新情景、新定义下的数列问题（七大题型）（原卷版）

新情景、新定义下的数列问题

目录

01方法技巧与总结..............................................................2

02题型归纳与总结..............................................................3

题型一：牛顿数列问题...........................................................3

题型二：高考真题下的数列新定义.................................................4

题型三：数列定义新概念..........................................................6

题型四：数列定义新运算..........................................................7

题型五：数列定义新情景..........................................................9

题型六：差分数列、对称数列.....................................................10

题型七：非典型新定义数列.......................................................11

03过关测试....................................................................13

方法技巧与总经

1、“新定义型”数列题考查了学生阅读和理解能力，同时考查了学生对新知识、新事物接受能力和加以

简单运用的能力，考查了学生探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移，即读懂和理

解新定义，获取有用的新信息，然后运用这些有效的信息进一步推理，综合运用数学知识解决问题的能力

和探索能力(多想少算甚至不算).因此，“新定义型”数列在高考中常有体现，是一种用知识归类、套路总

结、强化训练等传统教学方法却难以解决高考中不断出现的新颖试题.

2、解答与数列有关的新定义问题的策略：

(1)通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问

题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移,

达到灵活解题的目的.

(2)遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的

要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.

(3)类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.

㈤2

臬币日纳与年

//ayu2

题型一：牛顿数列问题

【典例1-11(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)牛顿选代法又称牛顿——拉夫逊方法，它是牛顿在17世

纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法.具体步骤如下图示：设r是函数了=/(力的一个零点,

任意选取％作为r的初始近似值，在点(%,/(%))作曲线了=/(x)的切线4,设与4轴x交点的横坐标为占,

并称多为厂的1次近似值；在点(西,〃w))作曲线y=/(x)的切线4,设与4轴X交点的横坐标为4，称

%为厂的2次近似值.一般地，在点(%,〃%))(〃€2作曲线了=〃”的切线4用，记加与x轴交点的横坐

标为x“+i，并称x“+i为厂的"+1次近似直设+x-3(x")的零点为心取%=0,贝Ijr的1次近似

值为;若相为r的〃次近似值，设。“=芋若，〃eN*,数列｛。“｝的前〃项积为北.若任意力eN*,

…恒成立，则整数A的最大值为.

【典例1-2】记R上的可导函数/(X)的导函数为1(x),满足五+1eN*)的数列｛x,｝称为函

数/(无)的“牛顿数列”.已知数列打,｝为函数/(x)=Y一》的牛顿数列,且数列｛对｝满足

%=2吗,>1.

x“T

(1)证明数列｛%｝是等比数列并求巴；

(2)设数列｛«„)的前n项和为耳，若不等式(-1)"•电-144S；对任意的„eN*恒成立，求t的取值范围.

【变式1-1]英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广

泛，若数列｛%｝满足则称数列｛%｝为牛顿数列，如果〃x)=/-x-2,数列｛%｝为牛

f,^Y

X+]

顿数列，设且4=1,x„>2,数列｛与｝的前〃项和为S,,,则$2必=()

X〃一2

A.22022-1B.22022-2C.

2

【变式1-21科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数

/(X),若数列｛%｝满足X向则称数列｛七｝为牛顿数列，若函数/(x)=/,数列｛七｝为牛顿

f'g'

数列且3=2,an=log2x„,则as的值是()

A.8B.2C.-6D.-4

题型二：高考真题下的数列新定义

【典例2-1](2024•北京•高考真题)已知集合

M=｛«,/,左,回卜€｛1,2｝,/€｛3,4｝,左€｛5,6｝,师｛7,8｝,且，+/+左+可为偶数｝.给定数列N:…9，和序

列。:7]Z，-Z，其中对数列A进行如下变换：将A的第川西,叫项

均加1,其余项不变，得到的数列记作刀⑷；将看(⑷的第作人，修，吗项均加1，其余项不变,得到数列记

作31(4);……；以此类推，得到北…心工(/)，简记为。(⑷.

⑴给定数列41，3,2,4,6,3,1,9和序列。:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),写出0(4)；

(2)是否存在序列。，使得。(4)为％+2,g+6,%+4,%+2,%+8,必+2,%+4%+4,若存在，写出一个符

合条件的。；若不存在，请说明理由；

(3)若数列A的各项均为正整数，且％+%+%+%为偶数，求证：“存在序列。，使得。(⑷的各项都相等”

的充要条件为“%+。2=%+%=%+&=%+4''.

【典例2-2】(2024•全国•高考真题)设”为正整数，数列为,电，…,Q,”+2是公差不为0的等差数列，若从中

删去两项a,和4(i<j)后剩余的4m项可被平均分为机组，且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列

%,%•••,。4m+2是I,/)-可分数列.

⑴写出所有的亿力，1口<八6,使数列为，电，…，。6是(，，/)-可分数列；

⑵当加23时，证明：数列％,电，…,。4,“+2是(2,13)-可分数列；

⑶从1,2,...,4加+2中一次任取两个数i和加</),记数列4,出，…,。4,“+2是亿/)-可分数列的概率为£“，证

明：己

O

【变式2-1](2023•北京・高考真题)已知数列{%},也}的项数均为加(加>2),且a“也e{1,2,…,刈,

{%},{4}的前〃项和分别为4,纥，并规定4=稣=°.对于上e{0』,2,…,叫，定义

〃=max{il4.V4，ie{01,2,一、M},其中，maxM表示数集M中最大的数.

(1)若％=2,g=1，%=3,々=1也=3也=3,求外,4,4的值;

(2)若％且2。4*1+5_],/=1,2,…，刃一1,,求小

(3)证明：存在0,4,5,/€{0,1,2「-,加},满足0>4,s>t,使得4+瓦=4+4.

【变式2-2]（2022•北京•高考真题）已知。吗,电，…，巳为有穷整数数列•给定正整数小，若对任意的

a

"e｛l,2,…,加｝,在0中存在%4+1，i+2，…，4•+j（72°）,使得%+aM+ai+2+••-+ai+J=n,则称0为加-连续

可表数列.

⑴判断0：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

⑵若。:％,出,…，应为8-连续可表数列，求证：左的最小值为4；

（3）若。:%,电，…，应为20-连续可表数列，且％+出+…+的<20,求证：k>7.

【变式2-3]（2021•北京•高考真题）设〃为实数.若无穷数列｛%｝满足如下三个性质，则称｛0“｝为%.

数列：

①q+p》0,>a2+p=0；

②%<%”,（"=1,2,…）；

③%+”e｛a.+a”+P，a.+a“+P+l｝，（加，"=1,2,…）.

（1）如果数列｛%｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛%｝是否可能为况2数列？说明理由；

（2）若数列｛““｝是况。数列，求为;

（3）设数列｛%｝的前〃项和为是否存在况。数列｛。“｝,使得S2凡恒成立？如果存在，求出所有的p；

如果不存在，说明理由.

题型三：数列定义新概念

【典例3-1](2024•广东•模拟预测)定义：任取数列｛与｝中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1,

则称数列｛2｝具有“性质1”.已知项数为〃的数列｛%｝的所有项的和为河"，且数列｛七｝具有“性质1”.

(1)若〃=4,且q=0,%=T,写出所有可能的的值；

(2)若%=2024,n=2023,证明：=2"是“欲＞%(左=L2,…,2022)”的充要条件；

⑶若％=0,"22,%=0，证明：〃=4加或"=4m+1(加eN*).

【典例3-2】对任意正整数〃，定义〃的丰度指数/(〃)=亚，其中S(〃)为〃的所有正因数的和.

n

(1)求/⑻的值:

(2)若。“=/(2”)，求数列｛加，的前〃项和「

⑶对互不相等的质数。，私"，证明：/(p加〃)=/(/)“m”⑺，并求1(2024)的值.

【变式3-1](2024•重庆•模拟预测)对于数列｛%｝,定义eN*),满足

ax^a2=l,A(Aa„)=m(meR),记/(九”)=q加+电/+…+%”'，称/(肛〃)为由数列｛%｝生成的“加-函

数”.

⑴试写出“2-函数”f(2,n),并求"2,3)的值;

(2)若“1-函数”/(1,«)<15,求〃的最大值：

(3)记函数S(x)=x+2f+…其导函数为S'(x),证明：“m-函数”

加23717，

=——S\m）----S（加）+（加+1）£m.

22；=i

【变式3-2](2024•甘肃张掖•模拟预测)定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形

成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充，，后得到

数歹收,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,43,5,2,7,5,8,3.设数列Ac经过〃次“和扩充”后得到的数列

的项数为匕，所有项的和为色.

(1)若4=2,6=3,0=4,求心,S2;

(2)求不等式勺22024的解集；

(3)是否存在数列。，瓦c(a,瓦ceR),使得数列｛S“｝为等比数列？请说明理由.

题型四：数列定义新运算

【典例4-1】（2024•吉林长春•模拟预测）记集合S=｛｛a,｝|无穷数列｛七｝中存在有限项不为零，〃eN*

对任意｛%｝eS,设9（｛%｝）=%+呼+…+%x"T+…,xeR.定义运算◎若｛%｝,｛，｝eS,则

｛%｝®也｝eS，且0（｛%｝*也｝）=0（｛。"｝）3（也｝）.

⑴设｛%｝到4｝=｛♦“｝,用％,%，。3力也，4表示4；

（2）若｛%｝,但｝,｛cJeS,证明：（｛4｝*也｝）到qj=｛*®（也髭匕｝）：

l〃+i『+i<<[m203-n<<

⑶若数列｛%,｝满足%=*〃（〃+1）」-"一10°,数列｛，｝满足6.=,⑴」-"-500,设

0,〃>100[0,n>500

｛4｝⑤也｝=｛4｝，证明：&（»<；•

【典例4-2】（2024•浙江杭州•三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应

用.一般地，对无穷数列｛%｝,但｝,定义无穷数列c“=£＞也+_（〃eN+）,记作｛叫*也｝=｛%｝,称为

k=\

｛%｝与也,｝的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即｛%｝中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对

角线上元素的和，易知有交换律｛叫*也｝=也｝*｛叫.

⑵对ieN+，定义［｛%｝如下：①当i=l时，北｛%｝=｛%｝；②当此2时，北｛叫为满足通项

0,H<Z

dn=的数列｛Z｝,即将｛%｝的每一项向后平移-1项，前项都取为0.试找到数列收）｝

2i

使得{4>{%}=1{叫;

(3)若双=〃,{4}*{4}={&},证明：当"23时,"=c"-2%+*.

【变式4-1］（2024•山东青岛•一模）记集合S=｛｛%｝|无穷数列｛七｝中存在有限项不为零，〃eN*｝,对

任意｛七｝eS,设变换/（｛%｝）=%+研+…+%无"~+…，xeR.定义运算&若｛%｝,也｝eS,贝|

｛%应也｝eS,/（｛叫凶也｝）=/（｛叫）./（｛2｝）.

⑴若{。"}®{4}={叫}，用(，%，。3，。4,61也也也表示加4；

(2)证明:({%}⑥也})到。,}={凡}旗也}到。,})；

(«+1)2+1『1丫眸"

...---...-,1<n<100—,1<??<500(7)())r口71

⑶右％=jH(«+1)，，{4}={%}叫a},证明:d2M<~.

0,«>100[o,77>500-

【变式4-2］任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上

述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称

“角谷猜想”）.如取正整数％=6,根据上述运算法则得出6-3->10-»5-16->8-4->2-1,共需经过

8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列｛。“｝满足：ax=m（m

2当a为偶数时

为正整数），。用=2'"'当〃?=3时，a1+a2+a3+---+a60=（）

3%+1,当丁为奇数时

A.170B.168C.130D.172

题型五：数列定义新情景

【典例5-1]（多选题）（2024•山东青岛•三模）若有穷整数数列4：%,电，-%（力23）满足：

a/+1-a,.e｛-l,2｝（i=l,2,且％=%=0,则称4具有性质乙则（）

A.存在具有性质7的4

B.存在具有性质7的4

C.若4o具有性质T,则4,电，…,。9中至少有两项相同

D.存在正整数左，使得对任意具有性质T的4,有色，出，…,中任意两项均不相同

【典例5-2]（2024•河南•二模）已知无穷数列｛6｝是首项为1,各项均为正整数的递增数列，集合

^=｛^eN*|t?„<^<a„+1,weN*）,若对于集合A中的元素左，数列｛%｝中存在不相同的项4,%…，气，使

得«„+«,+■••+q=k,则称数列｛a,｝具有性质N㈤，记集合8=｛用数列｛叫具有性质N㈤｝.

（1）若数列｛七｝的通项公式为。“=〃+6；>4，判断数列｛%｝是否具有性质N优），若具有，写出集合A与

集合8；

（2）已知数列｛2｝具有性质N伍）且集合A中的最小元素为人集合3中的最小元素为5,当时，证明：

t=s.

【变式5-1](2024•北京东城•二模)已知4:%,%，…，氏(〃？3)为有穷整数数列，若4满足：

aM-ai&{P,q\{i=1,2,-,n-\),其中P,9是两个给定的不同非零整数,且%=。“=0,则称4具有性质

T.

(1)若。=-1,q=2,那么是否存在具有性质T的人?若存在，写出一个这样的4；若不存在，请说明理

由；

⑵若尸=T,4=2,且4。具有性质7,求证：％,出，…,。9中必有两项相同；

(3)若p+q=l,求证：存在正整数左，使得对任意具有性质T的4,都有％,电，…,中任意两项均不相

同.

【变式5-2](2024•北京朝阳•一模)若有穷自然数数列A：q,的,一,。"("上2)满足如下两个性质，则称

A为纥数列:

(1)>max{a,+a2+ak_2ak_x+a[}(k,其中，11^*{再624一，4}表示玉,尤2「，，，怎，这5个

数中最大的数；

@ak<mm{al+ak_l,a2+ak_2,---,ak_1+al}+\(k=2,3,---,n),其中，minR,%,表示再汽,,这s

个数中最小的数.

(1)判断A：2,4,6,7,10是否为员数列，说明理由；

(2)右A：,。2,…，“6是线数列，且“1,。2，。3成等比数列，求必；

(3)证明：对任意纥数列A：%,%，…，%("22),存在实数小，使得/=[以"=1,2,…，〃).(国表示不超

过x的最大整数)

题型六：差分数列、对称数列

【典例6-1］（多选题）如果项数有限的数列｛叫满足%=%+皿=1,2…则称其为“对称数列”，设也｝

是项数为2左-1卜©2）的“对称数列”，其中与，bk+l,是首项为50,公差为-4的等差数列，贝IJ

（）

A.若左=12,则々=10B.若左=14,则也｝所有项的和为622

C.当k=13时，也｝所有项的和最大D.｛4｝所有项的和不可能为0

【典例6-2］若项数为"的数列｛%｝满足：1=1,2,3,…，可我们称其为"项的“对称数列”.例如：

数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列123,2,1为5项的“对称数列”.设数列忆｝为2无+1项的“对称数列”，

其中G。2“心华是公差为2的等差数列，数列｛%｝的最大项等于8,记数列｛%｝的前2左+1项和为若

$2）1+1=32,则尢=.

【变式6-1］（2024•四川南充•三模）对于数列｛%｝,规定为数列｛与｝的一阶差分，其中

M=%+「a"（"eN*）,规定A%“为数列｛%｝的左阶差分，其中公包=屋％「A"%（〃eN*）.若

.”"（ly则公&=（）

6

A.7B.9C.11D.13

【变式6-2］（2024•四川南充•三模）对于数列｛0“｝,规定为数列｛%｝的一阶差分，其中

M=an+l-an(neN*),规定Na“为数列{an}的阶上差分，其中A%=优eN)若

%」(〃一1)(21),则△4=()

6

A.7B.9C.11D.13

题型七：非典型新定义数列

/、

4142…ain

Qa•••ci

【典例7-1】（2024•黑龙江•模拟预测）已知〃行几列（〃>2）的数表4=；?2.;中，满足:

“1an2…a〃n.

%e{0,l},(z,)=1,2,….若数表A满足当ast=0时，总有X册+£与2〃,则称此数表A为典型数表,

Z=1j=l

此时记s.旬.

i=lj=\

0011

⑴若数表M=。01,N=[100,请直接写出M,N是否是典型数表；

,011J

'710oj

(2)当〃=8时，是否存在典型数表/使得晨=31,若存在，请写出一个数表/；若不存在，请说明理由;

(3)若数表/为典型数表，求S.的最小值(直接写出结果，不需要证明).

国1X12

【典例7-2](2024•辽宁葫芦岛•二模)设数阵X。=其中Xu,X]?,X]],X22e{1,2,3,4,5,6}.设^

'21'22

8={〃|,{L2,3,4,5,6},其中/<%<-<nk,左eN*且发46.定义变换为“对于数阵的每一列,

若其中有/或T,则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有1且没有T,则这一列中每个数都乘以T”

“8(工())表示“将万。经过旃|变换得到吊，再将X1经过V”变换得到*2,…，以此

类推，最后将X-经过〃改变换得到%.记数阵X*中四个数的和为々(X。).

⑴若8={2,5},写出X。经过河2变换后得到的数阵X，并求〃(X0)的值；

⑵若X°=(：T，B={ni,n2,n3},求。(X。)的所有可能取值的和；

(3)对任意确定的一个数阵X。，证明：心(4)的所有可能取值的和不大于-8.

【变式7-1】已知无穷数列｛%｝,给出以下定义：对于任意的〃eN*,都有a,+a“+222a”“，则称数列｛%｝

为“T数列”；特别地，对于任意的〃eN*,都有。"+七+2>2%,则称数列｛%｝为“严格T数列”.

(1)已知数列｛6｝,也｝的前〃项和分别为4，Bn,且%=2"-1,b“=-『,试判断数列｛/“｝,数列

｛4｝是否为“T数列”，并说明理由；

(2)证明：数列｛%｝为“T数歹广的充要条件是“对于任意的左，机，〃eN*,当左<加<〃时，有

(n-m)ak+[m-k^an>(n-k^am"；

(3)已知数列也｝为“严格T数列”,且对任意的〃eN*,"eZ,(=-8,%=-8.求数列｛4｝的最小项的

最大值.

【变式7-2](2024•山东泰安•模拟预测)已知数列｛2｝是斐波那契数列，其数值为：1,1,2,3,5,8,13,

21,34…….这一数列以如下递推的方法定义：%=1，%=1，。,+2=。用+。，(〃eN*).数列也｝对于确定的正

整数左，若存在正整数〃使得4+“=4+"成立，则称数列｛“｝为“左阶可分拆数列”.

(1)已知数列｛c」满足C"=%a,(“eN*,机eR).判断是否对V/neR,总存在确定的正整数左，使得数列上“｝

为“左阶可分拆数列”，并说明理由.

(2)设数列｛4｝的前〃项和为S“=y-a(fl>0),

(i)若数列｛4,｝为“1阶可分拆数列”，求出符合条件的实数。的值；

(ii)在⑴问的前提下，若数列｛<｝满足/=白，«eN\其前〃项和为证明：当〃eN*且“23时，

Tn<of+aI+a；+...+a~—a„a„+i+1成立.

过猛试

1.（2024•浙江绍兴•三模）设OWq<g<…<须<%oo<1，已知%+i2W99）,若

max｛%+i-a,｝2加恒成立，则机的取值范围为（）

A.m<—B.m<—

93

,2/

C.m<—D.m<—

39

2.（2024•上海•模拟预测）已知数列｛0“｝不是常数列，前〃项和为S”，且4>0.若对任意正整数“，存

在正整数机，使得|%-黑区4,则称｛七｝是“可控数列”.现给出两个命题：①存在等差数列｛七｝是“可控

数列”；②存在等比数列｛4｝是“可控数列”.则下列判断正确的是（）

A.①与②均为真命题B.①与②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

3.数列｛《｝的前〃项和为S“，若数列｛%｝与函数/（x）满足：①/'（x）的定义域为R；②数列｛%｝与函数

/（X）均单调增；③存在正整数"，使邑=〃与）成立，则称数列｛叫与函数具有“单调偶遇关系”.给

出下列两个命题：（）

①与数列伽+1｝具有“单调偶遇关系，，的函数有有限个；

②与数列｛2"｝具有"单调偶遇关系”的函数有无数个.

A.①②都是真命题B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题D.①②都是假命题

4.（多选题）（2024•湖南衡阳•模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价

格的变化来确保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数〃，使得对一

切正整数，，都有则称｛%｝为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷

大）的数列称为收敛数列，如数列g=工，显然对一切正整数〃都有而工的极限为0,即数列

nn

｛%｝既有界也收敛.如数列4=（-1）”,显然对一切正整数〃都有闻41,但不存在极限，即数列｛2｝有界但

不收敛.下列数列是有界数列但不收敛的数列有（）

A.an=sinl+—IB.an=coslHK+—I

.(兀)

4=2,a=3,%=&±sin几兀+——

c.2D.I2J

an-2an=------

n

a—a

5.（多选题）（2024•江苏南通•模拟预测）在数列｛《｝中，若对V〃eN*,都有2_向=。为常数）,

an+\~an

则称数列｛与｝为“等差比数列"，4为公差比，设数列｛。“｝的前〃项和是S,,,则下列说法一定正确的是（）

A.等差数列｛%｝是等差比数列

B.若等比数列｛七｝是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同

C.若数列｛SJ是等差比数列，则数列用｝是等比数列

D.若数列｛%｝是等比数列，则数列｛5｝等差比数列

6.（多选题）（2024•山东烟台•一模）给定数列｛%｝,定义差分运算：

公。"=。,+1-%，&&=公。,+1-公%,〃€1<\若数列｛。“｝满足4="2+",数列｛2｝的首项为1,且

M“=（〃+2）.2"T,〃eN*,则（）

A.存在M>0,使得恒成立

B.存在M>0,使得"。"〈河恒成立

C.对任意M>0,总存在〃eN*,使得，>〃

D.对任意M>0,总存在〃eN*,使得芋

7.（多选题）（2024•浙江•模拟预测）“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1,如果是

偶数就除以2,这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图If4-2-1.对任意正整数旬，按照上述

规则实施第〃次运算的结果为%（〃eN）,（）

A.当％=7时，则%]=5

B,当%=16时，数列｛。“｝单调递减

C.若%=1,且q=3,4）均不为1,则％=5

D.当g=10时，从％[=1,2,3,4,5,6）中任取两个数至少一个为奇数的概率为不

8.（2024•高三•河北保定•期中）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿

〃x“)

数歹『'在航空航天中应用广泛，若数列｛%｝满足则称数列｛%｝为牛顿数列•如果函数

x+2

2

f(x)=x-4,数列｛2｝为牛顿数列，设a〃=ln七p且4=1,x“>2.则。2必

Xn-Z

9.(2024•江西九江•模拟预测)著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”,

它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数/(X),若数列｛%｝满足兑+1，则称数列｛%｝为牛

f,M

顿数列，若函数/(x)=/,an=log2xn,且q=l,则。8=.

10.给定函数/(x),若数列伉｝满足”-务则称数列｛%｝为函数/(X)的牛顿数歹！J.已知｛Z｝

为〃%)=/-4的牛顿数列，且为=ln£1,q=l,x“>2("eN*),数列｛。“｝的前〃项和为九则

Xn~Z

11.将正整数"分解为两个正整数占、质的积，即〃=勺•右，当左、质两数差的绝对值最小时，我们称其

为最优分解.如20=1x20=2x10=4x5,其中4x5即为20的最优分解，当左、融是〃的最优分解时，定

义/(«)=。-可，则数列｛/(5")｝的前2024项的和为.

'a\2

ai3…

。21。22a23…a2n

•高三•甘肃兰州•开学考试)已知数表(〃)aa

12.(2024N",=。31。3233'..3n

n2…ann,

"11。121…如、C12C13,,%、

b??b23…b2nC21C22C23•,C2n

CC其中囹,4,%(

B（n,n）=Al，32。33…b3n，C（n,n）=3132033.•分别

Cn2Cn3,•Cnn）

也ibn2bn3…bnn,

表示/(〃,〃)，中第i行第/列的数.若5j+%2b2j+…+。也,则称是

/(〃〃)，8(",〃)的生成数表.若数表/(2,2)=。3(2,2)==JO,且c(2,2)是

142o

J5,

4(2,2),8(2,2)的生成数表，则C(2,2)=.

13.%,?,…%o是一个1,2,3,…，10的排列，要求和%+i一定有一个大于%(，=2,3,…,9),则

满足的排列的总数为.

14.(2024•北京通州•三模)若数列也,｝、匕“｝均为严格增数列，且对任意正整数小都存在正整数%,

使得'e[%,C"+J,则称数列也｝为数列｛%｝的““数列”.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，则下列结论中正

确的是.

①存在等差数列｛%｝,使得｛%｝是｛SJ的数列”

②存在等比数列也｝,使得缶"｝是岱“｝的数列”

③存在等差数列｛%｝,使得“,｝是｛%｝的数列”

④存在等比数列也｝,使得",｝是｛%｝的数列”

15.（2024•江苏扬州•模拟预测）对于有穷数列｛4｝,从数列｛%｝中选取第1项、第3项、…、第。项

（2<•••<"），顺次排列构成数列出｝,其中乙=%”左W机，则称新数列他｝为｛%｝的一个子列，称

抄*｝各项之和为｛七｝的一个子列和.规定：数列｛%｝的任意一项都是｛心｝的子列.则数列1,2,4,8,16,32的

所有子列和的和为.

16.（2024•高三•山东日照•期中）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就

将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著

名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数6,根据上述运算法则得出

6—3—10—5—16—8—4—2—1,共需要8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示为数列

—,a„=2k(keN.)

,2"+；.问：当机时，试确定使得。“=需

｛为｝满足：％=机（"？为正整数），an+1I=171

3an+1,an=2左+1(斤eN)

要步“雹程”；若。6=1，则机所有可能的取值所构成的集合为.

17.（2024•高三•北京朝阳•期末）中国传统数学中开方运算暗含着迭代法，清代数学家夏鸾翔在其著

作《少广缱凿》中用迭代法给出一个“开平方捷术”，用符号表示为：己知正实数N,取一正数％作为亚