数列的通项公式 （原卷版）

专题26数列的通项公式

【考点预测】

类型I观察法：

已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此

数列的一个通项.

类型II公式法：

若已知数列的前“项和S"与°”的关系，求数列｛&｝的通项°“可用公式a„=P'?

S「S…(心2)

构造两式作差求解.

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即生和%

合为一个表达，(要先分〃=1和〃22两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).

类型m累加法：

a„-a„_j=/(«-1)

形如=%+，(")型的递推数列(其中/(〃)是关于〃的函数)可构造：4一一2=/(«-2)

a2-cz；=/(I)

将上述外个式子两边分别相加，可得：an=/(n-l)+/(n-2)+.../(2)+/(I)+q,(附22)

①若/(〃)是关于〃的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；

②若/(〃)是关于w的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；

③若75)是关于〃的二次函数，累加后可分组求和；

④若/(〃)是关于〃的分式函数，累加后可裂项求和.

类型IV累乘法：

形如«„+1=a“.于伽)/(〃)型的递推数列(其中/(〃)是关于"的函数)可构造：<

将上述丐个式子两边分别相乘，可得：an=/(n-l)-/(n-2)-...-/(2)/(l)a1,(n>2)

有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.

类型V构造数列法：

(一)形如“用=pa“+q(其中均为常数且p/0)型的递推式：

(1)若p=l时，数列｛七｝为等差数列;

（2）若q=0时，数列｛%｝为等比数列；

（3）若pwl且q*0时，数列｛%｝为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方

法有如下两种：

法一：设+2=p（a»+几），展开移项整理得%+i=°口,+（p-l）X,与题设%+[=+q比较系数

（待定系数法）得彳=q,（p.0）na“+]H——=p｛anH——）H——=p（a”_、H——）,即

p-1p-1p-1p-1p-1

构成以q+」_为首项，以0为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出

IPTP-1

[计六]的通项整理可得%.

法二：由an+l=pan+q得an=pan_x+q（n22）两式相减并整理得—~—=p,即｛an+1-a\构成以

an-an-i

w-q为首项，以0为公比的等比数列.求出｛。小-%｝的通项再转化为类型III（累加法）便可求出见.

（二）形如an+l=pan+/（«）（p^l）型的递推式：

（1）当/伽）为一次函数类型（即等差数列）时：

法一：设a“+A“+B=p[a,T++,通过待定系数法确定A、B的值，转化成以q+A+B为

首项,以4：=-^―为公比的等比数列｛«„+An+B｝,再利用等比数列的通项公式求出｛«„+An+同的

[n—my.

通项整理可得

法二：当了（〃）的公差为d时，由递推式得：an+1=pan+f（n）,4=pa'」+/（〃-1）两式相减得：

册+i一册=P（an一册-J+d,令。〃=狐+1-4得:2=加*+。转化为类型V㈠求出bn,再用类型HI（累加

法）便可求出％.

（2）当/（〃）为指数函数类型（即等比数列）时：

法一：设%+4/（〃）=〃[册_]+4/（九-1）],通过待定系数法确定X的值，转化成以4+4/⑴为首项，

以M=（1加）!为公比的等比数列｛%+2/5）｝，再利用等比数列的通项公式求出｛%+2/（“）｝的通项整理

可得a”.

法二：当/'（w）的公比为q时，由递推式得：an+l=pan+f（n）----①，an=pan^+f（n-V）,两边同时

乘以夕得。=+行（〃一1）----②,由①②两式相减得。用一=P（%-或*）,即&1~丝i=p,在

氏一的一1

转化为类型V㈠便可求出a..

法三：递推公式为%+i=p“,+q”（其中p,q均为常数）或a“+i=pa,+rq"（其中p,q,r均为常数）

时，要先在原递推公式两边同时除以0加，得：4="."+工，引入辅助数列也J（其中勿="），得:

q"qq"q矿

再应用类型V㈠的方法解决.

qq

（3）当/（〃）为任意数列时，可用通法：

在口用=网“+/（〃）两边同时除以可得到%=3+噜，令&=*则%=2+坐，在转

ppppP

化为类型m（累加法），求出bn之后得an=p"b,.

类型VI对数变换法：

q

形如见+1=pa（p>O,an>0）型的递推式：

在原递推式a.+i两边取对数得lga“+i=〃lga“+lgp,令b,=lga,得:bn+i=qbn+1g/?,化归为

%=p%+q型,求出a之后得%=10%.（注意：底数不一定要取10,可根据题意选择）.

类型vn倒数变换法：

形如%%=P。〃一"（夕为常数且pwO）的递推式：两边同除于％_丹，转化为工=」一+p形式,

册%

化归为Q〃+i=+q型求出」■的表达式，再求

册

还有形如4+i=—吧」的递推式，也可采用取倒数方法转化成二一='，+'形式，化归为

pa〃+q。〃+1qanP

〃〃+1=pa〃+4型求出工的表达式，再求。〃.

an

类型VDI形如an+2=P%+qan型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列｛%-4-｝的形式求解.方法为：设%+2-3用=〃（“用-3”），比较系数

得h+k=p,-hk=q,可解得力、4,于是｛4十L切,｝是公比为小的等比数列,这样就化归为。川=：+g型.

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，

可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式a,,.

【题型归纳目录】

题型一：观察法

题型二：叠加法

题型三：叠乘法

题型四：待定系数法

题型五：同除以指数

题型六：取倒数法

题型七：取对数法

题型八：已知通项公式a„与前n项的和S„关系求通项问题

题型九：周期数列

题型十：前〃项积型

题型十一：“和”型求通项

题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型

题型十三：因式分解型求通项

题型十四：其他几类特殊数列求通项

题型十五：双数列问题

题型十六：通过递推关系求通项

【典例例题】

题型一：观察法

例1.（2022・山东聊城•高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻

两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2；

第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2,……，则第5行从左数起第6个数的值为.用4

表示第"行所有项的乘积，若数列｛耳｝满足纥=bg24，则数列｛里｝的通项公式为.

例2.（2022.河南商丘.高三阶段练习（理））将数列｛21与｛3〃+1｝的公共项从小到大排列得到数列｛q｝,

则其通项%=

例3.(2022•云南・昆明一中高三阶段练习(文))2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属

的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！(如图一)，如图

二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把

每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程,

就得到一个“雪花'’状的图案.设原正三角形(图①)的边长为3,把图二中的①，②，③，④，……图形

的周长依次记为4,出，%，%，…，得到数列｛%｝.

图一图二

(1)直接写出电，阳的值;

(2)求数列｛4｝的通项公式.

例4.(2022•宁夏六盘山高级中学高二阶段练习(文))一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②,

③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的

个数构成的数列记为｛〃“｝.

①②③④

⑴写出〃2，。3，。5的值；

⑵猜想数列｛4｝的表达式，并写出推导过程；

2222

(3)求证：----f+-------+-------++-------<l(n>2).

例5.(2022.安徽.合肥市第六中学高二期末)如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴,

,设第〃个图形需要应根火柴.

]]…………・[

123.......n

(1)试写出。4,并求％；

（2）记前〃个图形所需的火柴总根数为S,，谡b“=S"+；,求数列，的前w项和T“.

例6.（2022・全国•高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,10等数称为三角形数，因为这些

数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列

｛%｝,写出生,。6以及巴.

例7.（2022・全国•高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的

一个通项公式：

（1）1,3,7,,31,,127；

（2）2,5,,17,26,,50；

（）万‘一"----‘一记‘32'------'128；

（4）1,0,,2,小,,布.

例8.（2022.广东.广州市培正中学三模）设｛%｝是集合｛2'+2"0s<f且，"eZ｝中所有的数从小到大排

列成的数列，即6=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,....将｛a“｝各项按照上小下大、左小右

大的原则写成如下的三角形数表.

3

56

91012

（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；

（2）设出“｝是该三角形数表第"行的”个数之和所构成的数列，写出｛么｝的通项公式;

（3）求/。。的值.

【方法技巧与总结】

观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察

法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(-1)”或者(-1)7部分.②考虑各项的

变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方｛/｝、｛2"｝与

(-1)"有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.

题型二：叠加法

例9.(2022•全国•高三专题练习)已知％=。，an+l=an+2n-l,求通项%=.

例10.(2022•内蒙古・乌兰浩特一中模拟预测(文))已知数列｛qj满足%则求

例11.(2022.全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足%=2,a用-2=%+2”(〃eN*),则数列-的前

ln

2022项的和为.

例12.(2022.全国•高三专题练习)数列｛叫中，卬=1,凡+1=%+/一，则％=.

n+n

例13.(2022・湖北•华中师大一附中模拟预测)在数列｛见｝中，已知4=L%=弋7，P>0,MN*.

pm1n+1

⑴若。=1,求数列=.｝的通项公式;

⑵记若在数列｛2｝中，b“4bgwN*),求实数〃的取值范围.

【方法技巧与总结】

数列有形如%+i=。“+/(")的递推公式，且/(1)+/(2)+…+/(〃)的和可求，则变形为，

利用叠加法求和

题型三：叠乘法

例14.(2022•浙江浙江.二模)已知等差数列｛%｝的前，项和为S“，满足%=6,S4=20.数列也｝满足

加一2代+1)

伉=1,

b„("+1)2+1

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式;

(2)设数列｛%｝满足的=1[,〃eN*,记数列｛g｝的前〃项和为T“，若(2瞿，求〃的最小值.

112

例15.(2022•全国•高三专题练习(理))已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足邑=(〃+1)22-3,«eN+.

⑴求｛。“｝的通项公式；

⑵若〃=（2〃+3）（-1）"见，求也｝的前w项和加

例16.（2022•全国•高三专题练习）在数列｛%｝中，4=1，氏=[-£]。,_|（论2）,求数列｛。〃｝的通项公式.

例17.（2022・全国•高三专题练习）记S,为数列｛%｝的前〃项和，己知q=1,1F'是公差为;的等差数列.

（1）求｛4｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—+•••+一＜2.

a

%〃2n

例18.（2022•福建南平•三模）已知数列｛4｝满足%=1,—=—.

an〃

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若色｝满足b2n=2an-24,b2n_t=-22.设S,,为数列色｝的前〃项和，求邑。.

例19.（2022・全国•高三专题练习）数列｛《｝满足：q=g,（2"+2-1”用=（2向一2）a”（〃wN）则｛4｝的

通项公式为.

例20.（2022・山西太原•二模（理））已知数列｛%｝的首项为1,前"项和为S"，且:%M=（〃+2）S“，则数

列数列0*包的前n项和Tn=.

例21.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的首项为1,前〃项和为%且必用=（力+2电，则数列

｛a,,｝的通项公式为=.

例22.（2022•全国•高三专题练习）数列｛4｝中，q=1,当"22时，an=Tan_x,则数列｛%｝的通项公式

为.

，、1nf11T1

例23・（2022.全国.模拟预测）在数列n｝中，4="风+L而⑵％，若＜=京+初+L+E；

且对任意“eN*,12九2"+4恒成立，则实数4的取值范围是（）

1

A.(-8,—1]B.—00,----

2

C.D.[l,+oo)

【方法技巧与总结】

数列有形如为=/（〃）•4_］的递推公式，且"1）・/（2）.…"⑺的积可求，则将递推公式变形为

0-=/（〃），利用叠乘法求出通项公式

题型四：待定系数法

例24.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛〃〃｝满足：4=1,。2=4,4%-3。〃-。计2=0,设

,1

么二REk可"WN*.则耳+&+…+%22=---------------.

例25.（2022・四川宜宾・二模（理））在数列｛〃“｝中，％=1,%=；，且满足）（心2）,

贝1H=.

己知数列｛%｝中，e=1，“向=：--1"，若则数列圾｝的前

例26.（2022・全国•高三专题练习）

2ana._2

〃项和S“=.

例27.（2022.全国•高三专题练习）已知数列的递推公式4+1=-^,且首项4=5,求数列｛%｝的通项

公式.

2

例28.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝满足：％=2,«„=——（"22）,求数列｛%｝的通项公

1+an-\

式.

4。-2

例29.（2022・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，4=3,。“=",求｛q｝的通项.

an-\+工

例30.（2022•全国•高三专题练习）已知q+L®21，%=1,求。0的通项公式.

4一〉

2a〃+3

例31.（2022•全国•高三专题练习）己知数列｛4｝的递推公式。用，且首项％=a（aw0）,求数列

an

｛%｝的通项公式.

例32.（2022・全国•高三专题练习）⑴已知数列｛%｝,其中q=1,2=2,且当府3时，%-2al+%<=1，

求通项公式册；

n

（2）数列｛4｝中，4=0,%=2,an+2-6an+l+5an=2,求a”.

例33.（2022•江苏•高三阶段练习）已知数列｛%｝满足%=3,a„+1=2a„-«+l,

（1）求数列｛%｝的通项公式；

an-n

（2）若数列｛g｝满足的=（2"+,（2角+1），求数列卜”｝的前〃项和T"

例34.（2022•全国•图三专题练习）数列｛4｝中，q=-1,«„+I=T—,求知的通项公式.

【方法技巧与总结】

形如。"+I=pa,+q（p，4为常数，pq#。且pwl）的递推式，可构造4+1+2=p（%+4）,转化为等

比数列求解.也可以与类比式%=pa,i+q作差，由%-q,=p&-%）,构造｛%+「％｝为等比数列，

然后利用叠加法求通项.

题型五：同除以指数

例35.（2022•河南•高三阶段练习（文））己知数列｛q｝的首项4=3,且满足。用=2凡+2向-1,

（1）设a=修，证明也J是等差数列；

（2）求数列的前〃项和S”.

例36.（2022.天津.二模）记S“是公差不为0的等差数列｛%｝的前〃项和，已知生+3%=既,4%=54,数列

色｝满足a=3'1+27（〃22,〃eN*）,且々=%-l.

（1）求｛q,｝的通项公式；

⑵证明数列［/+"是等比数列，并求也｝的通项公式；

"]3

(3)求证：对任意的〃EN*,

Z=I22

例37.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，％=3,%=3a“+2x3"+i,〃eN*,求数列｛%｝的通项

公式；

n

例38.（2022•全国•模拟预测）已知数列｛。"｝满足q=1,«„+1=4«„-2.

（1）求证：数列｛%｝是等比数列；

⑵求数列的前〃项和4.

【方法技巧与总结】

形如an+\=Pan+（pWO且pwl，dW1）的递推式，当p=d时，两边同除以转化为关于

的等差数列；当pwd时，两边人可以同除以d用得当■=£.&+',转化为6=4也+_L.

\dn\dn+lddnd"+1d"d

题型六：取倒数法

例39.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛■满足且％=/=，则数列%=

5（5几+10）4

例40.（2022・全国•高三专题练习）%+i

6+5〃+6)Q〃+5〃+15

120182019

A.------B.------D.

20192019c七2020

15y

例41.（2022•江苏南京•模拟预测）已知数列｛%｝满足4若''则二厂;若

%+i2〃+】q+l.

1

,则％=

2046

【方法技巧与总结】

对于an+[=-（即丰0）,取倒数得—="空=

b+canan+laanaana

当a=6时，数列,《，是等差数列；

当a#6时，令b“=L则63=幺2+£,可用待定系数法求解.

anaa

题型七：取对数法

例42.已知数列｛%｝的首项为9,且见=片］+2%］（"..2）,若勿=」—+」—，则数列电｝的前〃项和

3,+2an+｝

Sn=-----

例43.（2022•蚌埠三模）已知数列｛〃"｝满足“=」一,q+1=2用"，若勿=1吗册_2,则4功2•…・2的最大

256

值为—.

、VH+1

例44.（2022•全国•高三专题练习）已知数歹叫6｝满足q=1，制=^^—口，贝________

册2。“+4nan+n

【方法技巧与总结】

形如a.=ca：（c>0,4>0）的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.

题型八：已知通项公式4与前几项的和S"关系求通项问题

例45.（2022•全国•高三专题练习）已知正项数列｛。“｝的前〃项和S“满足：5“=2%-2,5右咻）.求数列｛%｝

的通项公式；

例46.（2022・全国•高三专题练习）已知正项数列｛%｝的前〃项和为S“，满足2S,=说+%-2.求数列｛4｝的

通项公式；

例47.（2022•江西九江•三模（理））已知数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足％=2,。用+4。“=35”+6.

⑴求凡;

“+2

（2）求数列―,~—的前〃项和.

例48.（2022•福建・福州三中高三阶段练习）已知数列｛为｝的前〃项和为S”,q=l,S“=@?%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

（2）若％=2"&,求数列｛么｝的前〃项和Tn.

例49.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛叫的前”项和为S,,4=4,g=8,J.S„+2-2S„+1+5„=4.

（1）求证：数列｛〃,｝是等差数列；

⑵若金，Sm,14a,同成等比数列，求正整数近

例50.(2022•青海・海东市第一中学模拟预测(理))设数列｛%｝的前〃项和为S“，Sn=2an+n-4.

⑴证明：数列1｝是等比数列.

I2〃]170

(2)若数列——的前，"项和图=片，求m的值.

[4%+J513

例51.(2022•青海・海东市第一中学模拟预测(文))已知正项数列｛%｝满足％+24+3%+…="+2〃,

且"=江+(〃+2)("1).

n+1n

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵求数列低｝的前”项和S”.

例52.(2022・全国•南京外国语学校模拟预测)已知数列｛%｝的前“项和为s",且s“=g”2+：〃+i,

〃£N*.

(1)求｛4｝的通项公式；

bbb13

⑵若数列｛2｝满足，+二+…+—^=5'3"+'-刁，〃wN*,求数列也｝的前”项和T”.

aa

2。3n+lL乙

例53.(2022・福建・三明一中模拟预测)设数列｛%｝的前〃项和为S,,,若q=1,5“=°用-1.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设bn=---,求数列也｝的前〃项和Tn.

an+l

2s

例54.(2022・全国•高三专题练习)记S“为数列｛%｝的前〃项和.己知y+〃=2a“+l.

n

⑴证明：｛%｝是等差数列;

(2)若4，%，。9成等比数列，求S0的最小值.

例55.(2022•福建•厦门一中模拟预测)已知数列3｝的前，项和%q=1,a„>0,anan+1=4Sn-l.

(1)计算的的值，求｛。“｝的通项公式；

⑵设bn=(-1)"%。用，求数列｛bn｝的前2n项和T2n.

例56.(2022•福建省福州第一中学三模)设数列｛0｝的前〃项和为工，4=0,%=1,

»5„+1-(2«+1)S„+(«+1电--1=0("..2).

(1)证明：｛4｝为等差数列；

(2)设么=2%,在或和之间插入“个数，使这〃+2个数构成公差为4的等差数列，求的前w项和.

(2022・全国•高三专题练习)已知数列｛叫满足4=2,。用=2⑸+“+1)(〃eN*),令b.=a“+l.

⑴求证：｛2｝是等比数列；

(2)记数列｛〃2｝的前”项和为T,,求T..

例57.(2022•全国二专题练习)已知数列｛玛｝的前"项和为S”，且有241+2&+23^-----2Ha„=n-2".

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设，(为数列也｝的前兀项和，证明：】<2.

anan+l

例58.(2022.江西.高三阶段练习(理))己知首项为1的数列｛4｝的前〃项和为且

nSn+i-(ji+2)5"=1n(n+1)(〃+2).

(1)求证：数列[善Til是等差数列；

(2)求数列｛%｝的通项公式；

(3)若数列｛b„｝满足*+bn=a2n,求证：(也以……bn<工.

n+1

例59.(2022•贵州•贵阳一中高三阶段练习(理))设数列｛4｝前"项和为S"，若%=1,

«1

2S：-2s“%+a“=0(n>2,neN*),则£3.

i=l

例60.(2022.四川.宜宾市叙州区第一中学校模拟预测(理))已知数列｛%｝满足1+与+与+…+嘉=2",

贝°Q]+出■1-------^~an=•

例61.(2022•全国•模拟预测(理))已知数列｛%｝的前〃项和为S“.若4=2,an+l=Sn,则/«,=()

A.297B.298C.2"D.2100

例62.（2022陕西省神木中学高一期末）已知数列｛%｝的前”项和为。用=凡+2用,％=2,则S“=

)

A.(H+1)-2HB.(〃+l)-2"TC.n-T-lD.n-T

例63.（2022•内蒙古・赤峰二中模拟预测（理））在数列｛%｝中,4=1，S,+i=4%+2,则Tog的值为()

A.757x22020B.757x22019C.757x22018D.无法确定

【方法技巧与总结】

对于给出关于a“与S”的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择.一个方向

是转化S”为a”的形式，手段是使用类比作差法，使=（〃22,neN*）,故得到数列｛6｝的相

关结论，这种方法适用于数列的前〃项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将氏转化为S“-Si

（«>2,neN*）,先考虑S,与S,-的关系式，继而得到数列｛S,,｝的相关结论，然后使用代入法或者其他

方法求解｛%｝的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前“项和的形式不够独立的情况.

简而言之，求解。,与S”的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化S）,的形式为应的形式,

适用于S”的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化a”的形式为S,的形式，适用于S“的形式不够

独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对〃的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步

骤后及时加注〃的范围.

题型九：周期数列

例64.（2022•河南安阳•模拟预测（理））己知数列｛q｝满足aj4+/q,+2=T（〃eN*）,q=-3,若｛q｝的前

力项积的最大值为3,则％的取值范围为（）

A.[―1,0）。（0,1]B.[—1,0）C.（0,1]D.（―co,—l）u（l,+oo）

例65.（2022•广东深圳•高三阶段练习）已知数列｛。"｝中,%=1,%=2,*=(-1)3%+2,则，=

U19

)

2

A.3BcD.

-15-H19

例66.（2022•海南省直辖县级单位•三模）已知数列｛4｝中，4=2,4=4,an+an+x+an+2=2则々2022=

)

A.4B.2C.-2D.-4

例67.（2022・江苏・扬州中学高三阶段练习）在数列｛%｝中，q=1,2+1+（-1）〃q=2,〃EN*,则%=

;｛%｝的前2022项和为

例68.（2022.上海静安•二模）数列｛6｝满足弓=2,电=4,若对于大于2的正整数"，an=—^—,

If1-%

贝I0102=-

例69.（2022.云南师大附中模拟预测（理））己知数列｛4｝的前几项和为S,,且％=：,。用=」」，则

a

2n

§2022=•

例70.（2022•重庆一中高三阶段练习）已知数列｛4｝满足：q=2,a„+i=—则%。22=__________.

1一4

例71.（2022•全国.模拟预测）在数列｛%｝中，4=1,为偶数，则4+出+4+…+出021=

3an+1,%为奇数

+1,4为奇数

例72.（2021•全国•高三专题练习（文））已知正整数数列｛%｝满足。加h畀为偶数，则当…时,

%021=------------------------------

【方法技巧与总结】

（1）周期数列型一：分式型

（2）周期数列型二：三阶递推型

（3）周期数列型三：乘积型

（4）周期数列型四：反解型

题型十：前“项积型

例73.（2022•徐州模拟）已知数列伍“｝的前〃项积为7；,若对V〃..2,weN*,都有工一=2（：成立,

且4=1,见=2，则数列伍」的前10项和为.

例74.（2022•重庆模拟）若数列｛a,,｝满足其前〃项的积为—,则为=

〃+1

例75.(2022•全国•高三专题练习)己知正项数列｛%｝的前项积为且满足%=neN*

37；-1

(1)求证：数列g1为等比数列;

(2)若4+g+…>1°，求"的最小值.

例76.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝中，Sn^a1+a2+...+an,Tn^SlxS2x...xSn,且S“+7；=l.

(1)求证：数列金，是等差数列;

(2)求证：对于任意的正整数”,北是。”与5“的等比中项.

例77.(2。22.全国.模拟预测)数列间满足［=1,含•云••…舟…

(1)求数列｛《｝的通项公式;

(2)数列4,「中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理

由.

例78.(2022.全国•高三专题练习(理))已知数列｛%｝前“项积为1，且%+7；=l("wN").

⑴求证：数列［占］为等差数列；

⑵设5“=邛+以+…+贫，求证：Sn>an+1-^.

【方法技巧与总结】

类比前”项和求通项过程：

(1)n=lJ得q

⑵〃22时，%=餐

题型H-一：“和”型求通项

例79.(2022秋•河南月考)若数列｛%｝满足吐+—=以左为常数)，则称数列｛g｝为等比和数列，左称

«„+i%

为公比和，已知数列｛4｝是以3为公比和的等比和数列，其中%=1,4=2,贝I。2Kl8=—•

例80.(2022秋•南明区校级月考)若数列｛%｝满足%+°用则S?”=—.

y/n+2+\/n

例81.(2022•青海西宁•二模(理))已知工为数列｛g｝的前“项和，4=1,(+］+2S“=2〃+l,则邑靖=

()

A.2020B.2021C.2022D.2024

例82.(2022.全国•高三专题练习)数列也｝满足qeZ,。用+%=2〃+3,且其前"项和为S”.若几=5，

则正整数机=()

A.99B.103C.107D.198

例83.(2022•黑龙江・哈师大附中高三阶段练习(理))已知数列｛%｝的前几项和为S“，若

S0+i+S“=2”2(〃eN*)，且a产0,aw=28,则％的值为

A.-8B.6C.-5D.4

例84.(2022•浙江省春晖中学模拟预测)已知数列｛%｝满足:a“+i+%=2"+7("eN*),且4=4.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

⑵已知数列也｝满足包=“0员产，〃22.〃eN*'定义使4.优也……d,eN*)为整数的女叫做“幸福数”,

求区间［1,2022］内所有“幸福数”的和.

例85.(2022.河南•方城第一高级中学模拟预测(理))已知数列｛2｝满足%=1,%+。同=477.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

4〃COST171

⑵设2=------------，，求数列｛"｝的前”项和工，并求£的最大值.

anan+\

【方法技巧与总结】

满足%+%=/("),称为“和”数列，常见如下几种：

(1)“和”常数型

(2)“和”等差型

(3)“和”二次型

(4)“和”换元型

题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型

例86.数歹!）｛“"｝满足。,+2+（-1）向。“=3〃-1,前16项和为540,则出=.

例87.（2022•夏津县校级开学）数列｛风｝满足a“+2+（T）%=3"l，前16项和为508,则％=.

例88.（2022秋•舒城县校级月考）已知数列｛风｝满足：。向+（-l）"a"=〃5eN*）,则数列仅“｝的前40项

和SM=-----

例89.（2022春•漳州期末）已知数列｛4｝满足4+1=（-1）"（4+〃）,则伍,｝的前40项和为.

例90.（2022秋•普陀区校级期末）已知数列｛%｝的首项e=2,且满足a,4+i=2"（"eN*）,则%。=.

例91.（2022•鼓楼区校级模拟）已知数列｛%｝中，«,=1,%+]=%+（-1）""（〃eN*）,则%。=—.

例92.（2022春•东安区校级期中）己知数列｛%｝满足：。向+（-1）%“=3〃-l,（〃eN*）,则｛g｝的前40项

的和为（）

A.860B.1240C.1830D.2420

例93.（2022.全国•高三专题练习）设数列｛q｝的前“项和为S）,，已知外=2,。“+2+（-1严。“=2,则$6。=

例94.（2022・辽宁・盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列｛q｝,满足且

1*

—a,n=2k—l.k£N,、

。用=2"'*，设S“是数列｛a“｝的前”项和，若邑必=1，则。的值为（）

2an,n=2k,kwN*

A.---B.---C.---D.1

303020201515