高考数学重难点专项复习：空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）原卷版+解析

第13讲空间向量与距离、探究性问题（2大考点+强化训练）

［考情分析］1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等

难度2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以

解答题的形式考查，难度中等偏上.

知识导图

。考点一：空间距离

★空间向量与距离、探究性问题

❷考点二：空间巾的探究性问题

考点分类讲解

考点一：空间距离

⑴点到直线的距离

直线/的单位方向向量为"，A是直线/上的任一点，尸为直线/外一点，设成="，则点P到直线/的距离

（a-w）2.

⑵点到平面的距离

平面a的法向量为"，A是平面a内任一点，尸为平面a夕I—■点，则点尸到平面a的距离为

考向1点到直线的距离

【例1】（2024•全国•模拟预测）已知在空间直角坐标系中，直线/经过A（3,3,3）,*0,6,0）两点，则点

尸（0Q6）到直线/的距离是（）

A.672B.2A/3C.2mD.3亚

【变式1】（23-24高三上•北京昌平•期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A4CA中，E为线段

AF

上的点，且黑=3,点尸在线段RE上，则点尸到直线距离的最小值为（）

A0RV3r3

225

【变式2】（23-24高三上•山东荷泽•阶段练习）已知点A（2,l,l）,若点8（1,0,。）和点C（l,l,l）在直线/上，则

点A到直线/的距离为.

【变式3】（23-24高三上•山东青岛•期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱

称为塑堵，在塑堵ABC-44G中，若"=^="=2,若尸为线段BA中点，则点尸到直线4C的距离

为（）

A.V2B.显C.3D.正

222

考向2点到平面的距离

规律方法（1）求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.

（2）求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

[例2]2.（2023•湖北省襄阳市第四中学模拟）已知斜三棱柱ABC—的各棱长都为4,NAiAB=60。，点

4在下底面ABC上的投影为的中点Q

（1）在棱（含端点）上是否存在一点。使4DLAG?若存在，求出8。的长；若不存在，请说明理由;

⑵求点4到平面BCCiBi的距离.

【变式1】（23-24高三下•北京・开学考试）在正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,与平面ABCD所成角为

三,则点D到平面P3C的距离为（）

4

AV6R2网4指n4

3333

【变式2】（2024・广西•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-Ag中，E为线段的中点,

产为线段阳的中点.直线式到平面ABE的距离为（）.

„屈1

AD.-----CD.-

-T513

【变式3】（2024高三・全国•专题练习）如图所示，在正三棱柱ABC-A与G中，所有棱长均为1,则点见到

平面ABG的距离为

考点二：空间中的探究性问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹

南满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数（有些是题中已给出），设出

关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

【例3】(2023•咸阳模拟)如图，三棱柱ABC—AbBiG的侧面BSGC是边长为1的正方形，平面BBiCiCX

平面44H，AB=4,/42归=60。，G是46的中点.

(1)求证：平面GBCJ_平面BBCC；

(2)在线段BC上是否存在一点P,使得二面角P—GBi-B的平面角为30°?若存在，求BP的长；若不存在,

请说明理由.

【变式1】(2024・四川成都•模拟预测)在四棱锥尸-ABC。中，已知AB〃CDABLAD,BC1PA,

AB=2AD=2CD=2,PA=遥，PC=2,E是线段PB上的点.

⑴求证：PC,底面ABCD；

(2)是否存在点E使得出与平面E4C所成角的余弦值为好？若存在，求出黑的值；若不存在，请说明理

由.

【变式2】(2024•全国•一模)如图，棱柱ABCD-AqCQi的所有棱长都等于2,MZABC=Z4,AC=60°,

平面AA.C.C±平面ABCD.

⑴求平面DAA,与平面CM所成角的余弦值；

(2)在棱CG所在直线上是否存在点P,使得期//平面%G.若存在，求出点P的位置；若不存在，说明

理由.

【变式3](2024•贵州黔东南•二模)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABC。为菱形，£见上平面

ABCD,DE〃BF,AD^DE=2,BF=1,ZBAD=6O°.

(1)证明：平面E4C_L平面BDEF；

⑵试问线段8上是否存在一点尸，使得平面皿与平面屏P夹角的余弦值为受？若存在，请判断点尸

的位置；若不存在，请说明理由.

强化训练

一、单选题

1.（2023・贵州六盘水•模拟预测）平面a的一个法向量为“=（1,2,2）,人（1,0,0）为a内的一点，则点

P（3,l,l）到平面a的距离为（）

A.1B.2C.3D.7TT

2.（2023高三・全国•专题练习）“类比推理"简称"类比"，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发

现新结论的重要方法.下面通过"类比”所得到的结论中不正确的是（）

A.设。为平面内任一点，则A,B,C三点共线当且仅当存在a,%满足a+b=l,使得

OC^aOA+bOB.类比到空间得：设A，B,C不共线，则A,B,C,。四点共面当且仅当存在实数

a,b,c满足。+〃+c=l,^OD=aOA+bOB+cOC

B.已知平面内点夕（飞,几）到直线—+冷+c=o的距离为d」方;：二a.类比到空间得：空间中

点P（x°,%,z°）到平面4+珍+Cz+。=0的距离为d=与/

C.设平面内不过坐标原点的直线与x轴和y轴的交点分别为（a,0）,（0力），则直线的（截距式）方程

为才卡=1.类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为（a,0,0）,

（03,0）,（0,0,c）,则平面的（截距式）方程为二+；+三=1

D.设平面内一直线与x轴和y轴所成的角分别为a,夕，则有cos,a+cos?6=1.类比到空间得：设

空间中一直线与x轴、y轴和z轴所成的角分别为a,P,Y,则有cos?a+cos?P+cos?7=2

3.（23-24高三上•上海奉贤•期中）如图，己知四棱锥P-ABC。的底面ABC。是直角梯形，AD//BC,

AD=4,ZABC=90,PA_L平面ABCD,PA=AB=BC=2,下列说法正确的是（）

A.PB与8所成的角是30

B.平面PCD与平面PB4所成的锐二面角余弦值是逅

3

C.P8与平面PCD所成的角的正弦值是遮

6

D.〃是线段尸C上动点，N为AD中点，则点尸到平面比WN距离最大值为速

3

4.（2023•江苏徐州•模拟预测）在空间直角坐标系中，直线/的方程为》=y-l=z,空间一点尸（1,1,1）,则点

尸到直线/的距离为（）

A.—B.1C.BD.也

233

5.（23-24高三上•北京海淀•阶段练习）如图，在正方体ABCD-AgGR中，£为棱8G的中点.动点尸沿

着棱DC从点。向点C移动，对于下列三个结论：

①存在点P,使得PA=PE；

②△「从£的面积越来越小；

③四面体4尸3田的体积不变.

6.（2023•全国•模拟预测）如图，已知正方体ABCD-A且GQ的棱长为2,棱A2，CG的中点分别是

E,尸，点G是底面ABCD内任意一点（包括边界），则三棱锥G-耳所的体积的取值范围是（）

7.（2023•河南•模拟预测）在空间直角坐标系中，已知

Al/aaqiembaLLZbzXTOnbW/os）,则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平

面BCD所成角的正弦值为（）

A2屈RA/144岳4

217357

8.（2023•全国•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCO-44c■中，尸为棱的中点，Q为正方

形2耳CC内一动点（含边界），则下列说法中不乏砸的是（）

A.若2。〃平面则动点Q的轨迹是一条线段

B.存在。点，使得“。上平面

C.当且仅当。点落在棱CC|上某点处时，三棱锥。-4尸。的体积最大

D.若RQ=g,那么。点的轨迹长度为亨乃

二、多选题

1.（23-24高三上•河北保定•期末）如图，在棱长为2的正方体钻8-4耳£。中，E,尸分别是棱片用

的中点，则下列说法正确的是（）

A.4522四点共面

B.DF±BE

2

C.直线"与旗所成角的余弦值为：

D.点E到直线A尸的距离为1

2.（2024•江西上饶•一模）如图，棱长为1的正方体ABCD-AAG。中，E,尸分别为。2，B片的中

点，则（）

A.直线FG与底面ABC。所成的角为30。B.4到直线FG的距离为粤

C.尸C"/平面4月£D.%_1平面A耳石

3.（2024・福建福州•模拟预测）在长方体A3CO-ASGA中，AB=2,朋=AD=1,石为A5的中点，则

()

A.\BLB{CB.4。//平面EgC

C.点。到直线A8的距离为竽D.点。到平面EBC的距离为出

三、填空题

1.（23-24高三上•安徽•阶段练习）已知直线/经过A（-LT0）,3（l,-L2）两点，则点尸（TL2）到直线/的距

离为.

2.（2024•福建厦门•一模）已知平面。的一个法向量为〃=（1,0,1）,且点A（l,2,3）在a内，则点8（1,11）到a

的距离为.

3.（23-24高三上•北京房山•期末）如图，在棱长为。的正方体ABC。-A4G2中，点尸是线段8。上的动

点.给出下列结论：

@AP±BDI；

②AP〃平面A。。；

IT7T

③直线AP与直线AA所成角的范围是;

④点P到平面4CQ的距离是乎a.

其中所有正确结论的序号是.

1.(23-24高三上,天津•期末)如图，已知平面ABCD,AD//BC,AD1CD,A4t〃叩，

CQ//DDt,AAi=CC1=BC=l,AD=DC=DQ=2.

⑴求证：CD"/平面ABC1；

(2)求平面AlADDi与平面ABC1的夹角的余弦值;

⑶求点C到直线的距离.

2.（2024•山西运城•一模）如图，在矩形纸片A3CZ）中，AB=4,BC=2,沿AC将△ADC折起，使点O

到达点尸的位置，点尸在平面ABC的射影H落在边上.

⑴求的长度；

（2）若M是边PC上的一个动点，是否存在点M,使得平面与平面P8C的夹角余弦值为正？若存

在，求CM的长度；若不存在，说明理由.

3.（2024•广东梅州•一模）已知三棱柱ABC-A^iG中，AB=AC^2,NBAC=120。，且BC=2BB1,

NCBB|=60。，侧面8CG4,底面ABC,。是8C的中点.

B

⑴求证：平面平面4A。；

⑵在棱AA上是否存在点Q,使得BQ与平面ACGA的所成角为60。.如果存在，请求出言；如果不存

在，请说明理由.

4.（23-24高三下•浙江宁波•阶段练习）已知四棱锥尸-ASCD的底面ABCO是直角梯形，AD/IBC,

ABJ.BC,AB=y/3,BC=2AD=2,E为8的中点，PBLAE.

P

⑴证明：平面尸平面ABCD；

⑵若PB=PD,尸C与平面ABCD所成的角为JT.过点8作平面PCD的垂线，垂足为N,求点N到平面

ABCD的距离.

5.（23-24高三上•北京昌平,期中）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面PDCL平面ABC。，AD±DC,

ABDC,AB=^DC,PD=AD=l,〃为棱PC的中点.

⑴证明：aw国平面上4D；

⑵若PC=5AB=1,

（i）求二面角尸-DM-3的余弦值；

（H）在线段9上是否存在点°,使得点。到平面出切的距离是乎？若存在,求出詈的值；若不存

在，说明理由.

第13讲空间向量与距离、探究性问题(2大考点+强化训练)

［考情分析］1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等

难度2以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以

解答题的形式考查，难度中等偏上.

知识导图

_________________________L-----O考点一，空间距离

★空间向量与距离、探究性问题

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ill考点分类讲解

考点一：空间距离

⑴点到直线的距离

直线/的单位方向向量为"，A是直线/上的任一点，尸为直线/外一点，设标="，则点尸到直线/的距离

d=y/a2—(a-u)2.

(2)点到平面的距离

平面a的法向量为"，A是平面a内任一点，尸为平面a夕I■点，则点尸到平面a的距离为6/=凶：：”.

考向1点到直线的距离

【例1】(2024•全国•模拟预测)已知在空间直角坐标系中，直线/经过4(3,3,3),网0,6刀)两点，则点

尸(0Q6)到直线/的距离是()

A.672B.2A/3C.276D.3行

【答案】C

【分析】由题意先求出直线的方向向量e=AB=(-3,3,-3),然后依次求得cos,,死,sin,训，则尸到

直线的距离为d=|AP卜求解即可.

【详解】由题意可知直线/的方向向量为：e=AB=(-3,3,-3),

eAP9-9-9_1

又AP=(-3,-3,3),则cos(e,A尸片

|e||AP|-727x727-

2A/2

sin(e,AP

点尸(0,0,6)到直线/的距离为：^=|AP|sin(e,AP)=79+9+9x=2A/6.

故选：C.

【变式1】（23-24高三上•北京昌平,期末）如图，在棱长为1的正方体A8CD-A耳GA中，E为线段

上的点，且­=3,点尸在线段RE上，则点P到直线AZ）距离的最小值为（)

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点P到直线AD距离的函数关系，再求其最小值作答.

【详解】由题意以。为原点，D4,OCDA所在直线分别为％yz轴建立如图所示的空间直角坐标系：

所以。（0,0,0）,A0,0,0）,R（0,0,1）,£卜,jo

不妨设〃尸=九2£=41，:一1），2«0，1］，

(O,O,l)=U,|2,l-2L

而ZM=(1,O,O),

II^P-DA

所以点P到直线AD的投影数量的绝对值为dRP|•cosDRDA\=L,

1।0A

所以点尸到直线AD距离

h=W"2=52+>2+。一'2-1=J||*-22+l=Jflf)+321-

等号成立当且仅当2=当，即点尸到直线AD距离的最小值为二

255

故选：C.

【变式2】(23-24高三上•山东荷泽•阶段练习)已知点42,1,1),若点8(1,0,0)和点C(LLD在直线)上,则

点A到直线/的距离为.

【答案】1

【分析】根据题意求得B4BC,结合A到直线/的距离网sin仅A,BC),即可求解.

UULUUU

【详解】由题意知，点A(2,l,l),5(1,0,0),C(l,l,l),可得54=(1,1,1)，BC=(0,1,1),

则网=若，\BC\=42,BABC=2,

UUUUU

/UiruiMvBABC2V6

所以cos(BA,BC)=|Uir||UUP|

、'BABC限0一3'

/inruun\/Q

可得sin(5A,50=?A

IULTI/Uiruun、

所以点A到直线l的距离为网sin网,BC)=1.

故答案为：1.

【变式3](23-24高三上•山东青岛•期中)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱

称为塑堵，在塑堵ABC-ABCI中，^AB=BC=AAl=2,若尸为线段中点，则点尸到直线8c的距离

为()

A.0B.日。・与

【答案】B

UUliULILl

【分析】建立合适的空间直角坐标系，先求出4C,4P的夹角，在直角三角形中，得出点尸到直线的

距离.

【详解】解：根据塑堵的定义，建立以点8为原点的空间直角坐标系，

则3（0,0,0）,A（2,0,2）,B,（0,0,2）,C（0,2,0）,尸（1,0,1）,

故用C=（0,2,-2）,耳尸=（1,0,-1）,

所以cos^C,4尸一一云反万一--,

所以sinBC，耳P=*,

设点P到直线8c的距离为d,

所以由用邛扁,解得、邛

故选：B.

考向2点到平面的距离

规律方法（1）求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.

（2）求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

[例2]2.（2023•湖北省襄阳市第四中学模拟）已知斜三棱柱ABC—AI1C1的各棱长都为4,/443=60。，点

4在下底面ABC上的投影为AB的中点0.

（1）在棱881（含端点）上是否存在一点。使A1OLAG?若存在，求出8。的长；若不存在，请说明理由;

（2）求点Ai到平面BCCiBi的距离.

【解析】解(1)存在.

•.•点4在下底面A3C上的投影为AB的中点0,故4。，平面ABC,

连接。C,由题意知△ABC为正三角形，OCLAB,

以。为坐标原点，OC,04］所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(2,0,0),Ai(0,0,2事),C(0,2小，0),8(—2,0,0),%(—4,0,2事),G(—2,2小,2小),

设前)=还瓦,血=(—2,0,2小)，

可得£)(—22—2,0,2-\/32),

•*.AIZ)=(—24一2,0,2y/3A—2"j3),

记=(—4,2小,2小)，

假设在棱(含端点)上存在一点D使AiOLAG,则彳近，石,

.♦.4(24+2)+2^3(2732-2小)=0,

1

-

5

4

-

5

(2)由(1)知86=(—2,0,2事),

BC=(2,2小,0),

设平面BCGBi的法向量为〃=(x,y,z),

n-BB\=0,

则‘一

n-BC—Q,

J-2x+2^3z=0,

•12x+2亚=0,

令尤=小，则z=l,y——l,

则〃=(小，—1,1),

又48=(—2,0,-2/)，

则点Ai到平面BCCiBi的距离

|瓦4村4vB

”一f一小—5,

即点儿到平面BCCiBi的距离为邛5

【变式1】（23-24高三下•北京・开学考试）在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,上4与平面ABCD所成角为

则点。到平面P3C的距离为（）

4

AV6口2a_4A/6N£

3333

【答案】B

【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离，从而得解.

【详解】依题意，设ACBD=O,则尸01平面ABC。,

TT

因为平面ABCD'所以"40为PA与平面所成角'即/班。二'

因为AB=2,所以。4=0。=。8=垃，则尸0=04=0,

以。点为原点，建立空间直角坐标系如图,

则C（0,0,0）,B（逝,0,0）,D（-A/2,0,0）,P（0,0,V2）,

所以CO=「夜，-夜,0）,P8=出0,-应）,PC=（0,>/2,-A/2）,

PBii=A/2X-V2z=0

设平面PBC的一个法向量为三=（x,y,z）,贝卜

PCn=y/2y-A/2Z=0

令z=l,贝!|x=y=l,故〃=（1,1,1）,

|CD-n|_|-V2-V2|_2-76

所以点。到平面PBC的距离为

n乖13

故选：B.

【变式2】（2024•广西•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体ABCD-4gGR中，E为线段的中点,

/为线段即的中点.直线FG到平面AgE的距离为（）.

AV5RV302n1

3533

【答案】C

【分析】由线线平行得到线面平行，直线FG到平面的距离等于点C1到平面A耳E的距离，建立空间

直角坐标系，得到平面法向量，得到点到平面的距离.

【详解】团AE〃尸C”尸G<2平面ABH，AEu平面4月£,

回产£〃平面

因此直线FCt到平面AB{E的距离等于点G到平面AB.E的距离，

如图，以。点为坐标原点，DA所在的直线为无轴，。。所在的直线为y轴,

。2所在的直线为z轴，建立直角坐标系.

则4（2,0,0）,B,（2,2,2）,C40,2,2）,E（0,0,l）,F（2,2,l）,

FC；=（-2,0,1）,AE=（-2,0,1）,阳=（0,2,2）,C4=（2,0,0）,

r

设平面AB.E的法向量为，=(x,y,z),

n-AE=-2x+z=0

则，

n-ABX=2y+2z=0

令z=2,则〃=(1,—2,2),

设点G到平面A4E的距离为d,

限c河|(1,-2,2>(2,。,。)一2

j717474-一3，

故直线FCt到平面AB}E的距离为;.

故选：C.

【变式3】(2024高三•全国•专题练习)如图所示，在正三棱柱ABC-ABC中，所有棱长均为1,则点用到

平面A8G的距离为.

【答案】印

【分析】解法一：根据等体积法，即匕一期c,,列出方程解出距离即可；解法二：通过面面垂直的

性质定理得CD,平面ABG，最后计算8长即可；解法三：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量

法求出线面距离.

【详解】解法一：设点耳到平面ABC的距离为a在A2G中，AC,=72,48边上的高为,，点A到

平面BCC心的距离为也，B与C的面积为;.

22

=

0^3,-ABC,^A-BBlCt>E—SABC-d=­X—X,因止匕d=,

3'3227

故点打到平面ABC.的距离为叵.

7

解法二：如图所示，取A8的中点M,连接CM,CM,过点C作COLQM,垂足为D

0C1A=C1B,〃为A8的中点，0C4=CB,M为A8的中点，^CM±AB.

0C]AfnCM=M,C]M，CMu平面C]CM,回ABJ.平面GCW,

又ABu平面ABC-故平面ABC；，平面.

团平面4BCJ平面GCM=C阳，CD1C}M,CDu平面GCM,团CD,平面A^G.

因此CO的长度即为点C到平面ABG的距离，也即点见到平面AZ?G的距离.

在RtGCM中，GC=l,C|Af=乎，因此CO=¥^.

故点B、到平面ABC,的距离为叵.

7

解法三：如图所示，取2C的中点。，连接AO.0AB=AC,^AOIBC.

以。为原点，OC,。4所在直线分别为x轴和y轴，过点。且与CG平行的直线为z轴建立如图所示的空间

直角坐标系,

(V3)

则A0三,0,g1-；,o,oj,

I2J

11拒、

从而8月=(0,0,1),AB=--,-^,0,=(1,0,1).

(22J

/、n-AB=0,

设力=(x,y,z)为平面ABG的一个法向量，贝I]即22

n-BC,=0,八

I1[x+z=0

令x=#),得y=—l,z=_g,贝U〃=(也,-1,一指).

\BB•n\向/oT

故点B倒平面ABC,的距离为}-=半=卫.

\n\A/77

故答案为：叵.

7

z.

GBi

xCB

考点二：空间中的探究性问题

与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的夹

角满足特定要求时的存在性问题.处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，设出

关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

规律方法解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据

或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.

(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.

【例3】(2023•咸阳模拟)如图，三棱柱ABC—A向G的侧面881cle是边长为1的正方形，平面

平面AAiBiBAB=4,NAiB/=60°,G是4Bi的中点.

(1)求证：平面GBC_L平面BBiCiC；

(2)在线段BC上是否存在一点P,使得二面角P—GBi-B的平面角为30°?若存在，求BP的长；若不存在,

请说明理由.

【解析】⑴证明在△GBB1中，GBi=|AB=2,=ZA,BIB=60°,

则GB=qGB^+BB^—2GBrBBicos/AiBiB=小,

则GB吊=BBx+GB-,即G8_L,

又平面B8iGC_L平面AAiBiB,

且平面BBiCiCn平面

GBU平面AAiBiB,故G8_L平面BBCC.

又G8U平面GBC,则平面GBC_L平面BBiCiC.

(2)解存在.

由(1)知，BG,BBi,BC两两垂直，

如图，以8为坐标原点，以BG,BBi,BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系,

则2(0,0,0),G(小，0,0),修(0,1,0),P(0,0,f)(0WWl),

则函=(一记，1,0),瓦?=(0,-1,0.

设平面PGS的法向量为"=(x,y,z),

n-GBi—0,

则＜_

jz•瓦?=0,

即「小叶产°，

[—y+tz=0,

令z=g,则x=t,

即n=(t,小t,小).

又平面581G的一个法向量为机=(0,0,1),

=cos30。=坐，

解得产4又OW0,则看去故

【变式1】（2024・四川成都•模拟预测）在四棱锥P-ABCD中，已知A5〃CDABLAD,BC1PA,

AB=2AD=2CD=2,PA=APC=2,E是线段PB上的点.

⑴求证：PC,底面ABCD；

（2）是否存在点E使得出与平面E4C所成角的余弦值为或？若存在，求出名名的值；若不存在，请说明理

3BP

由.

【答案】（1）证明见解析

⑵存在，n

【分析】（1）首先证明BC人平面PAC,可得出3CLPC,利用勾股定理的逆定理可证得PC,AC,再结

合线面垂直的判定定理，即可证明PC,底面ABCD；

（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设BE=2BP,且0W2W1,求平面£AC的法向量〃，利用

|cosAP,n|=|,即可求得4的值，即可得出结论.

【详解】（1）在△AOC中，AD=DC=1,ZADC=90°,

所以AC==

在..ABC中，AC=y/2,AB=2,ABAC=45°，

222

由余弦定理有：BC=AJB+AC-2AB-AC-cos45°=4+2-2x2xV2x—=2,

2

所以，AB2=AC2+BC2,所以/ACB=90。，

所以3c±AC,

又因为BC/R4,PAAC=A,PA,ACu平面PAC,所以，8C/平面PAC,

因为PCu平面PAC,所以，BCLPC,

在△PAC中：AC=近,PC=2,PA=^[6,则以2=AC2+pc2,

所以，PCLAC,

因为ACBC=C,AC、BCu平面ABC。，

所以PC上面ABCD.

（2）因为PC,平面ABCD,ABLAD,以点A为坐标原点，

A。、AB、CP的方向分别为x、八z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则有40,0,0)、B(0,2,0)、C(有,0)、0(1,0,0)、P(l,l,2),

iS=2BP=A(l,-1,2)=(2,-A,22),其中0W/W1,

贝AE=AB+BE=(A,2-A,2A),AC=(1,1,0),AP=(1,1,2),

n-AE=Ax+（2-2）y+22z=0

设〃=(x,y,z)为面£4C的法向量,则有，

n-AC=x+y=0

取1=_%,则y=/l,2=2-1,

所以，平面E4c的一个法向量为〃-1),

设丛与平面E4C所成的角为ae(0,3

75..2

cosa=——,..sma=—

33

」AP|2/l-2|_2

由题意可得|cosA尸，川

|AP|-|n|76x^22+A2+(2-l)23

可得3抬+24—1=0,因为0W4W1,所以2=；.

因此，存在点E使得上4与平面胡C所成角的余弦值为手，且器=g

【变式2】(2024•全国•一模)如图，棱柱ABCD-AACA的所有棱长都等于2,且NABC=N^AC=60。,

平面A41GC±平面ABCD.

⑴求平面DAA,与平面CAA)所成角的余弦值；

(2)在棱CG所在直线上是否存在点P,使得成//平面DAQ.若存在，求出点P的位置；若不存在，说明

理由.

【答案】⑴(

(2)存在，点尸在CC的延长线，且CP=GC.

【分析】(1)取AC中点。，先证A。，平面再以。为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的

方法求二面角所成的余弦.

(2)根据尸在线段cq上，设c尸=NCG，再由3尸和平面MG的法向量，求彳，即可得解.

【详解】(1)如图：

取AC中点。，连接4。，AC,BD.

因为各棱长均为2,且ZABC=60,所以AABC是等边三角形.

所以AC=2.

又因为A4=2,Z^AC=60,所以A^AC是等边三角形.

所以4。，AC,又平面AAGCL平面ABC。，平面441GC-平面ABCD=AC,

AOu平面A41cle,

所以A。，平面A8CD.

由AC13D,所以可以以。为原点，建立如图空间直角坐标系.

那么：r>(-V3,o,o),4(0,-1,0),A(o,o,V3),c(o,i,o).

设平面的法向量为根=(x,y,z),则

因为03，平面CAA,可取平面C/里的法向量〃=(1,0,0).

则cosm,n=若曰=至=手，即为平面与平面C/心所求角的余弦值.

阿•网<155

(2)因为£(0,2,君)，B(73,0,0)

设P(%，M，Z1),因为尸在CG上，可设CP=；ICG,

可得尸(0,1+九网.

设平面D4G的法向量为S=(尤2，%，22)，

（x,y,z）-（73,0,^j=0（x+z=0

s-DA,=0_22222

（，）后右）=后。'

s•£>G=0%,%22«2,01z+2%+&2=

取6=（1,0,-1）.

由s.8P=0=（1，。，_1）（_亚1+4扇）=0=_6_0t=0=4=T.

所以存在点P,使得3P//平面。AG，此时点尸在GC的延长线，且cp=qc.

【变式3］（2024•贵州黔东南•二模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形A3CD为菱形，DE工平面

ABCD,DE〃BF,AD=DE=2,BF=l,ABAD=60°.

(1)证明：平面以C_L平面BDEF；

⑵试问线段CD上是否存在一点尸，使得平面心与平面的夹角的余弦值为正？若存在，请判断点尸

4

的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴证明见解析

(2)存在，P为CA的中点

【分析】(1)根据线线垂直可证明线面垂直，进而可证面面垂直，

(2)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.

【详解】(1)证明：因为四边形A8CD为菱形，所以

因为DE2平面ABCO,ACi平面ABC。，所以DEIAC.

又因为OEc皮>=O,且DE,BL>1平面3DEF,所以AC_L平面BDEF.

因为ACu平面E4C,所以平面E4C_L平面

(2)设ACBD=O,以。为坐标原点，QAOB的方向分别为％，

轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(后0,0),8(0,1,0),C(-百,0,0),£>(0,-1,0),£(0,-1,2),F(0,l,l)

设平面心的法向量为机=（x,y,z）,因为短=卜后-1,2）,跖=（0,2,-1）,

AE-m=一-y+2z=0,

所以令y=i,则/”=（右,1,2）.

EF-m=2y-z=0,

设平面函的法向量为〃=（占,%,zj,因为8尸=（0,0,1）,AP=（-5^2,2-2,0）,

BF•ri=Z]=0,

所以令玉=4_2,贝1]〃=（彳-2,后,0）.

BP,n-九X[+（4-2）%=0,

因为平面A£尸与平面麻尸夹角的余弦值为正,

4

,,125/3（2-1）1也

所以cosm,n\=­J/

2g（人2）2+3万4

解得人;或彳=2（舍去）,

所以存在尸满足题意，且尸为CO的中点.

」强化训练

一、单选题

1.（2023・贵州六盘水•模拟预测）平面a的一个法向量为九=。,2,2）,A。,0,0）为a内的一点，则点

P（3,l,l）到平面a的距离为（）

A.1B.2C.3D.V1T

【答案】B

【分析】利用空间向量坐标运算中，点到平面的距离公式求解即可得.

【详解】平面。的一个法向量为“=（1,2,2）,A（l,0,0）为a内的一点，

2+2+2

则点63,1,1）到平面a的距离为=吁:（I"）=11=2.

|«|Vl2+22+223

故选：B.

2.（2023高三・全国•专题练习）“类比推理"简称"类比"，是一种重要的逻辑推理方法，也是研究问题、发

现新结论的重要方法.下面通过"类比”所得到的结论中不正确的是（）

A.设。为平面内任一点，则A,B,C三点共线当且仅当存在a,b满足a+匕=1,使得

OC=aOA+bOB.类比到空间得：设A,B,C不共线，则A,B,C,。四点共面当且仅当存在实数

a,b,c满足a+b+c=l,OD=aOA+bOB+cOC

B.已知平面内点灯（4,几）到直线Ax+By+C=0的距离为d」今;.类比到空间得：空间中

|Ar0+By0+Cz0+D|

点P（x。,%,z°）到平面Ax++Cz+£>=0的距离为d=

VA2+B2+C2

C.设平面内不过坐标原点的直线与无轴和y轴的交点分别为（a,0）,（0/），则直线的（截距式）方程

为N/1.类比到空间得：空间中不过坐标原点的平面与x轴、y轴和z轴的交点分别为（a,。,0）,

（0力,0）,（0,0,c）,则平面的（截距式）方程为'+；+三=1

abc

D