高考数学重难点专项复习：空间点、直线、平面之间的位置关系（2大考点+强化训练）（原卷版+解析）

第11讲空间点、直线、平面之间的位置关系（2大考点+强化训练）

［考情分析］高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查,

属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的

第（1）问的形式考查，属中档题.

知识导图

❶考点一：空间直线、平面位置关系的判定

★空间点、直线、平面之间的彳立置关系

❷考点二：空间平行、垂直关系

考点一：空间直线、平面位置关系的判定

判断空间直线、平面位置关系的常用方法

（1）根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行

判断.

规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相

关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立.

【例1】（多选）（2023•广州模拟）已知直线与平面a有公共点，则下列结论一定正确的是（）

A.平面a内存在直线/与直线优平行

B.平面a内存在直线/与直线机垂直

C.存在平面-与直线相和平面a都平行

D.存在过直线机的平面£与平面a垂直

【变式1】（2024•吉林白山•二模）已知心〃为两条不同的直线，名£为两个不同的平面，且机，

则下列说法正确的是（）

A."/〃机"是"々//尸"的充分不必要条件

B.加"是的必要不充分条件

C.若却“异面，则a,6有公共点

D.若d/有公共点，则/,7〃有公共点

【变式2】（2024•江西鹰潭•一模）设。、6是两条不同的直线，口是两个不同的平面，则下列命题正

确的是（）

A.若a//6,alia,则6//aB.若aJ_6，aLa,b1/3,则（z_L6

C.若aL/3,则a//aD.若&_L£,alia,贝

【变式3］（22-23高三上•河南安阳•阶段练习）已知平面。，夕交于直线/,直线加，九满足加〃£,

〃£且"?_L〃，贝!J（）

A.a，/3B.nA.aC.m//lD.m///3

考点二：空间平行、垂直关系

平行关系及垂直关系的转化

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

面面垂直的性质

考向1平行、垂直关系的证明

规律方法（1）证明线线平行的常用方法

①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

（2）证明线线垂直的常用方法

①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.

【例2】（2023•全国甲卷）如图，在三棱柱ABC—481G中，4CJ_平面ABC,ZACB=9Q°.

（1）证明：平面ACGAi_L平面881clC；

（2）设AAi=2,求四棱锥ALBBCIC的高.

【变式1】（2023•全国•模拟预测）已知私尸是两个不同的平面，仪，是平面以月外两条不同的直线，给出

四个条件：©all（3.③“//£；®mVa,以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填

写正确推理与证明的序号）

(1)已知②③④,则①成立

(2)已知①③④,则②成立

已知①②④,则③成立

(4)已知①②③,则④成立

【变式2】（23-24高三上•辽宁・期末）如图，在五棱锥尸-MCDE中，24,平面ABCDE,AB//CD,

ACHED,AEIIBC,ZABC=45。，AB=2也,BC=2AE=4.

⑴求证：平面PCD_L平面PAC；

（2）已知直线尸8与平面PCD所成的角为30。，求点A到平面PCD的距离.

考向2翻折问题

翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于"折痕”同侧的点、线、

面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的

关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

易错提醒注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立

足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.

【例3】（多选）（2023•山东名校大联考）如图，在矩形ABC。中，AB^2AD,E为边AB的中点，将△AOE沿

直线。E翻折成△AbDE.若M为线段4c的中点，则在△ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是（）

A.8M的长是定值B.点M的运动轨迹在某个圆周上

C.存在某个位置，使QE_LACD.4不在底面8CQ上时，MB〃平面4DE

【变式1］（多选）（23-24高三上•福建莆田•阶段练习）如图，在边长为2石的正方形AEFC中，B为E尸中

点，现分别沿AB,3c将△ABEqBCF翻折，使点E,尸重合，记为点尸，翻折后得到三棱锥尸-ABC,则

3

A.三棱锥尸-ABC的体积为大

2

B.直线以与直线BC所成角的余弦值为。

C.直线上4与平面PBC所成角为7:T

D.三棱锥P-ABC外接球的表面积为19兀

【变式2］（多选）（2024高三•全国•专题练习）M,N分别为菱形ABC。的边BC,C。的中点，将菱形沿对

角线AC折起，使点。不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）

A.MN〃平面ABO

B.异面直线AC与MN所成的角为定值

C.设菱形ABCD边长为a,NCft4=60。，当二面角O-AC-B为120。时，棱锥O-ABC的外接球表面

7

积为工兀/

O

D.若存在某个位置，使得直线与直线8c垂直，则0ABe的取值范围是［。片J

【变式3］（多选）（23-24高三上•广东佛山•阶段练习）如图，平面四边形ABC。中，△BCD是等边三角

形，ABLBDSLAB=BD^2,M是A。的中点.沿2。将△BCD翻折，折成三棱锥C-A5D,翻折过程

中下列结论正确的是（）

28冗

A.当平面平面8OC时，三棱锥C-ABD的外接球的表面积是亍

B.棱C。上存在一点N,使得MN〃平面ABC

C.存在某个位置，使得CM与2。所成角为锐角

D.三棱锥C-的体积最大时，二面角C-AD-3的正切值为"

强化训练

一、单选题

1.（23-24高三上•江苏南京•期中）设加，n,/是三条不同的直线，。，B,7是三个不同的平面，有下

列命题中，真命题为（）

A.若mHn,mlla,则〃//aB.若加_L〃，M±/,则根J_/

C.若mJLa,miln,则〃_LaD.若。_L/?,0工y,则。_17

2.（2024・山东烟台•一模）设〃力为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若。//a,b//a,贝！|a//6

B.若与a所成的角相等，则a〃b

C.若<z_L£,a〃〃夕，贝心_L力

D.若a_L,,4_La,》_L#,贝

3.（22-23高三下•河北承德•阶段练习）已知小，"是两条不同的直线，a,B,7是三个不同的平面，则

下列正确的是（）

A.若in//a,nila,贝“〃z〃/B.若<z_L7,尸_L7,则or〃6

C.若mJLa,n±a,则D.若mlla,ml![3,则a〃£

4.（2023•河南新乡•二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M,N,。分别是所在棱的中点，则满足直

5.（2023•浙江嘉兴•二模）已知正方体ABC。-4月£。的棱长为2,尸为空间内一点且满足AP/平面

\BD,过AB作与”平行的平面，与用G交于点Q,则CQ=（）

A.1B.72C.6D.V5

6.（2024•广东佛山•模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A冉GR中，E为线段AB上的点，且

诉=3,点尸在线段2E上,则点尸到直线AD距离的最小值为（）

储

7.（2024•内蒙古呼和浩特•一模）已知正方体ABC。-A耳6。的棱长为4,M为棱DC的中点，N为侧面8G

的中心，过点M的平面。垂直于,则平面a截正方体AG所得的截面面积为（）

A.4（A/5+5/2）B.2A/3

C.5也D.4n

8.（22-23高三•江西•期中）如图，在棱长为2的正方体ABC。-中，点M,N满足

QN=gB,其中4〃40,1）,在下列说法中正确的是（）

①存在4〃e（0,1）,使得BM〃口N

②存在4〃40,1）,使得肋V，平面24c

③当九=〃=g时，MV取最小值

④当〃=：时，存在2e（0,l）,使得ZZRWN=90°

A,①②B.②③C.③④D.②④

二、多选题

1.（2023•安徽安庆•三模）如图，已知四边形A3。,AB。是以8。为斜边的等腰直角三角形，AABD为等

边三角形，BD=2,将△ABD沿对角线3D翻折到在翻折的过程中，下列结论中正确的是（）

A.BDLPC

B.。尸与3C可能垂直

c.四面体尸&R的体积的最大值是"

3

D.直线DP与平面BCD所成角的最大值是45。

2.（2023・全国•模拟预测）在直角梯形ABCD中，XABC=90°,AB=4,CD=3,BC=6AB!ICD,

产在CD上，E,G在AB上，BE=CF=AG=1.将△ADG沿直线DG翻折至△PDG的位置，将四边形

A.尸£）与NP所成的角为30。

B.平面GDP//平面瓦

C.直线尸尸与平面PGD所成的角为45。

D.四棱锥P—EEDG的体积占巨

3

3.（2023•浙江嘉兴•模拟预测）如图，在44BC中，=y,AB=6,BC=1,过AC中点M的直线/与

线段AB交于点N.将AAW沿直线/翻折至△AMV,且点A在平面3CW内的射影H在线段8C上，连

接A"交/于点。，。是直线/上异于。的任意一点，则（）

A.ZA'DH>ZA'DC

B.ZA'DH<ZAOH

c.点。的轨迹的长度为f

6

D.直线AO与平面BCMN所成角的余弦值的最小值为8-—13

三、填空题

1.（22-23高三•全国•课时练习）若直线/与直线相垂直，根平面a,贝心与a的位置关系是.

2.（2024高三•全国•专题练习）以下四个命题中，真命题的个数为.

（1）不共面的四点中，其中任意三点不共线；

（2）若点A,B,C,。共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面；

（3）若直线a,6共面，直线a,c共面，则直线6,c共面；

（4）依次首尾相接的四条线段必共面.

3.（2023高三•全国•专题练习）设加，〃是两条不同的直线，4是两个不同的平面，给出下列四个命

题:

①若机_La,n^a,则

②若〃m±a,〃回£,则a_L。；

③若a回/，mua,则加回夕；

④若机_La,相，£,则夕.

其中正确命题的序号有.

四、解答题

1.（2024高三•全国•专题练习）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,对角线

4。,血交于点。,尸。，平面98,平面a是过直线A3的一个平面，与棱PC,尸。交于点瓦尸，且

AB

2.（2024高三•全国•专题练习）在正方体中，E和尸分别为BC和8月的中点.

⑴判断直线所和直线4。的位置关系，并说明理由;

（2）判断直线AB,和直线C2的位置关系，并说明理由.

3.（23-24高三上•福建龙岩•期中）如图，在正三棱锥P-ABC中，。及M,N分别为PC,尸AAB,3c的中

⑴求证：四边形DEMN为矩形.

⑵若四边形。为正方形，求直线3C与平面PAC所成角的正弦值.

4.(2024高三•全国•专题练习)如图，四面体ABC。中，ADLCD,AD=CD,ZADB=ABDC,E为AC

的中点.

D

(1)证明：平面BED_L平面AC。；

(2)设AB=BD=2,NAC3=60。，点尸在BD上；

①点P为中点，求CF与AB所成角的余弦值；

②当△AFC的面积最小时，求C尸与平面所成的角的正弦值.

5.(2023高三・全国・专题练习)利用定义法、向量法证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一

个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

第11讲空间点、直线、平面之间的位置关系（2大考点+强化训练）

［考情分析］高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查,

属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的

第（1）问的形式考查，属中档题.

知识导图

❶考点一*空间直线、平面位置关系的判定

★空间点、直线、平面之间的彳立置关系

❷考点二：空间平行、垂直关系

考点分类讲解

考点一：空间直线、平面位置关系的判定

判断空间直线、平面位置关系的常用方法

（D根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

（2）必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行

判断.

规律方法对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相

关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立.

【例1】（多选）（2023•广州模拟）已知直线机与平面a有公共点，则下列结论一定正确的是（）

A.平面a内存在直线/与直线机平行

B.平面a内存在直线/与直线机垂直

C.存在平面P与直线m和平面a都平行

D.存在过直线机的平面/与平面a垂直

【答案】BD

【解析】对于A选项，若直线机与a相交，且平面a内存在直线/与直线机平行，由于亦ta,则加〃a,

这与直线相与a相交矛盾，假设不成立，A错误；

对于B选项，若mUa,则在平面a内必存在/与直线机垂直；若直线机与a相交，设如图所

示，

p

若相_La,且/u%则〃z_L/；若相与a斜交，过直线相上一点尸（异于点A）作尸8_La,垂足为点B,过点A

作直线/,使得/J_48,因为P8J_a,/U*则/_LP3,又因为LLA8,PB^AB=B,PB,4BU平面以8,所

以△平面PAB,

因为,"U平面E48,所以/J_nt,

综上所述，平面a内存在直线/与直线相垂直，B正确；

对于C选项，设直线7"与平面a的一个公共点为点A,假设存在平面夕，使得a〃「且相〃夕，

过直线机作平面力使得因为根〃夕，%Uy,yC0=l,则，〃/n,

因为a〃B，记aCy=w,又因为/口夕=/,贝!I"〃/,

因为在平面》内过点A有且只有一条直线与直线/平行，且Ad"，故相，"重合，

所以mUa,但根不一定在平面a内，C错误；

对于D选项，若ni_La,则过直线机的任意一个平面都与平面a垂直，

若机与a不垂直，设直线机与平面a的一个公共点为点A,

则过点A有且只有一条直线/与平面a垂直，记直线/,机所确定的平面为6则aJ_£,D正确.

【变式1】（2024•吉林白山•二模）己知/,〃1为两条不同的直线，d6为两个不同的平面，且/_La,相，力，

则下列说法正确的是（）

A."/〃加"是"a〃?”的充分不必要条件

B."/，加"是"a，尸"的必要不充分条件

C.若/，机异面，则名月有公共点

D.若d尸有公共点，则却〃有公共点

【答案】C

【分析】对于A,推理说明"/〃加"是"a//尸"的必要条件即可判断；对于B,推理说明"/L""是

的充分条件即可判断；对于C,通过反证法易判断命题正确；对于D,由a,6有公共点和题设条件，易得

/，加可相交或异面即可判断.

【详解】对于A,由c//〃，Ua可得必万，又〃故得即"/〃加"是"£〃夕"的必要条件，故

A项错误；

对于B,由机_L£,/_!_根可得/u,或/〃尸，当/u/时，因/_La,则

当/〃△时，经过/和平面月内一点可确定平面九且7c£=/，则//〃，由可得?1.a,同理可得&，乃,

即加"是的充分条件，故B项错误；

对于C,运用反证法说明，假设a,〃没有公共点，贝〃尸，又由/，见机，力可得/〃加，这与/,相异面矛盾，

故假设不成立，即C项正确；

对于D,由a,£有公共点可得a,夕相交，因/_Ld〃?JL£,则/，根相交或异面，故D项错误.

故选：C.

【变式2］（2024•江西鹰潭•一模）设。、匕是两条不同的直线，a、P是两个不同的平面，则下列命题正

确的是（）

A.若q//6,alia,则6//。B.若a_L6，aLa,b，0,则

C.若a_L#,a，B,则D.若a_L#,alia,则。_L/?

【答案】B

【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD,利用空间向量判断线面位置关系，从而

判断B,由此得解.

【详解】对于A,若a//6,alia,则有可能匕ua,故A错误；

对于B,若a_l_a,b1/3,则直线。,卜的方向向量a,B分别为平面a,△法向量，

又。_1力，即£_LB，所以故B正确；

对于C,若。，乃，aVp,则有可能aua,故C错误；

对于D,若al•月，alia,则有可能au4,故D错误.

故选：B.

【变式3】（22-23高三上•河南安阳•阶段练习）已知平面“，夕交于直线/,直线加，w满足相〃口，

"_L。且〃?J_〃，贝!］（）

A.aL/3B.nVaC.m//lD.m//（3

【答案】C

【分析】利用空间值线面位置关系判断即可.

【详解】a,夕相交，«,夕的二面角不仅仅是直角，故A错误；因为平面“，夕交于直线/,C/3,显

然“不垂直与a,故B错误;因为且相则〃〃/月或机u/7,故D选项错误；又因为根〃C,平面

a,夕交于直线/,则相〃/,故C选项正确.

故选：C

考点二：空间平行、垂直关系

平行关系及垂直关系的转化

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

面面垂直的性质

考向1平行、垂直关系的证明

规律方法(1)证明线线平行的常用方法

①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.

(2)证明线线垂直的常用方法

①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.

【例2】(2023•全国甲卷)如图，在三棱柱ABC—A181G中，4CJ_平面ABC,ZACB=9Q°.

(1)证明：平面平面BB1GC；

(2)设AAi=2,求四棱锥人一BBCC的高.

【解析】(1)证明因为AiCJ_平面ABC,8CU平面ABC,

所以4C1.BC,

又因为NACB=90。，EPAC±BC,

因为AC,ACU平面ACCiAi,4CCAC=C,

所以BC,平面ACGAi,

又因为BCU平面BBiCiC,

所以平面ACCi4_L平面BBiCiC.

⑵解如图，

C.

匚

过点4作ACCCi于点O.

因为平面ACG4_L平面321clC,平面ACG4Pi平面BSGC=CG,4。（=平面ACG4,

所以4。，平面BBCC,

所以四棱锥4—BB1CC的高为40.

因为4C_L平面ABC,AC,8CU平面ABC,

所以4C_L8C,AiCXAC,

在RtAABC与RtAAiBC中，

因为48=AB,BC=BC,

所以RtAABC^RtAAiBC,

所以4C=AC

TS:AIC—AC—X,则AiG=x,

所以。为CCi中点，OCi=^AAi=l,

又因为AiC±AC,

所以AIC2+AC2=A^,

即f+x2=22,解得x=也，

所以AQ=qAiC—OC=y（^）2—12=1,

所以四棱锥Al—8B1GC的高为1.

【变式1】（2023•全国・模拟预测）已知以月是两个不同的平面，联〃是平面以月外两条不同的直线，给出

四个条件：①机_L〃；②e〃£；③"〃力；@m±a,以下四个推理与证明中，其中正确的是.（填

写正确推理与证明的序号）

（1）已知②③④，则①成立

（2）已知①③④，则②成立

（3）已知①②④，则③成立

（4）已知①②③，则④成立

【答案】（1）（3）

【分析】由线面平行，垂直的判定定理和性质定理，以及面面平行的判定，性质定理判断即可，不正确的

举出一个反例即可.

【详解】(1)若m_L(z,3甲,所以“["I/?,因为”//尸，所以加_L”,(1)正确；

(2)若加，a,m±n,且"是平面a外的直线，则献/a,又因为“〃?，所以a与夕平行或相交，(2)错

误；

(3)因为。〃月，mla,则能，£,又因为加，〃，〃是平面夕外的直线，所以"〃尸，(3)正确；

(4)若"%,al1(3,且〃是平面a外的直线，则〃//口，又因为机，〃，则加与。平行或相交，(4)错误.

故答案为：(1)(3)

【变式2】(23-24高三上•辽宁•期末)如图，在五棱锥P-A5CDE中，24_L平面AB8E,AB//CD,

ACHED,AE//BC,ZABC=45°,AB=2垃,BC=2AE=4.

⑴求证：平面尸CD_L平面PAC；

(2)已知直线尸8与平面尸CD所成的角为30。，求点A到平面尸CD的距离.

【答案】⑴证明见解析.

(2)2

【分析】(1)根据已知条件先证CD，平面PAC,通过线面垂直，再证面面垂直.

(2)建立空间直角坐标系，结合已知条件通过空间向量先确定P4,再利用空间向量求点到面的距离即可.

【详解】(1)因为AB=20，BC=4,NABC=45。，在AABC中，由余弦定理有：

2222

|AB|+|Bd-|AC|nn8+16-lACl…广

cosZABC=J_J」_L,即COS45。=------L_L,解得AC=2夜，

2\AB\-\BC\1672

所以有|河「+|AC『=|8C「，由此可知AABC为等腰直角三角形，所以/区4c=90。，

又因为AB〃CD,所以NACD=90。，即AC_LCD；

因为PAJ_平面45CDE,CDu平面ABCDE,所以PA_LCD；

因为AC_LCD,PA1,CD,ACu平面PAC,PAu平面PAC,R4nAe=A,

所以CD_L平面PAC,又因为CDu平面尸CD,所以平面尸CD_L平面PAC.

(2)

建立以A为坐标原点，AB,AC,AP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系,

设|A尸|=/z,

如图，取AC中点歹，连接E尸，因为AE〃3C,ZBCA^ZCAE=45°,

_A「2AJ72_

AC=20,AE=2,在"砥中由余弦定理有cosNCAE=-----------------------

2ACAE

解得CE=2,AC2=AE2+CE2,所以ZXACE为等腰直角三角形，

24c[―

所以EF/AC,EF=—=V2；又因为AB〃CD,所以4L4C=NACZ)=90。,

所以EF//CD,又ACHED,EF=CF=E所以四边形CDE厂为正方形，

所以CD=6；。点到y轴距离为CD,。点到x轴距离为AC,

所以O卜应,20,0),尸(0,0/),4(0,0,0),8(2夜,0,0),C(O,20,O)；

所以而=(2四,0,-力，CD=(-72,0,0),

PC=((O-O),(2V2-O),(O-/z)j=(0,2V2,-/7),

PC-n=02s/2yl-hzx=0

设平面PC£＞的法向量为而=(占,%,为),则有,一，即

CD-n=0=0

解得五=(o,也:

；因为直线网与平面PC。所成的角为30。,

，整理有：/一16*+64=0,

仅2一8）一=0,因为/z>0,解得/z=2夜；设点A到平面PCD的距离为d,

衣=（0,20,0）,平面尸CD的法向量为耳=仅,血,3）,所以］=写小

-=2,

2

所以点A到平面PCD的距离为2.

考向2翻折问题

翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、

面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的

关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

易错提醒注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立

足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.

【例3】（多选）（2023•山东名校大联考）如图，在矩形ABCZ）中，AB=2AD,E为边AB的中点，将沿

直线OE翻折成△AQE.若M为线段AC的中点，则在△AOE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是（）

AEB

A.8M的长是定值B.点M的运动轨迹在某个圆周上

C.存在某个位置，使QE_LACD.4不在底面8CQ上时，MB〃平面4DE

【答案】ABD

【解析】如图所示，取C。的中点F,连接MF,BF,AC,

BF//DE,

•.•MFC平面AiZJE,AQU平面AQE,

〃平面A1ZJE,

同理可得〃平面AQE,

又MFCBF=F,MF,B尸U平面BMF,

二平面〃平面AiDE,

平面BMF,

:.BM〃平面AiDE,D选项正确；

又/BFM=ZAiDE,

为定值，BF=DE为是值,

由余弦定理知，

BM2=MF2+BF2—2MFBF-cosZMFB,

的长为定值，A选项正确；

.•.点M的运动轨迹在以点2为圆心，为半径的圆周上，B选项正确;

在平面A2C£＞中的射影在直线AC上，且AC与。E不垂直，

二不存在某个位置，使。C选项错误.

【变式1］（多选）（23-24高三上•福建莆田•阶段练习）如图，在边长为2月的正方形g7c中，B为EF中

点，现分别沿将翻折，使点瓦尸重合，记为点尸，翻折后得到三棱锥尸-A5C,则

()

3

A.三棱锥尸-ABC的体积为不

2

B.直线出与直线BC所成角的余弦值为。

C.直线9与平面P3C所成角为:

D.三棱锥尸-ABC外接球的表面积为19兀

【答案】BCD

【分析】求得三棱锥尸-ABC的体积判断选项A；求得直线9与直线BC所成角的余弦值判断选项B；求

得直线出与平面P3C所成角判断选项C；求得三棱锥P-ABC外接球的表面积判断选项D.

【详解】由题意可得，三棱锥P—ABC中，PA=PC=AC=2PB=2也,

BA=BC=屈，PBLPA,PBLPC,

又24npe=P，上4,PCU平面PAC,则PB,平面PAC,

选项A：三棱锥3-P4C的高为尸3=百,

底面积%PAC=一■*（26）=3百，则匕"隹=§*3君'百=3,

故三棱锥P-ABC的体积为3.判断错误；

PABCPA（PC-PB）

选项B：cos（FA,BC^j=

网园—273x715

_用灰-丽•丽_26x26cos60°-0_B

675一6755

故直线上4与直线3c所成角的余弦值为。.判断正确；

选项C：设三棱锥A-P3C的高为d,

又^/\PBC=2^XX=3,^B-PAC=^A-PBC

贝Ij；x3d=3,贝ljd=3,

设直线出与平面尸BC所成角为6,则sin6=4-=j=走,

PA2^/32

JTjr

又Me0,-,则0=:

JT

故直线以与平面P3C所成角为1.判断正确；

选项D：APAC外接圆半径r=———=2石=2

2sinZAPC2sin60°

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,又平面PAC,

贝|1=/+（工8/＞］=22+-=—,解之得R=巫,

1.2J442

则三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀义［半］=19兀.判断正确.

故选：BCD

【变式2】（多选）（2024高三•全国・专题练习）M,N分别为菱形ABC。的边8C,C。的中点，将菱形沿对

角线AC折起，使点。不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）

A.〃平面A3。

B.异面直线AC与MN所成的角为定值

C.设菱形ABC£>边长为a,ZCft4=60°,当二面角。-AC-5为120。时，棱锥£>-ABC的外接球表面

7

积为2M2

O

D.若存在某个位置，使得直线与直线8c垂直，则0ABe的取值范围是［。片J

【答案】ABD

【分析】根据题意，证得MN//&）,证得MN〃平面可判定A正确；证得AC_L平面跳证得

ACJ.BD,得到ACLMN,可判定B正确；取AA3C,A3C£）的中心,设外接球的球心为。，根据球

的截面圆的性质，求得外接球半径为R=Xga,可判定C错误；分/ABC为直角和钝角时，结合H在线

2V3

段CB的关系，结合DB<DO+O3,可判定D正确.

【详解】对于A中，因为M,N分别为菱形ABCD的边BCCD的中点，

所以MN为△BCD的中位线，所以MN//BD,

因为MNU平面ABD,BDu平面ABD,所以MN//平面ABD,所以A正确；

对于B中，取AC的中点。，连接30,。。，则AC，OO,AC，3O,

因为=0且30,。。<=平面800,所以AC_L平面800,

又因为BDu平面所以AC13D,因为MN//BD,所以AC_LMN,

即异面直线AC与MN所成的角为定值90。，所以B正确;

对于C中，取AABC,A3C£）的中心0“Q,设外接球的球心为。,

连接。。，平面ABC,平面BCD,连接BO1，并延长2。1交AC于点E,

因为AABC的边长为。，可得2£=立4,则=且,

236

又因为NCZM=60。，当二面角。-AC—5为120。时，可得NOEQ=60。,

1

在直角AOEO,中，可得OQ=QEtan60°=——a,

2

=4a,即外接球半径为

在直角中，可得05=Joo：+50：R=Ra,

2V32V3

所以外接球的表面积为S=4兀玄=（7侬2,所以c错误;

对于D中，过A作垂足为若/ABC为锐角，H在线段3c上；

若/ABC为直角，则H与B重合；若—ABC为钝角，则H在线段CB的延长线上，

若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，因为ANL8C,所以8C1平面AHD,

因为“Du平面AHD,所以CB_LHD,

若/ABC为直角，H与8重合，所以

在△CB。中，因为CB=CD,所以CBL3D不可能成立，即—ABC为直角不可能成立；

若/ABC为钝角，H在线段CB的延长线上，则在菱形ABCD中，NDCB为锐角，

由于立体图中DB<DO+OB,所以立体图中NDCB一定小于平面图中的NDCB,

所以NDC3为锐角，CB1HD,故点H在线段8C上与“在线段CB的延长线上矛盾，

因此/ABC不可能是钝角；综上,/ABC的取值范围是"ij,所以D正确.

故选:ABD.

【变式3】（多选）（23-24高三上•广东佛山•阶段练习）如图，平面四边形ABCD中，△BCD是等边三角

形，AB±BD^AB=BD=2,〃是A。的中点.沿3。将△3CD翻折，折成三棱锥C-A5D,翻折过程

中下列结论正确的是（）

28冗

A.当平面平面3£>C时，三棱锥C-ABD的外接球的表面积是亍

B.棱C。上存在一点N,使得〃平面ABC

C.存在某个位置，使得CM与所成角为锐角

D.三棱锥C-45。的体积最大时，二面角C-AZ)-3的正切值为"

【答案】ABD

【分析】对于A,确定外接球球心位置，求得外接球半径，即可求得外接球的表面积；对于B,取8的

中点N,证明MN〃AC,根据线面平行的判定定理即可判断；对于C,证明平面CME,推出

CMLBD,即可判断CM与8。所成角不可能为锐角；对于D,确定三棱锥C-的体积最大时，平面

/曲，平面BOC,作出二面角C-AD-3的平面角，即可求得其正切值，判断D.

【详解】对于A,三棱锥C-A5D的外接球被平面2。所截小圆圆心。|是正△BCD的中心，

△BCD是等边三角形，设£为3。的中点，连接CE,

则。［在CE上，BD=2,贝!|0］£='。石=&2*走=立，

3323

由于回，%),故外接球被平面A3。所截小圆圆心为点M,

设球心为。，连。。1,0M,则，平面BCD,OM_L平面A3。，

由于△BCD是等边三角形，故CE_LBD,而平面ABD_L平面BDC,

平面ABDc平面3DC=3Z),CEu平面8DC,故CE_L平面A3，

因为AB_L5D,同理可证平面BCD,M,E为的中点，连接ME,

故则ME_L平面BCD,

故。OOt//ME,故四边形。。为矩形，0M=0再=9,

连A。，由于?1B=B£>=2,则AD=4AB。+BD。=2近，

在Rt^AOM中，AO=ylAM2+OM2=^(^2)"+?=［，

所以三棱锥C-ABD的外接球的表面积S=4无•AO?=等，A正确；

对于B,取C。的中点N,连MN,因M是的中点，则MN〃AC,

ACu平面ABC,MN<z平面ABC,所以MN〃平面ABC,B正确；

对于C,如图，因ABCD是正三角形，有CELBD,而〃是A。的中点,

有ME〃AB,而ABJLBD,则CEcME=E,CE,MEu平面CME,

于是得班»上平面CME,CMu平面CME,所以C/0_L，

即CM与所成角不可能为锐角，C不正确；

因为可=gA8•=2,要使三棱锥C-ABD的体积最大，

当且仅当点C到平面A3。距离最大，即平面平面BDC时，

由选项A知，点C到直线8。的距离为CE=8，

由A可知CEL平面48。，作EG,AD,垂足为G,连接CG,

由于ADu平面AB。，故CELAD,

而EGnCE=E,EG,CEu平面CGE,故AD_L平面CGE,

平面CGEp］平面C4£）=CG,平面CGEp|平面AB£）=EG,

故NCGE为二面角C-AD-3的平面角，

由题意知且AB=8D=2,则DE=L

故在Rt^CEG中，EG=—xDE=—,故退=",

22—

2

即三棱锥C-ABD的体积最大时，二面角C-AD-B的正切值为«,D正确，

故选：ABD.

日强化训练

一、单选题

L（23-24高三上•江苏南京•期中）设加，n,/是三条不同的直线，«,口，/是三个不同的平面，有下

列命题中，真命题为（）

A.若“〃/“，mlla,则”//eB.若〃_!_/,则

C.若加_La,miln,则〃_LaD.若a_L#,则a_Ly

【答案】C

【分析】根据空间中直线和平面的位置关系的判定定理和性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选

择.

【详解】对A：若m/ln,mlla,则"〃a或故A错误；

对B：如下图所示，直线"_La,则“垂直于平面a内的任意一条直线/,

则m,l的位置关系是任意的，故B错误.

对C：若〃z_La,mHn,则〃_Lcz,故C正确；

对D：若。，力，…,则a,7的位置关系是任意的，故D错误；

故选：C.

2.（2024•山东烟台•一模）设。为两条不同的直线，％夕为两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若。//a,b//a,贝!|a//6

B.若。,6与a所成的角相等，则。〃b

C.若<z_L£,a/////，则，,力

D.若a_L/7,a_La,》_!_，，则；_L,

【答案】D

【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能异面，故