。与4C相切于点4以4C为边作平行四边形4CDE,点。、E均在。。上，DE与

4B交于点尸，连接CE,与O。交于点G,连接DG.若AB=10,DE=8,则AF=.DG=.

【答案】8誓偿g

【分析】连接。。并延长，交。。于点连接GH,设CE、4B交于点河，根据四边形4CDE为平行四边形,

得出DE||AC,AC=DE=8,证明力BlDE,根据垂径定理得出DF=EF==4,根据勾股定理得出

22

OF=VOD-£>F=3,求出力尸=。4+。9=5+3=8；证明△EFMs/kc4M,得出言=黑，求出FM=

I，根据勾股定理得出EM=JEF?+FM2=J42+（丁=率,证明△EFMsaHGD,得出霁=需，求出

【详解】解：连接。。并延长，交。。于点〃，连接GH,设CE、4B交于点如图所示:

•••以2B为直径的O。与4C相切于点

.-.AB1AC,

.-.Z.CAB=90°,

•.•四边形4CDE为平行四边形，

：.DE||AC,AC=DE=8,

;/BFD=/.CAB=90°,

.,.AB1DE,

...DF=EF=；DE=4,

•••48=10,

：.DO=BO=AO==5,

•••OF=y/oD2-DF2=3,

・・.”=。4+。/=5+3=8；

•••DE\\AC,

・•.△EFMCAM,

EF_FM

^~AC~~AMf

4_FM

AF-FM"

nn4FM

即石o=oQ—~r忘MJ，

o

解得：FM--,

■■-EM=VEF2+FM2=J+©=噜

•••DH为直径，

.・ZOGH=90。，

"DGH=乙EFM,

,;DG=DG,

・•・乙DEG=LDHG,

△EFMFHGD,

FM_EM

：,~DG~~DH"

84V13

即且=M,

DG10

解得：。6=智.

故答案为：8；当要.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相

似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

6.如图，在四边形/BCD中，AD=CD=2®CB^AB=6,NB力。=/BCD=90。，点£在对角线8。上

运动，。。为△£>(7£的外接圆，当。。与ND相切时，。。的半径为；当。。与四边形N8CD的其

它边相切时，其半径为.

【分析】由题意易得tan/48。=tanNC8。=?,则有乙48。=NC8D=30。，Z.ADB=/.CDB=60°.连接

0D,过点。作0MleD于点由4D与。。相切，则有ODL4。，即乙4。。=90°,DM=*D=®即有

乙ODM=UDC-UDO=30°,则可求出。。=羡二旃=2，问题得解；

②可分为。。与四边形4BCD的4B边相切和。。与四边形ABCD的BC边相切两种情况，进而根据切线的性

质可进行求解.当OO与四边形2BC0的48边相切于点G时，作OELCD于点尸，并延长，交/。的延长线

于点P,交AB于点N,利用NFIIBC,DF=|c£)=百,即可求出N4NF=乙4BC和其度数，即可求出NP=乙GON

和其度数，即可求出DP=20F、FP,进而求出4P、NP、NF,设。G=。。=r,则可表示出。N、OF,在

RfADFO中,利用勾股定理得可得到关于厂的方程，解方程即可求出后当。。与四边形48CD的8C边相切

时，则切点即为点c,为。。的直径，OO的半径为百.

【详解】解：,在四边形2BCD中，AD=CD=2V3>CB=AB=6,zBAD=zBCD=9。°,

■■.tanZ.ABD=tanzCSZ)=—,

3

:.Z.ABD=/.CBD30°,4ADB=KCDB=6Q°,

连接O。，过点。作OMX少于点

如图所示：

•••力。与O。相切，

：.ODVAD,即乙WO=90。，DM=*D=®

：/ODM=UDC-UDO=30°,

即O。的半径为2；

②分两种情况讨论

第一种情况：当。。与四边形力BCD的48边相切于点G时，作OF1CD于点尸，并延长，交/。的延长线于

点P,交AB于点、N,如图所示：

:.NF\\BC,DF=*D=4

.-.^.ANF=^ABC=60°,

.•ZP=NGON=30°,

:.DP=2DF=2V3，FP=^^=3,

■•■AP=4V3,

:.NF=5,

设。G=OD=r,则有。N=coK。N=竽乙

...OF=5-4，

3

”孱2

在比△。尸。中，由勾股定理得：（5-等r）+3=/，整理得：一一20百7+84=0,

解得：rr=10V3-6V6>2=10百'+6五（不符合题意，舍去）；

第二种情况：当。。与四边形4BCD的BC边相切时，则切点即为点C,

・•.CD为OO的直径，

■■■QO的半径为百；

综上所述：当。。与四边形4BCD的一边相切时，其半径为2或10b-6痣或百；

故答案：2；百或10V5-6立.

【点睛】本题主要考查切线的性质、勾股定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质、勾股定理及解直角

三角形是解题的关键.

7.如图，以力B为直径的O0,点E在圆外，且NB4E=90。，BE与O。交于点。，过。作CD14B于点

H,连接CE交2B于点R交。。于点G.若8H=2,4"=8,贝iJCD=,4G=.

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，正确作出辅助线是解题

关键.连接尸，由垂径定理和勾股定理即可求出长；连接BC,分别证明△。///"△石力乩

△BHD-八BAE,ABFC-AAFG,结合勾股定理即可求解.

【详解】解：如图，连接

■■AB=BH+AH=10,

.,.OB=OD=5,

；.0H=0B—BH=3.

••,CD1AB,

.-.CH=DH=y/0D2-0H2=4,CD=2DH=8；

如图，连接BC,

22

在中，BC=.JCH+BH=2V5.

■:^BAE=90°,CDLAB,

.-.AE||CD,

ACHF-AEAF,ABHD〜ABAE,

CH_HFDH_BH

"''AE~'AFf~AE~~ABf

又・：CH=DH,

.HF_BH_2_1

"~AF~'AB_10~5,

-HF+AF=AH=8f

...HF=4x8=34F=gx8=?

6363

在RtaFUC中，CF=JCH2+HF2=^42+Q)2=p/10.

-Z-ABC=£.AGF,Z.BFC=^AFG,

••・△BFCS^AFG,

,CFBC_2V5

.•赤=茄，即？F=谪，

3

.'.AG=5V2.

故答案为：8,5加.

8.如图，等腰直角△4BC中，AB=AC,4。是△ABC的高，AD=屈,则=；若以点力为圆心,

半径为2加作04点M是。4上一动点，连接MC,点N是MC的中点，则线段DN的最大值是.

【答案】2V3V3+V2

【分析】由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得8。=8=4£)=版。=在，再根据勾股定理即可求

1

出4B；根据三角形的中位线可知当M,48三点共线时，MB最大,求出其最大值，即可求出DN

的最大值.

【详解】解：「△ABC是等腰直角三角形,

•••Z.BAC=90°,

■.■AB=AC,4D是△4BC的高,

:.BD=CD=AD=辿=气,^ADB=90°,

AB=y/AD2+BD2=2V3；

连接MB,

•••点N是MC的中点，BD=CD,

.••当MB最大时，DN最大,

当三点共线时，MB最大,MB最大为2百+2五,

DN最大值为［MB=V3+V2,

故答案为：2V3,V3+V2-

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，点圆最值，三角形的中位线，勾股定理，解

题的关键是利用三角形的中位线把求DN的最值问题转化为求MB的最值.

9.如图，4B是。。的直径，BC是。。的切线，点3为切点.连接4C交。。于点。，点E是。。上一点,

144

连接BE,DE,过点/作AFIIBE交BD的延长线于点F.若BC=13,AD=—,4F=4ADE,贝MB的长度

是,。尸的长度是.

of「口

【分析】先证明得出益=而，则BC2=CZT4C=CD(4D+CD),求出CD=5,再由勾股

定理求得BD=dBC2—CD2=12,即可由勾股定理求得ZB的长；然后连接4E,证明=得出

BF-AB^―,再由OF=8尸一B。求解.

【详解】解：rB是。。的直径，

N4DB=NBDC=90°,

・•・48是。。的直径，BC是。。的切线，

：.AB1BC

：.Z.ABC=90°

：,Z-ABC=Z-BDC

,•,Zf=Z-C

△BCDACB

BC_CD

'''AC~~BC

•-BC2=CD-AC=CD^AD+CD）

即132=CD（等+C£>）,

解得：CD=5或CD=-詈（不符合题意，舍去），

在RtaBOC中，由勾股定理得=<BC2—CD2=12,

在RtaBDA中，由勾股定理得：AB=JBD2+AD2=^

■■AFWBE,

VZ.F=Z-ADE,Z.ADE=Z.ABE,

•••Z.F=Z.BAF,

•••BF=AB=等

DF=BF-BD=警-12=y；

故答案为：-y.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的

判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定等等，证明ZF=N8力尸是解题的关键.

10.如图，4B是。。的直径，点D为4B下方。。上一点，点C为痂的中点，连结CD,CA,AD.延长AC、

DB交于点E.若CE=2也,BD=2,则。。的半径为,SAABD=.

【分析】延长C。交。。于尸,根据直径所对的圆周角为直角得BE14。，再根据垂径定理得。尸14。，设。。

的半径为尺，贝=OC=R,ffiliAAOC-AABE,得到AC=CE=2后，BE=2OC=2R,进而得

AE=4V6>DE=BD+BE=2R+2在Rt△ABD和Rt△4ED中利用勾股定理构造方程力B2-B02=AE2-D

E2由此解出R即可；根据AB是。。的直径，得到力DIDE,在中，利用勾股定理构造方程力。2=人

E2-DE2,得到4。=4VL根据代入面积公式计算即可.

此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股

定理构造方程是解决问题的关键.

【详解】解：延长C。交。。于R

如图所示

••/B是。。的直径,

£.ADB=90°,即

・・•点。为旃的中点，

根据垂径定理得CF14。，

OCWBE,

设。。的半径为火，则48=2R,0C=R

vOA=OBfOCWBE

.,.Z.ACO=Z.E,z.A=Z-A

・•.△AOCABE

-AB=2AO

••.4C=CE==2/BE=2OC=2R,

■■.AE=4V6,DE=BD+BE=2R+2,

在RtZkABD中，由勾股定理得2标

在RgAED中，由勾股定理得4。2=4片—。产，

AB2-BD2=AE2-DE2

•••(2/?)2-22=(4V6)2-(2R+2产

整理得R2+R—12=0,

解得&=(不合题意，舍去)，

3,R2=-4

・•・O。的半径为3.

・•/B是O。的直径，

：.AD1DE

,；DE=8,AE=4V6

.•.在RtZkAED中，AD2=AE2-DE2

AD2=(4A/6)2-82=12

■■.AD=4V2

：.S=^-AD-BD=^x4V2X2=4V2

故答案为：3,4V2.

11.如图，AB为。。的直径，C为O。上半圆的一个动点，CE1A8于点E,NOCE的角平分线交。。于点

D.且。。的半径为5,连接4D,则力。=；若弦4c的长为6,贝氏。=

【答案】5近742

【分析】如图1,连接。£»、AD,由CD是NOCE的角平分线，可得NOCD=NECD,由。C=。。，可得

乙OCD=AODC,贝IJNECD=NODC,CE||0D,4。。力=NCE。=90。，由勾股定理得，AD=S近;如图1,

过点/作4F_LCD于点R由布=而，可得NACD=9-1。。=45。，由勾股定理得，AC=41AF=6,可求

AF=CF=3V2）由勾股定理得DF=YAD2-AF2,根据CD=CF+OF,计算求解即可.

【详解】解：如图1,连接。D、AD.

图1

•.££）是NOCE的角平分线，

.,.Z.OCD=Z-ECD,

・.・。。=。0,

：.Z.OCD=Z.ODC,

"ECD=Z.ODC,

：.CE||0D,

.-.zD0i4=zCE0=90o,

由勾股定理得，AD=VOA2+OD2=5V2；

如图1,过点工作4F1CD于点尸，

---AD=AD,

.•.乙46=，。。=45。，

4FC是等腰直角三角形，AF=CF,

由勾股定理得，AC=yjAF2+CF2=V2AF=6,

解得，AF=CF=3®

由勾股定理得DF=AD2-AF2=4加,

.-.CD=CF+DF=7V2.

故答案为：5五，7V2.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应

用，二次根式的加减运算等知识.熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，

圆周角定理是解题的关键.

12.如图，48是。。的直径，BC是。。的切线，连接AC交。。于点。，点£为。。上一点，满足砺=丽,

连接BE交47于点巴若CD=1,SC=V5-贝么8=,EF=.

【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质等知识，连接4E、BD,由

4B是。。的直径，BC是。。的切线，推导出=N力BC=90°,则NBFC+NDBE=90°,

NC+N£MB=90。，由朝=而，得=所以NBFC=NC,则BF=BC=V^,DF=CD=1,可

证明△BDCsaABC,得病=片，求得AC=5,贝!]4F=3,AB=2V5.再证明△AFE”△8尸。，得法=

DCZ1LUr

蔡求得吁等=乎,于是得到问题的答案.

DrtSr5

【详解】解：如图，连接4E、BD,

••/B是。。的直径，BC是。。的切线,

=90°,BCLAB,

・ZBC=90。,

.-.ZBFC+=90°,ZC+=90°,

vDE=DB,

：.Z-DBE=Z.DAB,

：.Z.BFC=ZC,

.•.BF=BC=V5>

•・・BD1CF,

：,DF=CD=lf

，BF=VBD2+DF2=V2+1=返，

•・•乙BDC=^ABC=90。,ZC=ZC,

・,.ABDCMABC,

—CD•=—BC.

BCACf

.-.AC=—=^L=5,

CD1

•••AB=VXC2-BC2=V25^5=2仁XF=AC-CD-DF=5-1-1=3,

'.'Z-EAF=乙DBF,Z.AFE=乙BFD,

•••△AFEMBFD,

EFAF

DFBF

EF3

"T=^

...EF=等

故答案为：2近,等.

13.如图，以4B为直径的。。与2E相切于点4BE与O。交于点。，过。作CO14B于点”，连接CE交

于点尸、交O。于点G.若BH=2,4H=8,贝IJCD=,4G=

B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质及切线的性质等知识，掌握相关知识

是解题的关键.

①连接。。，根据题意先求出直径4B的长，得到半径的长，根据垂径定理得到CH=DH,再根据勾股定理

即可求解；

②连接BC,先求出BC=2后再证明E4F,△BHD7BAE,得到累=喘，器=器，求得

AcArAcAD

=pAF=^,根据勾股定理求出CF=*IU，再证明△BFCs^AFG,即可求解.

【详解】解：①如图，连接。。，

CH=DH=1CD,乙FHD=/.BHC=90°,

■.■BH=2,AH=8,

■.AB=BH+AH=10,

：.OB=OD=5,

：,OH=BO-BH=3,

在Rt△OHD中，DH=y/0D2-0H2=V52-32=4,

•.-CW=£>W=4=|C£),

：.CD=2DH=8,

②如图，连接BC,

B

在中，BC=Jc“2+BH2="2+22=2年,

•ME是。。的切线，

.,.AB1AE,

又・.・AB1CD,

.-.CDWAE,

ACHF-△EAF,ABHDSABAE,

CH_HFDH_BH

"''AE~'AFf~AE~~AB

又•:CH=DH,

.HF_BH_2_1

：'~AF一屈一而一F

-HF+AF=AH=8,

・•・HF=£X84.=3X8=9

在RtzXFHC中，CF=JCH2+邮=

-2LABC=^LAGF,乙BFC=Z-AFG,

.・・ABFC〜AAFG,

CF_BC

'~AF~'AGf

AFBC

：.AG—

CF3V10

故答案为：8,5V2.

14.如图，4B是。。的直径，BC是。。的切线，连接4C交。。于点D,点E为。。上一点，满足砺=丽,

连接BE交4c于点F,若CD=1,BC=近,则8尸=,EF=

A

【答案】V5等

【分析】连接4E,DE,BD,由等弧所对的圆周角相等得NE4F=ADBE=NB4D,根据余角性质可证

乙AFE=MFB,从而BF=BC=Q证明△4BDBCD可求得4。=4,证明△4EF必BDF可求得

EF=里

5

【详解】如图，连接4E,DE,BD.

A

■：DE=DB,

.'-Z-EAF—乙DBE=乙BAD,

•MB是。。的直径，

：.Z.AEB=Z.ADB=90°,

.'^EAF+^LAFE=90°,

・•・BC是。。的切线，

・••乙4BC=90。，

.・ZC+Nb4c=90。，

：.Z-AFE=Z.C,

,：Z.AFE=乙CFB,

;/CFB=zC,

BF=BC=V5>

.-.FD=CO=1,

■-BD=I(VS)2-l2=2,

MCBD+^ABD=90。,2840+乙ABD=90°,

：.Z-CBD=乙BAD,

­.^ADB=Z.CDB=90°f

AABD〜△BCD,

AD_BD

,•丽一而'

tAD_2

•万一,，

.,.AD=4,

・・・4万=3,

'：Z-AFE=Z.BFD,Z-AEF=乙BDF=90°,

・•.△AEF〜ABDF,

AF_EF

'''BF~~FD9

3__EF

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正

确作出辅助线是解答本题的关键.

15.如图，4B是。。的直径，BC是O。的切线，点B为切点.连接4c交O。于点。，点E是。。上一点，

连接BE,DE,过点4作4FII8E交BD的延长线于点F.若BC=5,CD=3,Nf=^ADE,贝MB的长度是：

DF的长度是.

【答案】争6|1/2|

【分析】由直径所对的圆周角是直角得到乙4。8=4引兀=90。，根据勾股定理求出8。=4,则COSC=MDG=

I，由切线的性质得到乙4BC=90。，则可证明NC=N4BD,解直角三角形即可求出43=；；^而=”；连接

□COS^-/iDLJJ

AE,由平行线的性质得至=再由=/.ADE=/.ABE,推出得至I]

onono

BF=AB=—,则=B尸一BD=y-4=].

【详解】解：MB是。。的直径，

：./.ADB=4BDC=9。。,

在RtaBDC中，由勾股定理得BD=」BC2—CD2=4,

CD3

••・c°sCr=km

•••BC是。。的切线,

.••N4BC=90°,

.-.ZC+ACBD=乙CBD+乙ABD=90°,

：.Z-C=Z-ABD,

Dn4of)

在RMABD中，4B=心而=/可

：.Z.BAF=Z.ABE,

vzF=Z-ADEfZ-ADE=Z-ABE,

.,.zF=Z.BAF,

20

：，BF=AB=^.

ono

：.DF=BF-BD=y-4=|；

故答案为：与；*

【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解

直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明=是解题的关键.

16.如图，点C在以AB为直径的半圆。上，。2=2返，点尸是公的中点，AD平分NC4B交8F于点。，则

4ADB=度；当DB=DF时，则BC的长为.

【答案】135。喑/融

——、1

【分析】由2B为直径，可得NC=90。，由尸是2C的中点，可得NCBF=N4BF=5乙4BC,由AD平分NC4B,

1__

=Z.CAD=-Z.BAC,可求N71BF+NBA。=45。，根据4力。8=180°—(4力8/+NB40)，计算求解

即可；4力。9=45°,连接。D,AF,则4尸4。=45°=44DF,AF=DF,由。8=OF,可得ODJ.8F,

乙ODB=9Q°,则NAD。=45°=NADE,证明△三△EAD(ASA)，贝!|DE=D。，OD=^AF,设

AF=DB=DF=a,贝！］BF=2a,DE=OD=^a,BE=|a,由勾股定理得，AB=Y/BF2+AF2=Vsa=4

近,证明△BCEs^BFA,则黑=黑，据此计算求解即可.

DrAD

【详解】解：■MB为直径，

.-.ZC=90°,

•••尸是前的中点，

.-.C?=AF,

.-.ACBF=/.ABF=^ABC,

•••4。平分/CAB,

.-.ABAD=ACAD=^BAC,

••・2(N4BF+ABAD)=180°-zC=90°,

解得，^.ABF+/.BAD=45°,

：./.ADB=180°-(z.XBF+/.BAD)=135。，

・•.乙4OF=45。,

如图，连接。。，AF,

・••乙4FB=90°,

.•ZFAD=45°=乙4DF,

­.AF=DFf

,:DB=DF,

.-.ODLBFf乙ODB=90。,

：,Z.ADO=45°=/.ADE,

^Z-OAD=Z.EAD,AD=ADf

△OAD=△瓦4。(ASA)，

.,.DE=DO,

•••0、D分别为BA、BF的中点，

.-.OD=^AF,

IQ

设/尸=OB=DF=a,贝!]BF=2a,DE=OD=-a,BE=-af

由勾股定理得，ABBF2+A产=近a=2x2近,

解得，a=4,

.-.BF=8,DE=OD=2,BE=6,

-：Z-CBE=乙FBA,(BCE=Z.BFA,

••・△BCE〜ABFA,

BCBE目BC6

•诲=病即n可=而，

解得，BC=^,

故答案为：135。，噌.

17.如图，在△ABC中，NACB=90。，点尸是RtaABC外接圆上的一点，且乙4cp=45。，连接BP,4P.点

〃为弧NP上一点(不与/,P重合)，过尸作PDIBM于。点.

(i)aABP的形状为；

(2)若AM=2,DM=®贝|JBM=.

【答案】等腰直角三角形2+2V3

【分析】(1)由乙4cB=90。，可知ZB为直径，贝U41PB=9O。，由而=而，可得乙4BP=乙4cp=45。，进

而可得结论；

(2)由题意知，乙4M8=90。，如图，作PN14M的延长线于N,则四边形PDMN是矩形，证明

△BDP三ZiaNP(AAS)，贝l|PD=PN=V^,BD=AN=AM+MN=2+^,根据=+计算求

解即可.

【详解】(1)解：・•・乙4cB=90。,

.•.4B为直径，

.-.Z.APB=90°,

•：AP=AP,

.-.^ABP=KACP=45°,

：./.BAP=45°=/-ABP,

.•.△4BP是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)解：由题意知，NAMB=90。，

如图，作PN14M的延长线于N,则四边形PDMN是矩形，

：.MN=PD,PN=DM=V3>

,.•PM=PM,

；/MBP=/.MAP,

•:乙DBP=LNAP,/.BDP=90°=Z.ANP,BP=AP,

△BDP=△ANP(AAS)，

:.BD=AN,PD=PN=V3,

：.BD=AN=AM+MN=2+^,

:.BM=BD+DM=2+2百，

故答案为：2+2V3.

18.如图，四边形4BCD内接于OO,BCWAD,AC1BD.若44。。=120°,AD=也,贝此C4。的度数为

BC的长为.

【答案】15。1

【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定义，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解

直角三角形,等边三角形的判定和性质，由平行线的性质可得NCBD=^ADB,由圆周角定理得NCBD=ACAD,

即得NC4D=^ADB=45°,即可得NBC4=Z.ADB=45°,由根据等腰三角形的性质可得=^ODA=30°,

由角的和差关系可得乙二4。=/乙4。一乙。4。=15。，再解直角三角形可得。4=取而=1,最后证明△BOC

为等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.

【详解】解：如图，连接。3、0C,过点。作。E140于点M

-BCWAD,

:/CBD=Z.ADB,

'.'Z-CBD=Z-CAD,

：.Z-CAD=Z-ADB,

•：AC1BD,

.-.^AFD=90°,

：,Z.CAD=Z.ADB=45°,

=^LADB=45°,

•••乙4。。=120。，04=。。，

=4ODA=30°,

：,^CA0=ACAD-Z.0AD=45°-30°=15°,

-0A=0D,0ELAD,

：,AE=^AD=^,AAEO=90°,

；.0B=OC=1,

-0A=OC,

^ACO=^CAO=15°,

"BCO=2LBCA+^ACO=45°+15°=60°,

-0B=0C=l9

・・.△BOC为等边三角形，

：.BC=OB=1,

故答案为：15°,1.

19.如图，AB为。。的直径，弦CD14B于点E,点尸在圆上，且DF=CD,BE=2,CD=8,CF交力B于点

【分析】连接c。、DO,并延长。。交CF于，，由垂径定理可知CE,在Rt^COE中，可以求出半径C。的长；

又由CF=CD和垂径定理得=根据圆周角定理可得NCFD=/COB,从而可知COSNCFD,

在Rt△DHF中可求出FG,也就可求得C尸的长度；在Rt△DHF中利用勾股定理求出OH,再求出。H=DH-OD,

同样地，在RSOG”中利用余弦函数求出。G,从而可求得4G=Q4-0G.

【详解】解:"BE=2,CD=8,CDLAB,

CE=DE=4,CB=BD,

连接C。，设CO=r,则。E=r-2,

在RtZ\COE中，CE2+0E2=C02,

解得：r=5,

•••CO=5,OE=3,

并延长D。交CF于H,

■■■DF=CD,

.-.DF=CD,

由垂径定理可知，OH1CF,FH=#F,

•••"FD是而所对圆周角，NCOB是前所对圆心角，且而=2前,

Z-CFD=Z.COB,

OE3

・•・cosZ-CFD=cos乙COB

DF=CD=8,

324

FH=DF-coszCFD=8x-=—,

•••CF=2FH=y：

22

由勾股定理得：DH=y/DF-FH=Y'

7

OH=DH-OD=-f

•・•乙HOG=(BOD=^COB,

3

・••cosZ-HOG=cos乙COB=

“OH7

OG=------=—,

cosZ.HOG3

o

■.AG=OA-OG=^.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理，直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线,

利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.

20.如图在。。中，48是直径，P为2B上一点（点尸不与4,8两点重合），弦MN过点P,Z.NPB=45°.

（1）若AP=2,BP=6,则MN的长为.

（2）当点尸在4B上运动时（保持NNPB=45。不变），则皿乎=

【答案】2V14|

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，完全平方公式等知识点，关键是

作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题.

（1）作。H1MN于H,得到HN=MH,由4P=2,BP=6,得到圆的半径长，由△POH是等腰直角三角形,

得到。H的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长.

(2)由PM=MH-PH=NH-OH,PN=NH+PH=NH+OH,得到PM?=(可”-。“)2(NH+OH)2

+PN2+

22

=2(NH+OHy因此。"2+可"2=。%2=。42,得至!]PM2+PN2=2O42,即可解决问题.

【详解】解：（1）作。H_LMN于H,

■■.AB=AP+PB=8,

ON=4,P0=OA-AP=4-2=2,

•••乙NPB=45°,

...△POH是等腰直角三角形,

•••OH=争。=VL

•••NH=JON2-OH2=V14>

•••MN=2NH=2V14，

故答案为：2VH.

(2)由(1)知MH=NHQH=PH,

PM=MH-PH=NH-OH.PN=NH+PH=NH+OH,

•••PM2+PN2=(NH-OH)2+(NH+OH)2=2(加+0吟,

•••OH2+NH2=ON2=OA2,

PM2+PN2=2OA2,

「842=(2。4)2=4。42,

PM2+PN21

AB2-=2，

故答案为：p

21.如图，AB为O。的直径，AB=10,BC=6,。为弧AC上一动点，连结BD,CD,作CE1CD交BD于£,

连结0E.

(1)当。为弧4C的中点时，BE=；

(2)当。在弧AC上运动时，0E的最小值为.

【答案】苧I

【分析】(1)利用垂径定理结合勾股定理求出49BD,证明△DCEs/i4BC,即可解答；

(2)过8作4B垂线交47延长于G,设以BG为直径的圆的圆心为8,连接0H,证明点B,E,C,G四点共圆，则

可得E在以BG为直径的一段圆弧上.当点。三点共线时，0E有最小值，求出

CG,BG,再利用三角形中位线求出。”即可求解.

【详解】解：（1）连接。D/D,

•■D为公的中点，

.-.OD1AC,

.•/为4c中点.

•MB为直径，

.-.^ACB=90°,

■■AC=y/AB2-BC2=V102-62=8,

.-.AF=4.

为AB中点，尸为AC中点，

-，OF=^BC=3,

：.DF=2,

■■AD=JAF2+DF2=2V5-

■：/.ADB=90°,

■■BD=YJAB2-AD2=4V5.

'.'Z-BAC=乙BDC,乙ACB=Z-DCE,

••・△DCE〜AABC.

DC_AC

^~DE~~ABf

.-.DE=%

2

.-.BE=^-.

2

(2)过5作48垂线交/C延长于G,设以BG为直径的圆的圆心为连接0”,

Z-BAC+Z-ABC=2CBG+Z-ABC=90°,Z.BAC=乙BDC,

：.Z-BAC=乙CBG,

Z.BDC=乙CBG,

•・•乙EBC+乙BCE=(CED,乙CED+乙BDC=90。,

・•・乙EBG+Z.ECG=(EBC+乙BCE+乙CBG+乙BCG=180°,

・・・