2025届安徽省亳州市涡阳第四中学高三3月质量检测试题数学试题理试题

2025届安徽省亳州市涡阳第四中学高三3月质量检测试题数学试题理试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数，则下列说法正确的是（）A． B．C． D．2．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．3603．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4．函数的图象大致为()A． B．C． D．5．若x，y满足约束条件且的最大值为，则a的取值范围是（）A． B． C． D．6．已知（i为虚数单位，），则ab等于（）A．2 B．-2 C． D．7．若时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．8．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．29．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象的一条对称轴是，则的最小值为A． B． C． D．10．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（）A．8 B．16 C． D．11．为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）A．甲的数据分析素养优于乙 B．乙的数据分析素养优于数学建模素养C．甲的六大素养整体水平优于乙 D．甲的六大素养中数学运算最强12．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的解集是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设满足约束条件且的最小值为7，则＝_________.14．已知实数满约束条件，则的最大值为___________.15．已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．16．的展开式中的系数为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（Ⅰ）求在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值；（Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数．18．（12分）设函数，直线与函数图象相邻两交点的距离为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所对的边分别是，若点是函数图象的一个对称中心，且，求面积的最大值.19．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线（为参数）相交于M、N两点．（1）写出曲线C的一般方程；（2）求的最小值．20．（12分）已知奇函数的定义域为，且当时，.（1）求函数的解析式；（2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围.21．（12分）设函数（）的最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，证明：.22．（10分）已知函数f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范围；（Ⅱ）若a<0，对∀x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

利用不等式性质可判断，利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于实数，，不成立对于不成立．对于．利用对数函数单调递增性质，即可得出．对于指数函数单调递减性质，因此不成立．故选：．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．2、A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.3、B【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题4、A【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．5、A【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a的范围即可．【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为的最大值为，所以在点处取得最大值，则，即.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6、A【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．【详解】，，得，．．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．7、D【解析】

由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【详解】由题得对恒成立，令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，，又在单调递增，，的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.8、A【解析】

设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.9、C【解析】

将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数的图象的一条对称轴是，所以，即，所以，又，所以的最小值为．故选C．10、D【解析】

根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，则所以，四边形的内切圆面积为，则，解得，则，即故由基本不等式可得，即，当且仅当时等号成立.故焦距的最小值为.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.11、D【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A，甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分，故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；对于B，乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；对于C，甲的六大素养整体水平平均得分为，乙的六大素养整体水平均得分为，故C正确；对于D，甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；故选：D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.12、B【解析】

利用函数奇偶性可求得在时的解析式和，进而构造出不等式求得结果.【详解】为定义在上的奇函数，.当时，，，为奇函数，，由得：或；综上所述：若，则的解集为.故选：.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在处有意义时，的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解析】

根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为，对参数a分类讨论，当时显然不满足题意；当时，直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，再由最小值为7，得出结果；当时，的截距没有最小值，即z没有最小值；当时，的截距没有最大值，即z没有最小值，综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下：由，可得出交点，由可得，当时显然不满足题意；当即时，由可行域可知当直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；当即时，由可行域可知的截距没有最小值，即z没有最小值；当即时，根据可行域可知的截距没有最大值，即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为：3.【点睛】本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论.14、8【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移计算得到答案.【详解】根据约束条件，画出可行域，图中阴影部分为可行域.又目标函数表示直线在轴上的截距，由图可知当经过点时截距最大，故的最大值为8.故答案为：.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.15、【解析】

函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】函数恰有4个零点，等价于函数与函数的图象有四个不同的交点，画出函数图象如下图所示：由图象可知：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题，考查了数形结合思想和转化思想.16、80.【解析】

只需找到展开式中的项的系数即可.【详解】展开式的通项为，令，则，故的展开式中的系数为80.故答案为：80.【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在有3个零点．【解析】

（Ⅰ）求出导数，写出切线方程；（Ⅱ）二次求导，判断单调递减，结合零点存在性定理，判断即可；（Ⅲ），数形结合得出结论．【详解】解：（Ⅰ），，，故在点，处的切线方程为，即；（Ⅱ）证明：，，，故在递减，又，，由零点存在性定理，存在唯一一个零点，，当时，递增；当时，递减，故在只有唯一的一个极大值；（Ⅲ）函数在有3个零点．【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，考查零点存在性定理的应用，关键是能够通过导函数的单调性和零点存在定理确定导函数的零点个数，进而确定函数的单调性，属于难题．18、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函数，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数，根据点是函数图象的一个对称中心，代入可得，利用余弦定理、基本不等式的性质即可得出.【详解】(Ⅰ)的最大值为最小正周期为(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知，,故故的面积的最大值为.【点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.19、（1）；（2）．【解析】

（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN的参数方程，将参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程（是参数），可得，即曲线C的一般方程为．（2）直线MN的参数方程为（t为参数），将直线MN的参数方程代入曲线，得，整理得，设M，N对应的对数分别为，，则，当时，取得最小值为．【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.20、（1）；（2）【解析】

（1）根据奇函数定义，可知；令则，结合奇函数定义即可求得时的解析式，进而得函数的解析式；（2）根据零点定义，可得，由函数图像分析可知曲线与直线在第三象限必1个交点，因而需在第一象限有2个交点，将与联立，由判别式及两根之和大于0，即可求得的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，且，故；当时，，，则；故.（2）令，解得，画出函数关系如下图所示，要使曲线与直线有3个交点，则2个交点在第一象限，1个交点在第三象限，联立，化简可得，令，即，解得，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求解析式，分段函数图像画法，由函数零点个数求参数的取值范围应用，数形结合的应用，属于中档题.21、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.【详解】（1）解：当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取最小值.（2）证明：由（1）可知.要证明：，即证，因为，，为正实数，所以.当且仅当，即，，时取等号，所以.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和