山东省青岛市李沧区某中学2024-2025学年九年级下学期期初数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省青岛市李沧区智荣中学九年级（下）

期初数学试卷

一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1.-夜的相反数是（）

A.-41B./C.V2D.一9

2.随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志,

其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.B.C.

3.下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）

圆柱圆锥球正方体

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其

中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，

摇匀后再随机摸出一球，记下颜色……不断重复，上述过程小明共摸了100次，其中20次

摸到黑球.根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有（）.

A.10个B.12个C.15个D.18个

5.如图，在用A42C中，ZC=90°,NC42的平分线交3c于。，DE是45的垂直平分线,

垂足为E.若BC=6,则DE的长为（）

A

BDC

试卷第1页，共6页

A.1B.2C.3D.4

6.已知△4BC在直角坐标系中的位置如图所示，如果以原点。为位似中心，位似比为2,

在第四象限内将图象放大为A/2'C',那么点/的对应点H的坐标（）

A.（4,-2）B.（-8,-4）C.（-8,4）D.（8,-4）

7.已知一次函数y=?x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象

a

可能是（）

则NCDE的度数为（）

二、填空题（本题满分24分，共有6道小题，每小题4分）

9.计算：［V27+J|xV3=.

试卷第2页，共6页

10.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后,

其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设学生

骑车速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为—.

11.把边长为3的正方形ABCD绕点、A顺时针旋转45°得到正方形ABCD,，边BC与DC,

交于点。，则OC'=.

k

12.在平面直角坐标系中，点/是双曲线必=」(x>0)上任意一点，连接N。，过点。

x

作2。的垂线与双曲线片&(尤<0)交于点8,连接血已知盥=2,则夕=.

XBO灯一

13.如图，在正方形4BCD中，点£,尸分别是48,CD的中点，AF,相交于点M,G

为BC上一点,N为EG的中点.若BG=3,CG=l,则线段九W的长度为.

14.如图，二次函数y="2+6x+c的图象与正比例函数歹=履的图象相交于8两点,已

知点A的横坐标为-3，点B的横坐标为2,二次函数图象的对称轴是直线x=-l.下列结论:

①abc<0；②36+2c>0；③关于尤的方程G2+6x+c=fc(^两根为玉=-3,X2=2.④

试卷第3页，共6页

k=；a.其中正确的是.（只填写序号）

三、解答题

15.已知：如图，UBC,射线2c上一点。，

求作：等腰△P8D,使线段3。为等腰△尸8。的底边，点尸在乙48c内部，且点尸到乙45c

两边的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

17.小明和小亮做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子里装有编号1-4的4个球（除编号外都

相同），从中随机摸出两个球，记下数字后放回.若两个数字之和大于5,则小明胜；若两

个数字之和小于5,则小亮胜.这个游戏对双方公平吗？说明理由.

18.某学校为了了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米

跑体能测试，测试结果分为/、2、C、。四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列

问题：

试卷第4页，共6页

0

18

16

4

12

1

10

1

8

6

4

2

0

⑴本次测试共调查了名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，。等级部分所对应的圆心角的度数为；

(4)若该中学八年级共有600名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生

有多少人？

19.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60力米的点D(点D与楼底C在

同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i=l：百的斜坡DB前进30米到达点B,在点B处测

得楼顶A的仰角为53。,求楼房AC的高度(蓼考数据：sin53tM).8,cos53°M.6,

4

tan530=j,计算结果用根号表示，不取近似值).

A

20.新冠疫情期间，口罩成为了人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售4,2两种

型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中4,8两种型号口罩所获利润之比为2：3.已

知每只8型口罩的销售利润是/型口罩的1.2倍.

(1)求每只/型口罩和8型口罩的销售利润；

(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只，其中3型口罩的进货量不

超过/型口罩的1.5倍，设购进N型口罩〃?只，这10000只口罩的销售总利润为少元.该

药店如何进货，才能使销售总利润最大？

21.已知：如图，平行四边形N8CD,对角线NC与AD相交于点E,点G为4D的中点，

连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.

试卷第5页，共6页

（1）求证：AB=AF；

（2）若4G=4B,^BCD=120°,判断四边形/CD尸的形状，并证明你的结论.

22.有一个窗户形状如图所示，上部由两个正方形组成，下部是一个矩形（图中黑线均为窗

框），如果制作窗框的材料总长为6m,等于多少米时，这个窗户透光面积最大？最大面

积是多少？

23.如图，在菱形中，对角线/C,8。相交于点O,/3=10cm,BD=4V5cm.动

点尸从点/出发，沿方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点/出发，沿

方向匀速运动，速度为2cm/s.以NP，为邻边的平行四边形/尸”。的边尸初与NC交于

点、E.设运动时间为f⑸（0＜区5）,解答下列问题：

（3）是否存在某一时刻3使点8在/PEC的平分线上？若存在，求出/的值；若不存在，请

说明理由.

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】根据相反数的定义即可求解.

【详解】解：-四的相反数是血,

故选C.

【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.C

【详解】选项A不是轴对称图形，是中心对称图形；

选项B是轴对称图形，不是中心对称图形；

选项C是轴对称图形，也是中心对称图形；

选项D不是轴对称图形，是中心对称图形.

故答案选C.

3.B

【详解】左视图是从左边看到的图形，

因为圆柱的左视图是矩形，

圆锥的左视图是等腰三角形，

球的左视图是圆，

正方体的左视图是正方形，

所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个.

故选B.

4.B

【分析】直接根据题意求解概率即可.

20

【详解】解：3———=12(个)

100-20

故选：B.

【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键.

5.B

【分析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得乙B=4C4D=mi5=3()。，运用直角三

角形中30。角所对直角边是斜边的一半可得CD=^AD=^BD,再利用角平分线的性质定理

CD=DE=^BD,从而可求得结论.

答案第1页，共15页

【详解】解：・.・OE垂直平分/以

•••DA=DB,

-AD平分NC45,

••・乙CAD=cDAB,

・,•Z.B=Z.CAD=Z.DAB,

又・・2C=90。,

.-.3zG4D=90°,

.ZC4D=3O。,

.-.CD=^AD=^BD,

•••AD平分NC/LB,DELAB,CDLAC,

■.CD=DE=^BD,

■.■BC=6,

•••CD=DE=2；

故选：B.

【点睛】本题主要考查含30。角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质及角平分线的

性质，掌握含30。角的直角三角形性质和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是

解题的关键.

6.D

【分析】本题主要考查求位似图形中点的坐标，根据位似比为2,且在第四象限内将图象放

大为AHB'C',画出图形，写出点的坐标即可.

【详解】解：如图，A/'B'C'即为所求，

答案第2页，共15页

.•.点A的对应点H的坐标为（8,-4）.

故选：D.

7.A

【分析】由一次函数的图象判断出2<0,c>0,再判断二次函数的图象特征，进而求解.

a

【详解】由一次函数的图象可得：-<o,c>0,所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴

a

=-§>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A.

2a

【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判

断出2<o,c>o.

a

8.C

i35°

【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到乙45。=乙酸。*乙48。=丁,

UFB=LEFB=90。,推出根据等腰三角形的性质得到4户=£-求得AD=ED,得到

乙DAF=3EF,根据三角形的外角的性质即可得到结论.

【详解】解：•••5。是A45C的角平分线，AE1BD,

135°

：&BD=（EBD=-^ABC=——，^AFB=Z.EFB=90°,

22

••Z-BAF=Z-BEF,

：.AB=BE,AELBD,

・•・她是4E的垂直平分线，

••・AD=ED,

.，.Z-DAF=Z-DEF,

答案第3页，共15页

vz^C=180o-z^5C-zC=95°,

，乙BED=^BAD=95。,

.・2以兄=95。-50。=45。，

故选C.

【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟

练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

9.11

【分析】利用二次根式的乘法运算法则，直接求解即可.

【详解】解：原式=亚乂用.义出

=」27x3+

+VZ

=9+2

=11.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法运算法则，是解题的关键.

101020

10.=—

x2x60

【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系.关键描述语为：〃过了20分后，其余

学生乘汽车出发，结果他们同时到达〃；等量关系为：骑自行车同学所用时间一乘车同学所

用时间二920小时.

60

【详解】学生骑车速度为N千米/时，根据题意，得：

io_22_20

x2x60

.田心生101020

故答案为一—-.

x2x60

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的

等量关系是解答本题的关键.

11.6-372##-372+6

【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.先证明点2

在NC'上，从而可证。5=CZ,根据勾股定理求出NC=3亚，则

C'B=AC"-AB=3sf2-3，然后再根据勾股定理求解即可.

答案第4页，共15页

【详解】解：•••把边长为3的正方形/3CZ）绕点/顺时针旋转45。得到正方形,

CD'=AD'=AB'=C'B'=AB=3,ZD'=ZB'=90°,ZB'AB=45°,

ZD'C'A=ZD'AC-NB'C'A=ZB'AC=45°,

NB'AB=ZB'AC=45°,

.•.点3在/C'上，

ZOBC=ZABC=90°,

：.ZC'OB=NOC'B=45°,

.-.OB=CB,

"AC=y]AB'2+C'B'2=732+32=3>/2>AB=3,

•••CB=AC"-AB=3C-3，

OC=4OB-+CB-=也C'B=V2x（3虚-3）=6-372,

故答案为：6-3A/2-

12.-4

【分析】过点A作/C_Lx轴于点C,点8作轴于点。，证明△5DOs2\oc4,求出

△8DO和AQ%的面积比，即可得解.

【详解】解：过点A作/C_Lx轴于点C,点3作5D_Lx轴于点。，

则：NBDO=NOCA=90°,

■■■AO1BO,

ZAOB=90°,

ZDBO+ZBOD=ZCOA+ZBOD=90°,

:"DBO=ZCOA,

；.△BDOs^ocA,

答案第5页，共15页

AOc

--=2,

BO

—A

••--Q-&-B-O--D-----,

,・•点4在双曲线必=勺(x>0)上，点5在双曲线力=4(x<0)上，

Xx

・•.左=2s4Aoe#2=-2SAB0D，

.K__2s4Aoe__4.

k2-2S&B0D

故答案为：-4.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，以及反比例函数左值的几何意义.熟练掌握相

似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键.

13.晅#J旧

22

【分析】本题考查了三角形中位线的性质和勾股定理的应用，正方形的性质，矩形的判定与

性质；构造三角形是破解本题的关键.根据条件正方形边长为4,由勾股定理求出线段DG

长，利用中位线得到儿W长即可.

【详解】解：连接DG,EF,

产分别是CZ)的中点,

...四边形/瓦明是矩形,

二枚是ED的中点，

在正方形48c。中，8G=3,CG=1,

BC=DC=4,

在Rt^DGC中，由勾股定理得，

DG=y!DC2+CG2=V42+l2=后，

在三角形EDG中，M是的中点，N是EG的中点,

.,.AW是三角形EDG的中位线，

■,MN=-DG=—.

22

答案第6页，共15页

故答案为：如.

2

14.①③

【分析】依据题意，根据所给图象可以得出。>0,c<0,再结合对称轴x=-l,同时令

ax2+bx+c=kx,从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解.

【详解】解：由图象可得，。>0,c<0,又-乡=-1,

2a

b>0.

abc<0.

・••①正确.

由题意，令ax1+bx+c=kx,

ax2+(b-k)x+c=0.

又二次函数^="2+乐+。的图象与正比例函数>=质的图象相交于A,5两点，已知点A

的横坐标为-3,点5的横坐标为2,

ax2+(b-k)x+c=0的两本艮之和为一3+2=—1,两根之积为一3x2=—6.

b—kiC/

-------=-1,—=—6.

aa

6。+c=0.

又b=，

3Z)+c=0.

二.3b+2c=cv0.

•••②错误，③正确.

b-k[^

,•*-----=,b=2a,

a

..k—ci.

••.④错误.

故答案为：①③.

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

15.见解析

【分析】根据角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质即可解决问题.

【详解】解：•.,点尸在乙48c的平分线上，

•••点P到乙48c两边的距离相等(角平分线上的点到角的两边距离相等)，

答案第7页，共15页

•・•点P在线段BD的垂直平分线上，

.■.PB=PD(线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等),

【点睛】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

3

16.(1)Xj=-,x2=1；(2)a

【分析】本题考查了解一元二次方程，分式的混合运算.

(1)用因式分解法求解即可；

(2)先算括号，并把除法转化为乘法，再约分化简.

【详解】解：(1)2/_5X+3=0,

(2x-3)(x-l)=0,

2x-3=0或x-l=O,

3

所以X]=E，无2=1；

(2)原式=^^.」一

ci—3a+3

(a+3)(a-3)a

a—3a+3

=ci.

17.公平，见解析

【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，以及运用概率判断事情的公平性，解题的

关键是数字之和大于5的概率是多少.根据题意画出树状图，再分别求出两次数字之和大于

5和两次数字之和小于5的概率，如果概率相等，则游戏公平，如果不概率相等，则游戏不

公平.

【详解】解：这个游戏对双方公平.

答案第8页，共15页

理由如下：

画树状图为:

开始

共有16种等可能的结果，其中两个数字之和大于5得结果数为6,所以小明胜得概率=三=。;

loX

两个数字之和小于5得结果数为6,所以小亮胜的概率=2=],

16X

因为一小，

OO

所以这个游戏对双方公平.

18.(1)50

(2)见解析

(3)43.2°

(4)72人

【分析】本题考查了条形统计图，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较.也考查

了用样本估计总体和扇形统计图.

(1)用/等级的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；

(2)先计算出8等级的人数，然后补全统计统计图；

(3)用360。乘以样本中。等级的人数所占的百分比即可；

(4)用600乘以样本中。等级的人数所占的百分比即可.

【详解】(1)解：10+20%=50(名)，

所以本次测试共调查了50名学生；

故答案为：50名;

(2)解:8等级的学生人数为50-10-16-6=18(名)，

补全条形统计图为：

答案第9页，共15页

0

8

1

6

1

4

1

12

0

1

8

6

4

2

0

(3)解:扇形统计图中，D等级部分所对应的圆心角的度数为360。义卷=43.2。；

故答案为：43.2°；

(4)600XA=72(名)，

估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有72人.

19.15+6073.

【分析】如图作BN1CD于N,BM1AC于M,先在RTABDN中求出线段BN,在RTAABM

中求出AM,再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题.

【详解】如图作BN_LCD于N,BM1AC于M.

在RTABDN中，

BD=30,BN：ND=1：5

.•.BN=15,DN=15A/3,

vzC=zCMB=zCNB=90o,

.•・四边形CMBN是矩形，

•••CM=BM=15,BM=CN=6073-1573=4573，

一.AM4

在RTAABM中，tanz_ABM=-----=—，

BM3

•••AM=605

•••AC=AM+CM=15+605/3.

答案第10页，共15页

【点睛】构造适当的直角三角形，并应用锐角的三角函数，正确理解坡比的概念.

20.（1）每只/型口罩和2型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元；（2）药店购进/型口

罩4000只、8型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600元

【分析】（1）设销售/型口罩x只，销售5型口罩y只，根据“药店三月份共销售2两

种型号的口罩9000只，共获利润5000元，其中4,8两种型号口罩所获利润之比为2：3”

列方程组解答即可；

（2）根据题意即可得出少关于加的函数关系式；根据题意列不等式得出加的取值范围，

再结合根据一次函数的性质解答即可.

【详解】解：设销售/型口罩x只，销售8型口罩y只，根据题意得：

x+y=9000

<2000…3000，

------xl.2=-------

.xy

x=4000

解得

>=5000

经检验，x=4000,y=5000是原方程组的解，

・•.每只/型口罩的销售利润为：黑=06（元），

4000

每只8型口罩的销售利润为：0.5x12=0.6（元），

答：每只/型口罩和5型口罩的销售利润分别为0.5元，0.6元.

（2）根据题意得，少=0.5加+0.6（10000-m）=-0.1m+6000,

10000-m<1.5m,解得m>4000,

vO.KO,

•••汗随加的增大而减小，

■：m为正整数，

当%=4000时，少取最大值，则-0.1x4000+6000=5600,

答案第11页，共15页

即药店购进力型口罩4000只、8型口罩6000只，才能使销售总利润最大，最大利润为5600

元.

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题

的关键是根据一次函数x值的增大而确定〉值的增减情况.

21.(1)证明见解析；(2)结论：四边形ZCQ/是矩形.理由见解析

【分析】(1)只要证明4产=CZ)即可解决问题；

(2)结论：四边形4CL犷是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；

【详解】解：⑴证明：•・•四边形45CD是平行四边形，

：.AB\\CD9AB=CD,

；.UFC=^DCG,

・：GA=GD,UGF"CGD,

•.AAGF=ADGCf

，AF=CD,

：.AB=AF,

(2)解：结论：四边形4CZ)尸是矩形.

理由：AF\\CDf

・•・四边形ACDF是平行四边形，

•・,四边形ABCD是平行四边形，

；.£BAD=LBCD=120。,

・•.乙£4G=60。，

-：AB=AG=AF,

・•.A2477G是等边三角形，

，AG=GF,

••,△AGF必DGC,

:・FG=CG,-AG=GD,

；.AD=CF,

・•・四边形4c。尸是矩形.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识,

解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.

答案第12页，共15页

69

22.上部两个正方形的边长为三m时，透光面积取最大值，最大值为Jn?

【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用矩形的面积公式列出函数解析式并熟练掌握

二次函数的最值求法.

设=根据矩形面积公式用x表示出窗户面积S,再根据二次函数的性质求解.

【详解】解：设N8=xm,则仞-一；“”一0

3—x〉0,

4

八12

0<x<—,

7

设窗户面积为S,

由题意得：S=AB-AD=3——x\=——X2+3x=——(X——1+—,

I4J4417

、1,6r_Lc9?

・•・当x=,m时'S最大值=,m,

60

答：当的长为gm时，透光面积取最大值，最大值为Jn?.