2025版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第四节随机事件的概率学案理含解析新人教A版

PAGEPAGE4第四节随机事务的概率2024考纲考题考情1．事务(1)在条件S下，肯定会发生的事务，叫做相对于条件S的必定事务。(2)在条件S下，肯定不会发生的事务，叫做相对于条件S的不行能事务。(3)在条件S下，可能发生也可能不发生的事务，叫做相对于条件S的随机事务。2．概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，视察某一事务A是否发生，称n次试验中事务A发生的次数nA为事务A发生的频数，称事务A发生的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为事务A发生的频率。(2)对于给定的随机事务A，由于事务A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)。3．事务的关系与运算定义符号表示包含关系假如事务A发生，则事务B肯定发生，这时称事务B包含事务A(或称事务A包含于事务B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A，且A⊇B，那么称事务A与事务B相等A＝B并事务(和事务)若某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的并事务(或和事务)A∪B(或A＋B)续表定义符号表示交事务(积事务)若某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生，则称此事务为事务A与事务B的交事务(或积事务)A∩B(或AB)互斥事务若A∩B为不行能事务，那么称事务A与事务B互斥A∩B＝∅对立事务若A∩B为不行能事务，A∪B为必定事务，那么称事务A与事务B互为对立事务A∩B＝∅且A∪B＝U4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P≤1。(2)必定事务的概率P(E)＝1。(3)不行能事务的概率P(F)＝0。(4)概率的加法公式：假如事务A与事务B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。(5)对立事务的概率：若事务A与事务B互为对立事务，则A∪B为必定事务，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)。1．频率与概率频率是随机的，不同的试验，得到频率也可能不同，概率是频率的稳定值，反映了随机事务发生的可能性的大小。2．互斥与对立对立事务肯定互斥，但互斥事务不肯定对立。3．概率加法公式的留意点(1)要确定A，B互斥方可运用公式。(2)A，B为对立事务时并不肯定A与B发生的可能性相同，即P(A)＝P(B)可能不成立。一、走进教材1．(必修3P121练习T4)一个人打靶时连续射击两次，事务“至少有一次中靶”的互斥事务是()A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．只有一次中靶 D．两次都不中靶解析射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少有一次中靶的互斥事务是两次都不中靶。故选D。答案D2．(必修3P123A组T3改编)李老师在某高校连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成果分布：成果人数90分以上4280～89分17270～79分24060～69分8650～59分5250分以下8经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：________。(2)不及格(60分及以上为及格)的概率：________。解析(1)eq\f(42,600)＝0.07。(2)eq\f(52＋8,600)＝0.1。答案(1)0.07(2)0.1二、走近高考3．(2024·江苏高考)某爱好小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参与活动，则恰好选中2名女生的概率为________。解析记2名男生分别为A，B,3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种状况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种状况，故所求概率为eq\f(3,10)。答案eq\f(3,10)4．(2024·江苏高考)将一颗质地匀称的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________。解析本题为古典概型，基本领件共有36个，点数之和大于等于10的有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,6)，(6,5)，(6,4)，共计6个基本领件，故点数之和小于10的有30个基本领件，所求概率为eq\f(5,6)。答案eq\f(5,6)三、走出误区微提示：①求基本领件时出错；②确定对立事务时出错；③互斥事务判定出错。5．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)嬉戏，则平局的概率为________；甲赢的概率为________。解析设平局(用△表示)为事务A，甲赢(用⊙表示)为事务B，乙赢(用※表示)为事务C。简洁得到如图。平局含3个基本领件(图中的△)，P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)。甲赢含3个基本领件(图中的⊙)，P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)。答案eq\f(1,3)eq\f(1,3)6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事务A＝{抽到一等品}，事务B＝{抽到二等品}，事务C＝{抽到三等品}，且P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事务“抽到的不是一等品”的概率为________。解析因为“抽到的不是一等品”的对立事务是“抽到的是一等品”，且P(A)＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1－0.65＝0.35。答案0.357．已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8。现采纳随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率。先由计算器算出0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，因为射击4次，所以以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果。经随机模拟产生了20组随机数：57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为________。解析该射击运动员射击4次至少击中3次，考虑该事务的对立事务，故看这20组数据中每组数据含有0和1的个数多少，含有2个或2个以上的有5组数据，故所求概率为eq\f(15,20)＝0.75。答案0.75考点一随机事务关系的推断【例1】(1)把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，则事务A：“甲分得语文书”，事务B：“乙分得数学书”，事务C：“丙分得英语书”，则下列说法正确的是()A．A与B是不行能事务B．A＋B＋C是必定事务C．A与B不是互斥事务D．B与C既是互斥事务也是对立事务(2)一袋中装有5个大小形态完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事务“2个小球全是红球”的概率为eq\f(3,10)，则概率是eq\f(7,10)的事务是()A．恰有一个红球 B．两个小球都是白球C．至多有一个红球 D．至少有一个红球解析(1)“A，B，C”都是随机事务，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；“A，B”可能同时发生，故“A”与“B”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不对立，D项错误。故选C。(2)因为eq\f(7,10)＝1－eq\f(3,10)，所以概率是eq\f(7,10)的事务是“2个小球全是红球”的对立事务，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事务，即为“至多有一个红球”。答案(1)C(2)C互斥、对立事务的判别方法1．在一次试验中，不行能同时发生的两个事务为互斥事务。2．两个互斥事务，若有且仅有一个发生，则这两个事务为对立事务。提示：对立事务肯定是互斥事务。【变式训练】从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事务中，是对立事务的是()A．① B．②④C．③ D．①③解析从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种状况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数。其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种状况，它与两个都是偶数是对立事务。又①②④中的事务可以同时发生，不是对立事务。答案C考点二随机事务的频率与概率【例2】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类其次类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值。(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟变更投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变更。假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变更，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率削减0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50。故所求概率为eq\f(50,2000)＝0.025。(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372。故所求概率估计为1－eq\f(372,2000)＝0.814。(3)增加第五类电影的好评率，削减其次类电影的好评率。频率反映了一个随机事务出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事务发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事务概率的估计值。【变式训练】(2024·全国卷Ⅲ)某超市支配按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。依据往年销售阅历，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关。假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(20，25))，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购支配，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率。(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的全部可能值，并估计Y大于零的概率。解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6。(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100。所以，Y的全部可能值为900,300，－100。Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估计值为0.8。考点三互斥事务与对立事务【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示。一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%。(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率。(将频率视为概率)解(1)由已知得x＋30＝45,25＋y＋10＝55，所以x＝15，y＝20。该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分)。(2)记A为事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2，A3分别表示事务“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(15,100)＝eq\f(3,20)，P(A2)＝eq\f(30,100)＝eq\f(3,10)，P(A3)＝eq\f(25,100)＝eq\f(1,4)。因为A＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3是互斥事务，所以P(A)＝P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(3,20)＋eq\f(3,10)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,10)。故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10)。解：记A表示事务“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，则A的对立事务为“一位顾客一次购物的结算