浙江专用2025版高考数学一轮复习专题8立体几何与空间向量第54练空间点线面的位置关系练习含解析

PAGEPAGE7第54练空间点、线、面的位置关系[基础保分练]1.设已知A，B，C，D，E是空间五个不同的点，若点E在直线BC上，则“AC与BD是异面直线”是“AD与BE是异面直线”的()A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.平面α与平面β平行的条件可以是()A.α内有两条平行直线都与β平行B.直线a∥α，a∥βC.直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥α3.在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角的范围(包含初始状态)为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))4.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是BD的中点，直线AC1与平面A1BD相交于点M，则下列结论正确的是()A.A1，M，O三点共线B.A，O，M，A1不共面C.A1，M，C1，O不共面D.B1，B，O，M共面5.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，则下列说法正确的是()A.EF与GH平行B.EF与GH异面C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D.EF与GH的交点M肯定在直线AC上6.(2024·绍兴一中模拟)在三棱锥S—ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC的中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(30),6) D.以上结论都不对7.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，错误的是()A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C19.给出下列四个说法：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.其中正确说法的是________.(填序号)10.(2024·学军中学模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有仓，广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为：“今有一个长方体(记为ABCD—A1B1C1D1)的粮仓，宽3丈(即AD＝3丈)，长4丈5尺，可装粟一万斛，问该粮仓的高是多少？”已知1斛粟的体积为2.7立方尺，一丈为10尺，则下列推断正确的是______.(填写全部正确结论的序号)①该粮仓的高是2丈；②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为eq\f(3\r(13),13)；③长方体ABCD—A1B1C1D1的外接球的表面积为eq\f(133,4)π平方丈.[实力提升练]1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A.不存在B.有且只有两条C.有且只有三条D.有多数条2.如图是一几何体的平面绽开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.在三棱锥P－ABC中，△ABC≌△PBC，AC⊥BC，AB＝2BC.设PB与平面ABC所成的角为α，PC与平面PAB所成的角为β，则()A.α≤eq\f(π,3)且sinβ≤eq\f(\r(3),3) B.α≤eq\f(π,3)且sinβ<eq\f(\r(3),3)C.α≤eq\f(π,6)且β≥eq\f(π,3) D.α≤eq\f(π,6)且β<eq\f(π,3)4.(2024·绍兴上虞区模拟)我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体ABCDEF，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中AB＝6尺，CD＝10尺，EF＝8尺，AB，CD间的距离为3尺，CD，EF间的距离为7尺，则异面直线DF与AB所成角的正弦值为()A.eq\f(9\r(130),130)B.eq\f(7\r(130),130)C.eq\f(9,7)D.eq\f(7,9)5.如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________.6.如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是______.答案精析基础保分练1．B2.D3.C4.A5.D6.B7.C8.D9．②③解析对于①，若三点共线，则不能确定一个平面，故①中说法错误；②中说法明显正确；对于③，三条直线两两相交，如空间直角坐标系，能确定三个平面，故③中说法正确；对于④，若三点共线，则两平面也可能相交，故④中说法错误．10．①③解析由题意知，因为10000×2.7＝30×45×AA1，解得AA1＝20尺＝2丈，故①正确；异面直线AD与BC1所成角为∠CBC1，则sin∠CBC1＝eq\f(2\r(13),13)，故②错误；此长方体的长、宽、高分别为4.5丈、3丈、2丈，故其外接球的表面积为4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(4.52＋32＋22),2)))2＝eq\f(133,4)π(平方丈)，所以③是正确的．实力提升练1．D[如图所示，在EF上随意取一点M，则直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点．]2．B[将绽开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不肯定垂直，④错．故选B.]3．B[依题可设AB＝2BC＝2a，由题意，可得AB＝PB＝2a，AC＝CP＝eq\r(3)a，过点C作CH⊥平面PAB，连接HB，HP，如图，则PC与平面PAB所成的角β＝∠CPH，且CH<CB＝a，sinβ＝eq\f(CH,CP)<eq\f(a,\r(3)a)＝eq\f(\r(3),3).由BC⊥AC，BC⊥CP，AC∩CP＝C，AC，CP⊂平面PAC，得BC⊥平面PAC，可设二面角P－BC－A的大小为θ，即∠ACP＝θ，点P到平面ABC的距离为d，由VB－ACP＝VP－ABC，即eq\f(1,3)BC·S△ACP＝eq\f(1,3)d·S△ABC，即eq\f(1,3)a×eq\f(1,2)×eq\r(3)a×eq\r(3)a×sinθ＝eq\f(1,3)d×eq\f(1,2)×eq\r(3)a×a，解得d＝eq\r(3)asinθ，则sinα＝eq\f(d,PB)＝eq\f(\r(3)asinθ,2a)≤eq\f(\r(3),2)，所以α≤eq\f(π,3)，故选B.]4．B[如图．依据题意AB∥CD，所以∠FDC是异面直线DF与AB所成的角，又因为CD＝10尺，EF＝8(尺)，且侧面为等腰梯形，过点F作FG⊥DC，则DG＝9尺，CD，EF间的距离为7尺，故FG＝7尺，由勾股定理得DF＝eq\r(81＋49)＝eq\r(130)尺，所以sin∠FDC＝eq\f(7,\r(130))＝eq\f(7\r(130),130)，故选B.]5．8解析视察知，直线CE与正方体的前后左右四个面所在的平面相交，所以m＝4；直线EF与正方体的上下前后四个面所在的平面相交，所以n＝4.所以m＋n＝8.6.eq\f(7,8)解析如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为