基本不等式及其应用（11题型+限时提升练）-2025年高考数学二轮复习专项提升

热点02基本不等式及其应用

明考情.知方向——

三年考情分析2025考向预测

不等关系与不等式、分式不等式，绝对值不等式的解分式不等式，基本不等式及其应用

法、一元二次不等式及其应用、基本不等式及其应用

热点题型解读

殖1不初的性质

题型7基杯等西寸国雌应用

壁2分式襁式

题型8基本不等式与平面向量的综合应用

醒3绝对值不等式

避9基本不等式与三角函数和解三角形的综合应用暨上警

——及其应用

壁4一元二次不会

[睡1。基本不等式与导数的综合应用卜//\\

避5对数格式

谈1曲哪融应用

壁6基式用

题型1不等式的性质

-4■■HI■■

1.比较大小的常用方法

(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.

(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.

(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.

2.判断不等式的常用方法

(1)利用不等式的性质逐个验证.

(2)利用特殊值法排除错误选项.

⑶作差法.

（4）构造函数，利用函数的单调性.

I

1.（2024•工渔）a,b,ceR,b>c,卡列示尊式恒成立而是j）

A.a+b2>a+c1B.a2+b>a2+cC.ab2>ac1D.a2b>a1c

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：对于/,若则/<。2,选项不成立，故/错误；

对于8,a2=a2,b>c,

由不等式的可加性可知，a2+b>a2+c,故B正确.

对于C、D,若a=0,则选项不成立，故C、D错误.

故选：B.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

2.（2024•上海杨浦•二模）已知实数b,c,1满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是（

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【详解】对于ABD,取a=2,6=l,c=-2,d=-4,满足。>6>0>c>",

显然a+d=-2<-1=b+c,ad=-S<-2=be,ac=-4=bd,ABD错误；

对于C,a>b>0>c>d,贝!]a+c>b+d,C正确.

故选：C

3.（2024•上海闵行•三模）设a,b,。是不全相等的实数，随机变量J取值为b,c的概率都是g,随

机变量为取值为，———,“二的概率也都是；,则（）

2024202420243

A.£©<£[〃],。团<。团B.£1©=£[〃],D[<^]>D[f]]

C.E[^\<E\TJ],。团=。团D.£团=£团，。团=以川

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】作差法比较代数式的大小、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差

【分析】首先求出£团，设/=；（a+b+c）,从而得到。团，司〃]、。团，再利用作差法判断。团与D团

的大小关系，即可得解.

【详解】因为随机变量4取值为。，b,c的概率都是g,

二百团=g(a+6+c),设t=§(a+6+c),

则0[^=|[(«-/)2+(6-/)2+(c—)[

+i2+c2-2(tz+6+c)Z+3r2]=；[〃+b2+/-6/+3»]

a+2023bb+2023cc+2023a的概率都是;,

随机变量〃取值为

202420242024

r-ilfa+2023b6+2023。C+2023Q

\3------1---------1------=§(Q+b+c),

202420242024

222

a+2023bI+Z)+2023c1+c+2023aj

。团=;202420242024

222

]_a+2023b6+2023。c+2023a

I+I+—6%+3t2.

3202420242024

由Q,b,。是不全相等的实数,

222

a+2023b1+b+2023clc+2023a

20242024+2024

)2

J2023a72023bV2023Z-72023cYj2023c-J2023a

、++>0,

202420242024

222

a+2023b6+2023。c+2023(2

>I+1+I，二。团>。团;

202420242024

综上，£团=土团,D[^]>D[n].

故选：B.

4.（2024•上海静安•二模）在下列关于实数。、b的四个不等式中，恒成立的是,（请填入全部正确的

序号）

2

a+b

I>ab；(3)\a\-\b\<\a-b\-@a2+b2>2b-l.

2

【答案】②③④

【难度】0.65

【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系

【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证Ml-W回即证2同2a6可判断③.

【详解】对于①，取。=-18=1,故①错误;

22

a+b〃+b?+2ab—4Q6tz2+Z)2-2aba-b

对于②,-abI>0,故②正确;

2442

对于③，当时之同，要证|。|一他国。一切,即证（同-附24（|"6『

即|a|2+|Z?|2-2回网<a1+b2—lab,即证2时网>lab,

而2同回22成恒成立，

当何<同时，同一回(0,|。一班0,所以回一|6国”勿，故③正确.

对于(D，—26+1=/+伍_1)>o,所以。2+6?226—1，故(J)正确.

故答案为：②③④.

题型2分式不等式

00混

分式不等式的解法：

基本思路：应用同号相乘(除)得正，异号同号相乘(除)得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程

中，变形的等价性尤为重要。

基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；②左边进行通分，化为形如△^的形式;

g(x)

③同解变形：^>0^/(x)-g(x)>0；&<0o/(x>g(x)<0；

gWg(x)

/(X)〉n。.g(x)20/(X)0f/W-g(x)W0

g(x)一〔g(x)中0'g(x)—〔g(x)中0

L(2024•上海闵行•一模)不等式A2x—11<0的解集为_____

x-1

【答案】加

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】将分式不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可.

【详解】不等式上1<0等价于(x-l)(2x-l)<0,解得:<X<1,

x-12

所以不等式生?<0的解集为1].

x-112)

故答案为：

2

2.(2023•上海普陀•曹杨二中校考模拟预测)不等式上二20的解集是______.

X—1

【答案】。,+⑹U{0}

【分析】把分式不等式转化为Fa;);。，从而可解不等式.

[X—IwO

【详解】因为上20,所以「(丁)j°，解得X>1或X=O,

x-l[x-l/O

所以不等式的解集是(I,+8)U{O}.

故答案为：(l,+«)U{0}

题型3绝对值不等式

00日W

常见绝对值不等式的解法与结论：

①几个基本不等式的解集

(1)\x\<a(a>0)<^x12<a2<^-a<x<a；(2)\x\>a(a>0)^>x2>a2^x>a,^x<-a;

(3)\x-m|<a(a>0)^>-a<x-m<a<^m-a<x<a+m；(4)|x-冽|>Q(Q>0)=X-加>q,或x-加<-〃=%>加+a,或冽-a

②几种主要的基本类型

(1)l/(x)A|g(x)|钙/(x)>g2(x)(平方法)；(2)贝x)〉g(x)(g(x)>O)u?/a)>g(x),或/(x)<-g(x);

(3)|/(x)|<g(x)(g(x)>O)=-g(x)勺(x)<g(x);

(4)含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.

1.(2023•上海)不等式|x-2|<l的解集为.

【分析】原不等式可化为-1<尤-2<1,从而求出x的范围.

【解答】解：由|x-2|<l可得，-I<x-2<1,

解得1<x<3,

即不等式的解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题.

2.(2023•上海)不等式的解集为：.(结果用集合或区间表示)

【分析】运用|x|W。<=>-a(Wa,不等式即为-2<x-l<2,解出即可.

【解答】解：不等式|x-l&2即为-2令-&2,

即为-l4xW3，

则解集为[-1,3],

故答案为：[-1,3].

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于基础题.

3.(2024・上海静安•一模)不等式|2x-l|<3的解集为.

【答案】(7,2)

【难度】0.85

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、平方法解绝对值不等式

【分析】将不等式转化成一元二次不等式求解即可.

【详解】由不等式|2X-1|<3,得(21)妥-9<0,即(2x+2)(2x-4)<0,解得T<x<2,

所以原不等式的解集为(-1,2).

故答案为：(-1,2)

4.(2024•上海・三模)己知集合/=门上一1|<1},S=,则/口8=.

【答案】(1,2)

【难度】0.85

【知识点】几何意义解绝对值不等式、分式不等式、交集的概念及运算

【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B,再根据交集的定义计算可得.

【详解】由上一1|<1,BP-Kx-Kl,解得0<x<2,

所以/={尤以-1]<1}={x[0<x<2},

由一<1,即一<0,等价于(l-x)x<0,解得无>1或尤<0,

XX

所以8='：<11=(一汽0)3(1,+00),

所以4cB=(l,2).

故答案为：(1,2)

5.(2022・上海•模拟预测)已知函数〃x),甲变化：/(x)-/(x-0；乙变化：\f(x+t)-f{x}\,z>0.

⑴若f=l,/(x)=2\〃x)经甲变化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若〃x)=/,/'(X)经乙变化得到〃(x),求不等式以x)V/(x)的解集；

⑶若“X)在(-8,0)上单调递增，将“X)先进行甲变化得到a(x),再将〃(x)进行乙变化得到％(x);将“X)

先进行乙变化得到v(x),再将v(x)进行甲变化得到为(尤)，若对任意”0,总存在4(x)=H(x)成立，求证:

〃尤)在R上单调递增.

【答案】⑴x=2；

(2)(-8,(1-/用a(1+加兑+8)；

⑶证明见解析.

【难度】0.4

【知识点】解含参数的绝对值不等式、解含有参数的一元二次不等式、简单的指数方程、定义法判断或证

明函数的单调性

【分析】(1)由题设可得g(x)=2^=2,求解即可.

(2)由题设有f|2x+f区讨论》<一；、xN-：分别求解即可.

(3)将题设化为对于任意f>0存在|[/(x+0-/«]-[/(%)-/(XT)]|=|/(x+/)-/(x)|-|/(x)-/(x-/)|,

即可证结论.

【详解】⑴由题设，甲变化为则g(x)=2—2i=2-

g(x)=2'i=2,解得x=2.

(2)由题设，h{x)=|(x+02-x2\=t\2x+t\,又〃(x)4/(x),

■•■t\2x+t\<x2,

当2x+/<0,即尤<-：时，贝！|f+2fx+/=(x+/)220,恒成立；

当2x+/20,即时，则«一2氏+』=(x7)222/,解得：x<(l-V2)Z^x>(l+V2)Z.

综上，不等式解集为(-8,(1-V2MU[(1+V2);,+»).

(3)由题设，u(x)=f(x)-f(x-t),则40)=|〃设+/)-“(尤)|=|/0+/)-2/(>)+。(尤-/)|,

v(x)=\f(x+t)-f(x)\,则似x)=v(x)-v(x-t)=|f(x+t)-f(x)I-|f(x)-f(x-t)\,

•.•当九(x)=%(x)成立,“X)在(-8,0)上单调递增,

.•.I[/(X+0-Z(x)]-[/(x)-/(x-/)]\=\f(x+0-fix)|-|f(x)-f(x-t)\,

，对于任思t>0总存在4r,、//、，/、成x，

・・・/(X)在R上单调递增，得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意f>0存在4(x)=%(x),判

断函数在实数域上单调性.

题型4一元二次不等式

「二二二

I____________________________________________________________________________________

!一元二次不等式在求解时应当注意事项

（I）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正；

（2）①因式分解；②判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式;

（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；

i（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；

（5）写解集：根据图象写出不等式的解集。

1.（2024,上编徐汇・一模）不等式x2-4x+3<0的麓藁为.

【答案】（1,3）

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】通过因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可.

【详解】不等式小4彳+3<0化为-3）<0,解得l<x<3,

2

不等式X-4X+3<0的解集为（1,3）.

故答案为：（1,3）.

2.（2024•上海奉贤•一模）已知xeR,则不等式x?-x+2>0的解集为.

【答案】R

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用二次函数的判别式的符号，判断不等式恒成立.

【详解】因为A=l-8=-7<0,所以不等式f-x+2>0的解集为R.

故答案为：R

3.（2024・上海崇明•二模）不等式x（x-l）<0的解为.

【答案】（0,1）

【难度】0.94

【知识点】解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案.

【详解】因为x（xT）<0,所以0<x<l.

故答案为：（0,1）

题型5对数不等式

1.（2024•上海宝山•二模）宅研向厂（一-厂

A.a2>b2B.2a<2b

logj^d>\o^b

C-后<京DL

22

【答案】A

【难度】0.94

【知识点】比较对数式的大小、由不等式的性质比较数（式）大小、比较指数累的大小

【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，及函数单调性，即可求解.

【详解】a>b>0,

则/>〃，故A正确；

2">2",故B错误；

>序,故C错误；

\OgLa<\OgLb｝故口错误.

22

故选：A.

2.（2024・上海嘉定•一模）函数了=1。82（X2-1）的定义域为.

【答案】（-巩T）U（l,+s）

【难度】0.94

【知识点】求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】利用对数函数的定义，列出不等式求解即得.

【详解】函数>=log2（x2-l）有意义，贝1］一一1>0,解得x<T或

所以函数7=log?（--1）的定义域为U（1,+co）.

故答案为：（-»,-1）U（l,+»）

题型6基本不等式及其应用

0O

1.几个重要的不等式的变形

①a』222ab9、6GR）.；②）+巴N2（a、6同号）；③G/+"（a、6GR）.

abI2J2

已知T>0,y>0,则

2.平均值不等式与最值

（1）若王+尸S（和为定值），则当x=y时，积盯取得最大值了

（2）若盯=,（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2方；

即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小一值:

两个正数的和为常数时，它们的积有量大值。

1.（2024・上海静安•一模）若用，替换命题"对于任意实数d,有小20,且等号当且仅当d=0时成立"中的

d,即可推出平均值不等式“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个

正数相等时成立".则t=.

【答案】夜-布（答案不唯一，可以为6-五或其它字母表示的表达式）

【难度】0.85

【知识点】基本不等式的内容及辨析

【分析】根据给定的信息，取正数。力，作差变形推导即可得解.

【详解】取正数凡6,则a+b-2«K=（折-Ml）20,当且仅当a=6时取等号，

因止匕“+621y[ab，即"2"-d，

于是“任意两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值，且等号当且仅当这两个正数相等时成立

显然/=（夜-〃）2,取t=&-&.

故答案为：4a-4b

2.（2024•上海奉贤•三模）若a+6=l,则仍有最大值为.

【答案】L/0.25

4

【难度】0.85

【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求积的最大值

【分析】根据基本不等式即可求解.

【详解】因为。+6=1,显然当时，取得最大值，所以a+6=12,

当且仅当a=6时等号成立，所以

4

所以仍有最大值为;.

故答案为：

3.（2024・上海徐汇•二模）若正数a、b满足l+：=1,则2a+6的最小值为____.

ab

【答案】3+2V2/2V2+3

【难度】0.85

【知识点】基本不等式"1"的妙用求最值

【分析】根据基本不等式求解.

【详解】由已知2a+6=（2a+6）（1+：）=3+学+^23+2&,当且仅当孕=幺，即0=1+也/=1+a时

abbaba2

等号成立，故所求最小值是3+2血.

故答案为：3+272.

4.（2024・上海奉贤二模）某商品的成本C与产量4之间满足关系式。=。①），定义平均成本G=e（q）,其

中心=詈，假设c（q）=；/+100,当产量等于时，平均成本最少.

【答案】20

【难度】0.85

【知识点】基本（均值）不等式的应用

【分析】根据条件得到e=子+”2,再利用基本不等式，即可求出结果.

4q

12_____

【详解】由题知,_C（4）_W"+二°_4I10042，10°T0,

qq4q^4q

当且仅当一=吧，即4=20时取等号，

4q

故答案为：20.

■■■■■■MM--MMMMMM-MM■■■■■MMM-■■■■■■■■■■IW-■■■■■■-MM■■1^^・■■-MM

题型7基本不等式与幕指对函数的综合应用

1.（2024•上海普陀•模拟预测）函数y=log”（x+2）-l（a>0,且。片1）的图像恒过定点/,若点/在直线

mx+ny+2=0±，,其中加>0,«>0,则'+'的最小值为.

mn

【答案】2

【难度】0.65

【知识点】基本不等式"1"的妙用求最值、对数型函数图象过定点问题

【分析】先由题意结合iog（,i=0求出点a进而由点/在直线上得加+〃=2,再结合基本不等式常数"1"的

妙用即可求解.

【详解】因为log“l=0,所以函数>=log.（x+2）-l（a>0且。片1）的图象恒过定点（T,T）,

即^（-1,-1）,

又点N在直线加x+"V+2=0上,故机+〃=2,

,,c八11（1I]、1（n加、1（f~n晟）八

又加>0,〃>0,所以一+—=——F—（加+〃）=—2+—H—>—2+2./一x一=2,

mn2\mn）2（mnJ2（Nmn

当且仅当己='即加="=1时等号成立,

mn

所以--H—的最小值为2.

mn

故答案为：2.

2.（2024上海嘉定・模拟预测）已知函数/（力=|1吗$,若"6,且/（°）=/伍），则4+2力的取值范围是.

【答案】（3,+8）

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、对数函数图象的应用、对数的运算

【分析】画出/（尤）=口脸乂的图象，数形结合可得0<。<1]>1,ab=\,故。+26=。+7然后利用对勾

函数的单调性即可求出答案.

【详解】/（x）=|log3x|的图象如下：

因为0<a<6且/（。）=/®,所以|log3al=|log3同且

2

所以一log3Q=log3b,所以Qb=l,故。+2b=Q+—,

a

22

由对勾函数〉=x+—在（0,1）上单调递减，所以。+26=。+—>1+2=3,

xa

所以4+2方的取值范围是（3,+8）.

故答案为：（3,+8）

3.（2024・上海闵行•三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项,

毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今

天大致相同.若2。+2=1，则（平+1）（46+1）的最小值为.

【答案】§25

16

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求积的最大值、指数募的运算

【分析】令机=2",〃=2J结合基本不等式可得（4"+1乂斗+1）可化为-1『+1,求二次函

数在区间上的最小值即可.

【详解】不妨设m=2",〃=2J则心>0,〃>0,

所以1二加+mn，当且仅当加=〃=2时取等号,

即0〈加〃W,当且仅当加=〃=g时取等号，

42

所以(4"+1)(4"+1)=(加之+1)(/+1)=(mn^+m2+n2+\=(mr*+(m+〃J_2mn+1

=(mw)2—2mn+2=[mn-1)2+1,(0<mn-)

所以当加”;时，(半+阳+1)取得最小值||.

25

故答案为：--

16

题型8基本不等式与平面向量的综合应用

1.(2024・上海金山•二模)已知平面向量£、务、"满足：以|=巧|=1,a-c=b-c^\^则£片+片的最小值

为.

【答案】2V2-1

【难度】0.4

【知识点】基本不等式求和的最小值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义

【分析】根据条件推理得到)在£方向上的投影数量等于"在方方向上的投影数量，且等于血=⑹=1,

口,"〉=苗粉，故可以作出图形，设出位3〉=0,将所求转化成关于。的函数形式，利用基本不等式即可求

得.

【详解】因由W)=1可得©cos〈a,c〉=©cos〈&c〉=1,

即)在£方向上的投影数量等于)在刃方向上的投影数量，且等于以|=|司=1,

又由cos〈a,c〉-cos(b,c)可得〈a,c)=(b,c),不妨设〈a,c〉=0,

__一1一—一21o|

则Q%=cos28，Ic|=------,于是=COS26H--------=2cos3-\-------1,

cosacos6cos6

因ee[0,n],则Ovcc^evi,因2cos?6+」；22后，当且仅当cos?6=立时，等号成立，

cos02

即当cos2e=走时，Z4+7取得最小值2拒一1.

2

故答案为：2及-1.

【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解£出1的相互关系，设出

夹角凡将所求化成关于。的函数形式.

2.(2024・上海・三模)空间中42两点间的距离为8,设的面积为S,令％=|耳2.和若22%=3,

则S的取值范围为.

【答案】（0,12向

【难度】0.4

【知识点】利用不等式求值或取值范围、向量与几何最值、三角形面积公式及其应用

【分析】根据公式万石对向量进行处理，再结合不等式得出

RM-16+\P2M-16+|^M-16=0,即可推出点6,巴线在以M为球心4为半径的球面上，从可求得答

案.

【详解】由题意可知4=耳黑踮H；［（以+尊）2一（镇一踮）［，

设48中点为则数+踮=2而，P^4-P^B=BA,

所以4=：［（2啊）2_第1=〔而2_161

3_______

由£24=3,得2%+2&+2%=3,则3=2%+2>+2匕3324+&+"

i=\

当且仅当24=24=2右时等号成立，则24+4+4二1,

即4+4+4V0,即丽2-16+|既2-16+丽2-16<0,

贝I］府2—16+|^M2-16+1}M2-16=0,即丽2=16」所卜4,

即点6％［在以M为球心4为半径的球面上，

先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；

设△48C为半径为r的圆的内接三角形，

则Suae=~absinC--2rsinA-2rsinB-sinC=2/siiL4sinSsinC

2

<2r［siM+si,+sinC］,当且仅当si辿=sinB=sinC时等号成立，

即△NBC为正三角形时，其面积取到最大值速

4

由于点4,6,A在以M为球心4为半径的球面上，故月的面积S可以无限小，

%=哈16=125

即S的取值范围为（。，12石］,

故答案为：（0，126］.

【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用3石=；[（3+刈2-（@-不）2]以及均值不等式推出

--------»2--------2--------»2

P{M-16+\P2M-16+\P3M-16=0,从而推出点耳巴山在以〃为球心4为半径的球面，即可求解.

题型9基本不等式与三角函数和解三角形的综合应用

1."七6五.王福雷奈二稹5而'瓯一橐"直隔二诵拓囱藏孤在:箕苒AB=40^,一茄二5（保,1a0--F

分别为CZ）的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为A、B,半径均为20米），其

余区域为草坪.现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段即上，另外两

个顶点在线段CD上，则该游乐区面积的最大值为平方米.（结果保留整数）

【答案】137

【难度】0.65

【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小

值

【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为G,

ZMAE=0,0e[o,^,由三角形全等得到/尸40=:一8,将三角形面积的表达式用夕表示，从而转化为三

角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解.

【详解】设游乐区所在的三角形为M在线段所上，尸,0在线段。C上，如图所示，

当尸分别于圆弧相切时，邑3取得最大值，

由对称性，只讨论

设与圆弧相切于点G,连接

设NM4E=（9,ee（0，E],因为■三Z\M4G,/\PAD=APAG,

--20

则乙3G=6,

zpAD2—，一f)

24

因为4E=E尸=。尸=40=20,所以〃E=20tan。，=20-20tan。，

PZ)=20tan(：-6j,PF=20-20tan^-61j,

所以丛四=2SPFJ/=2x|(20-20tan20-20tanf^-^

\

Tt八

tan——tan，

=400(1-tan6>)1-4=800x------------------L

JI1+tan0

1+tan—•tan0

4)

因为de所以tan0e(0,l),

令t=1+tan。e(1,2),则tan6=f-l,

则Sp°M=800•"平辿=一800(/+7一3卜一8002^r|-3=2400-160072,

2

当且仅当t=7,即「=夜时等号成立，

所以(SPQM[a,=2400-1600V2。137平方米，

即该游乐区面积的最大值为137平方米.

故答案为：137.

2.(2024・上海宝山•二模)在ANBC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

sin?/+sin2C=sin22?+sirUsinC.

(1)求角8的大小；

(2)若AZBC的面积为百，求a+c的最小值，并判断此时A/BC的形状.

【答案】(1)(

(2)4,ZUBC为等边三角形

【难度】0.65

【知识点】基本不等式求和的最小值、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正、余弦定理判定三角形

形状、正弦定理边角互化的应用

【分析】(1)由正弦定理角化边可得力+°2=62+碇，进而根据余弦定理可求8；

(2)由三角表面积可求得碇=4,根据均值不等式可求得a+c的最小值，根据取得最小值可判断三角形的

形状.

【详解】([)由正弦定理得/+c2=/+ac,

又由余弦定理得cosB="+c2"=旦=!，

laclac2

因为8是三角形内角，所以8=5TT；

(2)由三角形面积公式得：

V=—acsmB=—tzcsin—=——ac=43,

3ABC2234

解得ac=4,

因为q+c22yl~ac=4，当且仅当a=c=2时取等号,

所以Q+c的最小值为4,此时△45。为等边三角形.

题型10基本不等式与导数的综合应用

L(2023.上海黄浦二行)-巨疝双数°,6,c满足：°；笄江谪靛二口=3,则:葭雨茄普金五.

【答案】[-2,2]

【难度】0.4

【知识点】基本(均值)不等式的应用、由导数求函数的最值(不含参)

【分析】首先利用不等式求得-24a42,通过减少变量得〃")=。(/-3),再利用导数求出其值域即可.

【详解】由题意得b+。=-=/一3,

由(b+c)2>46c得/T4(/-3),得a：44,所以-2WaW2,

令f(a)=abc=a(^a2-3^-a3-3a,

/,(a)=3a2-3=3(a+l)(a-l),

当ae[-2,2]时，/⑷>0,此时〃a)在和(1,2]上单调递增,

当ae(-1,1)时，/'⑷<0此时/(a)在(-1,1)单调递减，

所以7(。)的极大值为"T)=2,f{a}的极小值为/⑴=-2,

又因为〃-2)=-2,/(2)=2,

则。加的取值范围为12,2].

故答案为：12,2].

2.(2024・上海•模拟预测)对于一个函数〃x)和一个点令s(x)=(x-a>+(〃5-4,若

尸(/J(X。))是s(%)取到最小值的点，则称?是M在“X)的”最近点〃.

(1)^^/«=-(^>0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得点P是/在f(x)的“最近点〃；

⑵对于〃x)=e、M(l,0),请判断是否存在一个点尸，它是〃在〃x)的“最近点”，且直线M尸与了=/(x)

在点P处的切线垂直；

⑶已知V=/(x)在定义域R上存在导函数7'(无)，且函数g(无)在定义域R上恒正，设点给«-1,/⑺-g⑺),

M2(f+l,/(/)+g(/)).若对任意的feR,存在点P同时是陷,在的“最近点”，试判断〃x)的单调

性.

【答案】⑴证明见解析

⑵存在，尸(0,1)

⑶严格单调递减

【难度】0.4

【知识点】基本不等式求和的最小值、由导数求函数的最值(不含参)、用导数判断或证明已知函数的单调

性、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】(1)代入河(0,0),利用基本不等式即可；

(2)由题得s(x)=(x-l)2+e2，，利用导函数得到其最小值，则得到P,再证明直线与切线垂直即可；

(3)根据题意得到sMxJnSz'ajnO,对两等式化简得/"(%)=-七，再利用"最近点”的定义得到不等

式组，即可证明/=乙最后得到函数单调性.

【详解】(1)当M(0,0)时，s(x)=(i+口一o]2=.+晨2k」=2,

kA-JXyX

当且仅当丁=1即无=1时取等号，

故对于点“(0,0),存在点尸(1,1),使得该点是M(o,o)在“X)的"最近点”.

(2)由题设可得s(x)=(x-l)2+(e*-0)2=(x-l)2+e2x,

则s'(x)=2(x-l)+2e",因为〉=2(x-l)/=2e2*均为R上单调递增函数，

则s'(x)=2(x-l)+2e2、在R上为严格增函数，

而丁(0)=0,故当x<0时，s'(x)<0,当x>0时，s'(x)>0,

故s(x)mni=s(0)=2,此时尸(0,1),

而广(x)=ef=/⑼=1,故〃x)在点p处的切线方程为y=x+1.

而/？=y=一1，故l"左=T，故直线与y=/(x)在点尸处的切线垂直.

(3)T^Sj(x)=(x-Z+l)2+(/(x)-/(；)+g(；))2,

22

s2(x)=(x-f-1)+(/(x)-/(/)-g(?)),

而s；(x)=2(xT+1)+2(/(x)-/⑺+g(/))/(x),

s；(x)=2(x--1)+2(〃x)-/⑺-g(/))7,(x),

若对任意的/eR,存在点尸同时是在/(x)的"最近点"，

设尸(%，%)，则X。既是Si(x)的最小值点，也是S2(X)的最小值点,

因为两函数的定义域均为R,则%也是两函数的极小值点，

,

则存在与，使得s；(x0)=s2(xo)=O,

即可'(％)=2伍—+1)+2/，(%)[/伉)-/(/)+8(/)]=0①

s；(%)=2(/T一1)+2((%)[〃/)一/⑺一g(/)]=0②

由①②相等得4+4g(f).r(Xo)=O,即1+C(x(,)g得=0,

即/'(%)=-工，又因为函数g(x)在定义域R上恒正，

g(t)

则/'伉)=-一[<0恒成立，

g«)

接下来证明％

因为X。既是、(X)的最小值点，也是S2(无)的最小值点，

则S](XO)VS(O,S2(XO)4S«),

即(Xo-f+l)2+(/(Xo)-〃0+g(0)2Vl+(g(。)2,③

22

(x0-?-1)+(/(x0)-/(?)-g<1+(g(Z)),④

③+④得2(x。-)2+2+2[/(x0)-/(疔+2g2(Z)<2+2g2(t)

即Go-行+(/伉)-/⑺yV0,因为0,(/-/(O)22。

则”(讣)⑺3解得一，

则/'«)=——1<0恒成立，因为/的任意性，则/(x)严格单调递减.

【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到/■'(%)=一工，再利用最值点

g(/)

定义得到%=/即可.

3.(2023・上海宝山•二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体.如：方程〉=履+1中，当先取给定

的实数时，表示一条直线；当左在实数范围内变化时，表示过点(0」)的直线族(不含了轴).记直线族

2(a-2)x+4y-4a+a2=0(其中aeR)为中,直线族y=3〃x-2「(其中cO)为Q.

⑴分别判断点4(0,1),8(1,2)是否在乎的某条直线上，并说明理由；

(2)对于给定的正实数%,点尸(%,%)不在。的任意一条直线上，求为的取值范围(用/表示)；

⑶直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上

每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.求。的包络和平的包络.

【答案】⑴点/(0,1)在中的某条直线上，点8(1,2)不在乎的某条直线上；

3

(2)(X0,+(»)；

2

⑶。的包络方程为7=/(x>0),中的包络方程为>=2+1.

-4

【难度】0.4

【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系、由导数求函数的最值(不含参)、求在曲线上一点处

的切线方程(斜率)

【分析】(1)分别把点48的坐标代入直线族中的方程，然后判断方程是否有实数解即可.

(2)由点P(x。,%)不在。的任意一条直线上，得到关