数学（新八省）（全解全析）-2025年高考数学二轮复习

2025年高考第二次模拟考试

高三数学(新八省通用)01•全解全析

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合幺=卜卜>-石},5={-1,-2,-3},则2口3=()

A.{-1}B.{-1,-2}C.{-3}D.{-1,-2,-3}

【答案】B

【解析】由-1>-石、-2>-V5,-3<-V5,故/Pl8={-1,-2}.故选：B.

2.)=2singx+gJ的最小正周期为()

A.RB.2nC.37rD.4it

【答案】D

__2兀_“

【解析】函数的最小正周期一丁一“兀，故选:D.

2

3.若z(l+2i)=3+4i,则同=()

A.2B.VsC.3D.5

【答案】B

【解析】因为同=忖=|爵卜普故选：B

4.已知向量5=(1,—1)£=(—1,2),贝！)(2万+司石二()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【解析】•."=(1,-1)石=(一1,2),/.25+6=(1,0),(25+6)-^=lx(-l)+0x2=-l,故选4

22

5.设双曲线=-5=1（。＞0）＞0）的一个顶点坐标为（-四,0）,焦距为2®,则双曲线的渐近线方程为

ab

（）

A.y=±4ixB.y=±2x

1万

C.y=±-xD.y=±—x

22

【答案】D

22

【解析】双曲线■-看=1中，半焦距为百，即'=百，

ab

又双曲线一个顶点坐标为（-行,0）,即0="2-4=J（6）2_加=6,解得6=1，

所以双曲线的渐近线方程为y=士咚x.故选：D.

6.已知一个圆锥的底面圆半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为胃的扇形，则该圆锥的体积为（）

【答案】D

【解析】设圆锥的母线长为/,高为力，则?=2兀，解得/=3,所以/7=6。=20,

所以圆锥的体积「」兀xFx20=3色.故选：D.

33

。71

7.在ZUBC中，若。2=(。-6y+6,且C=§,则ZUBC的面积为()

A.3^3B.也C.-D.芭

222

【答案】D

【解析】由/=(a—Z?)2+6=>a2+Z?2-c2=lab—6=2a6cosm=>ab=6,

^LS=-absinC=-x6x—=—,故选D

ABcC2222

8.已知a,bwR且仍wO,若(％-。)(*-6)(%-2。-6)20在》20上恒成立，贝1J()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>Q

【答案】C

［解析］由abw0得aw0,bw0,f^x^—^x-a^x—b^x—2a-b^—Q^>xi-a,x2—b,x3—2a+b

①若。>0,6>0,贝！）2Q+6>0,且2〃+6>Q,2a+b>b9

根据穿根法可知xe(a,2a+6)或xe(6,2a+6)时不符合题意，舍去；

②若。>。,6<0,要满足题意贝1|a=2a+6>6na+b=0,符合题意，如图所示;

③当a<0,b>0时，同理要满足题意需2cz+6=6>ana=0,与前提矛盾；

④当。<0,6<0,此时2a+6<0,则/(x)=(x-a)(x-6)(x-2a-6)的三个零点都是负数，由穿根法可知符

合题意；

综上可知满足(欠-4)(%-6)(》-2"6”0在,0恒成立时，只有6<0满足题意.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.以下绳结，拉伸两个端头绳子会打结的是()

【答案】ACD

【解析】绳子A的判断：对于绳子A,其缠绕方式使得在拉伸两个端头时，中间部分会因为绳子的交叉缠

绕而形成一个结；

绳子B的判断：绳子B在拉伸两个端头时，绳子可以顺利地被拉直，不会出现打结的情况，因为其缠绕方

式并没有形成闭环式的交叉；

绳子C的判断：绳子C的缠绕结构决定了在拉伸两个端头时会形成结，其交叉和缠绕使得在拉伸时必然会

有部分绳子形成闭环结；

绳子D的判断：绳子D在拉伸端头时，会因为其复杂的缠绕而形成结，绳子中间部分会收紧成结，故选

ACD.

10.已知抛物线C:/=4了的焦点为尸，。为坐标原点，点在抛物线。上，若|阪|=5,则()

A.尸的坐标为(1,0)B.%=4

C.|OM|=2V5D.S,OFM=2

【答案】BD

【解析】由抛物线C：，=4y,可得〃=2,所以]=1,且焦点在j轴正半轴上，

则焦点/(01)，所以A错误；

由抛物线的定义，可得|3卜为+1=5,解得％=4,所以B正确；

由%=4,可得君=16,所以%=±4,则|0叫==40,所以C不正确；

由S囱M=g|。斗同=2,所以D正确.

故选：BD.

H.词函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网

络的激活函数.记S'(x)为Sigmo/函数的导函数，则()

A.S[x)=S(x)[l-S(x)]B.Sigvzo词函数是单调减函数

C.函数岸(力的最大值是]D.Z[S(A)+S(-L)]=2023

4k=0

【答案】ACD

【解析】由函数S(X)=T■二求导得：S，(x)=〃、，

对于A,S(x)[l-S(x)]=丁J•”/J]=—K=S〈X),A正确；

L」1+e1+e(1+ex)

e-x

对于B,VXGR,SG)=(]+e-xy〉0,则与g而。2函数是单调增函数，B不正确；

X

Q~][I

对于c,SG)=TH=已不3/),当且仅当e、=e，即x=0时取“=”，C正

l+2e77+ee+e+22\e-e+24

确；

110X12022

对于D,因S(x)+S(-x)=—=贝!JZ[S,)+S(-A)]=2O23,D正确.故选ACD

1+ex1+e"l+eA1+e"k=o

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若〃x)=4>贝i]/(k>g23)=.

【答案】9

【解析】由〃司=4)可得/(log?3)=4脸3=02)啕3=2?%3=2喻9=9.

13.在某次国际商贸交流会展期间，举办城市为了提升安保级别，在平时正常安保的基础上再将甲、乙等6

名特警人员分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，若每个特警只能分配去1个路口且每个路口至少

安排1名特警，则甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是.

【答案】《

「2r2

【解析】6名特警分配到展区附近的4个不同的路口进行执勤，不同安排方法数为(C：+、)A：,

A?

甲乙安排在同一路口，视甲乙为一个人，5个人安排到4个路口的安排数为C；A"

102

因此甲和乙安排在同一个路口执勤的概率是c|2G)A4

65

A：

211

所以甲和乙不安排在同一个路口执勤的概率是1-石=行.

<0,

14.已知函数g(x)=a—x2—2x,〃)=,、、八且函数>=段)一x恰有3个不同的零点，则实数a的取

g(x-l),x>0,'

值范围是

【答案】卜1,0)

a-x2-2x,x<0，/、a-x2-3x,x<0

【解析】由/(》)=--+1,々。得："X)T=

a-x-x+l,x>0

一丫2—3YX<0

可得/(x)—x=〃+2、八，所以J=/(x)—x有三个零点等价于

—x—x+l,x20

x2+3x,x<0人一一一—

y=a^yf+1心。有三个不同交点.

x2+3x,x<0

令h(x)=

x2+x-\,x>O'

画出的图象如图所示，将水平直线y=a从上向下平移，当。=0时，有两个交点，再向下平移，有

三个交点，当。=一1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此ae[T,O).

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(本小题满分13分)“一带一路”是促进各国共同发展，实现共同繁荣的合作共嬴之路.为了了解我国

与某国在“一带一路”合作中两国的贸易量情况，随机抽查了100天进口贸易量与出口贸易量(单位：亿元

人民币/天)，整理数据得下表:

出口贸易量

进口贸易量[0,50](50,100](100,150]

[0,50]32184

(50,100]6812

(100,150]3710

(1)用频率估计概率，试估计事件“我国与该国贸易中，一天的进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人

民币''的概率.

(2)根据所给数据，完成下面的2x2列联表.

出口贸易量

进口贸易量[0,100](100,150]

[0,100]

(100,150]

(3)依据a=0.01的独立性检验，能否认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量有关?

附：________

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【解】(1)解：由题表中的信息可知,

在这100天中，进口贸易量与出口贸易量均不超过100亿元人民币的天数为32+18+6+8=64,

用频率估计概率，可得所求概率「=需=11

(2)列出2x2列联表如下:

出口贸易量

进口贸易量(100,150]

[0,100]

[0,100]6416

(100,150]1010

(3)零假设为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易量无关.

由⑵得100x(64x10-16xl0『

«7.484>6.635=x>

80x20x74x26001

所以依据a=0.01的独立性检验，推断〃。不成立，即认为我国与该国贸易中一天的进口贸易量与出口贸易

量有关

16.(本小题满分15分)已知在正项数列｛%｝中，首项%=2,点4m在双曲线V-x?=1上，数列

也｝中，点电£)在直线y=-gx+l上，其中北是数列色｝的前〃项和.

(1)求数列｛2｝、也｝的通项公式；

(2)求使得|北-1|〈嬴成立〃的最小值；

(3)若的=。,也，求证：数列｛c“｝为递减数列.

【解】⑴点4(保向?)在双曲线」-支=1上,

%+「%=1,｛““｝是以2为首项，公差为1的等差数列,

■-a„=«+1；点电,北)在直线y=-gx+l上，

112

北=一54+1,当”=1时，7；=^1=--6!+!,.,•^1=-,

当〃22时，+；%,•.・bn=%-,

420,;.6./0,;.袅=；,

“t3

「•｛4｝是以(2为首项，公比为31的等比数列，.也=2?.

解得〃>6,成立"的最小值为7.

a

(3)c„~„'bn-——,

__2(〃+2)_2(〃+1)_-2(2〃+1)

c”+i3"+i3”3'"i<r

■-cn+l<c„,所以数列｛c,｝为递减数列.

17.(本小题满分15分)已知函数〃x)=axln(l+x)+x.

⑴求曲线”〃x)在点(0J(0))处的切线方程；

⑵若0是函数g(x)=e，-/(目的极小值点，求实数。的取值范围.

【解】(1)由〃x)=axln(l+x)+x,xe(-l,+oo),

y

则/''(x)=aln(x+l)+—+1,

所以/'(0)=1,即切线斜率为1,

又/(0)=0,则切点为(0,0),切线方程为y=x,

所以曲线尸/(x)在点(oj(o))处的切线方程为kx.

(2)根据题意得,g(x)=ex-oxln(x+l)-x,

贝!|g'(x)=eX_]_Qln(x+l)H----.

由0为g(x)的极小值点,可知g'(O)=O.

x

设力(x)=g'(x)=e"-l-Qln(x+l)+------,x>-1,

x+1

x+2

则〃(x)=e"，〃⑼=1-2a

(x+厅

(i)当aWO时，〃(x)>0,

所以g'(x)在(T+向上单调递增,又g'(o)=o,

所以当xe(-l,o)时,g<x)<0,g(x)单调递减；

当xe(O,+⑹时，g-(x)>0,g(x)单调递增，

所以0是g(x)的极小值点，符合题意.

(ii)当0<a<g时，设加(x)="(x),

贝!1加(x)=e+J吊>0,

(x+1)

,

所以“(x)在(-1,+8)上单调递增，/I(0)=l-2a>0,

1+2

-a^~2<l-^+l)^-Va<0;

-i+i)

所以存在国e(-1,0),使得〃'(xj=o,

所以当时，h'(x)<0,〃(x)单调递减,即g'(x)单调递减;

当xe(x],+co)时，〃(x)>0,%(无)单调递增，即g'(x)单调递增.

又g'(o)=o,

所以当xe(国,0)时,g,(x)<0,g(x)单调递减；

当x«0,+功时,g,(x)>0,g(x)单调递增,

所以0是g(x)的极小值点，符合题意.

(iii)当时，"(0)=0,且"(X)在(-1,+8)上单调递增，

所以当xe(-l,0)时，h'(x)<0,力卜)单调递减，即g'(x)单调递减；

当xe(0,+co)时，//(x)>0,单调递增，即g'(x)单调递增.

又g，(0)=0,所以g'(x)2g，(O)=O,g(x)单调递增，不符合题意.

(iv)当。>!■时，〃'(0)<0,“0)在(一1,+8)上单调递增，〃'(ln2")>e""-2a=0,

所以存在X2«01n2a),使得“仁)=0,

所以当x«Tx2)时,h'(x)<0,g'(x)单调递减，又g，(0)=0,

所以当xe(-l,0)时，g,(x)>0,g(x)单调递增；

当xe(0/2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以。是g(x)的极大值点，不符合题意.

综上，〃的取值范围是卜

18.(本小题满分17分)已知£,与分别为椭圆C:[+；=l(a>6>0)的左、右焦点，42分别为椭圆C的

左、右顶点，P(%o，y0)为椭圆。上的动点，过动点P(%o，yo)作椭圆。的切线•分别与直线》=一3和x=3相交于

2c两点，四边形488的对角线NC8。相交于点”，记动点M的轨迹为£.

(1)证明：椭圆C在尸点处的切线方程为茅+牛=1.

(2)求动点M的轨迹E的方程.

(3)过点N(2,0)作斜率不为0的直线/与£相交于点凡S,直线NR与BS的交点为Q,判断点。是否在定直

线上.

■V।.3]

94一’

【解】(1)证明：联立方程组

x2/

—+—=1

I94

,2、，2、"A，22

消去y整理得今+条■x2又江+区=1,

(J3o6ol794

d-4x+或=0,

即n-----

98199

整理得(XT。);。，解得X=X。，

所以直线茅+牛=1与椭圆]+]=1有且仅有一个交点尸(出,%)，

即切线方程为誓+#=1.

94

(2)解：由(1)中切线方程，令x=-3,得。卜3,经产)，

令x=3,得

I3%)

因为/(-3,0),所以直线/。：了=导风(》+3),①

因为8(3,0),所以直线M?：y=dq%(x-3),②

一加

由①X②得/=牛孝1一9).

-81%

因为宣+且.=1,得说=4一强=迎出，

9499

所以动点M的轨迹£的方程为3■+/=1(>30).

(3)解：设直线/的方程为一可+2,尺(阳,外),$(%2，%),

联立方程组匕2，得(疗+为/+45=0,

[x+9y=9,\)

—4加—54

贝!)%+%=—^^iy=­»所以必+%==加乂%・

m+92m+9n5

因为直线AR的方程为V=9(x+3),直线8S的方程为y=^-(x-3),

所以7^(X+3)=7^(X_3),所以一一^x=^-+^-,

演+3x?—3—3再+3)西+3%2—3

所以——匚卜=3^+口^

(my2-1myx+5)myx+5my2-1

15945

整理得（5%+%）x=6孙%-3弘+15%=万（必+%）-3%+15%=5乂+彳%，

且存在实数4使丽=彳而，沿即将△/£尸向上折起得到△尸斯，使得平面尸即1.平面2CDE凡如图2

所示.

(1)若AFLPD,设三棱锥P—2C。和四棱锥尸一AD斯的体积分别为匕，匕，求J；

(2)当点E的位置变化时，平面EP尸与平面3打'的夹角(锐角)的余弦值是否为定值，若是，求出该余弦

值，若不是，说明理由；

(3)若48=2,求四棱锥P-BDEF的外接球半径的最小值.

【解】(1)在图2中，取E尸中点O,5。中点M,连接OP,OM,以。为原点，OF、OM,。尸所在直线

分别为X、八z轴，建立空间直角坐标系，

设N8=4、OP=x,贝！l（W=2g-x,0F=

.♦.8(2,2石-苍0),尸[5，0,0),P(O,O,x),D(-2,2V3-x,0),

故丽=卜2,26一旃=]5一2,x—2.o],

,直线RF与PZ>垂直，PDBF=O,

二/-?x+8=O,解得x=£(舍)或X=A=¥^,

：.PO=1OM,：.AE=2ED,

图中点E在靠近点D的三等分点处.

SBDEE_‘BDEF=g.Jj__SRCD_9

二一二一§