二次函数小压轴题（含答案）-2025年陕西中考数学复习题型专练

专题一二次函数小压轴题

题型1二次函数的系数与函数图象的性质

(2024,2021)

1.二次函数y=ax2+bx+c(a/))的图象如图所示，其对称轴为直线x=l,则下列结论正

确的是()

A.abc<0B.2a-b=0

C.5a+3b+2c<0D.4ac-b2>0

2.下列关于二次函数y--(x-m)2+m2+l(m为常数)的结论错误的是()

A.当x>0时,y随x的增大而减小

B.该函数的图象一定经过点(0,1)

C.该函数图象的顶点在函数y=x2+l的图象上

D.该函数图象与函数y=-x2的图象形状相同

1

3.(2024・交大附中模拟)已知抛物线y=2ax2+(l-a)x-l(a<0),则它的顶点M一定在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已知二次函数y=x2+bx+c,当x>0时，函数的最小值为-3;当x<0时,函数的最小值

为-2.则b的值为()

A.6B.2C.-2D.-3

5.(2024•西工大附中模拟)已知二次函数y=ax2+bx-2(a<0),函数值y和自变量x的

几组对应取值如下表：

X01234

y-2mnP-2

1/14

若mn〈O,则a的取值范围是（）

2

A.a<-3

1

B.a<2

21

C.-3<a<-2

21

D.av-?或-2va〈0

6.（2024•陕师大附中模拟）已知抛物线y=-x2+2mx+n（m,n为常数），则下列结论正确

的是（）

A.开口向上

B.对称轴在y轴的左侧

C.若m+n=l,该函数图象与x轴没有交点

D.当m-l<x<m+2时，该函数的最大值与最小值的差为4

题型2对二次函数图象的分析判断

（2020,2019.T10）

7.【原创好题】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx的图象和一次函数

y=ax+b（a,b为常数，且ab/））的图象可能是（）

2/14

8.【原创好题】在平面直角坐标系中，若二次函数y=ax2+(2a-l)x+a-3的图象与坐

标轴最多有两个交点，则函数图象不可能经过()

A.第三象限

B.第四象限

C.第三象限和第四象限

D.第一象限和第二象限

9.【原创好题】已知二次函数y=ax2+bx+c(a/)),若满足ac<0且ab>0,则下列选项

中,符合条件的抛物线为

10.已知抛物线L:y=ax2+bx+c的顶点坐标在第四象限，与x轴没有交点，则下列结

论正确的是()

A.a>0

B.b2-4ac>0

C.若点在抛物线L上，则m<c

D.若点A(xi,y)点B(x2,yi)在抛物线L上，且xi〈X2,则yi<y2

题型3二次函数图象中对称轴的运用

(2013,2022)

11.已知二次函数y=ax2-3ax+c(aR0)的图象与x轴交于点P(xi,0),点(502,0),若-

3VXF-2,贝Ux2的取值范围是()

A.5<X2<6B.4Vx2V5

C.4<X2<6D.3Vx2V5

3/14

12.若抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点A(XI,0),B(X2,0)之间的距离为6,且

XI+X2=8,则这个抛物线的顶点坐标是()

A.(3,9)B.(-3,-9)

C.(-4,-9)D.(4,9)

13.在抛物线L:y=ax2-(l-a)x+2a(a和)上存在一点M(a,m).当x<a时,y随x的增大

而减小;当x>a时,y随x的增大而增大，则m的值为()

A.-lB.-3

17

C.2D,8

14.已知二次函数y=x?+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(n,0)和(-n+4,0),且

该抛物线还经过点G4,yD和(4村,则下列关于yby2的大小关系判断正确的是()

A.y2=yi

B.y2<yi

C.yi<y2

D.yi<y2

题型4运用二次函数增减性比较函数值的大小

15.【原创好题】已知抛物线y=ax?+4ax-3与x轴的交点位于原点两侧,A(xi,yi),

B(X2,y2),C(X3,y3)三点在抛物线上,且满足XI<0<X2<X3,XI+X2>-4,则yi,y2,y3的大小关

系是()

A.y1>y2>y3

B.y2>yi>y3

C.y3>y2>yi

D.y3>yi>y2

16.【原创好题】已知M(x(),yo)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点，且y()为y=ax2-4ax+c

的最大值.若点(-5"),(1,丫2),(0,丫3)在抛物线上,则下列说法中正确的是()

>>

A.y1>y2>y3B.y2y3yi

C.y3>yi>y2D.yi>y3>y2

题型5二次函数与几何图形关系

4/14

(2016.T10)

17.已知抛物线y=a(x+l)(x-5)与x轴交于A,B两点，点A在点B的左侧，若在x轴

下方的抛物线上存在一点C,使得AABC的最大面积为6,则a的值为()

2222

A.-5B.5C.-9D.9

18.M是抛物线y=x2+x-2在第三象限部分的一点，过点M向x轴和y轴作垂线，垂

足分别为P,Q,则四边形OPMQ周长的最大值为()

A.lB.2C.4D.6

题型6抛物线的交点与方程的关系

(2015.T10)

19.将抛物线y=-2x2+(m-3)x-l向上平移m(m>0)个单位长度,与直线y=-x+3有且

只有一个交点，则m的值为()

A.4B.8

C.4A/2-2D.4A/2+2

20.在平面直角坐标系中,抛物线C:y=ax2+(3-2a)x+a-2与坐标轴有两个交点，则a

的值为()

94

A.-4B.0或-2

9

C.-2D.4或2

题型7二次函数图象的变换

21.在平面直角坐标系中，如果抛物线y=ax2(a/))不动,x轴向上平移3个单位长度，

y轴向右平移3个单位长度，那么关于新坐标系下的抛物线，下列说法正确的是()

3

A.新坐标系下的抛物线的对称轴为直线x=2

B.新坐标系下的抛物线与y轴的交点的纵坐标为3a+3

C.新坐标系下的抛物线的顶点在第三象限

D.新坐标系下的抛物线与x轴一定有两个交点

5/14

22.已知抛物线y=ax2-2x+l与x轴没有交点,将该抛物线向左平移3个单位长度，

再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

23.将抛物线L:y=-(x-b+l)2+b先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长

度，得到抛物线L；若抛物线U的顶点到原点的距离为5,则抛物线U的顶点坐标

为()

A.(0,5)

B.(5,0)

C(0,-5)或(5,0)

D.(0,5)或(-5,0)

题型8二次函数图象的实际应用

24.某同学用相机拍摄记录小球投掷实验，并绘制了示意图如图所示，其中x轴表

示小球滞空时间,y轴表示小球高度，小球的运动轨迹为抛物线，在第0.8s与第L2

s时，小球高度一致,已知点A(0,2),小球在最高点的纵坐标为4,则小球落地时，点

B的坐标为)

A.(2.2,0)B.W+2,0)

C.(2,0)D.W+1,0)

25.如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O与水面

的距离CO是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽为)

6/14

A.0.4mB.0.6m

C.0.8mD.lm

7/14

参考答案

1.C口解析::抛物线开口向上,“>。

b

:抛物线的对称轴在X轴正半轴上"W>o,

.：a,b异号，.为<0.

:抛物线与了轴交于负半轴，.:c<0,

“Ac>0,故选项A错误.

:抛物线的对称轴为直线x=l,

b

•：-2a=l,艮[]b=-2a,

,：2a+b=0,故选项B错误.

由题图可知，当x=l时j=a+b+c〈0.

:抛物线的对称轴为直线x=l,

•:点(2,4a+2Z>+c)与(0,c)关于对称轴对称，

-,Aa+2b+c=c.

•'c<09

」4。+26+。<0,

.：(a+b+c)+(4a+2b+c)v0,即5a+36+2cv0.故选项C正确.

:抛物线y=ax2+b%+c与x轴有两个交点，

,为2_4。。>0,」4。。-62<0,故选项D错误.

故选C.

2.A口解析:丁抛物线开口向下,对称轴为直线x=m,

•:当x>m时》随x的增大而减小，故选项A错误；

:,当x=0时,y=l,

.：该函数的图象一定经过点(0,1),故选项B正确；

'■y=-(x-my+m2+l,

.：抛物线的顶点坐标为(优,­+1),

.:抛物线的顶点在抛物线y=x2+l上,故选项C正确；

2

^=-(x-m)+m2+i与的二次项系数都为一1,.：两函数图象的形状相同,故选项

D正确.

故选A.

8/14

1-a

Fill

2X

3.A□解析:依题意，抛物线开口向下,对称轴为直线X=-?=-

a-1

:徐<0".三>0".对称轴在J轴的右侧.

1

必=(1-a)2-4xia-(-l)=lW>0,

.:抛物线与x轴有两个交点，

・：顶点/一定在第一象限，故选A.

4.C□解析::•二次函数了=/+云+°,当x>0时，函数的最小值为-3,

2

4x1xc-bb

.:该函数图象的对称轴在y轴右侧，一二^=-3,工>0,

功<0.

丁当x<0时，函数的最小值为-2,

•:当x=0时，1=-2,

2

4x1xc-b

将c=-2代入4xi=-3,可得仇=2(舍去)也=-2.

故选C.

5.C口解析:依题意，当x=0和x=4时)的值都是-2,

0+4

.:抛物线的对称轴为直线％=亍=2,

b

=

•:顶点为(2,〃),-2a=2,即b-4a.

:々〈0,4是函数的最大值.

的〃〈0,」加〈0,〃>0,

•:当x=l时/=。-4。-2<0;当x=2时J=4Q-8Q-2>0,

21

解得-XaV-5,故选C.

6.D口解析:北=-1〈0".抛物线开口向下，故A选项错误；

2m

:,抛物线的对称轴为直线x=-^Uu=m,

.:当m>0时，对称轴在y轴右侧;当m<0时，对称轴在y轴左侧;当m=0时,对称轴

为了轴，故B选项错误；

^w+«=l,-J=(2m)2-4x(-l)-«=4m2+4w=4m2+4(l-m)=4m2-4m+4=4^m-2^2+3>0,

•:抛物线与x轴有两个交点，故C选项错误；

:抛物线的开口向下,对称轴为直线x=m,

9/14

,:二次函数的最大值为-"+2加2+〃;加2+〃

•77t+2-m=2>m-（m-l）=l,

,:当x=m+2时，二次函数有最小值，最小值为-（加+2尸+2加（加+2）+〃=加2+小4,

.:加2+〃_（加2+/4）=4,故D选项正确.

故选D.

7.A□解析:A,B选项中，由二次函数天=以2+及的图象可以判断Q>O/〈O.C,D选项

中,由二次函数尸aN+及的图象可以判断a<0,b>0.

b

对于y=ax2+bx,当y=Q时/导0=办2+乐,解得%!=0^2=-3.

b

对于y=ax+A,当y=0时，解得x=-"故二次函数的图象与一次函数的图象交于x轴

上一点.

故选A.

1

8.D□解析:根据题意,/=4q2-4a+l-4a（a-3）=4°2-4a+l-4a2+12a=8a+lg0,解得a<-»,

.：二次函数的图象开口向下，且与y轴交于负半轴，与x轴最多有一个交点，

故二次函数图象不可能经过第一象限和第二象限.

9.B□解析:分情况讨论：

当a>0时,c<0乃>0,抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在了轴左侧；

当。<0时,c>0乃<0,抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，且对称轴在y轴左侧.综

上所述，只有B选项符合题意.

10.C□解析：

根据题意，抛物线工的大致图象如图所示.

可知”0,由于与x轴没有交点，故b2-4ac<0.

b

:对称轴在.V轴右侧".当X<-3时）随X的增大而增大.

当点N与点B在对称轴的右侧时，为>>2,故C选项正确.

10/14

11.A口解析::,二次函数尸3ax+o(.0),

-3a3

.：图象的对称轴为直线％=-豆"=5.

:•二次函数y=ax2_3ax+c(aM)的图象与％轴交于点尸(修,0),点2(x2,0),_@_-3<xi<-2,

-5<X2<6.

故选A.

bb

12.D口解析:E+X2=8".抛物线的对称轴为直线x=-々=5=4,解得b=S.

之间的距离是6,

■-A,B的坐标为(1,0),(7,0).

将(1,0)代入y=-x2+8x+c,得0=-l+8+c,解得c=-7,.^=-%2+8%-7.

将x=4代入.v=-N+8x-7,得y=9,

・：顶点坐标为(4,9).

故选D.

13.D□解析:根据题意，抛物线L的对称轴是直线x=a,

1-a1

.：2a=〃,整理得2Q2+Q-1=0,解得

:%V。时沙随X的增大而减小;当x>a时随x的增大而增大，

1111/1\77

22

.-.a>0,.-.a=2,.'.M为抛物线的顶点，且y=^x-2x+1=2vx-2)+s,.-.m=i

14.B□解析::,二次函数,v=x2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别是(〃,0)和(-

ZJ+4,0),

n-n+4

.：对称轴为直线x=2=2.

:抛物线经过点(-4必)和(4面,

•:点(-4,y1)到对称轴的距禺大于点(4,竺)到对称轴的距寓

,・抛物线开口向上，号1>打

故选B.

15.C□解析:当x=0时)=-3,.：抛物线与.v轴的交点为(0,-3).

:抛物线与x轴的交点位于原点两侧，

”>0,即抛物线开口向上.

11/14

：犬1<0<》2/1+》2>-4,

得x2-(-2)>-2-xi,.-.y2>yi.

■x3>x2,--y3>y2,

号3>>2>>1.故选C.

16.B□解析:：MxoJo)是抛物线y=ax2-4ax+c的顶点，且为为y=ax2-4ax+c的最大

值，

.：抛物线开口向下.

由y=ax2-4ax+c可得抛物线的对称轴为直线x=2,

抛物线上的点到对称轴距离越大，该点的纵坐标越小，点(-5,为)到抛物线的对称轴

的距禺4=2-(-5)=7,点(1,了2)到抛物线的对称轴的距禺12=2-1=1,点(0%)到抛物线

的对称轴的距离"3=2-0=2.汨2<"3<"1,故”>为>为.

17.D□解析:由抛物线片a(x+l)(x-5)可知，点Z的坐标为(-1,0),点8的坐标为(5,0),

.：AB=6.

,・在x轴下方的抛物线上存在一点C,使得ZUBC的最大面积为6,

1

•：SZUBC=2Z8，〃=6,解得h=2,

根据二次函数图象的性质,抛物线的顶点坐标为(2,-2),

2

将其代入抛物线的表达式中,-2=a(2+l)x(2-5),解得a=5,故选D.

18.D□解析:设点/的坐标为(切,切2+吵2),根据题意,四边形OPMQ为矩形，

•''C矩形oPMQ=2(OP+OQ)=2(-m-m2-m+2)=-2(m+l)2+6,

当机=-1时,C矩形。PMQmax=6.故选D.

19.C□解析:平移后的抛物线表达式为尸-2炉+(加-3)x-l+加.：与直线》=-%+3有且

只有一^交点".关于x的方程-2N+(加-3)x-l+加=-x+3有两个相等的实数根，

整理上述方程得-2N+(加-2)x-4+加=0/=(加-2)2-4x(-2)(加-4)=0,

解得加产4也-2,加2=-4也-2.

:打>0,」掰=4也-2,故选C.

9

20.D□解析:当抛物线。与x轴有一个交点时,4Q2_12Q+9-4QO2)=0,解得〃与；