平面向量典型题型 专项练-2025年高考数学一轮复习

平面向量典型题型专项练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.在VABC中，点。满足AZ）=3O5，贝U（）

1321

A.CD=—CA+—CBB.CD=-CA+-CB

4433

31

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

2.已知a,b是夹角为120。的两个单位向量，若向量（?+劝在向量a上的投影向量为2a,则彳=（）

A.-2B.2C.D.空

33

3.已知。，N,尸，/在VABC所在的平面内，则下列说法不正确的是（）

A.若但=|Oq=|OC|,则。是VA5C的外心

B.若CB.IA=AC-IB=BA.IC=。，贝!1/是VABC的内心

C.若PA-PB=PB-PC=PC-PA,则P是VA3C的垂心

D.若NA+NB+N（j=C，则N是VABC的重心

4.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,E在3D上，且则AE.EC=（）

5.已知，。的半径为1,直线出与（。相切于点A,直线总与（。交于8,C两点，。为3C的中

点，若|尸。|=夜，则1明.尸£）的最大值为（）

A1+V2口1+2近

22

c.1+6D.2+V2

6.如图，在VABC中,/ABC=90,A8=2,8C=26，/点是线段AC上一动点.若以M为圆心、半

径为1的圆与线段AC交于尸,。两点，则8尸出。的最小值为（）

A

A.1B.2C.3D.4

7.已知三点A,B,C共线，。民OC不共线且A在线段3c上（不含5C端点），^OA=xOB+yOC,

14

则一+—的最小值为（）

xy+1

7Q

A.不存在最小值B.-C.4D.-

8.如图，VA5C中，ZC=pAC=2,3。=痛+夜.在VABC所在的平面内，有一个边长为1的

正方形ADEF绕点A按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（）

A.[—3,5]B.[—4,6]C.[—5,9]D.[—3,4]

二、多选题

9.如图.尸为VABC内任意一点，角A民。的对边分别为。泊,。，总有优美等式

5PA+SPB+SPC=0^SL,因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题

mPBLC.1riVPAC.rrxDPAB

是真命题的有（）

A.若尸是VABC的重心，贝U有PA+P2+PC=0

B.若aPA+6PB+cPC=0成立，则尸是VABC的内心

21―.

C.若"=148+卜。，则以树与△.=2:5

D.若尸是VABC的外心，A=pPA=mPB+nPC则根+

10.在VA2C中，下列说法正确的是（）

A.若点H满足HA-HB=HB-H(j=HA.HC，则点反是VABC的外心

/\

AnAr1

B.若AP=X।~r+|~i(2>0),则AP所在直线经过VABC的内心

C.若|。小=|。q=|04=|0/,|四|=|祠=2,A=120°,则APAB的范围为[-2,6]

D.^AO=^AB+^AC,|Zfi|=4,|BC|=5,|AC|=6,则80/=胃

11.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心

依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉

线，该定理则被称为欧拉线定理.设点0、G、X分别是AABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中

点，贝I()

A.OH^OA+OB+OCB.SABG=SBCG=SACG

C.AH=3OMD.AB+AC=4OM+2HM

12.已知向量a=(l,g),b=(cosa,sind),则下列结论正确的是()

A.若a//b，则tana=\/5

B.若a16，则tana=-立

3

7T

C.若•与b的夹角为则|°-。|=3

D.若。与。方向相反，则方在。上的投影向量的坐标是

2

三、填空题

13.已知是单位向量，”为=0.若向量。满足|c-a-b|=l,则|c|的最大值是.

14.如图，已知正方形ABCD的边长为3,S.2BC=3BE+AB,连接的交CO于F,则

15.如图，在VA3C中，。是线段BC上的一点，且8C=4BD，过点。的直线分别交直线AB,AC

于点Af,N.若=AN=/JAC(A>0,/J>0),则％的最小值是.

A

12

16.在VABC中，N是AC上的一点，旦AN=—NC,P是8N上的一点，^AP=mAB+—AC,则

311

实数m的值为.

四、解答题

17.在VA3C中，过重心G的直线与边交于P,与AC边交于。，点P,。不与8,C重合.设△APQ

面积为S-VABC面积为S2，AP=xPB,AQ=yQC.

⑴求GA+G3+GC;

⑵求证：-+—=1；

xy

S

(3)求寸的取值范围.

62

18.如图，在VAOB中，OC=^0A,OD=^0B,A£＞与8c相交于点设。4=a，OB=b.

42

⑴试用〃，Z?表示向量OM;

⑵在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点R使得EF过点设OE=AOA,OF="0B，求X+〃

的最小值.

19.设向量a=(cosx,J^sinx),。=(1,一0),其中犬£[(),万].

⑴若(a-6)〃6,求实数x的值；

⑵已知且D,若〃尤)=a-c,求〃x)的值域.

参考答案:

1.A

根据题意如下图所示:

3

根据向量加法法则可知。O=CA+AO，又AZ)=3D5，所以=

4

^CD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CA+-CB,

44、,44

1.3

可得CO=—G4+—C5.

44

2.A

\a+Ab]-a\a+Ab]-a

a+—在向量q上的投影向量为'J〃=位，-=2.

同同

=>(〃+劝)•〃=同2+2同｛“cos120。=1-^2=2^>2=-2,

3.B

对于选项A：若==即O到A,氏C的距离相等，

根据外心的定义可知：。是VABC的外心，故A正确；

对于选项B：^CBIA=ACIB=BAIC=O^则CB_LZ4,AC_L/B,BA_L/C,

即/是三边高线的交点，所以/是VA5c的垂心，故B错误；

对于选项C：若PA.PB=PB-PC，

则京.丽一丽.丽=(PA-PCyPB^CA-PB^O,即C4_LP3,

同理可得：PA±CB,PC±AB,由选项B可知：P是VA5c的垂心，故C正确；

对于选项D：若NA+NB+NC=U，则福+而+而=2而+祝=6(。为48的中点)，

即讹=-2而，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；

4.C

VAE±BD,，AEED=0,又EC=ED+DC，

：.AEEC=AE-(ED+DC)=AE-DC,

DC=AB

・2

・・AEEC=AEAB=AE(AE+EB)=AE，

又四边形ABCD为矩形，AB=\,AD=2,AELBD,

AEBD^ABAD,BD=yf5,

.42有

••AE=-----,

5

4

AEEC=—.

5

5.A

如图所示，|Q4卜1,|。升=逝，则由题意可知：/APO=5

由勾股定理可得|24|=JOP-OT=1

IT

当点A。位于直线P0异侧时或PB为直径时，设ZOPC=a,O<a<-,

4

则：PAPD^=即方目|•明丽团|cos(a+£)

=1x^2coscrcosa+—

I4

仄、­•

=V2cosa—cosa------sina

=cos2a-sinacosa

1+cos2a1.八

-----------------sin2a

22

1V2

2-V

0<a<-9贝—<2a-2〈工

4444

jrjr

・•・当2々一?=-2时，PAPD有最大值1.

44

TT

当点A。位于直线尸。同侧时，设NOPC40<a<：,

4

则：尸A/5》=PAP£>COS

=1x0cosacosA一“

…qna\

=^2cosa

2

7

=cos2a+sinacosa

1+cos2a

+—sin2a

22

L4：

22

a<

°-P则齐2。+*

.•.当2。+?=与时，PA.如有最大值等.

综上可得，尸4尸。的最大值为匕亚.

6.B

22

解：由题意，MQ二-MP,且|加尸|=1,\AC\=^|AB|+|BC|=4,

BP=BM+MP,BQ=BM+MQ=BM-MP,

所以BPBQKBM+MPXBM-MPhBM2-1,

易知，当BMLAC时，最小，

所以画.忸C|=|AC|.忸般J即2x2屋4x|矶，,解得忸叫1ra“=6,

故BP的最小值为_1=2.

7.D

设04=08+54,因为A在线段BC上(不含BC端点)，

所以由向量共线定理设氏A=23C,(0<X<1),

所以04=05+5A=OB+X5C=O5+4(5O+OC)=(1—4)05+40。，

由题意有OA=xOB+y。。，所以x+y=(1—/1)+4=1,所以x+y+l=2,

>1(5+2749

2

y+1_4x%=-

当且仅当--x--=-y--+-1,即3；时，等号成立.

x+y=ly=-

所以一1+―4的最小值为;9.

xy+12

8.A

在VABC中，NC=5，AC=2,BC=R+啦,

由余弦定理得AB?=AC2+BC2-2AC-BCCOSC=4+(#+^)2-2X2(«+&)X¥=8,

所以43=2后，

又由正方形ADEF的边长为1,nrWAE=72,ZDAE=45,

则AEBD=AE-(AD-AB)AE-AD-AE-AB|AE||AD|COSZDAE-|AE||AB|COSNBAE

=A/2X1XCOS45-X2A/2COSZBAE=1-4COSZBAE，

正方形AD防绕点A按逆时针方向旋转(不少于1周)，可得cosN54Ee[-l,l],

所以1-4cosNBAEG[—3,5],即AEBD的取值范围是[-3,5].

9.AB

对于A：如图所示：因为D、E、产分别为C4、AB.5C的中点,

171

所以C尸=2尸石,S4EC=/5ABc，SAPC=]SAEC=]SA6C，

同理可得sAPB=§sABC、sBPC=~sABC,

所以SApBC—S4PAC-$△PAB,

又因为SMCB4+SPACPB+SPABPC=O,

所以m+~PB+~PC6.正确;

A

对于B：记点尸到AB、BC、C4的距离分别为4、％为，S△?Bc=；a%，S“Ac，

因为SPBCPA+SPACPB+SPABPC=O,

则.4.PA+gb-H.PB+gL/vPCuO,

即44？4+力4尸5+「4尸C=O,

又因为aPA+6P5+cPC=O，所以％=刈=网,所以点尸是VABC的内心，正确;

21

对于C：因为AP=gA3+yAC,

2131

所以尸A二——AB——AC,所以尸5=PA+A5=—A5——AC,

5555

24

所以尸C=PA+AC=—《45+《人。，

所以SPBC[——gAC?]+SPAC1|AB—gAC?]+S]—|AB+gA。]=0,

化简得：1—gSP8c+§SPAC—ySPA[+PBC--SPAC+—SPAB^AC=0,

又因为AB、AC不共线，

~~SPBC^~S=o

PAC_^sPABSpg-2s

所以::,所以PAB

4

~~SPBC~~S+S=GSPAC-2sPAB

PAC~PAB

qq

所以于"U.P45二~,错误;

q_i_c_i_v

^AABCuPBC丁0PAC丁2PAB

对于D：因为尸是VABC的外心，A=：,所以N3PC=],网=网=匹,

所以P5•PC=|PB|X|pc|xCOSNBPC=0,

因为PA=mPB+nPC，则|尸="2Mq?+ImnPB-PC+n2\pC^,

化简得：m2+n2=1,由题意知机、〃同时为负,

\m=cosa3兀厂（兀、

记1v,7t<a<—,贝U〃i+〃=coso+sina=，2sina+—,

[n=sina2<4J

因为曰＜T＜乎所以Xsin"：卜一冬

兀

所以-2W收sin|a+—<-1,

4

所以根+〃e[-A/2,-1),错误.

10.BCD

对于A,由=，得,即CAH3=0,

所以ACJ_"B；同理可得AB_L"C,BCLHA,

所以点”是VA2C的垂心，故A错误;

AB就

对于B,因为前,备分别是与AB，AC方向相同的单位向量,

AD\

ABAC

则E+。所在直线为-Bae的平分线，所以点尸在-2MC的平分线上，故B正确;

对于C,因为国=\OB\=\OC\=|OP],所以。为7ABC的外心,

且尸为VABC外接圆上一动点，又|同|=|而|=2,A=120°,

BC1

.•.VABC外接圆的半径r----------X—=2,

sin1202

2\AP\cosZPAD,

当尸。与圆相切时APAB取最值，即P在[处取最大值6,在鸟处取小值一2,

故C正确;

对于D,设。为中点，如图所示,

为VA3C的重心,

II-I\AB\+BC-AC=42+52-62_1

•••|ZB|=4,BC\=5,AC=6,由余弦定理可知，cosB=J_1-------3」।L

1II2AB|-|BC|2x4x5-W

BA-BC=4x5x—=—,所以=—x—i—x52=--,D正确.

823236

11.ABD

A.OG=^GH,:.OG=^OH,G为重心，所以GA+GB+GC=O,

所以OA-OG+O3-OG+OC-OG=0,

所以OG=1(OA+OB+OC),:.|OH=|(OA+OB+OC),

所以O〃=Q4+O8+OC，所以该选项正确.

x

B.SBCG=~BCxhl,S=—xBCxh2,

由于G是重心，所以乙二耳均，所以SBCG=§S

同理SABG=]SA5C，SACG=§S.A5C，所以SABG=BCG=ACG，

所以该选项正确.

C.AH=AG+GH=2GM+2OG=2(OG+GM)=2OM，所以该选项错误.

D.OH=3OG,/.MG=-MO+=-OM+-HM,

3333

所以A3+AC=2AM=6GM=6(|OM+|HM)=4OM+2HM，所以该选项正确.

12.ABD

向量a=(l,逐)，b=(cosor,sinor),

对于A,由q//b，得sina=\/5cosa,因此tana=6，A正确；

对于B,由得gsina+cosa=0,因止匕tana=-，^,B正确;

3

兀]

对于C,。与b的夹角为|〃|=2,|b|=l,a-b=2xlx—=l,

因此|—Z?|=4ci+b—2a-b—g'C错误；

对于D’“与》方向相反，则b在"上的投影向量为景J-＞闾'D正确.

13.A/2+1/1+V2

法一由。为=0,得aJ_6.

如图所示，分另ij作。4=。,。8=》,作,0。=。+人

由于是单位向量，则四边形OACB是边长为1的正方形，所以|OC|=0,

作OP=c，贝『c-a-b|=|OP-OC|=|CP|=l,

所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.

由图可知，当点。，C,尸三点共线且点尸在点P处时，IOPI取得最大值夜+1,

故|c|的最大值是0+1,

故答案为：6+1

法二由。-6=0,得a_L6,

建立如图所示的平面直角坐标系，则04=。=(1,0),。2=6=(0,1),

设c=OC=(x,y),由|c-a—b|=l,

得(x-l)2+(y-l)2=l,

所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.

所以1。二=3+1

故答案为：V2+1

14.-69

以8为坐标原点，BC为无轴正方向，54为，轴正方向，建立直角坐标系，则C(3,0),2(0,3),

设EO,y),可得AE=(x,y-3),EC=(3-x,-y),

因为2"=325+42，则+可得AE=2EC,

[x=2(3—x)fx=2

即IJ,解得一即E的坐标为(2,1),

[y-3^-2y[y=l

设网3即),则加=(2,1),BF=(3,m),

3

由2EV/2/可得2根=3,解得根=],

则8尸=，,|1,C4=(-3,3),nJ^C4+2BF=(3,6),1G4-4BF=(-13,-5)

所以(G4+2Bfj(；CA-4BB]=3(-13)+6x(-5)=-69.

故答案为：-69.

15.2-73-4/-4+2A/3

平面向量基本定理，借助民DC三点共线可知：

AD=xAM+(1—x)AN=xAAB4-(1—x)/nAC,

2,x=-

AD=AB+BD=AB+-BC=-AB+-AC^\4解得〃=」—,所以

444\142-3

^^-2+--4>2./2---4=273-4

"AAv2

故答案为：2道-4.

在VABC中，由AN=」NC得：AN=-AC,因为P是8N上的一点，贝U有BP=eR,

34

B.

ANC

BPAP—AB-MAN—AB},AP=(1—A^)AB+AAN=(1—%)ABH—AC,

4

m=l-A

23

XAP=mAB+—AC,且A氏AC不共线，于是得42,解得机二y,

11——=—

1411

所以实数机的值为。3.

3

故答案为：—

17.(1)0

(2)证明见详解

41

⑶?2

(1)设。出尸分别是BC,AC,A3的中点,

由于G是VABC的重心，则G为4XBE、CF的交点,

则AG=2GD,GA=-2GD,GB+GC=2GD，

所以襦+GB+GC=GA+2GD=0.

(2)AP=xPB,AQ=yQC,PB=^-AP,QC=^AQ,

l+-jAP,AC=A2+eC=

贝I]AB=4尸+尸3=■-卜。,

AG=-AD=-x-x(AB+AC)4I+1-]AP+\X+-\AQ

332、Xy

111

i+-|AP+||i+l|Ae,

3Xy

由于RG,Q三点共线，所以3(1+工1〕+:i(1+1i]=1,

x3y

整理得工+工=1.

%y

||AP|-|Ae|-sinZPAQAP-AQ

(3)二

$21

4|AB|.|AC|-sinZBACABAC

2

II11

1111.1

l+-1+++

xyXyxyxy

B

13

18.(1)OM=-a-\--b

⑶4+2白

7

（1）设前=tAD，

OM=OA+AM=OA+tAD=OA+t(OD-OA

=(l-t)OA+tOD=(l-t)OA+^tOB=4(l-t)OC+^tOB,

由于CM,3三点共线，所以4（1-。+L=ln*