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文档简介

新情景、新定义下的数列问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................3

题型一:牛顿数列问题...........................................................3

题型二:高考真题下的数列新定义.................................................4

题型三:数列定义新概念..........................................................6

题型四:数列定义新运算..........................................................7

题型五:数列定义新情景..........................................................9

题型六:差分数列、对称数列.....................................................10

题型七:非典型新定义数列.......................................................11

03过关测试....................................................................13

方法技巧与总经

1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力,同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以

简单运用的能力,考查了学生探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂和理

解新定义,获取有用的新信息,然后运用这些有效的信息进一步推理,综合运用数学知识解决问题的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此,“新定义型”数列在高考中常有体现,是一种用知识归类、套路总

结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题.

2、解答与数列有关的新定义问题的策略:

(1)通过给定的与数列有关的新定义,或约定的一种新运算,或给出的由几个新模型来创设的新问

题的情景,要求在阅读理解的基础上,依据题设所提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,

达到灵活解题的目的.

(2)遇到新定义问题,需耐心研究题中信息,分析新定义的特点,搞清新定义的本质,按新定义的

要求“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以顺利解决.

(3)类比“熟悉数列”的研究方式,用特殊化的方法研究新数列,向“熟悉数列”的性质靠拢.

㈤2

臬币日纳与年

//ayu2

题型一:牛顿数列问题

【典例1-11(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法,它是牛顿在17世

纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示:设r是函数了=/(力的一个零点,

任意选取%作为r的初始近似值,在点(%,/(%))作曲线了=/(x)的切线4,设与4轴x交点的横坐标为占,

并称多为厂的1次近似值;在点(西,〃w))作曲线y=/(x)的切线4,设与4轴X交点的横坐标为4,称

%为厂的2次近似值.一般地,在点(%,〃%))(〃€2作曲线了=〃”的切线4用,记加与x轴交点的横坐

标为x“+i,并称x“+i为厂的"+1次近似直设+x-3(x")的零点为心取%=0,贝Ijr的1次近似

值为;若相为r的〃次近似值,设。“=芋若,〃eN*,数列{。“}的前〃项积为北.若任意力eN*,

…恒成立,则整数A的最大值为.

【典例1-2】记R上的可导函数/(X)的导函数为1(x),满足五+1eN*)的数列{x,}称为函

数/(无)的“牛顿数列”.已知数列打,}为函数/(x)=Y一》的牛顿数列,且数列{对}满足

%=2吗,>1.

x“T

(1)证明数列{%}是等比数列并求巴;

(2)设数列{«„)的前n项和为耳,若不等式(-1)"•电-144S;对任意的„eN*恒成立,求t的取值范围.

【变式1-1]英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广

泛,若数列{%}满足则称数列{%}为牛顿数列,如果〃x)=/-x-2,数列{%}为牛

f,^Y

X+]

顿数列,设且4=1,x„>2,数列{与}的前〃项和为S,,,则$2必=()

X〃一2

A.22022-1B.22022-2C.

2

【变式1-21科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,其定义是:对于函数

/(X),若数列{%}满足X向则称数列{七}为牛顿数列,若函数/(x)=/,数列{七}为牛顿

f'g'

数列且3=2,an=log2x„,则as的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

题型二:高考真题下的数列新定义

【典例2-1](2024•北京•高考真题)已知集合

M={«,/,左,回卜€{1,2},/€{3,4},左€{5,6},师{7,8},且,+/+左+可为偶数}.给定数列N:…9,和序

列。:7]Z,-Z,其中对数列A进行如下变换:将A的第川西,叫项

均加1,其余项不变,得到的数列记作刀⑷;将看(⑷的第作人,修,吗项均加1,其余项不变,得到数列记

作31(4);……;以此类推,得到北…心工(/),简记为。(⑷.

⑴给定数列41,3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出0(4);

(2)是否存在序列。,使得。(4)为%+2,g+6,%+4,%+2,%+8,必+2,%+4%+4,若存在,写出一个符

合条件的。;若不存在,请说明理由;

(3)若数列A的各项均为正整数,且%+%+%+%为偶数,求证:“存在序列。,使得。(⑷的各项都相等”

的充要条件为“%+。2=%+%=%+&=%+4''.

【典例2-2】(2024•全国•高考真题)设”为正整数,数列为,电,…,Q,”+2是公差不为0的等差数列,若从中

删去两项a,和4(i<j)后剩余的4m项可被平均分为机组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列

%,%•••,。4m+2是I,/)-可分数列.

⑴写出所有的亿力,1口<八6,使数列为,电,…,。6是(,,/)-可分数列;

⑵当加23时,证明:数列%,电,…,。4,“+2是(2,13)-可分数列;

⑶从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和加</),记数列4,出,…,。4,“+2是亿/)-可分数列的概率为£“,证

明:己

O

【变式2-1](2023•北京・高考真题)已知数列{%},也}的项数均为加(加>2),且a“也e{1,2,…,刈,

{%},{4}的前〃项和分别为4,纥,并规定4=稣=°.对于上e{0』,2,…,叫,定义

〃=max{il4.V4,ie{01,2,一、M},其中,maxM表示数集M中最大的数.

(1)若%=2,g=1,%=3,々=1也=3也=3,求外,4,4的值;

(2)若%且2。4*1+5_],/=1,2,…,刃一1,,求小

(3)证明:存在0,4,5,/€{0,1,2「-,加},满足0>4,s>t,使得4+瓦=4+4.

【变式2-2](2022•北京•高考真题)已知。吗,电,…,巳为有穷整数数列•给定正整数小,若对任意的

a

"e{l,2,…,加},在0中存在%4+1,i+2,…,4•+j(72°),使得%+aM+ai+2+••-+ai+J=n,则称0为加-连续

可表数列.

⑴判断0:2,1,4是否为5-连续可表数列?是否为6-连续可表数列?说明理由;

⑵若。:%,出,…,应为8-连续可表数列,求证:左的最小值为4;

(3)若。:%,电,…,应为20-连续可表数列,且%+出+…+的<20,求证:k>7.

【变式2-3](2021•北京•高考真题)设〃为实数.若无穷数列{%}满足如下三个性质,则称{0“}为%.

数列:

①q+p》0,>a2+p=0;

②%<%”,("=1,2,…);

③%+”e{a.+a”+P,a.+a“+P+l},(加,"=1,2,…).

(1)如果数列{%}的前4项为2,-2,-2,-1,那么{%}是否可能为况2数列?说明理由;

(2)若数列{““}是况。数列,求为;

(3)设数列{%}的前〃项和为是否存在况。数列{。“},使得S2凡恒成立?如果存在,求出所有的p;

如果不存在,说明理由.

题型三:数列定义新概念

【典例3-1](2024•广东•模拟预测)定义:任取数列{与}中相邻的两项,若这两项之差的绝对值为1,

则称数列{2}具有“性质1”.已知项数为〃的数列{%}的所有项的和为河",且数列{七}具有“性质1”.

(1)若〃=4,且q=0,%=T,写出所有可能的的值;

(2)若%=2024,n=2023,证明:=2"是“欲>%(左=L2,…,2022)”的充要条件;

⑶若%=0,"22,%=0,证明:〃=4加或"=4m+1(加eN*).

【典例3-2】对任意正整数〃,定义〃的丰度指数/(〃)=亚,其中S(〃)为〃的所有正因数的和.

n

(1)求/⑻的值:

(2)若。“=/(2”),求数列{加,的前〃项和「

⑶对互不相等的质数。,私",证明:/(p加〃)=/(/)“m”⑺,并求1(2024)的值.

【变式3-1](2024•重庆•模拟预测)对于数列{%},定义eN*),满足

ax^a2=l,A(Aa„)=m(meR),记/(九”)=q加+电/+…+%”',称/(肛〃)为由数列{%}生成的“加-函

数”.

⑴试写出“2-函数”f(2,n),并求"2,3)的值;

(2)若“1-函数”/(1,«)<15,求〃的最大值:

(3)记函数S(x)=x+2f+…其导函数为S'(x),证明:“m-函数”

加23717,

=——S\m)----S(加)+(加+1)£m.

22;=i

【变式3-2](2024•甘肃张掖•模拟预测)定义:在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形

成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”,例如:数列1,2,3经过第一次“和扩充,,后得到

数歹收,3,2,5,3;第二次“和扩充”后得到数列1,43,5,2,7,5,8,3.设数列Ac经过〃次“和扩充”后得到的数列

的项数为匕,所有项的和为色.

(1)若4=2,6=3,0=4,求心,S2;

(2)求不等式勺22024的解集;

(3)是否存在数列。,瓦c(a,瓦ceR),使得数列{S“}为等比数列?请说明理由.

题型四:数列定义新运算

【典例4-1】(2024•吉林长春•模拟预测)记集合S={{a,}|无穷数列{七}中存在有限项不为零,〃eN*

对任意{%}eS,设9({%})=%+呼+…+%x"T+…,xeR.定义运算◎若{%},{,}eS,则

{%}®也}eS,且0({%}*也})=0({。"})3(也}).

⑴设{%}到4}={♦“},用%,%,。3力也,4表示4;

(2)若{%},但},{cJeS,证明:({4}*也})到qj={*®(也髭匕}):

l〃+i『+i<<[m203-n<<

⑶若数列{%,}满足%=*〃(〃+1)」-"一10°,数列{,}满足6.=,⑴」-"-500,设

0,〃>100[0,n>500

{4}⑤也}={4},证明:&(»<;•

【典例4-2】(2024•浙江杭州•三模)卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应

用.一般地,对无穷数列{%},但},定义无穷数列c“=£>也+_(〃eN+),记作{叫*也}={%},称为

k=\

{%}与也,}的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义,即{%}中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对

角线上元素的和,易知有交换律{叫*也}=也}*{叫.

⑵对ieN+,定义[{%}如下:①当i=l时,北{%}={%};②当此2时,北{叫为满足通项

0,H<Z

dn=的数列{Z},即将{%}的每一项向后平移-1项,前项都取为0.试找到数列收)}

2i

使得{4>{%}=1{叫;

(3)若双=〃,{4}*{4}={&},证明:当"23时,"=c"-2%+*.

【变式4-1](2024•山东青岛•一模)记集合S={{%}|无穷数列{七}中存在有限项不为零,〃eN*},对

任意{七}eS,设变换/({%})=%+研+…+%无"~+…,xeR.定义运算&若{%},也}eS,贝|

{%应也}eS,/({叫凶也})=/({叫)./({2}).

⑴若{。"}®{4}={叫},用(,%,。3,。4,61也也也表示加4;

(2)证明:({%}⑥也})到。,}={凡}旗也}到。,});

(«+1)2+1『1丫眸"

...---...-,1<n<100—,1<??<500(7)())r口71

⑶右%=jH(«+1),,{4}={%}叫a},证明:d2M<~.

0,«>100[o,77>500-

【变式4-2]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上

述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1-4-2-1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称

“角谷猜想”).如取正整数%=6,根据上述运算法则得出6-3->10-»5-16->8-4->2-1,共需经过

8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下:已知数列{。“}满足:ax=m(m

2当a为偶数时

为正整数),。用=2'"'当〃?=3时,a1+a2+a3+---+a60=()

3%+1,当丁为奇数时

A.170B.168C.130D.172

题型五:数列定义新情景

【典例5-1](多选题)(2024•山东青岛•三模)若有穷整数数列4:%,电,-%(力23)满足:

a/+1-a,.e{-l,2}(i=l,2,且%=%=0,则称4具有性质乙则()

A.存在具有性质7的4

B.存在具有性质7的4

C.若4o具有性质T,则4,电,…,。9中至少有两项相同

D.存在正整数左,使得对任意具有性质T的4,有色,出,…,中任意两项均不相同

【典例5-2](2024•河南•二模)已知无穷数列{6}是首项为1,各项均为正整数的递增数列,集合

^={^eN*|t?„<^<a„+1,weN*),若对于集合A中的元素左,数列{%}中存在不相同的项4,%…,气,使

得«„+«,+■••+q=k,则称数列{a,}具有性质N㈤,记集合8={用数列{叫具有性质N㈤}.

(1)若数列{七}的通项公式为。“=〃+6;>4,判断数列{%}是否具有性质N优),若具有,写出集合A与

集合8;

(2)已知数列{2}具有性质N伍)且集合A中的最小元素为人集合3中的最小元素为5,当时,证明:

t=s.

【变式5-1](2024•北京东城•二模)已知4:%,%,…,氏(〃?3)为有穷整数数列,若4满足:

aM-ai&{P,q\{i=1,2,-,n-\),其中P,9是两个给定的不同非零整数,且%=。“=0,则称4具有性质

T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性质T的人?若存在,写出一个这样的4;若不存在,请说明理

由;

⑵若尸=T,4=2,且4。具有性质7,求证:%,出,…,。9中必有两项相同;

(3)若p+q=l,求证:存在正整数左,使得对任意具有性质T的4,都有%,电,…,中任意两项均不相

同.

【变式5-2](2024•北京朝阳•一模)若有穷自然数数列A:q,的,一,。"("上2)满足如下两个性质,则称

A为纥数列:

(1)>max{a,+a2+ak_2ak_x+a[}(k,其中,11^*{再624一,4}表示玉,尤2「,,,怎,这5个

数中最大的数;

@ak<mm{al+ak_l,a2+ak_2,---,ak_1+al}+\(k=2,3,---,n),其中,minR,%,表示再汽,,这s

个数中最小的数.

(1)判断A:2,4,6,7,10是否为员数列,说明理由;

(2)右A:,。2,…,“6是线数列,且“1,。2,。3成等比数列,求必;

(3)证明:对任意纥数列A:%,%,…,%("22),存在实数小,使得/=[以"=1,2,…,〃).(国表示不超

过x的最大整数)

题型六:差分数列、对称数列

【典例6-1](多选题)如果项数有限的数列{叫满足%=%+皿=1,2…则称其为“对称数列”,设也}

是项数为2左-1卜©2)的“对称数列”,其中与,bk+l,是首项为50,公差为-4的等差数列,贝IJ

()

A.若左=12,则々=10B.若左=14,则也}所有项的和为622

C.当k=13时,也}所有项的和最大D.{4}所有项的和不可能为0

【典例6-2]若项数为"的数列{%}满足:1=1,2,3,…,可我们称其为"项的“对称数列”.例如:

数列1,2,2,1为4项的“对称数列”;数列123,2,1为5项的“对称数列”.设数列忆}为2无+1项的“对称数列”,

其中G。2“心华是公差为2的等差数列,数列{%}的最大项等于8,记数列{%}的前2左+1项和为若

$2)1+1=32,则尢=.

【变式6-1](2024•四川南充•三模)对于数列{%},规定为数列{与}的一阶差分,其中

M=%+「a"("eN*),规定A%“为数列{%}的左阶差分,其中公包=屋%「A"%(〃eN*).若

.”"(ly则公&=()

6

A.7B.9C.11D.13

【变式6-2](2024•四川南充•三模)对于数列{0“},规定为数列{%}的一阶差分,其中

M=an+l-an(neN*),规定Na“为数列{an}的阶上差分,其中A%=优eN)若

%」(〃一1)(21),则△4=()

6

A.7B.9C.11D.13

题型七:非典型新定义数列

/、

4142…ain

Qa•••ci

【典例7-1】(2024•黑龙江•模拟预测)已知〃行几列(〃>2)的数表4=;?2.;中,满足:

“1an2…a〃n.

%e{0,l},(z,)=1,2,….若数表A满足当ast=0时,总有X册+£与2〃,则称此数表A为典型数表,

Z=1j=l

此时记s.旬.

i=lj=\

0011

⑴若数表M=。01,N=[100,请直接写出M,N是否是典型数表;

,011J

'710oj

(2)当〃=8时,是否存在典型数表/使得晨=31,若存在,请写出一个数表/;若不存在,请说明理由;

(3)若数表/为典型数表,求S.的最小值(直接写出结果,不需要证明).

国1X12

【典例7-2](2024•辽宁葫芦岛•二模)设数阵X。=其中Xu,X]?,X]],X22e{1,2,3,4,5,6}.设^

'21'22

8={〃|,{L2,3,4,5,6},其中/<%<-<nk,左eN*且发46.定义变换为“对于数阵的每一列,

若其中有/或T,则将这一列中所有数均保持不变;若其中没有1且没有T,则这一列中每个数都乘以T”

“8(工())表示“将万。经过旃|变换得到吊,再将X1经过V”变换得到*2,…,以此

类推,最后将X-经过〃改变换得到%.记数阵X*中四个数的和为々(X。).

⑴若8={2,5},写出X。经过河2变换后得到的数阵X,并求〃(X0)的值;

⑵若X°=(:T,B={ni,n2,n3},求。(X。)的所有可能取值的和;

(3)对任意确定的一个数阵X。,证明:心(4)的所有可能取值的和不大于-8.

【变式7-1】已知无穷数列{%},给出以下定义:对于任意的〃eN*,都有a,+a“+222a”“,则称数列{%}

为“T数列”;特别地,对于任意的〃eN*,都有。"+七+2>2%,则称数列{%}为“严格T数列”.

(1)已知数列{6},也}的前〃项和分别为4,Bn,且%=2"-1,b“=-『,试判断数列{/“},数列

{4}是否为“T数列”,并说明理由;

(2)证明:数列{%}为“T数歹广的充要条件是“对于任意的左,机,〃eN*,当左<加<〃时,有

(n-m)ak+[m-k^an>(n-k^am";

(3)已知数列也}为“严格T数列”,且对任意的〃eN*,"eZ,(=-8,%=-8.求数列{4}的最小项的

最大值.

【变式7-2](2024•山东泰安•模拟预测)已知数列{2}是斐波那契数列,其数值为:1,1,2,3,5,8,13,

21,34…….这一数列以如下递推的方法定义:%=1,%=1,。,+2=。用+。,(〃eN*).数列也}对于确定的正

整数左,若存在正整数〃使得4+“=4+"成立,则称数列{“}为“左阶可分拆数列”.

(1)已知数列{c」满足C"=%a,(“eN*,机eR).判断是否对V/neR,总存在确定的正整数左,使得数列上“}

为“左阶可分拆数列”,并说明理由.

(2)设数列{4}的前〃项和为S“=y-a(fl>0),

(i)若数列{4,}为“1阶可分拆数列”,求出符合条件的实数。的值;

(ii)在⑴问的前提下,若数列{<}满足/=白,«eN\其前〃项和为证明:当〃eN*且“23时,

Tn<of+aI+a;+...+a~—a„a„+i+1成立.

过猛试

1.(2024•浙江绍兴•三模)设OWq<g<…<须<%oo<1,已知%+i2W99),若

max{%+i-a,}2加恒成立,则机的取值范围为()

A.m<—B.m<—

93

,2/

C.m<—D.m<—

39

2.(2024•上海•模拟预测)已知数列{0“}不是常数列,前〃项和为S”,且4>0.若对任意正整数“,存

在正整数机,使得|%-黑区4,则称{七}是“可控数列”.现给出两个命题:①存在等差数列{七}是“可控

数列”;②存在等比数列{4}是“可控数列”.则下列判断正确的是()

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题,②为假命题D.①为假命题,②为真命题

3.数列{《}的前〃项和为S“,若数列{%}与函数/(x)满足:①/'(x)的定义域为R;②数列{%}与函数

/(X)均单调增;③存在正整数",使邑=〃与)成立,则称数列{叫与函数具有“单调偶遇关系”.给

出下列两个命题:()

①与数列伽+1}具有“单调偶遇关系,,的函数有有限个;

②与数列{2"}具有"单调偶遇关系”的函数有无数个.

A.①②都是真命题B.①是真命题,②是假命题

C.①是假命题,②是真命题D.①②都是假命题

4.(多选题)(2024•湖南衡阳•模拟预测)在股票市场中,股票的价格是有界的,投资者通常会通过价

格的变化来确保自己的风险,这种变化的价格类似于我们数学中的数列,定义如果存在正数〃,使得对一

切正整数,,都有则称{%}为有界数列,数列收敛指数列有极限,我们把极限存在(不含无穷

大)的数列称为收敛数列,如数列g=工,显然对一切正整数〃都有而工的极限为0,即数列

nn

{%}既有界也收敛.如数列4=(-1)”,显然对一切正整数〃都有闻41,但不存在极限,即数列{2}有界但

不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有()

A.an=sinl+—IB.an=coslHK+—I

.(兀)

4=2,a=3,%=&±sin几兀+——

c.2D.I2J

an-2an=------

n

a—a

5.(多选题)(2024•江苏南通•模拟预测)在数列{《}中,若对V〃eN*,都有2_向=。为常数),

an+\~an

则称数列{与}为“等差比数列",4为公差比,设数列{。“}的前〃项和是S,,,则下列说法一定正确的是()

A.等差数列{%}是等差比数列

B.若等比数列{七}是等差比数列,则该数列的公比与公差比相同

C.若数列{SJ是等差比数列,则数列用}是等比数列

D.若数列{%}是等比数列,则数列{5}等差比数列

6.(多选题)(2024•山东烟台•一模)给定数列{%},定义差分运算:

公。"=。,+1-%,&&=公。,+1-公%,〃€1<\若数列{。“}满足4="2+",数列{2}的首项为1,且

M“=(〃+2).2"T,〃eN*,则()

A.存在M>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得"。"〈河恒成立

C.对任意M>0,总存在〃eN*,使得,>〃

D.对任意M>0,总存在〃eN*,使得芋

7.(多选题)(2024•浙江•模拟预测)“角谷猜想”是指一个正整数,如果是奇数就乘以3再加1,如果是

偶数就除以2,这样经过若干次这两种运算,最终必进入循环图If4-2-1.对任意正整数旬,按照上述

规则实施第〃次运算的结果为%(〃eN),()

A.当%=7时,则%]=5

B,当%=16时,数列{。“}单调递减

C.若%=1,且q=3,4)均不为1,则%=5

D.当g=10时,从%[=1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为不

8.(2024•高三•河北保定•期中)英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时,给出的“牛顿

〃x“)

数歹『'在航空航天中应用广泛,若数列{%}满足则称数列{%}为牛顿数列•如果函数

x+2

2

f(x)=x-4,数列{2}为牛顿数列,设a〃=ln七p且4=1,x“>2.则。2必

Xn-Z

9.(2024•江西九江•模拟预测)著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时,给出了“牛顿数列”,

它在航空航天中应用广泛.其定义是:对于函数/(X),若数列{%}满足兑+1,则称数列{%}为牛

f,M

顿数列,若函数/(x)=/,an=log2xn,且q=l,则。8=.

10.给定函数/(x),若数列伉}满足”-务则称数列{%}为函数/(X)的牛顿数歹!J.已知{Z}

为〃%)=/-4的牛顿数列,且为=ln£1,q=l,x“>2("eN*),数列{。“}的前〃项和为九则

Xn~Z

11.将正整数"分解为两个正整数占、质的积,即〃=勺•右,当左、质两数差的绝对值最小时,我们称其

为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即为20的最优分解,当左、融是〃的最优分解时,定

义/(«)=。-可,则数列{/(5")}的前2024项的和为.

'a\2

ai3…

。21。22a23…a2n

•高三•甘肃兰州•开学考试)已知数表(〃)aa

12.(2024N",=。31。3233'..3n

n2…ann,

"11。121…如、C12C13,,%、

b??b23…b2nC21C22C23•,C2n

CC其中囹,4,%(

B(n,n)=Al,32。33…b3n,C(n,n)=3132033.•分别

Cn2Cn3,•Cnn)

也ibn2bn3…bnn,

表示/(〃,〃),中第i行第/列的数.若5j+%2b2j+…+。也,则称是

/(〃〃),8(",〃)的生成数表.若数表/(2,2)=。3(2,2)==JO,且c(2,2)是

142o

J5,

4(2,2),8(2,2)的生成数表,则C(2,2)=.

13.%,?,…%o是一个1,2,3,…,10的排列,要求和%+i一定有一个大于%(,=2,3,…,9),则

满足的排列的总数为.

14.(2024•北京通州•三模)若数列也,}、匕“}均为严格增数列,且对任意正整数小都存在正整数%,

使得'e[%,C"+J,则称数列也}为数列{%}的““数列”.已知数列{%}的前〃项和为S“,则下列结论中正

确的是.

①存在等差数列{%},使得{%}是{SJ的数列”

②存在等比数列也},使得缶"}是岱“}的数列”

③存在等差数列{%},使得“,}是{%}的数列”

④存在等比数列也},使得",}是{%}的数列”

15.(2024•江苏扬州•模拟预测)对于有穷数列{4},从数列{%}中选取第1项、第3项、…、第。项

(2<•••<"),顺次排列构成数列出},其中乙=%”左W机,则称新数列他}为{%}的一个子列,称

抄*}各项之和为{七}的一个子列和.规定:数列{%}的任意一项都是{心}的子列.则数列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和为.

16.(2024•高三•山东日照•期中)任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就

将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈这就是数学史上著

名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).如取正整数6,根据上述运算法则得出

6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需要8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).“冰雹猜想”可表示为数列

—,a„=2k(keN.)

,2"+;.问:当机时,试确定使得。“=需

{为}满足:%=机("?为正整数),an+1I=171

3an+1,an=2左+1(斤eN)

要步“雹程”;若。6=1,则机所有可能的取值所构成的集合为.

17.(2024•高三•北京朝阳•期末)中国传统数学中开方运算暗含着迭代法,清代数学家夏鸾翔在其著

作《少广缱凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”,用符号表示为:己知正实数N,取一正数%作为亚

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