上海市浦东新区某中学2023-2024学年高二年级下册期中考试数学试卷（解析版）

上师大附中2023学年第二学期期中考试

高二年级数学学科

（考试时间：120分钟满分：150分）

一、填空题（第1〜6题，每小题4分，第7〜12题，每小题5分，共54分）

1.某读书会有5名成员，假期他们每个人阅读的本数分别如下：3,5,4,2,1,则这组数据的60%分位数

为.

【答案】3.5

【解析】

【分析】这组数从小到大排列顺序为：1,2,3,4,5,根据5x60%=3,结合百分数的定义，即可求解.

【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1,2,3,4,5,且5x60%=3,

3+4

可得这组数据的60%分位数为从小到大排列的第3个数和第4个数的平均数——=3.5.

2

故答案为:3.5.

2.已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为.

【答案】|

【解析】

【分析】设圆锥的母线长为/,底面半径为小圆锥的母线与其底面所成的角为。，根据面积关系可得

1

—=9即可得到答案；

2

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为小圆锥的母线与其底面所成的角为夕，

…1-7c?丁1

则一27r力=2•兀•俨n—=—，

2I2

cose=Lne=60,

2

故答案为：y

3.已知C3=C：+C：（〃eN*），则“=.

【答案】8

【解析】

【分析】根据组合数性质有C：+C：=C：M,再由C3=c3即可得解.

【详解】由组合数性质知，C：+C：=C",因为C"=C：+C：,所以c3=c3，

所以4+5=〃+1,得〃=8.

故答案为：8.

4.如图8只小猫围绕在2x2的单位正方形的交叉点上，随机选取两只，它们之间距离为1的概率是

【答案】I2

【解析】

【分析】先求出从8只小猫中随机选取两只和两只之间距离为1方法总数，再由古典概率可得出答案.

8x7

【详解】从8只小猫中随机选取两只，共有C：=;一=28种方法，

它们之间距离为1的情况有：（A5）,（AH）,（3C）,（CE＞）,（DE）,（M）,（FG）,（G〃），

82

共8种，所以从8只小猫中随机选取两只，它们之间距离为1的概率是：—

287

2

故答案为：—■

5.在空间直角坐标系中，已知点A（2,3,1）,5（—1,1,—1）,C（O,-M）,0（1/,％），若ABCD四点共面,

则户.

【答案】1

【解析】

【分析】利用平面向量基本定理，列出关系式，利用向量的坐标运算得出关系式，即可求解

【详解】VA（2,3,1）,5（-1,1,-1）,C（0,-l,l）,D（l,l,x）,

.1.AB=(-3,-2,-2),AC=(-2,^,0),AD=(-l,-2,x-l),

又4瓦C,D四点共面,

由平面向量基本定理可知存在实数九〃使通=4通+〃正成立，

-1,-2,x-1)=4(-3,-2,-2)+〃(-2,—4,0),

-1=-34-2〃X=1

<—2=—2/1—4〃,解得<2=0,

x-l=-221

故答案为：1

6.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直

角三角形的直棱柱.如图，在堑堵A3C-4与£中，M,N分别是4G，8瓦的中点，G是的中点，

若而=%通+y可+2/，则x+y+z=.

【解析】

—•1—.—.

【分析】由G是肱V的中点，可得AG=5(AN+A〃)，再由向量的线性运算可得

/=工荏+9福+工衣,即可得答案.

244

【详解】解：连接如图所示:

因为G是脑V的中点，M,N分别是4G，8用的中点,

所以(丽+疝j

2

=1(AB+W+A4f+4M)

=；(丽+；西+丽+!胡)

=-(AB+-AA^+AA^+^AC)

1—.3—►1—►

=-(AB+-A41+-AC)

1—.3—►1—►

=-AB+-AAi+-AC,

又因为AGuAAB+yA^+zAC,

131

所以x=_,y=_,z=一，

244

3

所以x+y+z=Q.

3

故答案为：一

2

7.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克・牛顿于1664年提出；据考证，我国至迟在11世纪，北

宋贾宪就已经知道了二项式系数法则.在的二项式展开式中，X的系数为.

【答案】二

4

【解析】

【分析】先求得(小的二项式展开式的通项公式为令10-3厂=1,求得

厂=3,从而可求得答案.

【详解】在口二(]的二项式展开式中，通项公式为4+]=c；]—g].无|°』，

令10-3r=1,解得r=3,

所以x的系数为=

故答案为：-工.

4

8.已知空间向量£=(1,0,1),^=(1,1,1),则向量£在向量石上的投影是.(用坐标表示)

【答八案】(三12母1\

【解析】

【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.

【详解】空间向量4=(1,0,1)，彼=(1,1,1)，

所以a/=Ixl+Oxl+lxl=2,忖=Jl~+1~+12=6,

—►1o,222)

所以向量苕在向量B上的投影向量是『5=—(U,i)=

\b\-3133司

所以向量M在向量B上的投影向量的坐标是

故答案为：

9.在《红楼梦》中有一道名为“茄蜜”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉

六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的

鸡汤，则烹饪“茄餐”时不同的下锅顺序共有种.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计

数原理计算可求解.

【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序，

茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有C；=6种顺序，

剩下两个元素放入最后2个位置，有A；=2种顺序，

则有C；xA；=6x2=12种下锅顺序.

故答案为：12.

10.连接空间几何体上的某两点的直线，如果把该几何体绕此直线旋转角a(0°<ot<36O°),使该几何体

与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶

点A,B,C,。在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有条.

【答案】13

【解析】

【分析】根据八面体的结构特征：所有棱长相等，根据旋转轴的定义即可判断旋转轴的条数.

【详解】由题设，八面体所有棱长都相等，

所有以AC,BREb为轴旋转90。可以与自身重合，共3条；

过正方形对边中点的直线为旋转轴，旋转180°可以与自身重合，共有6条轴；

过八面体相对面中心为旋转轴，旋转120。可以与自身重合，共有4条轴.

故答案为：13

11.设样本空间。={1,2,3,4,5,6,7,8}含有等可能的样本点，且事件A={1,2,3,4},事件3=

{1,2,3,5},事件。={1,加,”,8},使得P（ABC）=P（A）P（6）P（C）,且满足A,3,C两两不独立，则

m+n=.

【答案】13

【解析】

【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可.

【详解】由题意，P（A）=P（B）=P（C）=-,所以P（A3C）=P（A）P（3）P（C）=L

28

所以1是A,5c共同的唯一的样本点，又A,5c两两不独立，即P（BC）",

「（AC）"，

可见私〃不可以为4或5,所以也〃为6或7,即加+〃=13.

故答案为：13

12.已知正四面体ABCD的棱长为2,动点P满足入户.国=0，且而.定=0，则点P的轨迹长为

【答案】也兀

【解析】

【分析】由瓦河《万=0，故点P在过点A且垂直于CD的平面上，由而•正=0，故点P在以为直

径的球面上，即点P的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以为直径的球面所得的圆，计算出球的半

径，球心到平面的距离，即可得该圆的半径，即可得该圆周长即点P的轨迹长.

【详解】由衣.①=0，故点P在过点A且垂直于CD的平面上，

由丽•卮=0,故点P在以为直径的球面上，

即点尸的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以为直径的球面所得的圆，

由正四面体性质可得取CD中点E,连接AE,BE,

则有又A3、AEu平面ABE，AB^\AE=A,

故CD,平面ABE,取中点产，助中点G,连接尸G,

则FG//CD,由CD,平面ME,故FGL平面ABE,

FG=-CE=-CD=-x2=-,BF=-BC=1,

24422

产为以为直径的球的球心，则该球半径为1,

则点p的轨迹所形成的圆的半径为厂=JF一二号,

则其轨迹长为2万厂=6".

故答案为：布兀.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在由题意中Q.函=0,得到点尸在过点A且垂直于CD的平面上，

由而•4=0,得到点尸在以为直径的球面上，即可得点尸的轨迹为过点A且垂直于CD的平面截以

为直径的球面所得的圆，构造出对应球及平面，计算出球的半径，球心到平面的距离，即可得该圆的

半径，即可得点P的轨迹长.

二、选择题（第13〜14题，每小题4分，第15〜16题，每小题5分，共18分）

13.下表是“膜法世家”形象代言人选举得票情况统计，其中周柯宇的票数被污损了无法看清，那么应该当选

的人是（）

姓张元林正米林合

周柯宇

名英英卡墨计

西

250200380*V(DV(D3201550

数

A.米卡B.周柯宇C.无法确定D.合计

【答案】B

【解析】

【分析】由表格数据求出周柯宇的票数，由此确定当选的人.

【详解】由已知周柯宇的票数为1550-250-200-380-320=400，

所以应该当选的人是周柯宇.

故选：B.

14.在高考数学试题中有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择

其中1个选项正确的概率是工，某学生家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中1个选项，则一定

4

有3道题答对.”这句话（）

A.正确B.错误C.不一定D.无法解释

【答案】B

【解析】

【分析】每题都选择第一个选择支，则3个题中选择结果正确的题数的可能性分别为0,1,2,3.

【详解】把解答一道选择题作为一次试验，选择正确选项的概率是说明答对的可能性大小是工.做12道

44

选择题，即进行了12次试验，每次试验的结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大；但是并不一定

答对3道题，可能都选错，也可能有1,2,3,4,甚至12个题都选择正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了对概率的理解，属于基础题.

15.如图，在下列各正方体中，/为正方体的一条体对角线，M、N分别为所在棱的中点，则满足

的是（）

【解析】

【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得.

【详解】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2,体对角线/的端点为民丹，

对于A,B(2,2,0),D,(0,0,2),M(l,2,2),2V(2,1,0),直线/的方向向量a=(2,2,—2),

MN=(1,—1,—2),显然M/V,a=4H0，直线A/N与/不垂直，A不；

对于B,由选项A知，直线/的方向向量2=(2,2,—2),"(O,l,2),N(2,O,l),

则丽=(2,-1,—1),显然做.£=4/0,直线与/不垂直，B不是;

对于C,由选项A知，直线/的方向向量2=(2,2,—2),M(0,2,l),N(1,0,0),

则丽=(1,—2,—1),显然丽.£=(),MNLl,C是;

对于D,由选项A知,直线/的方向向量3=(2,2,—2),M(2,0,l),N(l,2,0),

则丽=（—显然而7.£=4HO，直线肱V与/不垂直，D不是.

故选：C

16.已知A,8为同一次试验中的两个随机事件,且P（A）＞0,P（B）＞0,命题甲：若P（B|A）+P（B）=1,

则事件A与8相互独立；命题乙："A与B相互独立”是“P（A|B）=P（A|B）”的充分不必要条件；则命题

（）

A.甲乙都是真命题B.甲是真命题，乙是假命题

C.甲是假命题，乙是真命题D.甲乙都是假命题

【答案】B

【解析】

【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由P（3|A）+P伍）=1可推出P（AB）=P⑷P（5）,由

此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此

可得结论.

【详解】因为P（叫A）+P（豆）=1,

所以P（叫A）=l—P伍）=P（3）,

所以^=P⑶’故P（.）=P（A）P（6），

所以事件A与B相互独立，命题甲正确，

若4与B相互独立，则可与8相互独立，可与方相互独立,

尸（血）一尸（可尸仍）

4"410-P（B）-P（B）

所以忸）=P（国可，

,―、/一―、P（AB）P（AB）

若P司3）=P司矶，所以焉

V17V17P（B）P⑻

所以P（A5）P（B）=P（AB）P（B）,

所以P（A5）（1-P（B））=P（AB）P（B）

所以P（M）=P（荏）P⑻+P（柱）P（B）,

所以p（M）=［尸（4^）+P（M）］P（B）,

P（AB）=P（A）P（B）,故事件,与事件8相互独立，

所以事件A与事件B相互独立，

所以“A与B相互独立”是“P（A|B）=P（Z向”的充分必要条件,

所以命题乙为假命题，

故选：B

三、解答题（共5题，满分78分）

17.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为了,»将事件“log（x+i）y为整数”记为A,将事

件"％+丁为偶数”记为8,将事件“x+2y为奇数”记为C；

（1）试判断事件2与事件C是否相互独立？并说明理由；

⑵求P（川C）的值.

【答案】（1）事件8与事件C相互独立，理由见解析;

7

⑵尸（加0=夜

【解析】

【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件8与事件C是

否相互独立;

（2）结合条件概率的概率公式计算可得.

【小问1详解】

先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为无，兀

则基本事件总数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3)，(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种情况,

满足事件B的有(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18个，

故P⑻=身=匕

满足事件C的有(LD,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),共18个，

故P(C)=U

满足事件的有(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),

(5,1),(5,3),(5,5),共9个,

o1

所以p(3c)=W=W=p(3)p(c),

所以事件B与事件C相互独立,

【小问2详解】

满足事件AC的有(LD，(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7种,

7

所以P(AC)=

36

7

7

-316

-18

2

18.己知甲组数据为,%，…，。卜的茎叶图如图所示，其中数据的整数部分为茎，数据的小数部分(仅一

位小数)为叶，例如第一数据为53

53

65

746

8111224

958

105

110

138

(1)为甲组数据的平均值1、方差s；、中位数跖

(2)乙组数据为2，45,且甲、乙两组数据合并后的30个数据的平均值X=9.2,方差

S2=11.23,求乙组数据的平均值石和方差S；,写出必要的计算过程和步骤.

【答案】⑴1=8.7；=3.824；M=8.2

(2)兀=9.7,s；=18.136

【解析】

【分析】(1)根据茎叶图求平均值(，再由方差与均值的关系求s：,将茎叶图中的数据从小到大排列确

定中位数M.

(2)由甲乙平均数及(1)的结果列方程求乙组数据的平均值兀，再由方差与均值的关系列方程组求出

/=1

£讨,进而求方差

15

【小问1详解】

甲组数据为5.3,6.5,7.4,7.6,8.1,8.1,8.1,8.2,8.2,8.4,9.5,9.8,10.5,11.0,13.8,

则甲组数据的中位数"=8.2,

甲组数据的平均值

甲组数据的方差

父小5.3一8……+(7…2+-.T.7)2X3+(8…x2

+(8.4-8.7)2+(9.5-8.7)2+(9.8-8.7)2+(10.5-8.7)2+(11.0-8.7)2+(13.8-8.7)2]=3.824.

【小问2详解】

由巨斗=9.2,可得兀二仇7

1i=l厂T

—Zizf-8.72=3.824Z=1192.71

1515

解得＜15£

1(i=li=l\

—pf+pf-9.22=11.23=1683.39

」15

1151

则S；=恁£区一9.72=—X1683.39-9.7?2=18.136.

I3i=l15

19.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工,

随机抽取“人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为族”，否则称为“非8族”，得如下的统计表以

及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）：

组人

分组本组中“H族”的比例

数数

1[25,30)2000.6

2[30,35)3000.65

3[35,40)2000.5

4[40,45)1500.4

5[45,50)a0.3

6[50,55)500.3

（1）试补全频率分布直方图，并求a与〃的值：

（2）从每天慢走时间在［40,50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健

身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人

在［40,45）分钟内，另一个人在［45,50）分钟内的概率.

【答案】（1）频率分布直方图见解析；a=100,ra=1000.

⑵—

15

【解析】

【分析】（1）利用所有组的频率之和等于1,算出第二组的频率，得到第二组矩形的高，补全频率分布直方

图，由第一组的频率和频数计算样本容量，再计算第五组的频数.

⑵按分层抽样的法则在两个组中抽取对应人数，从这6人中选2人，列出样本空间，看其中恰好1人在

［40,45）分钟内，另一个人在［45,50）分钟内占多少种基本事件，计算相应概率。

【小问1详解】

第二组的频率为1—（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）x5=0.3,

03

所以第二组小矩形高为彳=0.06.补全后的频率直方图如下：

频

A修

户

c组JL

oilU

。

O厂

「:-

。

O及

「

二-

，

。

O引

「-

「

。O

：-

O；

。4h

才

O二

。

二-

O二

。2I1-

O-

。I-~-

O25301540455055时间/分钟

第一组的频率为0.04x5=0.2,所以〃=—=1000.

0.2

第五组的频率为0.02x5=0.1,所以4=1000x0.1=100.

【小问2详解】

因为［40,45）分钟的“H族”人数为150x0.4=60,

［45,50）分钟的“H族”人数为100x0.3=30,二者比例为60:30=2:1,

所以按时间采用分层抽样法抽取6人，［40,45）分钟内抽取4人，［45,50）分钟内抽取2人.

设这2人每天慢走的时间恰好1人在［40,45）分钟，另一个人在［45,50）分钟为事件Q,

在［40,45）分钟内抽取4人记为A,B,C,［45,50）分钟内抽取2人记为“，b,

则有AB,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,Cb,Da,Db,ab,

共15种不同的抽取方法，事件。有AmAb,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8种，

Q

所以P（Q）=A，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在［40,45）分钟内，

Q

另一个人在［45,50）分钟内的概率为1.

20.如图所示的空间直角坐标系4孙z中，所有坐标均为整数的点称为整点；已知正方体ABC。-44cl2

的棱长为a,点P满足万=4①+〃%,其中//e［0,l］;

（1）若a=l,且直线男尸与平面所成角大小为士TT，求点尸的轨迹长度;

4

（2）若。=1,4=1,求正方体经过点4,RC的截面面积S的取值范围；

（3）若a=8,求三棱锥4-A3。内（不包括表面边界）整点的个数.

ir

【答案】（1）

2

(3)35.

【分析】（1）根据线面角的定义确定直线4P与平面CGQD所成角的平面角，由此确定点月的轨迹及其

长度,

(2)作出正方体中经过点4,尸，。的截面，利用向量知识求得截面面积的表达式，求其范围;

(3)结合图形分类确定A-ABD内的整点个数.

【小问1详解】

连接C7,

因为BG±平面CDD©,qp为B［P在平面CD2cl上的射影,

所以直线用尸与平面CGA。所成角的平面角为N用PG，

71

由已知NB]PG=]•

则GP=4G=L故尸点轨迹为以G为圆心，1为半径心圆在正方形CG3内的部分，

|TT

所以点P的轨迹长度为一X271X1=一,

2

【小问2详解】

在正方体ABC。-A4G。］中，以A为坐标原点，以AS.AAAA为x，%z轴建立空间直角坐标系,

因为a=1,

所以C(1,LO),0(0,LO),G(1,1,1)，A(0,0,1),

因为CP=/CD+〃CG,4=1,

所以互=9+〃西，即加="网\

所以p点在。2上运动，则P(O』,〃)，

过点A作AE〃PC,交BB］与点E,连接CE,

因为平面BCGBJ/平面ADD^,

平面BCC]B[口平面\ECP=EC,平面AD£)iAc平面A^ECP=\P,

所以EC〃AP,又AE〃PC,

所以在正方体中经过点4,产,。的截面为平行四边形A「CE(如图)，

因为故当〃取0或1时，d取到最大值不m,

此时截面面积的最大值为2S，A”=2X；X百Xg=0，

当〃=!时，d取到最小值玄，此时截面面积的最小值为2SA”=2xLxgx^=^,

22222

即当4=1时，在正方体中经过点4,的截面面积的取值范围为］手,3,

【小问3详解】

如图：过z轴上的点4(0,0,7),4(0,0,6),4(0,0,5),4(0,0,4),A(°，°，3)，

4(0,0,2),4(0,0,1),作三棱锥A—A3。平行于底面4犯的截面，

则三棱锥4-A3。内(不包括表面边界)整点一定位于各截面内,

截面AE2F2内的整点个数为0,

截面4E3入内整点个数为0,

截面A4E4工内的整点有(1/,5),个数为1,

截面上为区内的整点有（1/，4）,（L2,4）,（2,1,4）,个数为3,

截面4月线内的整点有（1」，3）,（123）,（1,3,3）,（2,1,3）,（2,2,3）,（3,1,3）,个数为6,

截面4石7层内的整点有（1,1,2）,（1,2,2）,（1,3,2）,（1,4,2）,（2,1,2）,（2,2,2）,（2,3,2）,,

（3,1,2）,（3,2,2）,（4,1,2）,个数为10,

截面44区内的整点有（LU），。，2,1）,（L3,1）,（1,4,1）,（1,5,1）,（2,1,1）,（2,2,1）,

（2,3,1）,（2,4,1）,（3,1,1）,（3,2,1）,（3,3,1）,（4,1,1）,（4,2,1）,（5,1,1）,个数为15,

所以三棱锥4-内（不包括表面边界）整点个数为35,

21.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为

世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数y=[%]（xeR）称为高斯函数，其中[可表示不超过x的最大

整数.已知：力（x）=（x+月），（nGN>w>l）

（1）若力（-1）=+百2，an,求应+”的值;

（2）若力⑴=%+6或，c*,<eZ,求证：4-3碌=4"；

20242024%+2024左

(3)设S=，,求S除以2023的余数.

k=\(-1)-2023

【答案】（1）12

（2）见解析（3）1011

【解析】

【分析】（1）将（-1+百『展开，由题意可得%+包=28—166,即可求出4+d的值；

（2）计算卜2"-代QR+岛2），结合力（力=（九+指了即可证明.

（3）先求得每项除以2023的余数，求每项除以2023的余数时，分奇偶项进行讨论，余数求和后再求除以

2023的余数即可.

【小问1详解】

因为力（T）=a.+gd,力（x）=（x+若

4

所以当〃=4时，f4（-1）=（-1+73）=a4+y/3b4,

而（T+可=11+可（-1+可=（4—2@2=28-165

因为凡，bneZ,%+同=28—16月，

所以。4=28也=一16,。4+d=2