新课改瘦专用2025版高考数学一轮复习第八章解析几何第二节圆与方程第1课时系统知识-圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析

PAGEPAGE6其次节圆与方程第1课时系统学问——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系圆的方程1．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种状况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内[提示]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，肯定要先推断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]eq\a\vs4\al(,若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：,1当F＝0时，圆过原点.,2当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.,3当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.,4当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.,)eq\a\vs4\al([小题练通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P124A组T4])圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.eq\a\vs4\al([教材改编题])经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝13.eq\a\vs4\al([教材改编题])圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋(y－1)2＝24.eq\a\vs4\al([易错题])已知圆的方程为x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0，肯定点为A(1,2)，要使过定点A的圆的切线有两条，则a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))5．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是________．答案：(－eq\r(2)，eq\r(2))6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________．答案：x2＋y2－2x＝0直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d＞rd＝rd＜r2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.(3)切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d).[提示]过一点求圆的切线方程时，要先推断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长eq\f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.[谨记常用结论]过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F＞0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λAx＋By＋C＝0.,eq\a\vs4\al([小题练通])1.eq\a\vs4\al([教材改编题])若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.eq\a\vs4\al([教材改编题])直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是()A．相切 B．相交C．相离 D．随a的改变而改变解析：选B∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．3.eq\a\vs4\al([教材改编题])已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.eq\a\vs4\al([易错题])过点(2,3)且与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________________．解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k＝eq\f(4,3)，所以切线方程为4x－3y＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.答案：x＝2或4x－3y＋1＝05．以M(1,0)为圆心，且与直线x－y＋3＝0相切的圆的方程是________．答案：(x－1)2＋y2＝86．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|[提示]涉及两圆相切时，没特殊说明，务必要分内切和外切两种状况进行探讨．[谨记常用结论]圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：1将两圆方程干脆作差，得到两圆公共弦所在直线方程；2两圆圆心的连线垂直平分公共弦；3x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λx2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C2.eq\a\vs4\al([小题练通])1.eq\a\vs4\al([人教A版教材P133A组T9])圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为________．答案：2eq\r(2)2.eq\a\vs4\al([教材改编题])若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.答案：±2eq\r(5)或03.eq\a\vs4\al([教材改编题])圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝eq\r(32＋－12)，所以r＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)4.eq\a\vs4\al([易错题])若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝eq\r(25－m)(m＜25)．从而|C1C2|＝eq\r(32＋42)＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋eq\r(25－m)＝5，解得m＝9，故选C.6