二次函数与二次函数中的代几综合问题（10类题型）-2025年中考数学二轮复习热点题型专项训练（原卷版）

专题04二次函数与二次函数中的代几综合问题

目录

热点题型归纳.........................................................................................1

题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系................................................1

题型02二次函数小综合（判断序号正误关系）..........................................................3

题型03动点图象问题.................................................................................7

题型04二次函数与线段及周长问题....................................................................10

题型05二次函数与面积问题..........................................................................15

题型06二次函数与角度问题..........................................................................19

题型07二次函数与特殊三角形........................................................................23

题型08二次函数与特殊四边形........................................................................28

题型09二次函数与三角形相似问题...................................................................33

题型10二次函数与定值定点定直线问题...............................................................36

中考练场............................................................................................40

题型01二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系

01题型综述________________________________________

二次函数图形性质的应用之判断函数值的大小关系是初中数学函数板块中的重要内容，在中考数学整体分值中占比约

5%-8%。

1.考查重点：重点考查对二次函数图象特征与性质的理解，通过图象开口方向、对称轴位置等判断函数值大小。

2.高频题型：常以选择题、填空题形式出现，给定二次函数解析式或图象，比较不同自变量对应的函数值大小。

3.高频考点：涉及二次函数对称轴、增减性，利用函数图象的对称性判断函数值大小。

4.能力要求：要求学生具备数形结合能力，能将函数解析式与图象相互转化，通过图象分析函数值变化。

5.易错点：易忽略二次函数对称轴位置对函数增减性的影响，在对称轴两侧判断函数值大小时出错。

02解题攻略

【提分秘籍】

一、剖析函数解析式

二、巧用函数图象

根据图象直接观察：当题目给出二次函数图象时，我们可以通过观察图象上各点的高低位置来比较函数值大小。

对于开口向上的图象，离对称轴越近的点，其对应的函数值越小；而对于开口向下的图象，离对称轴越近的点,

对应的函数值越大。

三、利用图象对称性和增减性即可

【典例分析】

例1.（2024・广东•中考真题）若点（0,%）,。,力），（2,%）都在二次函数丫=/的图象上，贝1］（）

A.%>%>%B.%>%>%C.D.

例2.（2024・四川凉山・中考真题）抛物线y=|（x-iy+c经过（-2,%）［（，%］三点，则X，%，%的大小关

系正确的是（）

A.B.%>%>%C.D.%>%>%

【变式演练】

1.（2025•陕西西安・一模）已知点4（-1,%）,3（-3,%）,C（7,%）均在二次函数y=-尤?+8x+〃z（根为常数）的图象上，

则％,为，为三者之间的大小关系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.%<为〈%

2.（2024・安徽亳州.模拟预测）点片£（3,%）,月（5,%）均在二次函数y=-/+2%+°的图象上，则为,%,

力的大小关系是（）

A.%>%>%B.%>%=%C.D.%=%>%

3.（2024•云南曲靖•一模）设A（2,yJ,3（3,%）,。（-2,%）是抛物线y=2（尤-仔+左图象上的三点，则%，%，%的大

小关系为（）

A.B.%>%>%

C.%>%=%D.无法确定

题型02二次函数小综合（判断序号正误关系）

01题型综述________________________________________

二次函数小综合（判断序号正误关系）是初中数学函数知识体系中综合性突出的关键内容,在中考分值占比约3%-8%。

1.考查重点：着重考查对二次函数性质、图象特征、解析式及知识间内在联系的深度剖析，以判别多个二次函数相关

结论的对错。

2.高频题型：多以选择题、填空题出现，题干罗列多个涉及二次函数不同层面的序号式结论，要求判断正误。

3.高频考点：涉及二次函数对称轴、顶点坐标、增减性、最值、图象与系数关系，以及运用函数性质解决实际问题等

要点。

4.能力要求：学生需具备综合整合二次函数各知识点的能力，能从多元视角思考并逻辑严谨地判断结论准确性。

5.易错点：易在二次函数不同性质应用条件上混淆，对复杂结论分析不全面，忽视隐含条件，导致判断序号正误失误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.剖析题干结论

2.巧用函数基本性质

3.结合图象辅助思考

4.注意隐藏条件

【典例分析】

例L（2024・四川广元•中考真题）如图，已知抛物线>="2+法+0过点。（0,-2）与工轴交点的横坐标分别为4，血，

且—1<玉<0,2<x2<3,则下列结论：

（J）ci—b+cvO；

②方程G?+"+9+2=0有两个不相等的实数根;

③>0；

④〃；

⑤〃-4团〉44.其中正确的结论有（）

C.3个D.4个

例2.（2024.山东泰安.中考真题）如图所示是二次函数y=6Z?+陵+4，。0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线

x=l,图象与，轴交点的纵坐标是2,则下列结论：①2a+Z?=0；②方程加+人x+c=o一定有一个根在_2和_1之间；

③方程依2+bx+c-彳=0一定有两个不相等的实数根；@b-a<2.其中，正确结论的个数有（）

2

A.1个B.2个C.3个D.4个

例3.（2024•湖北武汉•中考真题）抛物线waY+bx+c（a",c是常数，a<0）经过（-1/），（加,1）两点，且0<〃?<1.下

列四个结论：

①b>0；

②若0<x<l,贝!Ja（无一1）一+6（x-l）+c>1；

③若。=-1,则关于x的一元二次方程依2+灰+°=2无实数解；

④点4（网,％）,3（々,%）在抛物线上，若石+%>-（，%>/，总有%<%，贝!]0<机4，

其中正确的是（填写序号）.

例4.（2024•山东日照•中考真题）已知二次函数y=af+bx+c（"O）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（—1,0）,

对称轴为直线x=2.对于下列结论：①必c<0；②a+c=b；③多项式加+Zzx+c可因式分解为（x+l）（x-5）；④当

"2>-9。时，关于X的方程or?+/?x+c=〃7无实数根.其中正确的个数有（）

【变式演练】

1.（2025・陕西西安・一模）如图，已知抛物线>=办2+法+。（仄b、c为常数,且awO）的对称轴为直线x=-l,且

该抛物线与x轴交于点4（1,0）,与，轴的交点B在（0,-2）,（0,-3）之间（不含端点），则下列结论正确的有（）个.

①abc>0；

@9a-3Z?+c>l；

_2,

③一<a<1；

3

④若方程加+bx+c=x+l两根为私〃（加<〃），贝U-3<机<1<九.

2.（2025・湖北恩施•一模）二次函数y=62+bx+c（awO）的部分图象如图所示，图象过点对称轴为x=2,下

列结论：①4a+6=0；②9a+c>3b；③8a+76+2c>0；④当y<。时，一l<x<5；⑤若（%,%）,（马,％）是抛物线上

两点，且王<2<3，,<%，则%+々<4.其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.（2024・湖北随州二模）已知二次函数y=加+区+44<0）的图象与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,对称轴为直线x=l,

以下结论中：①a—b+c=0；②若点（TyJ,（2,%）,（4,%）均在该二次函数图象上，则M<%<%;③若根为任意

x

实数，贝！J+Zw7+cWTa；④方程ax?+6x+c+l=0的两实数根为七，i,且毛<%,则々<-1,x2>3.其中正确

结论的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2025•山东临沂•一模）如图，抛物线y=a?+bx+c的对称轴为直线尤=1,与x轴分另U交于（孙0）,（〃,0）,且〃.下

列结论：①abc<0；②直线y=2与>=加+乐+。的交点个数为1个；③。/+初<4+》（/71）；④

m2—2m-n2-2n-正确的有（填序号）.

5.（2024・湖北武汉・模拟预测）抛物线〉=办2+法+。（°,b,。是常数，〃<0）经过（帆0）两点，且2<相<3.下

列结论：

①c>l；

②当x>g时，y随X的增大而减小；

③关于X的不等式ax2+bx<（c-l）x的解集为％>0或％<-1；

〜2

④2。+c>—.

3

其中正确的结论是.（填写序号）

题型03动点图象问题

01题型综述

二次函数动点图象问题是初中数学函数知识领域中综合性与动态性兼具的内容，在中考中分值占比约为3%-7%o

I.考查重点：重点考查如何将动点的运动过程与二次函数的图象及性质建立联系，分析因动点位置改变引发的函数关

系变化。

2.高频题型：多以选择题、填空题以及简答题部分出现，给出动点在图形中的运动情境，要求判断对应的二次函数图

象或求解相关函数表达式。

3.高频考点：涵盖动点运动路径分析、根据几何图形性质确定二次函数的各项系数、函数图象与动点运动阶段的对应

关系等。

4.能力要求：学生需具备较强的动态分析能力，能够把几何图形中动点的运动转化为代数函数问题，还要有良好的数

形结合思维以及逻辑推理能力。

5.易错点：易在动点运动过程的分段分析上出错，忽略不同阶段函数关系的变化，对复杂几何图形中动点与函数图象

对应关系把握不准确。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.确定动点轨迹

2.分段分析运动过程

3.建立函数表达式

4.分析函数关键特征

5.结合图象与选项（针对选择填空题）

若题目是选择或填空题，给出多个函数图象选项。根据前面分析的动点运动阶段、函数关键特征，排除明显不符

合的选项。例如，已知函数开口向下，可排除开口向上的图象选项；若函数在某区间增减性，不符合此增减性性

的图象也可排除，以此提高解题效率。

【典例分析】

例1.（2024・山东烟台・中考真题）如图，水平放置的矩形ABC。中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFG”的顶点E,

G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF=2^cm,ZE=60°,现将菱形所GH以lcm/s的速度沿BC方向匀

速运动，当点E运动到C。上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABC。重叠部分的面积S（cm?）与运动时

间〃s）之间的函数关系图象大致是（）

例2.（2024•甘肃兰州•中考真题）如图1,在菱形ABCD中，ZABC=60°,连接50,点〃从B出发沿50方向以限m/s

的速度运动至同时点N从8出发沿方向以lcm/s的速度运动至C,设运动时间为x（s）,ABMN的面积为y（cn?）,

了与无的函数图象如图2所示，则菱形AS8的边长为（）

图1图2

A.2&cmB.4夜cmC.4cmD.8cm

【变式演练】

1.（2023•江苏南通•二模）如图，在VABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,。为AB的中点，E是边AC上一个动

点，连接DE,过点。作。尸_L£）E,DF交边BC于点F.设4E的长为x,ADEF的面积为s=y-6,贝！|s与式的

函数图象大致为（）

2.（2024•河北石家庄•三模）如图1,,在矩形ABC。中，3C=4,E是BC边上的一个动点，AE工EF,EF交CD于点、F,

^BE=x,CF=y,图2是点E从点B运动到点C的过程中，，关于x的函数图象，则A3的长为（）

DFCy

3.（2024・广东深圳.三模）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,BC=8,D和E分别是A3和AC的中点，点

M和点N分别从点A和点E出发，沿着AfCf3方向运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当点N到达点B时,

两点同时停止运动.设ADMN的面积为S,运动时间为/,贝US与/之间的函数图像大致为（）

题型04二次函数与线段及周长问题

01题型综述

二次函数与线段及周长问题（解答题）是初中数学函数与几何知识融合的关键内容，在中考里分值占比约8%-10%o

1.考查重点：重点考查运用二次函数知识解决线段长度计算、周长最值探究以及建立函数模型描述线段和周长随动点

变化的规律。

2.高频题型：以解答题形式呈现，常设定几何图形中有动点，围绕求线段长度、构建周长关于某变量的二次函数并求

最值等进行设问。

3.高频考点：涉及二次函数解析式求解、线段长度公式（如两点间距离公式）、几何图形性质（相似、全等）用于线

段关系推导、二次函数最值求解。

4.能力要求：学生需要具备综合运用代数与几何知识的能力，能把几何问题转化为函数问题，熟练运用数学公式进行

计算和推理。

5.易错点：容易在构建函数模型时出错，忽视几何图形中的隐含条件，计算线段长度和函数最值时出现运算失误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.准确分析图形

标注已知信息：拿到题目后，仔细观察几何图形，将已知的线段长度、角度、点的坐标等信息清晰标注在图上。

比如在一个给定的三角形中，若已知某条边的长度信息，就在这条边上明确标记。

挖掘隐含条件：留意图形中的特殊关系，像直角三角形的勾股定理关系、等腰三角形两腰相等、平行四边形对边

平行且相等。例如，若图形中有一个平行四边形，其隐含条件就是对边长度相等，可据此建立线段之间的等式。

2.构建函数模型

3.求解函数最值

4.检查答案合理性

【典例分析】

例L(2024.湖南・中考真题)已知二次函数y=-/+c的图像经过点4(-2,5),点尸(小乂)，。(%,%)是此二次函数的

图像上的两个动点.

图1图2

⑴求此二次函数的表达式；

(2)如图1,此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B,点P在直线AB的上方，过点P作尸轴于点C,交AB于

点。，连接AC,。。,尸Q.若％=占+3,求证普丝的值为定值；

^/XADC

(3)如图2,点P在第二象限，尤2=-2%，若点M在直线P0上，且横坐标为％-1,过点M作肱轴于点N,求线段

长度的最大值.

例2.（2024•山东淄博・中考真题）如图，抛物线>=加+版+3与x轴相交于A（%,0）,8（々,0）两点（点A在点8的左

侧），其中4，%是方程三-2%-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C.

备用图

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

⑵已知直线/：y=3x+9与x,>轴分别相交于点£）,E.

①设直线BC与/相交于点尸，问在第三象限内的抛物线上是否存在点尸，使得NPB尸=NDFB?若存在，求出点P的

坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点Q.连接Q。，QE.求

线段QD+QE的最小值.

4

例3.（2024•江苏镇江・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=-§（xT）2+4的图像与x

轴交于A、B两点（点A在点8的左侧），顶点为C.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）一个二次函数的图像经过3、C、/0,4）三点，其中7大1,该函数图像与x轴交于另一点。，点。在线段上（与

点。、8不重合）.

①若。点的坐标为（3,0）,则t=；

②求r的取值范围：

③求OD/汨的最大值.

【变式演练】

1.(2025・广东•模拟预测)如图在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点4(4,0),与y轴交于点3(0,T),抛物线经

过点A,B,且对称轴是直线x=l.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线/下方抛物线上的一动点，过点P作尸轴，垂足为C,交直线/于点。，求£＞尸的最大值及此时尸的

坐标；

⑶在(2)的条件下，过点尸作垂足为求尸M的最大值.

2.(2024•广东•模拟预测)如图，抛物线y=。/+法+0交轴于点4(-1,0),8(3,0),交y轴于点C,/。18=60。，点

E是线段A3上一动点，作所〃AC交线段BC于点F.

(1)求抛物线的解析式；

⑵如图1,延长线段所交抛物线于点G,点。是AC边中点，当四边形ADGR为平行四边形时，求出G点坐标；

⑶如图2,M为射线EF上一点，且=将射线EP绕点E逆时针旋转60。，交直线AC于点N,连接跖V,尸为

的中点，连接AP,3尸，问：AP+3P是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由.

3.(2024.安徽.模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，二次函数y=Y+bx+c的图象交x轴于A(-l,0),8两点，=4,

C为抛物线顶点.

图1图2

(I)求6，。的值；

(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点尸作轴，垂足为点Q,交AC于点是否存在QM=3尸M?若存

在，求出此时尸点坐标；若不存在，请说明理由；

⑶如图2,以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+：AN的最小值.

4.(2024•安徽合肥•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，直线＞=履与抛物线＞=加+。交于A(8,6),B两点，点

(1)求直线AB和抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点48重合)，过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C,连接PO,

设点尸的横坐标为机；

①若点尸在无轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形；

②若点尸在x轴下方，设△尸OC的周长为P,求P关于，”的函数关系式，当机为何值时，△POC的周长最大，最大值

是多少？

题型05二次函数与面积问题

01题型综述

二次函数与面积问题（解答题）是初中数学里函数知识和几何面积知识相互渗透的关键内容，在中考中分值占比大约

为5%-10%»

I.考查重点：重点考查利用二次函数构建面积模型，通过函数性质分析图形面积的变化规律，以及求解面积的最值或

特定面积值对应的条件。

2.高频题型：常以解答题形式出现，在给定的二次函数图象与几何图形背景下，设置动点或动图形，围绕求图形面积、

面积与变量的函数关系及面积最值等问题展开。

3.高频考点：涵盖二次函数解析式的确定、几何图形面积公式的运用（如三角形、四边形面积公式）、利用函数性质

（如增减性、最值）求解面积相关问题，以及通过相似、全等关系转化面积。

4.能力要求：学生需具备将几何图形中的面积问题转化为二次函数问题的能力，熟练运用代数方法进行计算，还要能

灵活运用几何知识分析图形关系。

5.易错点：易在构建面积与函数关系时出错，忽略图形中隐含的限制条件，计算面积过程中因公式运用不当或计算失

误导致错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.精准剖析题意，明确变量关系--

标记关键信息：确定自变量：

2.灵活选用面积公式，构建函数模型

基本图形面积公式运用：

分割与拼接图形求面积：

用自变量表示图形边长或高：

3.借助函数性质，求解面积最值

4.全面检查，规避易错点

【典例分析】

例1.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，A、8为一次函数y=-x+5的图像与二次函数y=/+bx+c的图像的公共点，

点A、8的横坐标分别为0、4.尸为二次函数、=/+法+。的图像上的动点，且位于直线的下方，连接PA、PB.

（1）求6、c的值；

（2）求APAB的面积的最大值.

例2.（2024・山东济南.中考真题）在平面直角坐标系屹v中，抛物线。|与=尤2+6尤+°经过点4（0,2）,3（2,2）,顶点为

（I）求抛物线G的表达式及顶点D的坐标；

⑵如图1,连接AO,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点厂是抛物线上一点，若四边形皿石是面积为12

的平行四边形，求加的值；

⑶如图2,连接8。。。，点M是抛物线C1对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作〃刀Q交x轴

于点N,连接BN,DN,求ABDN面积的最小值.

例3.(2024•山东东营•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丫=/+云+，与无轴交于4(-1,0),8(2,0)

两点，与>轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式;

⑵当点。在直线8C下方的抛物线上时，过点。作，轴的平行线交BC于点E,设点。的横坐标为BOE的长为/,请

写出/关于f的函数表达式，并写出自变量/的取值范围；

(3)连接AO,交BC于点F,求兴些的最大值.

3△AM

【变式演练】

1.(2024•青海西宁•一模)如图,抛物线、=-炉+/+。与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为y=x-3.

(1)求抛物线的解析式；

Q

(2)点P为抛物线上一点，若S&pBA=gS4ABC，求点尸的坐标；

(3)直线BC上方的抛物线上有一点Q,当△BCO的面积最大时，点。的坐标是什么？△BC。的最大面积是多少？

2.(2024•云南昆明•一模)如图，抛物线与x轴交于A(-l,0),B两点,与y轴交于点C,且满足03=OC=3OA.

(1)求抛物线的解析式；

⑵M是线段BC上的一点(不与点3,C重合)，过点M作轴交抛物线于点N,交x轴于点。，连接NB,NC,

若点M的横坐标为唐，是否存在点使ABNC的面积最大？若存在，求相的值；若不存在，请说明理由.

3.(2024・广东东莞.模拟预测)如图1,抛物线丫=仆2+法+。(《工0)与无轴交于点4(-1,0)和点3,与y轴交于点C,

连接BC,已知50=CO=349,点M是抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式.

⑵如图2,抛物线的对称轴与x轴相交于点P,与线段8C相交于点。，点N是抛物线的对称轴上的点，且满足

ZANB^ZABC,求点N的坐标.

⑶如图3,连接AM,8",点。是线段A3上的一个动点，过点。作交8M于点E,。尸_LW于点F,连

接EP.当”)£户面积最大时，求此时点。的坐标.

4.(2024.甘肃.模拟预测)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线、=/+法+。与*轴交于A,8(3,0)两点，与y轴交

于点C(0,-3),尸是直线BC下方抛物线上一动点.

图1图2

(1)求抛物线y=Y+bx+c的表达式；

(2)如图2,连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC,当四边形POPC为菱形时，求出点尸的坐

标；

（3）当点尸运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段3尸的长.

题型06二次函数与角度问题

01题型综述________________________________________

二次函数与角度问题（解答题）是初中数学中函数知识与几何角度知识深度融合的重要内容，在中考里分值占比约5%

-10%o

1.考查重点：重点考查运用二次函数性质及图象特征，结合几何图形中的角度关系，通过构建方程或函数模型来求解

角度大小、探究角度变化规律以及基于角度条件确定函数相关参数。

2.高频题型：主要以解答题形式呈现，给定二次函数图象与几何图形，设置动点引发角度变化，围绕求特定角度值、

判断角度之间的关系（如相等、互余等）、依据角度条件求二次函数解析式等进行设问。

3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标）、三角函数知识（正弦、余弦、正切在求角度中的应

用）、几何图形（三角形、四边形）内角和定理、相似三角形对应角相等性质以及利用角度相等构建方程求解函数参

数。

4.能力要求：学生需要具备跨知识模块的综合运用能力，能将几何图形中的角度问题转化为代数方程或函数问题，熟

练运用三角函数公式、几何图形性质进行推理计算，同时具备较强的逻辑思维和分析问题能力。

5.易错点：容易在将角度关系转化为代数关系时出错，忽视几何图形中隐含的角度条件，对三角函数知识的运用不够

熟练，导致在计算角度和求解函数参数过程中出现错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.剖析题目，挖掘信息——

标记关键元素：分析角度关系：

2.建立角度与函数的桥梁

借助三角函数：利用几何图形性质:

3.构建方程或函数模型求解

4.检查与验证

【典例分析】

例1.(2024•重庆・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=加+法+4(«70)经过点(-1,6),与y轴交于点

C,与X轴交于A3两点(A在3的左侧)，连接AC,BC,tw^CBA=4.

(1)求抛物线的表达式;

(2)点尸是射线C4上方抛物线上的一动点，过点尸作PELx轴，垂足为E,交AC于点。.点M是线段DE上一动点，

轴，垂足为N,点尸为线段2C的中点，连接AM,NF.当线段PO长度取得最大值时，求AM+MN+NF的

最小值；

(3)将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点。，且与直线AC相交于

另一点K.点。为新抛物线上的一个动点，当=时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标.

2

例2.(2024・四川广安•中考真题)如图，抛物线＞尤2+bx+c与x轴交于A,8两点，与,轴交于点C,点A坐标

为(-1,0),点B坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线于点。，过点尸作y轴的垂线，垂足为点

请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时尸点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

⑶点M为该抛物线上的点，当NMCB=45。时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

例3.(2024・山东烟台・中考真题)如图，抛物线与x轴交于A,B两点,与，轴交于点C,OC=OA,

AB=4,对称轴为直线4：x=-1,将抛物线％绕点。旋转180。后得到新抛物线内，抛物线乂与y轴交于点。，顶点为E,

(2)如图1,点尸的坐标为(-6,0),动点M在直线4上，过点M作W〃了轴与直线乙交于点N,连接月"，DN.求

EM+MN+DV的最小值；

(3)如图2,点H的坐标为(0,-2),动点尸在抛物线必上，试探究是否存在点P,使NPEH=2NDHE?若存在，请直接

写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

例4.(2024・四川资阳・中考真题)已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=-gd+陵+，与x轴交于A,B

两点，与y轴的正半轴交于C点，且3(4,0),BC=472.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点，连接尸员尸C,过点尸作轴于点。，交BC于点K.记△P3C,

△3DK的面积分别为H，S”求S「$2的最大值；

(3)如图2,连接AC,点E为线段AC的中点，过点E作EFLAC交x轴于点尸.抛物线上是否存在点。，使

NQEE=2/OC4?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理由.

【变式演练】

1.(2024•内蒙古呼伦贝尔・模拟预测)如图，已知抛物线y=-6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,并

(2)点。为直线AC下方抛物线上的一动点，直线8。交线段AC于点E,请求出卡的最大值；

(3)探究：在抛物线上是否存在点M,使得/MAS=2NOCB?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

2.(2024・湖南•模拟预测)定义：若抛物线G沿x轴向右平移加个单位长度得到抛物线G，那么我们称抛物线Q是G

的“友好抛物线”，加称为“友好值”.如图，抛物线6：丫=。5+2)2-6与了轴交于4(-8,0),3两点，抛物线Q是G的“友

好抛物线”，“友好值”为2,抛物线g与x轴交于4,用两点，与y轴交于点C,作直线BC，点M是抛物线C2上一动

点.

»

x

(1)抛物线G的表达式为；

⑵若点〃在第四象限，过点“作MQ，x轴于点Q,交瓦C于点P,当PQ=2PM时，求MQ的长;

(3)是否存在点“，使得NMC4=15°?若存在，请求出点/的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2024•江苏苏州•一模)如图1,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线丁=工2+/+。与轴交于点4(；,0)、B

(1)求抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线上的一点(不与点A重合)，当△2BC的面积等于VABC面积的2倍时，求此时点。的坐标；

(3汝口图2,点P在x轴下方的抛物线上，点。为抛物线的顶点.过点。作轴于点E,连接BD,AD交PB于点、F,

连接EF,ZEFB=2ZJFBD,探究抛物线上是否存在点〃，使4ZBC+NCBO+NAFB=180。，若存在，请直接写出点

”的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2024.广东深圳.模拟预测)如图，抛物线与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,OB=OC=3,04=1,顶点为

(2)P为直线2C上方抛物线上一点，求△P3C面积最大值及P点坐标;

(3)尸为第四象限抛物线上一点，且tanZAPC;，求出点P的坐标；

题型07二次函数与特殊三角形

01题型综述

二次函数与特殊三角形（解答题）是初中数学中函数知识与几何特殊三角形知识深度融合的重要内容，在中考中分值

占比约为6%-10%=

1.考查重点：重点考查运用二次函数性质与图象特征，结合等腰三角形、直角三角形等特殊三角形的性质，通过建立

方程或函数模型来求解三角形的边长、角度、探究三角形存在性及相关位置关系。

2.高频题型：多以解答题形式呈现，给定二次函数图象与几何图形背景，设置动点，围绕构建特殊三角形（如判定是

否存在等腰三角形、直角三角形）、求特殊三角形的边长或顶点坐标等进行设问。

3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、函数解析式求解）、特殊三角形（等腰三角形两腰相

等、三线合一；直角三角形勾股定理、锐角三角函数）的性质与判定、利用几何图形中的线段关系和角度关系建立方

程或函数。

4.能力要求：学生需具备综合运用代数与几何知识的能力，能将几何中的特殊三角形问题转化为二次函数问题，熟练

运用数学公式进行推理和计算，还要有较强的逻辑思维和分类讨论意识。

5.易错点：容易在分类讨论特殊三角形的不同情况时有所遗漏，忽视几何图形中的隐含条件，在建立方程或函数模型

以及求解过程中出现运算错误。

02解题攻略

【提分秘籍】

1.快速识别关键条件

标记函数信息：锁定三角形条件

2.运用知识建立等式

利用特殊三角形性质：

等腰三角形：若已知等腰三角形，根据两腰相等，设动点坐标表示出三边长度，列等式求解。

直角三角形：依据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。若已知直角顶点，设动点坐

标后表示出三边，代入勾股定理等式。

结合二次函数性质：把特殊三角形的边或角与二次函数联系起来。若动点在二次函数图象上，将动点坐标代入函

数解析式。

3.分类讨论不重不漏

等腰三角形分类：分腰和底的情况讨论。当确定某三角形为等腰三角形时，分别假设不同的边为腰，列出相应方

程求解。

直角三角形分类：分不同顶点为直角顶点讨论。对于可能是直角三角形的情况，分别假设三个顶点为直角顶点,

利用勾股定理列方程。

4.检查答案确保正确

【典例分析】

例1.（2024・四川达州•中考真题）如图1,抛物线y=*+日-3与x轴交于点A（-3,0）和点3（1,0）,与V轴交于点C.点

（2）如图2,连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点尸是直线AC上方抛物线上一点，且S^PMC=2S^DMC,

求点尸的坐标；

（3）若点N是抛物线对称轴上位于点。上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，

请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.

例2.（2024・四川眉山・中考真题）如图，抛物线y—Y+Zzx+c与x轴交于点4（-3,0）和点8,与＞轴交于点C（0,3）,

点£）在抛物线上.

(2)当点。在第二象限内，且AACD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线BC上是否存在点P,使△OPD是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

例3.(2024•山东泰安・中考真题)如图，抛物线G：y=ox2+gx-4的图象经过点。。,-1),与x轴交于点A,点、B.

⑴求抛物线的表达式；

(2)将抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C。，求抛物线C?的表达式，并判断点。是否在抛物

线C2上；

(3)在x轴上方的抛物线G上，是否存在点P,使是等腰直角三角形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

【变式演练】

1.(2024・广东•模拟预测)综合运用

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线＞=-/+2了+3与X轴交于点A.C(点A在点C的右侧).与y轴交于点B.直

线〉=丘+6经过点A,B.

⑴求A,B,C三点的坐标及直线48的表达式.

（2）尸是第二象限内抛物线上的一个动点，过点尸作尸!2〃x轴交直线于点Q,设点尸的横坐标为〃?（〃?<0）.尸。的

长为L.

①求L与他的函数关系式，并写出机的取值范围；

②若尸。与80交于点整二，求机的值.

Cz/iJ

（3）设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点N,使得为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；

若不存在，请说明理由.

2.（2024•山西•模拟预测）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+!%+。与x轴交于A,B两点（点A在点3的右侧），与，轴交于点C,

⑴求该抛物线的表达式及直线AC的表达式.

（2）。是直线AC上方抛物线上的一动点，过点。作DPLAC于点P,求的最大值.

⑶在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，M为点。的对应点，平移后的抛物线与，轴交于点N,。为

平移后抛物线的对称轴上的任意一点.直接写出所有使得以QV为腰的AQMN是等腰三角形的点。的坐标.

3.（2024•山东青岛.一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数>="2+法+。交x轴于点A（-4,0）,B（2,0）,交y轴

于点C（0,6）,在y轴上有一点E（0,—2）,连接AE.

⑴求二次函数的表达式；

（2）若点。为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求VADE面积的最大值及此时。点的坐标；

（3）抛物线对称轴上是否存在点尸，使△收为以AE为底的等腰三角形？若存在，请直接写出尸点的坐标即可；若不

存在，请说明理由.

题型08二次函数与特殊四边形

01题型综述________________________________________

二次函数与特殊四边形（解答题）是初中数学里函数知识与特殊四边形几何性质深度融合的重要内容，在中考中分值

占比大约为6%-10%o

I.考查重点：重点考查综合运用二次函数的性质与图象特征，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形等特殊四边形的

性质，建立方程或函数模型来探究特殊四边形的存在性、边长、角度以及相关位置关系。

2.高频题型：多以解答题形式呈现，在给定二次函数图象及几何图形背景下，设置动点，围绕判定是否能构成特殊四

边形、求特殊四边形顶点坐标、探究特殊四边形面积最值等问题展开。

3.高频考点：涵盖二次函数的基本性质（如对称轴、顶点坐标、解析式求解）、特殊四边形（平行四边形对边平行且

相等、矩形对角线相等且互相平分、菱形四条边相等且对角线互相垂直平分、正方形兼具矩形与菱形所有性质）的判

定与性质，以及利用几何图形中的线段关系、角度关系建立方程或函数。

4.能力要求：学生需具备较强的代数与几何综合运用能力，能够将几何中的特殊四边形问题转化为二次函数问题，熟

练运用数学公式进行推理和运算，还要有敏锐的逻辑思维与全面的分类讨论意识。

5.易错点：容易在分类讨论特殊四边形不同情况时出现遗漏，忽视几何图形中的隐含条件，在建立方程或函数模型以

及求解过程中因运算复杂而出现错误

02解题攻略

【提分秘籍】

1.透彻分析已知条件

梳理函数信息

提取四边形条件：仔细研读题目中关于特殊四边形的已知内容，若是平行四边形，留意已知的边的关系、顶点坐

标；若是矩形，关注直角相关信息、对角线特征；菱形则注意边长、对角线性质；正方形综合了矩形和菱形的特

性。把这些关键信息在几何图形上清晰标注，方便后续分析。

2.灵活运用特殊四边形性质构建等式

平行四边形性质运用：利用平行四边形对边平行且相等的性质。

矩形性质运用：依据矩形对角线相等且互相平分。

菱形性质运用：菱形四条边相等，设动点坐标表示出各边长度，根据边长相等列方程。

正方形性质运用：正方形兼具矩形和菱形性质。既可以利用四条边相等、对角线相等且互相垂直平分，也可以利

用直角关系来建立方程。

3.合理进行分类讨论

按特殊四边形类型分类：当题目未明确特殊四边形具体类型时，需分别讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形的

情况。例如，已知四个点，判断能否构成特殊四边形，就依次按照平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件

去分析。

按动点位置分类：若存在动点，根据动点在不同线段、不同区域运动进行分类。比如动点在一个矩形的四条边上

运动，分别讨论动点在每条边上时，如何构成特殊四边形，建立相应方程求解。

4.检查答案的准确性与合理性

【典例分析】

例1.(2024•黑龙江绥化•中考真题)综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=-必+桁+。与直线相交于A,B两点，其中点4(3,4),8(0,1).

(2)过点B作3C〃x轴交抛物线于点C,连接AC,在抛物线上是否存在点尸使tanN8CP=JtanNAC8.若存在，请求

出满足条件的所有点尸的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)

(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到X=+blX+Cl(qH0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点、E为

原抛物线对称轴上的一点，厂是平面直角坐标系内的一点，当以点8、。、E、尸为顶点的四边形是菱形时，请直接

写出点尸的坐标.

例2.(2024・四川广元•中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线用y=--+"+。经过点4(-3,-1),与y

轴交于点3(0,2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C,连接0C交43于点。，求务CD的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线P关于直线＞=-1上一点的对称图象F,抛物线P与P只有一个公共点E(点E在y轴右侧)，G为直线

A3上一点，”为抛物线尸'对称轴上一点，若以8,E,G,H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.

3

例3.(2024.宁夏・中考真题)抛物线尸办2-3犬-2与x轴交于A(T,0),B两点，与,轴交于点C,点尸是第四象限

内抛物线上的一点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,过P作尸轴于点D,交直线BC于点E.设点。的横坐标为机，当=时，求加的值;