三角函数解答题（7种常见题型）学生版

第30讲三角函数解答题7种常见题型总结

【题型目录】

题型一：三角恒等变换的应用

题型二：三角函数最值值域问题

题型三：三角函数的单调性问题

题型四：五点法作图问题

题型五：三角函数不等式恒成立问题

题型六：三角函数零点根的个数问题

题型七：三角函数的应用性问题

【典例例题】

题型一：三角恒等变换的应用

【例1】(2022•江苏苏州•高一期末)已知函数〃尤)usi/x+A/§siiucos^-J(尤eR).

⑴若函数/(x+e)的图象过点且e£求e的值；

(2)若〃0)=,且求sin[a+卫]的值.

【例2】(2022•重庆八中高三开学考试)已知cosa=|,cos(a+/7)=^.

⑴求sin£的值;

⑵求cos(a+20的值.

【例3】(2022•全国•高一课时练习)已知cos,-§]=-，，sin

一<(x<n,0<./3<一,求:

22

(l)COS^y^的值；

⑵tan(o+0的值.

【例4】(2022.江苏•高一开学考试)己知函数〃x)=cosx.

(l)a,夕为锐角，/(tz+/?)=--,tana=1,求cos2c及tan(，一打)的值;

53

3

⑵已知〃⑶一⑶=5，a,1«0,万)，求a及夕的值.

【题型专练】

1.(2022•江苏镇江•高一期末)已知sin”+cos“=3,«e(0,2E).

sina-cosa2

⑴求cos2a的值；

(2)若sin(i-£)=典，且〃e(0,$,求角八

102

774s

2.(2022•广西•桂林市第十九中学高一期中)已知万＜尸＜。＜万,5缶(。-£)=丁85月=一三.

(1)求以)524和tan2£；

(2)求cosa.

71715

3.(2022•四川省成都市新都一中高一期中(理))已知,且sin(,一2a)=,

4?2

cos(2^-a)=-^^

.求:

(l)cos(a+〃)；

(2)tan2(a+⑶.

4.(2022・四川自贡•高一期末)已知函数/(x)=2j5sinxcosjv+2cos2%.

⑴求函数/(%)的周期和单调递减区间；

(2)将的图象向右平移看个单位，得到g(x)的图象，已知g(%)=||,尤。€鼻彳],求COS2%值.

5.(2023安徽•高三阶段练习(理))已知函数/(x)=2sin25+2A/5sinscos5-l(0＜G＜l),满足

⑴求八%)的解析式；

0

⑵将〃x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向右平移三7r个单位长度得到g(x)

的图象，若《2呜卜一号，9e[o,|l求cos。的值.

题型二：三角函数最值值域问题

【例1】函数/(%)=sin2(ox+6sincox-coscox(a)>0)且满足.

①函数无)的最小正周期为万；②已知石片々，/(^)=/(%2)=-；且人―的最小值为引，在这两

个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题.

(1)确定。的值并求函数〃无)的单调区间；

冗

(2)求函数/(X)在XC0,y上的值域.

【例2】(2022•浙江•高三开学考试)已知函数/(x)=cos2无+百sinxcosx—g.

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

„JT

⑵求了(X)在区间［0,-］上的最值.

【例3】(2022•辽宁抚顺.高一期末)函数〃x)=sin(yxcos①x+cos2@x,(y>0,函数〃x)的最小正周期为万.

⑴求函数“X)的递增区间：

(2)将函数的图像向左平移:个单位，得到函数g(x)的图像，再将函数g(x)的图像上所有点的纵坐标

不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数人(力的图像，求函数可同在一多会上的值域.

【例4】(2022.辽宁.高一期末)函数“xbdsinxsinlx+W-TxeR)

(1)说明函数/(x)的图像是由函数^=$由2%经过怎样的变换得到的；

⑵函数g(x)=g小+0+:小-目，求函数g@)的值域，并指出g(x)的最小正周期(不需要证明).

【例5】(2022.安徽•合肥工业大学附属中学高二期末)已知函数〃x)=^sin、+：卜)sx-；.

(1)求函数/(元)的最小正周期和单调递减区间；

(2)若将函数/(x)的图象向右平移:个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不

变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间［0,可上的值域.

【例6】先将函数y=2sin［2x+^J-』sin2x图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），

再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数/（%）的图像.

（1）求函数/（X）的解析式；

（2）若尸满足/（0）"（夕）=逑，且。+尸=工，设g（x）=30sin（x+a>sin（x+0,求函数

34cosx

JTJT

g（x）在xe-■上的最大值.

44

【题型专练】

1.（2022・广西・北海市教育教学研究室高一期末）已知函数〃x）=sino无cos<yx-gcos2<y无（0>0）的最小正

周期为兀.

（1）求。的值；

（2）将函数/（尤）的图象向右平移9个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标也扩大为原来的2倍，得到函数

0

TT57r

g（x）的图象，求g（x）在区间—上的值域.

2.（2022•陕西西安・高一期末）已知函数/⑴=2sin®x+e）3>0,同<|）相邻两个零点之间的距离为1,

且了⑴的图像关于点（三，0）对称.

⑴求函数/（元）的解析式；

（2）将/（尤）图像上所有点的横坐标缩短到原来的J,纵坐标不变，再将所得的图像向右平移高个单位长度,

得到函数g（x）的图像，若g（尤）在［0,祖］上的值域为［-1,2］,求相的取值范围.

3.（2022・福建•高二学业考试）已知函数/（x）=sin2x+2』sinxcosx+3cosxwR求：

⑴求函数的最小正周期；

⑵求函数“X）在区间-不上的值域.

（3）描述如何由y=SinX的图象变换得到函数/（x）的图象.

4.(2022・湖北・鄂州市鄂城区教学研究室高一期中)已知/(%)=2cos2cox+273sincoxcoscox,其中0<G<2,

给出三个条件：

①/(“关于直线片看对称；②(.=1；③/(力图象沿x轴向左平移/单位可以得到一个偶函数.

(1)在这三个条件中任选一个，求了(—：.

JTJT

⑵根据(1)所求函数表达式，求“X)在上的值域.

5.(2022・福建・莆田一中高一期中)已知函数/(%)=5皿［8-；卜858,其中0<0<3.函数“X)图象的

一■个对称中心坐标为17，。］

⑴求“X)的单调递增区间；

(2)将函数/(x)的图象向左平移W个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的;倍(纵坐标不变),

得到函数g(x)的图象，求g(x)的最大值以及取得最大值时所有尤的集合.

6.(2022・广东•佛山市顺德区容山中学高一期中)已知函数/(冗)=65皿2%+今-6m工+85%)2+1.

6

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)先将函数/⑴的图像向右平移三个单位长度，再将所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的;(纵坐标不

变)，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在xe［若手上的值域.

7.(2022・安徽师范大学附属中学高一学业考试)已知函数

/(x)=2/sin+2(山-l(tw>0,0<e<;r,xeR)为奇函数，对WxeR,

恒成立，且后一司诬=全

(1)求函数/(X)的最小正周期和单调递增区间；

⑵将函数“X)的图象向右平移？个单位,再把横坐标缩短到原来的;，纵坐标不变,得到函数g(x)的图象，

当xe04时，求函数g(x)的值域.

8.(2022・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(3j^sinx+cos，cos尤-2sin2x+'1.

(1)求/'(X)的最小正周期及其图象的对称轴方程；

(2)若y=g(x)的图象可由y=/(x)的图象向左平移联个单位长度得到，求函数g(x)在|，Y上的值域.

题型三：三角函数的单调性问题

【例1】(2022•全国•高一课时练习)已知函数/。)=想与四里(〃>0)为奇函数.

(1)求实数。的值；

⑵若g(x)=/(x)+lg(l-tanx),求函数g(x)的单调递增区间.

【例2】(2022•黑龙江•双鸭山一中高三开学考试)已知函数/(x)=sin12x+/)+cos|2x+?)-2sinxcosx

(1)求函数/(x)的最小正周期及对称轴方程;

⑵将函数y=〃x)的图象向左平移合个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2

倍，得到函数y=g(x)的图象，求y=g(x)在［0,2汨上的单调递减区间.

【例3】(2022•陕西咸阳•高一期末)已知函数/'(无)=2sin2(yx+2百sinoxcos。尤一1(®>0),且函数

的最小正周期为乃.

(1)求的解析式；

(2)先将/(x)的图象上所有点向左平移相(相>0)个单位长度，再把所有点的横坐标缩小到原来的1■倍(纵

5TT

坐标不变)，得到y=g(x)的图象，若y=g(x)的图象关于直线工=三对称，求当机取最小值时，函数y=g(x)

的单调递增区间.

【例4】(2022.重庆八中高三阶段练习)已知函数/⑺=6sins+2cos2掾■+/"的最小值为—2.

⑴求函数“X)的最大值；

(2)把函数y=/(x)的图象向右平移言个单位，可得函数y=g(x)的图象，且函数y=g(x)在。卷上为增

函数，求。的最大值.

【例5】(2022.湖南怀化.高二开学考试)已知函数/(x)=sin(@x+010>O,冏隹)的图象关于直线了=?对

称.

⑴若“X)的最小正周期为2%,求“X)的解析式.

⑵若X=-?是“X)的零点，是否存在实数0,使得了⑺在［签,上单调？若存在，求出0的取值集合;

若不存在，请说明理由.

【题型专练】

1.(2022・全国•高一课时练习)已知下列三个条件：①函数/为奇函数；②当x=］时，f(x)=6；

③年是函数/■(*)的一个零点.从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题.

已知函数/(x)=2sin(x+e)［o<e<5］,.

⑴求函数〃尤)的解析式;

⑵求函数/(%)在［0,2兀］上的单调递增区间.

2.(2022•山东滨州■高二期末)已知函数/(x)=sin"x+A/^sinZx-cos"x+〃7的最小值为1.

(1)求常数优的值；

⑵当xe［0,句时，求函数“X)的单调递增区间.

3.(2022・全国•高一课时练习)已知点A(石,/(%)),网法了卜力是函数/⑴二

2sin（8+9）,>0,q<e<0j图象上的任意两点，且角。的终边经过点尸（1,一拘，当忱⑷-了⑹=4时,

卜-司的最小值为g.

（1）求函数/（元）的解析式；

⑵求函数/（M图象的对称中心及在[0,2上的单调减区间.

4.（2021•四川省武胜烈面中学校高二开学考试（理））已知函数/（x）=；cos2x+sinx{l-2sin2£|,其中

XGR.

⑴求“X）最小正周期T;

⑵若函数g（元）=#sin12尤+引，且对任意的司e[0,“，当吃<三时，均有了（西）-/⑸<8（%）-8（%）

成立，求正实数f的最大值.

5.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（%）=sinG尤+百COSS（G>0）.

⑴当。</<3时，函数y=dx-F[-〃x）的图象关于直线x=N%对称，求。的值；

112

（2）在第一问的条件下，将/（x）的图像向右平移!个单位得到函数g（x）,求g（x）在[0,句上的单调递增区间.

6.（2022疝东省郑城第一中学高一阶段练习）已知函数〃尤）=4$皿8+夕）（4>0,。>0,闸<克的最小正周

期为兀，且点尸啖,2）是该函数图象上的一个最高点.

⑴求函数“X）的解析式；

（2）把函数〃尤）的图象向右平移。，<。<?个单位长度，得到函数g（x）的图象，g（x）在0,：上是增函

数，求。的取值范围.

题型四：五点法作图问题

【例1】(2022•全国•高一课时练习)某同学用“五点法”画函数〃尤)=Asin(s+°)[o＞0,附〈/J在某一个

周期内的图象时，列表并填入了部分数据.

(1)求函数元)的解析式，并补全表中数据；

713〃

（DX+Cp兀271

0~2~2

715/r

X

7~6

Asin（④r+夕）05-50

⑵将＞="X)图象上所有点向左平移0(0＞0)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的

!(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为求6的最小值.

【例2】(2022•全国•高一课时练习)某同学用“五点法”画函数〃x)=Asin(0X+0(。＞0,网＜])在某

一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表.

713兀

CDX+（p071271

2~2

71571

X

i~6

Asin（G%+9）05-50

(1)请将上表数据补充完整并求出函数/(x)的解析式；

(2)若8("=/卜+：+1，求函数g(x)图象的对称中心及对称轴;

⑶若川上/1-.，求函数妆力的单调区间.

【题型专练】

1.(2022・全国•高一单元测试)设xwR,函数/(x)=cos(0尤+。)［0＞0,-:!＜。＜0)的最小正周期为万，且

(1)求。和。的值；⑵在给定坐标系中作出函数〃尤)在［0,句上的图像；(3)若求x的取值范围.

2.(2023・全国•高三专题练习)某同学用“五点法通函数/(x)=Asin(ox++＞0,网＜之在某一周期内的

图像时，列表并填入的部分数据如下表：

2»71

X一彳7F

713〃

a)x+(p71〃

0~2~22

sin①x+"010-10

/W0不00

(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数/(X)的解析式；

(2)若关于x的方程/(x)=0在区间［-匹］］上有解，求实数m的取值范围？

(3)将函数/(X)的图像向右平移:个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的纵坐标不变,

■IT

得到函数g(元)的图像，若函数y=g(&x)在区间0,-上恰有io条对称轴，求。的取值范围？

题型五：三角函数不等式恒成立问题

X71

【例1】(2022•全国•高一课时练习)设函数/(x)=tan

2-3~

⑴求函数/(X)的定义域和单调区间;

⑵求不等式/(x)w6的解集.

【例2】(2022•贵州黔东南•高一期末)已知函数/(工)=28$2工+2^/§^11%(：05%-1.

⑴求函数的最小正周期；

(2)现将Ax)图像上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变；再向右平移*个单位长度得到g(M的图

/12

71

像，若当xe0,-时，g(x)-2相+120恒成立，求实数机的取值范围.

【例3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Asin(ox+。)｝的部分图象如图所

示.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)先将函数/(x)的图象向右平移六个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2

倍,得到g(x)的图象.

⑴若小＞0,当xe[0,词时，g(x)的值域为[-君,2],求实数机的取值范围；

■ITTT

(ii)若不等式g2(x)-(2l+l)g(x)7—1W0对任意的xw恒成立，求实数f的取值范围.

【题型专练】

1.(2022・湖南・湘潭一中高一期末)已知函数/(x)=26sinxcosx-2cos?x+2,XGR.

⑴求函数〃x)的最小值；

⑵把y=/(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，求不

等式g(x)>2的解集.

2.(2022•全国•高一课时练习)已知函数〃x)=sin120x+V图象的一个对称中心为1合0),其中切为常

数，且。«0,2).

⑴求函数“X)的解析式；

⑵已知函数g(尤)=cos(尤+()-根，若对任意的和We[o,可，均有“为)*(马),求实数机的取值范围.

3.(2022•北京延庆•高一期末)已知函数/■(x)=2sinxcosx+cos2x-sin-.

(1)求函数/(x)的单调递增区间和图像的对称中心；

S冗STT

⑵当xe时，求“X)的值域;

(3)求不等式的解集.

4.(2022•辽宁•建平县实验中学高一阶段练习)请从“①函数的图象关于直线苫=-合对称；②函数〃x)

的图象关于点(注]对称；③对任意实数%恒成立”这三个条件中任选一个，补充到下面横

线处，并作答.

已知函数"x)=2sin(3e)(。>0,两竹)，其图象中相邻的两个对称中心间的距离为且______.

⑴求的解析式

⑵将的图象向左平移专个单位长度，得到曲线产g(x),若在区间亲等上存在为满足g(x0)〈m,

求实数旭的取值范围.

5.(2022•吉林・梅河口市第五中学高一期末)已知函数"x)=3cos2x-I+2cosx(sinx-3cosx)+3,xeR.

■rr

⑴求函数y=/(x)的最小正周期以及函数y=〃x)在区间0,-上的最大值和最小值;

⑵将函数y=/(x)图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若

g(d-m2+2〃z+3)＞g(d-m。+4卜求实数，"的取值范围.

题型六：三角函数零点根的个数问题

【例1】(2022•陕西西安・高一期末)己知函数〃x)=2cos(2x-e+[|(0＜6＜£|是偶函数.

⑴求夕的值；

(2)将函数y=/(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的1倍，纵坐标不变，然后再向左平移弓个单位长

31o

度，最后向上平移1个单位长度后，得到y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)-、0-l=0在xe7T7T有

两个不同的根名万，求实数优的取值范围.

【例2】(2022•重庆八中高一期末)函数＞=4•(5+同卜＞0,0＞0,同＜3的一段图象如下图所示.

⑴求函数y=的解析式；

⑵将函数y=/(x)的图象向右平移7个单位，得到y=g(x)的图象.求直线＞=痣与函数y=〃x)+g(x)的

图象在]o，D内所有交点的横坐标之和.

【例3】(2022•广东梅州•高一期末)已知函数/'(X)=Visin'ox-cos,+20sinox-000x(。＞0)最小

正周期为万.

(1)求。的值:

⑵将函数〃尤)的图象先向左平移!个单位，然后向上平移1个单位，得到函数〉=8(力，若y=g(x)在

O

[0,可。>。)上至少含有4个零点，求6的最小值.

【例4】(2022.河南驻马店.高一期末)已知函数〃x)=2cos2(@x+e)-l[0>O,O<e<且〃2x)的最小

正周期为兀，将“X)的图像沿x轴向左平移与个单位，得到函数g(x),其中x=5为g(x)的一条对称轴.

03

⑴求函数/(尤)与g(x)的解析式；

⑵若方程g[-x]-〃x)+gq-x：〃x)+2I=0在区间展,|兀有解，求实数f的取值范围.

【例5】(2022•全国•高一)已知函数/(x)=2百sin'|cos'+cos2B-sin25

(1)求函数/(尤)的最小正周期及单调递增区间；

⑵把>=/(x)的图象向左平移2个单位长度，得到函数V=g。)的图象，已知关于x的方程g(x)-加=0在

O

7T

0,-上有两个不同的解。,夕.

①求实数m的取值范围；

②证明：COS(6Z-B)=-1.

【例6】(2022糊北恩施高一期中)已知函数/(x)=2sin0xcos0x+2Gsin20x-g3>O)的最小正周期为1.

⑴求/G)的单调增区间；

(2)将/(x)的图象向左平移q个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)

在[0,b](&>0)上至少含有2022个零点，求b的最小值.

【例7】已知函数/(x)=+2sinxcosx+百

⑴当xe[0,%]时，求/(%)的单增区间;

(2)将函数/(尤)的图像向右平移三个单位后得到函数g(x),若关于x的方程|g(x)—g|=冽在

jr57r

上有解，那么当加取某一确定值时，方程所有解的和记为鼠，求鼠所有可能值及相应的机取

_00

值范围.

【例8】(2022•山东潍坊.高二开学考试)已知数/(x)=A^sin1的++2sin［曹+方卜1(。＞0)的相邻两

对称轴间的距离为彳.

2

(1)求/(X)的解析式；

(2)将函数/(M的图象向右平移1个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的;(纵坐标不变)，得到函数

o/

TTTT

y=g(元)的图象，当xe时，求函数g(x)的值域；

126

(3)对于第⑵问中的函数g(x),记方程g(x)=?4在XWTC47r上的根从小到大依次为尤”无2,…%,若根=

-

尤1+2々+2%3^--1+xn,试求〃与根的值.

【题型专练】

1.(2022.陕西汉中.高一期末)已知函数/(x)=九05(妙+夕)卜＞0,0＞0,|同(^］的部分图象如图.

(1)求/(九)的表达式；

(2)将函数/(%)的图象向右平移'个单位长度得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原

■JT

来的2倍得到函数g(尤)的图象.若关于尤的方程g(x)-根=0在0,-上有两个不同的实数解，求实数相

的取值范围.

2.(2022•福建福州•高一期末)已知函数/。)=君$山(<2»+9)+2$m2］色二9)_1(0>0,0<夕<兀)为奇函数,

且当时，N-百皿"=/

(1)求/(x)的解析式；

(2)将函数/(x)的图象向右平移J个单位长度，再把横坐标缩小为原来的1(纵坐标不变)，得到函数y=g。)

o/

7t

的图象，记方程g(x)=：4在尤e-,47ry上的根从小到大依次为士,尤2,…X“，试确定”的值，并求

xl+2x2+2x3+---+2xn_1+xn的值.

3.(2022•内蒙古赤峰高一期末(文))已知函数〃x)=Asin(0x+e)+《A>O,0>O,lslW)的部分图象如

图所示.

⑴求函数“X)的解析式：

(2)将函数y=/(x)的图象上所有的点向右平移£个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的;

倍(纵坐标不变)，然后将所得图象上每一个点都向下平移1个单位(横坐标不变)，得到函数y=g(x)的图

TT

象，若方程g(x)=0在0,-上有实数根，求实数机的取值范围.

4.(2023・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=2sin(x+?.

⑴若不等式|〃力-小3对任意勺恒成立，求整数机的最大值；

63

(2)若函数g-x),将函数g(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的J倍(纵坐标不变)，再向右平

2z

移5个单位，得到函数产g)的图象，若关于X的方程;碎)-左=0在xe[-春目上有2个不同实数解，

求实数左的取值范围.

5.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=Asin(0x+A>0,。>0,|同<引部分图象如图所示.

⑴求函数“X）的解析式.

（2）若将函数〃x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的）纵坐标不变，然后再向右平移必。>0）个长度单

位，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求夕的最小值.

兀

⑶设函数R（x）=/（x）-a在区间0,—上有两个不同的零点外,三,求cos（%i+X2）.

6.（2022•江西省万载中学高一阶段练习）已知函数〃x）=2sin120x+\+L

⑴若求〃x）的对称中心；

（2）已知0</<5,函数/'（X）图象向右平移2个单位得到函数g（x）的图象，x=q是g（x）的一个零点，若函

数g（x）在网耳（加，且）上恰好有10个零点，求〃-，〃的最小值；

7.（2022•辽宁•沈阳二中高一阶段练习）已知函数〃%）=2sin[x+5J.

⑴若不等式|〃x）-小3对任意xe-今。恒成立，求整数机的最大值；

⑵若函数8（月=/仁7）,将函数g（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的g倍（纵坐标不变），再向右

平移卷个单位，得到函数y=g）的图象，若关于尤的方程1/7卜）-心11尤+3力=0在%€]后,哥上有

解，求实数4的取值范围.

（参考公式：sin2x=2sinxcosx.sinx+cosx=\/2sinlx+I）

8.（2023・全国•高三专题练习）已知函数〃x）=sin（s+。）oeN*,时〈•的图像关于直线x=-^|对称,

且在区间［-石，。）上单调递增；

⑴求了（X）解析式.

（2）若/［|<0,将函数/*）的图象所有的点向右平移自个单位长度，再把所得图像上各点横坐标缩短到原

1TTTT

来的;（纵坐标不变），得到g（x）的图象；若g（x）=,〃在尤e上恰有两个零点，求机的取值范围.

264

9.（2022•上海市建平中学高一阶段练习）已知函数〃x）=4sinxcos［尤+?卜班（尤eR）.

⑴将函数形式化简为y=Asin（©x+°）+b的形式，写出其振幅、初相与最小正周期；

（2）求函数/（x）的最小值与此时所有关的取值；

⑶将函数“X）的图像向右移动（个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的a（O<，<l）倍得到

y=g（x）的图像，如果尸g（x）在区间［-M］上至少有100个最大值，那么求。的取值范围.

10.（2022•河南•永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数/（尤）=4$山（。1+0）+8（4>0,0>0,|如<|^的

部分图象如图所示.

(1)求函数AM的解析式：

(2)将函数y=/(元)的图象上所有的点向右平移合个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.

冗TT

①当xe-y,-时，求函数g(x)的值域；

②若方程g(x)-相=。在0,—上有三个不相等的实数根芯，尤2，%(不<彳2<%3)，求tan(%+2x2+%)的值.

题型七：三角函数的应用性问题

【例1】(2022.全国•高一课时练习)某旅游景区每年都会接待大批游客，为了控制经营成本，减少浪费，某

酒店计划适时调整投入.为此他们统计了历年中每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来酒店入住的

游客人数呈周期性变化且在第一季度内有对称性特征，并且具有以下规律：①每年相同的月份，入住酒店

的游客人数基本相同；②入住酒店的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；③2月份入住

酒店的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多.

(1)函数模型/(x)=Asin(Ox++B(A>0,。>0,|勿〈万)和/(x)=ax3+bx2+cx+d中用哪一个来描述一年中

入住酒店的游客人数/*)与月份x之间的关系更合适，为什么?并求出fM的解析式；

(2)在(1)中选择的基础上，试确定酒店在哪几个月份要准备至少400份(每人一份)食物.

【例2】(2022•江苏省如皋中学高一期末)建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市

通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央空

调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：℃）随时间f（0W/W24,单位：小时）的大致变化曲线，若

⑴求y=的表达式；

（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【例3】（2022•陕西渭南•高一期末）一半径为2m的水轮（如图所示），水轮圆心。离水面1m,已知水轮逆

时针转动，每3s转一圈，且当水轮上点尸从水中浮现时（图中点凡）开始计算时间.

（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度〃（m）表示为时间f（s）的函数;

（2）点尸第一次到达最高点大约要多长时间？

【例4】（2022•广西桂林•高一期末）某港口的水深V（单位：加）是时间单位：/?）的函数，下面

是该港口的水深数据:

t/h03691215182124

y/m10139.9710139.9710

一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5m时就是安全的.

(1)若有以下几个函数模型：y=at+b,y=Asin(a+0)+K,你认为哪个模型可以更好地刻画y与/之间的

对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；

(2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为力小那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安

全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？

【例5】(2022•浙江省杭州学军中学高二开学考试)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩

天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为120米，设置有36个座舱，

游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面140米，匀速转动一周大约需要30分钟，

当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

（图1）（图2）

(1)经过f分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知a关于r的函数关系式满足坦0=羯皿泣+#+3(其

中4>0,0>0,［同v1),求摩天轮转动一周的解析式“⑺；

(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？

(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面

的高度差为,米，求。的最大值.

【题型专练】

1.（2022.江苏苏州.高一期中）某港口海水的深度y（m）是时间/（时