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文档简介

山东省锦泽技工学校2025届三模数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象大致是()A. B.C. D.2.在边长为1的等边三角形中,点E是中点,点F是中点,则()A. B. C. D.3.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.4.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()A. B. C. D.6.已知向量,(其中为实数),则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.9.已知变量x,y间存在线性相关关系,其数据如下表,回归直线方程为,则表中数据m的值为()变量x0123变量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.510.()A. B. C. D.11.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,12.已知向量,,且与的夹角为,则()A. B.1 C.或1 D.或9二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.14.已知点是椭圆上一点,过点的一条直线与圆相交于两点,若存在点,使得,则椭圆的离心率取值范围为_________.15.如图,是圆的直径,弦的延长线相交于点垂直的延长线于点.求证:16.我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物,人出八,盈三;人出七,不足四.问人数、物价各几何?”设人数、物价分别为、,满足,则_____,_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数有两个极值点,.(1)求实数的取值范围;(2)证明:.18.(12分)设椭圆的右焦点为,过的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当直线的倾斜角为时,求线段AB的中点的横坐标;(2)设点A关于轴的对称点为C,求证:M,B,C三点共线;(3)设过点M的直线交椭圆于两点,若椭圆上存在点P,使得(其中O为坐标原点),求实数的取值范围.19.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?20.(12分)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参与问卷调查的100人的得分(满分:100分)数据,统计结果如表所示:组别男235151812女051010713(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”,请完成答题卡中的列联表,并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下,认为是否为“环保关注者”与性别有关?(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.①在我市所有“环保达人”中,随机抽取3人,求抽取的3人中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率;②为了鼓励市民关注环保,针对此次的调查制定了如下奖励方案:“环保达人”获得两次抽奖活动;其他参与的市民获得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表:红包金额(单位:元)1020概率现某市民要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加间卷调查获得的红包金额,求的分布列及数学期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和.22.(10分)如图所示,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面为正三角形,且面面,分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)(文科)求三棱锥的体积;(理科)求二面角的正切值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.2、C【解析】

根据平面向量基本定理,用来表示,然后利用数量积公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:点E是中点,点F是中点,所以又所以则故选:C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式,掌握公式,细心观察,属基础题.3、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.4、A【解析】

在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.5、C【解析】试题分析:通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知,只有选项C是符合要求的.考点:三视图6、A【解析】

结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由,则,所以;而当,则,解得或.所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.7、A【解析】

结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题8、B【解析】

设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.9、A【解析】

计算,代入回归方程可得.【详解】由题意,,∴,解得.故选:A.【点睛】本题考查线性回归直线方程,解题关键是掌握性质:线性回归直线一定过中心点.10、D【解析】

利用,根据诱导公式进行化简,可得,然后利用两角差的正弦定理,可得结果.【详解】由所以,所以原式所以原式故故选:D【点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式,关键在于掌握公式,属基础题.11、D【解析】

根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,

设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,

由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;

设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.12、C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式,求的值.【详解】解:由题意可得,求得,或,故选:C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得,交圆于点,所以,建立等式,两式作商即可得解.【详解】设,交圆于点,所以易知:即.故答案为:【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论,若能熟记常见二级结论,此题可以简化计算.14、【解析】

设,设出直线AB的参数方程,利用参数的几何意义可得,由题意得到,据此求得离心率的取值范围.【详解】设,直线AB的参数方程为,(为参数)代入圆,化简得:,,,,存在点,使得,,即,,,,故答案为:【点睛】本题主要考查了椭圆离心率取值范围的求解,考查直线、圆与椭圆的综合运用,考查直线参数方程的运用,属于中档题.15、证明见解析.【解析】试题分析:四点共圆,所以,又△∽△,所以,即,得证.试题解析:A.连接,因为为圆的直径,所以,又,则四点共圆,所以.又△∽△,所以,即,∴.16、【解析】

利用已知条件,通过求解方程组即可得到结果.【详解】设人数、物价分别为、,满足,解得,.故答案为:;.【点睛】本题考查函数与方程的应用,方程组的求解,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)先求得导函数,根据两个极值点可知有两个不等实根,构造函数,求得;讨论和两种情况,即可确定零点的情况,即可由零点的情况确定的取值范围;(2)根据极值点定义可知,,代入不等式化简变形后可知只需证明;构造函数,并求得,进而判断的单调区间,由题意可知,并设,构造函数,并求得,即可判断在内的单调性和最值,进而可得,即可由函数性质得,进而由单调性证明,即证明,从而证明原不等式成立.【详解】(1)函数则,因为存在两个极值点,,所以有两个不等实根.设,所以.①当时,,所以在上单调递增,至多有一个零点,不符合题意.②当时,令得,0减极小值增所以,即.又因为,,所以在区间和上各有一个零点,符合题意,综上,实数的取值范围为.(2)证明:由题意知,,所以,.要证明,只需证明,只需证明.因为,,所以.设,则,所以在上是增函数,在上是减函数.因为,不妨设,设,,则,当时,,,所以,所以在上是增函数,所以,所以,即.因为,所以,所以.因为,,且在上是减函数,所以,即,所以原命题成立,得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点,由导数证明不等式,构造函数法的综合应用,极值点偏移证明不等式成立的应用,是高考的常考点和热点,属于难题.18、(1)AB的中点的横坐标为;(2)证明见解析;(3)【解析】

设.(1)因为直线的倾斜角为,,所以直线AB的方程为,联立方程组,消去并整理,得,则,故线段AB的中点的横坐标为.(2)根据题意得点,若直线AB的斜率为0,则直线AB的方程为,A、C两点重合,显然M,B,C三点共线;若直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为,联立方程组,消去并整理得,则,设直线BM、CM的斜率分别为、,则,即=,即M,B,C三点共线.(3)根据题意,得直线GH的斜率存在,设该直线的方程为,设,联立方程组,消去并整理,得,由,整理得,又,所以,结合,得,当时,该直线为轴,即,此时椭圆上任意一点P都满足,此时符合题意;当时,由,得,代入椭圆C的方程,得,整理,得,再结合,得到,即,综上,得到实数的取值范围是.19、(1);(2)当BP为cm时,α+β取得最小值.【解析】

(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,根据得到,解得答案.(2)设BP=t,则,故,设,求导得到函数单调性,得到最值.【详解】(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,则,化简得,解之得,或(舍),(2)设BP=t,则,,设,,令f'(t)=0,因为,得,当时,f'(t)<0,f(t)是减函数;当时,f'(t)>0,f(t)是增函数,所以,当时,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因为恒成立,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因为y=tanx在上是增函数,所以当时,α+β取得最小值.【点睛】本题考查了三角恒等变换,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.20、(1)不能;(2)①;②分布列见解析,.【解析】

(1)根据题目所给的数据可求2×2列联表即可;计算K的观测值K2,对照题目中的表格,得出统计结论.(2)由相互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及数学期望E(X)即可;【详解】(1)由图中表格可得列联表如下:非“环保关注者”是“环保关注者”合计男104555女153045合计2575100将列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.(2)视频率为概率,用户为男“环保达人”的概率为.为女“环保达人”的概率为,①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为;②的取值为10,20,30,40.,,,,所以的分布列为10203040.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题,考查了概率分布列和期望,计算能力的应用问题,是中档题目.21、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)利用已知条件化简出,当时,,当时,再利用进行化简,得出,即可证明出为等差数列;(2)根据(1)中,求出数列的通项公式,再化简出,可直接求出的前100项和.【详解】解:(1)由题意知,即,①当时,由①式可得;又时,有,代入①式得,整理得,∴是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由

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