2024-2025学年新教材高中数学 第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差（教师用书）教学设计 新人教A版选择性必修第三册

2024-2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.3.2离散型随机变量的方差（教师用书）教学设计新人教A版选择性必修第三册学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：2024-2025学年新教材高中数学——第七章《随机变量及其分布》7.3.2《离散型随机变量的方差》（教师用书）

2.教学年级和班级：高一（1）班

3.授课时间：2024年10月26日，星期五，上午第二节课

4.教学时数：1课时

🎓亲爱的一年级同学们，咱们今天要一起探索数学的奥秘，揭开离散型随机变量方差的神秘面纱。准备好你的笔和纸，咱们课堂见！📚✨核心素养目标同学们，通过今天的学习，我们要培养以下几个方面的核心素养：

1.数学抽象：学会从具体问题中抽象出离散型随机变量的概念，理解方差的意义。

2.逻辑推理：通过计算实例，锻炼逻辑思维能力，掌握方差的计算方法。

3.数学建模：运用方差分析实际问题，提高解决实际问题的能力。

4.数学运算：熟练运用数学运算技能，提高计算准确性。

5.体会数学：感受数学在生活中的应用，增强对数学学习的兴趣。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

同学们在此之前已经学习了概率论的基本概念，了解了随机变量的定义，以及离散型随机变量的分布列。这些知识为今天学习离散型随机变量的方差奠定了基础。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高一的学生对数学的兴趣普遍较高，他们喜欢探索未知，对数学问题充满好奇心。在能力方面，大部分同学具备一定的逻辑推理能力和数学运算能力。学习风格上，有的同学喜欢通过实例理解概念，有的则更倾向于抽象思维。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习离散型随机变量的方差时，同学们可能会遇到以下困难：

-理解方差的概念和意义，如何从分布列中计算方差。

-在计算过程中，如何避免常见的错误，如混淆平均数和方差的概念。

-将方差应用于实际问题，如何从实际问题中提取关键信息，建立数学模型。

为了帮助学生克服这些困难，我们将通过实例讲解、小组讨论和实际问题解决等方式，逐步引导他们理解和掌握方差的相关知识。教学方法与策略1.教学方法：本节课将采用讲授法结合讨论法，首先通过讲解方差的基本概念和计算方法，帮助学生建立初步理解。随后，通过小组讨论，让学生在互动中深化对概念的理解。

2.教学活动：设计“方差计算挑战”游戏，让学生分组进行方差计算竞赛，提高学生的参与度和计算技能。此外，安排“案例分析”环节，让学生通过解决实际问题，应用方差知识。

3.教学媒体：利用多媒体课件展示离散型随机变量的分布列和方差计算步骤，并通过投影仪展示学生作品和讨论成果，增强直观性和互动性。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：我将通过班级微信群分享PPT和视频，让学生预习离散型随机变量的概念和方差的定义。

-设计预习问题：我会设计问题如“方差在现实生活中有哪些应用？”和“如何从分布列中计算方差？”来引导学生思考。

-监控预习进度：通过查看学生的预习笔记和参与讨论的情况，监控预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生将根据预习要求，阅读PPT和视频，理解方差的初步概念。

-思考预习问题：学生将针对预习问题进行独立思考，并记录自己的疑问。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：通过自主阅读和思考，培养学生的自主学习能力。

-信息技术手段：利用微信群和PPT等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解方差的概念，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：我将以一个简单的统计学案例引入，让学生感受到方差的重要性。

-讲解知识点：我会详细讲解方差的计算公式和步骤，通过实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：我将设计一个小组讨论，让学生根据不同的分布列计算方差。

学生活动：

-听讲并思考：学生将认真听讲，积极思考老师的问题。

-参与课堂活动：学生将积极参与小组讨论，共同解决计算方差的问题。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解方差的计算方法。

-实践活动法：通过小组讨论和计算练习，让学生在实践中掌握技能。

-合作学习法：通过小组合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解方差的计算，掌握计算技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：我将布置一些计算不同分布列方差的作业，以巩固学生的计算技能。

-提供拓展资源：我会推荐一些与方差相关的统计书籍和在线资源，供学生进一步学习。

学生活动：

-完成作业：学生将认真完成作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生将利用推荐的资源进行拓展学习，加深对方差的理解。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：通过完成作业和拓展学习，引导学生自主提升。

-反思总结法：通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的方差点知识，提高计算准确性。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野，培养自我提升的能力。知识点梳理1.离散型随机变量的概念

-定义：离散型随机变量是指取有限个或可列无限个值的随机变量。

-举例：投掷骰子的点数、彩票中奖号码等。

2.离散型随机变量的分布列

-定义：离散型随机变量的分布列是指随机变量取每个可能值的概率。

-特点：分布列中的概率之和为1，每个概率值非负。

-举例：掷骰子的分布列，其中每个面出现的概率为1/6。

3.离散型随机变量的期望

-定义：离散型随机变量的期望是指随机变量取每个可能值的概率加权平均。

-计算公式：E(X)=Σ(x*P(x))，其中x为随机变量的可能值，P(x)为对应的概率。

-举例：掷骰子的期望值为(1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6)=3.5。

4.离散型随机变量的方差

-定义：离散型随机变量的方差是指随机变量取每个可能值的概率加权平方差的平均。

-计算公式：Var(X)=Σ((x-E(X))^2*P(x))，其中x为随机变量的可能值，P(x)为对应的概率。

-举例：掷骰子的方差为(1^2*1/6+2^2*1/6+3^2*1/6+4^2*1/6+5^2*1/6+6^2*1/6)-3.5^2=2.9167。

5.离散型随机变量的标准差

-定义：离散型随机变量的标准差是指方差的平方根。

-计算公式：σ(X)=√Var(X)。

-举例：掷骰子的标准差为√2.9167≈1.7078。

6.离散型随机变量的概率分布函数

-定义：离散型随机变量的概率分布函数是指随机变量取某个值的概率。

-计算公式：F(x)=P(X≤x)，其中x为随机变量的可能值。

-举例：掷骰子的概率分布函数为F(x)=x/6，其中x为1到6之间的整数。

7.离散型随机变量的累积分布函数

-定义：离散型随机变量的累积分布函数是指随机变量取某个值以下的概率。

-计算公式：F(x)=P(X≤x)，其中x为随机变量的可能值。

-举例：掷骰子的累积分布函数为F(x)=x/6，其中x为1到6之间的整数。

8.离散型随机变量的相关系数

-定义：离散型随机变量的相关系数是指两个随机变量之间线性关系的强度和方向。

-计算公式：ρ(X,Y)=Σ((x-E(X))(y-E(Y)))/(√(Σ(x-E(X))^2)*√(Σ(y-E(Y))^2))，其中x和y为两个随机变量的可能值。

-举例：掷骰子的两个面点数的相关系数为ρ(X,Y)=1/6。

9.离散型随机变量的协方差

-定义：离散型随机变量的协方差是指两个随机变量之间线性关系的强度和方向。

-计算公式：Cov(X,Y)=Σ((x-E(X))(y-E(Y)))，其中x和y为两个随机变量的可能值。

-举例：掷骰子的两个面点数的协方差为Cov(X,Y)=1/6。

10.离散型随机变量的矩

-定义：离散型随机变量的矩是指随机变量的某个幂次的期望。

-计算公式：μ_n=E(X^n)，其中n为正整数。

-举例：掷骰子的二阶矩（方差）为μ_2=Var(X)。板书设计①离散型随机变量基本概念

-定义：离散型随机变量

-特点：取有限个或可列无限个值

-举例：骰子点数、彩票号码

②离散型随机变量的分布列

-分布列：P(X=x)

-概率之和：ΣP(X=x)=1

-非负性：P(X=x)≥0

③离散型随机变量的期望

-期望定义：E(X)=Σ(x*P(X=x))

-期望计算：E(X)=ΣxP(X=x)

④离散型随机变量的方差

-方差定义：Var(X)=E[(X-E(X))^2]

-方差计算：Var(X)=Σ(x^2*P(X=x))-(E(X))^2

-方差简化：Var(X)=Σ(x^2*P(X=x))-(ΣxP(X=x))^2

⑤离散型随机变量的标准差

-标准差定义：σ(X)=√Var(X)

-标准差计算：σ(X)=√[Σ(x^2*P(X=x))-(ΣxP(X=x))^2]

⑥离散型随机变量的概率分布函数

-概率分布函数：F(x)=P(X≤x)

-累积分布函数：F(x)=ΣP(X≤x)

⑦离散型随机变量的累积分布函数

-累积分布函数：F(x)=P(X≤x)

-累积概率：F(x)=ΣP(X≤x)

⑧离散型随机变量的相关系数

-相关系数定义：ρ(X,Y)=Σ((x-E(X))(y-E(Y)))/(√(Σ(x-E(X))^2)*√(Σ(y-E(Y))^2))

-相关系数计算：ρ(X,Y)=Σ(x*y)/(√(Σx^2)*√(Σy^2))

⑨离散型随机变量的协方差

-协方差定义：Cov(X,Y)=Σ((x-E(X))(y-E(Y)))

-协方差计算：Cov(X,Y)=Σ(x*y)-n*E(X)*E(Y)

⑩离散型随机变量的矩

-矩定义：μ_n=E(X^n)

-矩计算：μ_n=Σ(x^n*P(X=x))反思改进措施反思改进措施（一）教学特色创新

1.联系实际案例教学：在讲解离散型随机变量的方差时，我会尽量结合实际案例，如市场调查数据、经济指标等，让学生看到数学在现实生活中的应用，提高他们的学习兴趣。

2.多媒体辅助教学：利用多媒体课件展示分布列、方差计算过程等，使抽象的数学概念更直观，帮助学生更好地理解。

反思改进措施（二）存在主要问题

1.学生理解难度大：方差的概念和计算对于一些学生来说较为抽象，理解起来有一定的难度。

2.课堂互动不足：在课堂讨论环节，部分学生参与度不高，导致课堂互动效果不佳。

3.评价方式单一：目前主要依靠作业和考试来评价学生的学习成果，缺乏多元化的评价方式。

反思改进措施（三）改进措施

1.精心设计教学案例：针对方差的概念和计算，设计更具实际意义的案例，帮助学生理解方差的应用。

2.优化课堂互动：在课堂讨论环节，鼓励学生积极参与，通过提问、解答等方式，提高课堂互动效果。

3.多元化评价方式：引入课堂表现、小组合作、学生自评等多元化评价方式，全面了解学生的学习情况。

4.加强辅导与答疑：针对学生遇到的困难，提供个别辅导和答疑，帮助学生克服学习难题。

5.关注学生个体差异：针对不同学生的学习能力和兴趣，设计差异化的教学策略，满足学生的个性化需求。

6.增加实践活动：组织学生参与实践活动，如数学竞赛、社会调查等，提高学生的实际应用能力。

7.强化师生沟通：通过家访、班级微信群等方式，加强与家长的沟通，共同关注学生的学习成长。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《统计学原理与应用》中关于离散型随机变量和方差的章节，特别是关于方差在实际数据分析中的应用案例。

-视频资源：YouTube上关于统计学基础知识的视频，特别是讲解离散型随机变量方差计算和解释的视频。

2.拓展要求：

-学生在课后可以选择阅读上述材料或观看相关视频，以加深