高考数学重难点复习专练：函数值域与最值十四大题型（原卷版）

重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总

题型1幕函数值域问题............................................................1

题型2指数函数值域问题..........................................................3

♦类型1值域相关问题......................................................3

♦类型3由函数奇偶性求解析式..............................................5

题型3对数函数值域问题..........................................................5

♦类型1值域相关问题......................................................5

♦类型2定义域与值域为R问题..............................................6

♦类型3新定义相关问题....................................................7

题型4分式型函数值域问题........................................................7

题型5对钩与双刀函数值域问题...................................................9

题型6分段函数值域问题.........................................................10

题型1绝对值函数值域问题.......................................................11

题型8高斯函数值域问题.........................................................12

题型9“倍缩”函数值域问题.....................................................14

题型10”类周期函数”值域问题..................................................15

题型11抽象函数值域问题........................................................17

题型12复合函数值域问题........................................................17

题型13三角函数值域问题........................................................18

题型14函数中的两边逼近思想...................................................20

SKDII

题型1系函数值域问题

小塾重点

幕函数主要考察一元二次函数

二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开

口或者讨论A

【例题1】（2022•全国•高三专题练习）对于函数/（x）=7a娱+其中b>0,若f（x）的定义

域与值域相同则非零实数a的值为

【变式1-1】1.（2023・全国•高三对口高考）若函数八乃=/—6x-16的定义域为[0,利,

值域为[—25,—16],则m的取值范围为

【变式1-1】2.（2017春•贵州贵阳•高三阶段练习）若函数/⑴=7ax2+6久+c[a,b,ce

R)的定义域和值域分别为集合4B,且集合｛。7)|%€4>€8｝表示的平面区域是边长为1

的正方形，贝帅+c的最大值为

【变式1-1】3.(2022•全国•高三专题练习)定义在R上的奇函数/(久)，当久>0时，式%)=-

久2+2%另一Is"函数y=。(久)的定义域为［©0，值域为就I,其中a丰b,a,b丰0.在久E［

a,b］上,g(x)=f(久).求a,b.

【变式1-114.b,ceR,二次函数/O)=/+必+。在(0,1)上与舛由有两个不同的交点,

求c2+(1+6)c的取值范围.

【变式1-1】5.侈选)(2023•山西朔州怀仁市第一中学校校考模拟预测)已知函数/⑶=

ax3+(1-a)x,则()

A.函数久久)为奇函数

B.当=1时，a=-T或1

C.若函数/(x)有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为［0,1)

D.若函数f(x)在区间［—1,1］上的值域为［—1,1］,则实数a的取值范围为［—，4］

【变式1-1】6.(2023・全国•高三专题练习)定义：区间跖题］的长度为久2—亚.已知函数

y=/+l的定义域为［a用，值域为［1,2］,记区间［a总的最大长度为小，最小长度为九则函数

g(x)=ex-mx+ri的零点个数是()

A.1B.2C.0D.3

【变式1-1】7.(2023春・上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习)已知人吗=炉—3x,函

数y=/(x)的定义域为口句(a/eZ),y=/(x)的值域为［a,句的子集，则这样的函数的个数为

()

A.1B.2C.3D.无数个

题型2指数函数值域问题

♦类型1值域相关问题

【例题2-1】(2023•全国•高三专题练习)若2小1<(J：则函数y=2,的值域是()

A.[QB[Q]

c.(-00,1)D.[2,+00)

【变式2-111.侈选)(2023•全国高三专题练习)函数/⑴=22工-2计1+2的定义域为

M,值域为[1,2],下列结论中一定成立的结论的序号是()

A.MG(-00,1]B.M2[-2,1]C.1GMD.OEM

【变式2-1】2.(2023・全国•模拟预测)使函数f(x)=|e，—a|的值域为[0,+8)的一个a的

值为.

【变式2-1】3.(多选)(2023•全国•高三专题练习)对任意实数a>1,函数y=(a—l/T

+1的图象必过定点力(根,九)，f(x)=(')的定义域为[0,2],5(%)=/(2x)+/(%),则下列

结论正确的是()

A.m=1,n=2B.g(x)的定义域为[0,1]

C.g(x)的值域为[2,6]D.g(x)的值域为[2,20]

【变式2-1]4.(2020・全国•高三专题练习)设函数/O)=篇，(a>。且a丰1),[词表示

不超过实数机的最大整数，则函数—1|+1(-%)+的值域是()

A.(0,1,2}B.{—1,o}C.{-1,0,1}D.{0,1}

♦类型2定义域与值域为[m%河型

对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题

【例题2-2】(2023秋•山东济南•高三济南市历城第二中学校考开学考试)给出定义：如果

函数y=/(x)的定义域为［a,句，值域也是［a,b］,那么称函数/Q)为"保域函数".下列

函数中是“保域函数"的有(填上所有正确答案的序号).

①/'(X)=6［0,2］;

②/'(x)—x2+X—1,xe［—1,1］;

4S

X6［-1,1］；

=^Inx+1,xe［i,e2］.

【变式2-2］1.(2020春・江苏南京•高三南京市第二十九中学校考开学考试)若函数y=谈

(a>1)的定义域和值域均为［科7"，则a的范围是

【变式2-2】2.(2022・全国•高三专题练习)若函数f(x)=ax(a>0且并1)在定义域即，n］

上的值域是［浮，汨(1<m<ri),则a的取值范围是.

【变式2-2】3.(2023春•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习)已知/⑴=必—3%函

数y=/(%)的定义域为［a。(a,b£Z),y=f(x)的值域为［a,0的子集，则这样的函数的个数为

()

A.1B.2C.3D.无数个

【变式2-2】4.(2023・全国•高三专题练习)对于区间［a,b］(a<6),若函数y=f(x)同时满

足：①/'(%)在［a,6］上是单调函数；②函数y=/0),xe［a,句的值域是［a,句，则称区间［a力］为

函数f(x)的"保值"区间.若函数/(幻=尤2+爪(小片0)存在"保值"区间，则实数小的取值

范围为

♦类型3由函数奇偶性求解析式

【例题2-3】(2023・四川绵阳•绵阳南山中学实验学校校考三模)已知/O),仪久)分别为定

义域为R的偶函数和奇函数，且/(尤)+9(%)=e\若关于X的不等式2/Q)—ag2(x)>。在

(0,ln3)上恒成立，则正实数a的取值范围是()

A.[y,+OO)B.[0,+00)C.(—8,8D.(0,y]

【变式2-3](2022春・海南・高三海南中学校考阶段练习)已知定义域为R的偶函数/(X)和

奇函数g(x)满足:八久)+。(久)=2。若存在实数a,使得关于X的不等式(nf(%)-a)(g(x)-

a)<0在区间[1,2]上恒成立，则正整数n的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

题型3对数函数值域问题

♦类型1值域相关问题

【例题3-1】(2023秋云南•高三云南师大附中校考阶段练习)定义域为R的函数/(x)满足:

当xe[0,1)时，/(x)=2X-x,且对任意的实数X,均有/'(%)+f(x+1)=1,记a=log23,

则/(a)+f(2a)+/(3a)=()

A.-|B.|C.\D.--

【变式3-1]1.(2021秋・湖南益阳・高三益阳市箴言中学校考阶段练习)设函数f(x)=|log/|

(a>。且aK1)的定义域为[科初(m<n),值域为[0,1],若"小的最小值为则实数a的

值是

2

【变式3-1]2.(2019秋•陕西榆林•高三校考阶段练习)已知y=log2(x-2x+17)的值域

为[犯+8),当正数a,6满足一^++=加时，贝！|7a+4b的最小值为()

A.1B.1C.2

44

【变式3-1】3.(2019秋•江苏盐城•高三校考阶段练习)已知f(x)=ln当定义域为，对

于任意久1,x2GD,当|%1-力|=2时，则|f(X。-f(久2)I的最小值是

【变式3-1】4.(2023・高三课时练习)已知函数f(x)=loga泊的定义域为[%£),值域为

(logaaQ?-l),log.a(a-1)],且函数f(x)为[a/)上的严格减函数，求实数a的取值范围.

♦类型2定义域与值域为R问题

【例题3-2】(2023•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=log3吧I答的定义域为R,值域

为[0,2],求m,n的值.

【变式3-2]1.(2019•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=lg[(m2—3m+2)x2+2(m—

l)x+5],mER.

(1)若函数/(%)的定义域为R求实数m的取值范围；

(2)若函数/(%)的值域为R求实数TH的取值范围.

【变式3-2】2.(2022•全国•高三专题练习)若函躯⑶=唠2卜2+(2仆1方+耶勺值

域为R,则实数k的取值范围为

2

【变式3-2]3.(2020•全国•高三专题练习)设函数y=loga(ax+x+a)的定义域是R时,

a的取值范围为集合M;它的值域是R时，a的取值范围为集合N,则下列的表达式中正确

的是()

A.MaNB.MUN=RC.MCIN=0D.M=N

♦类型3新定义相关问题

【例题3-3】(2022•全国•高三专题练习)设函数久久)的定义域为/,若存在口句=/,使得

/(%)在区间[a。上的值域为[ka,kb](keN*),则称f(x)为“倍函数".已知函娄好(x)=log3

但-何为"3倍函数"，则实数小的取值范围为()

A.(0,竽)B.(一竿,0)C.(等,+8)D.(一8,竿)

【变式3-3】1.(2022•全国•高三专题练习)函数f(x)的定义域为O,若满足：(1)f(x)在D

内是单调函数；(2)存在怪打，使得/⑶在浮⑶上的值域为［犯初，那么就称函数f(x)

为“梦想函数".若函数f(久)=1嗝(/+t)(a>0,a丰1)是“梦想函数”,则珀勺取值范围

是.

【变式3-3】2.(2022・全国•高三专题练习)函数f(x)定义域为D,若满足①f(x)在D内是单

调函数；②存在［a力］c。使/'(X)在［a,0上的值域为［na,几句(rieN+,n>1),那么就称y=/(%

)为"域n倍函数",若函娄好(久)=logaS+t),(a>0,a丰1)是"域2倍函数",则t的取值范

围为

题型4分式型函数值域问题

1木卜轲重点

分式型函数值域问题：

1.分离常数，通过"左加右减上加下减"可求得分式函数的对称中心.

2.特殊的，形如伪反表对称可以证明)

3.注意"水平渐近线和竖直渐近线"

4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法

SAA/WW\AA/VWWWWVWWVWWVWWW\AA/WW\AA/W\AA/WWW\^AAAA/WWWVWSA/VW\A/\/WWWWV^/WVWWW\AA/WVWWW'

【例题4】(2023秋河南洛阳•高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知函数了(乃=高

下列结论正确的是()

A./(久)在(0,6)上单调递减B.7(x)的图象关于点(3,6)对称

C.曲线y=/(x)与X轴相切D./(久)的值域为(一8,0］U［12,+8)

【变式4-1】1.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(X)=1-普的定义域是［a,句

(a,bEZ),值域为［0,1］,则满足条件的整数对(a,6)可以是()

A.(-2,0)B.(-1,1)

C.(0,2)D.(-1,2)

【变式4-1】2.(多选)(2023•重庆统考模拟预测)已知函数/(%)=翳(a6R),则下列

说法正确的是（）

A.f（久）的定义域为（—8,—2）U（—2,+8）

B.f在［—1,0］上的值域为［2—a,1］

C.若/（久）在（一8,—2）上单调递减，则a<1

D.若a>l,则f（x）在定义域上单调递增

【变式4-1】3.（2022・全国•高三专题练习）定义区间风久2］长度X2-久1（久2>久D为，已知

函数/（吗=（tgT（aeR,a丰0）的定义域与值域都是［成团，则区间［仍用取最大长度时a

的值为

【变式4-1】4.（2023秋•湖南长沙•高三校考阶段练习）设xeR,用国表示不超过x的最大

整数，贝的=因称取整函数，例如：［-3.7］=-4,［2.3］=2.已知f⑺=煞则函数y=

，（创的值域为（）

A.（一LB.{—1,1}C.（—1,0）D.{-1,0}

【变式4-1】5.（2020•全国•高三对口高考）已知函数9（乃=生覆产的值域是{yllWy

<9},求函数/（%）=Va*+8%+加勺定义域和值域.

【变式4-1J6.已知We为非零实数，f（x）=GR,且f⑵=2,f⑶=3若当x大一为寸，

对于任意实数x,均有f（f（x））=x,贝曲x）值域中取不到的唯一的实数是.

【变式4-1】7.侈选）（2023•广东深圳•红岭中学校考模拟预测）已知函数/（乂）=磊,

则（）

A.函数f（x）是增函数

B.曲线y=f（x）关于［J）对称

C.函数/（久）的值域为（0,9

D.曲线y=久久）有且仅有两条斜率为由勺切线

题型5对钩与双刀函数值域问题

【例题5】（2022•全国•高三专题练习）已知函数;"（Wux+W具有以下性质：如果常数k

>0,那么函数f（x）在区间（。,而）上单调递减，在区间[4,+8）上单调递增，若函数y=x

+?Q>1）的值域为[a,+8）,则实数a的取值范围是

【变式5-1]1.（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（*）=三>1）,则函数的值域

是.

【变式5-1]2.（2023・全国•高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=/（%）,当%>0时,

-幻=2、+品，则该函数的值域为

【变式5-113.（2023秋•湖北•高三孝感高中校联考开学考试）下列函数%Q）=sin2%+

-11-11

,/2（x）=x+7/3（%）=e"+最/式乂）=In久+菽中，函数值域与函数f（久）=W+后的值域完

全相同的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式5-1】4.（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（*）=『窿_产6[0,1],则该函数

的值域为

.X_x+l_

【变式5-1]5.函数小）=与产的值域为（）

A.[5,+°°）B.[4,+8）C.（5,+8）D.（4,+8）

题型6分段函数值域问题

【例题6】（2023•全国•高三专题练习）已知函数“久）=｛一工盍：3,:学9>0且a

*1),若函数f(x)的值域是(-8,4],则实数a的取值范围是()

A.俘,1)B.惇,1)

C.(1,V2]D.(1,V2)

【变式6-1]1.(2023•全国•高三专题练习)设函数y=f(x)由关系式小|+y|y|=1确定,

函数9(久)=｛不注/，则()

A.g(x)为增函数B.。(久)为奇函数

C.g(x)值域为[-1,+<»)D.函数y=f(-%)-g(x)没有正零点

【变式6-1]2.(2023・北京•高三专题练习)设函数/⑴=[x2，嵋匕1,:北给出下列

四个结论：①函数八吗的值域是R；②Va>l,方程f(x)=a恰有3个实数根；③

0

使得/(-%0)-f(久0)=；④若实数比1<%2<%3<%4,且f(肛)=/(%2)=/(乂3)=f(x4).

4

贝11(X1+尤2)(右一万4)的最大值为4e-a其中所有正确结论的序号是

【变式6-1]3.(2023春•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习)已知函数sgnQ)=

(—1,%V0

]0,x-0,关于函数fO)=sgn(x-TT)sinK有如下四个命题：

Il,x>0

①f(久)在惇,Ji]上单调递减；②-lg2)=-/(lgI)；

③/(X)的值域为[—1,1]；④/(久)的图象关于直线X=TT对称.

其中所有真命题的序号是

【变式6-1】4.(2023•北京•高三专题练习)设函数f(x)=，/(%)的值域

是,设=/(x)-a(x-1),若g(x)恰有两个零点，则a的取值范围为.

题型7绝对值函数值域问题

2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点

3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置

【例题7】(2022秋・上海普陀・高一曹杨二中校考阶段练习)设0<a<b,若函数y=

llogzx—的值域为[0,1],贝Lla+b的取值范围是

【变式7-1]1.(2022•全国•高三专题练习)设函数f。)=0—1冏定义域和值域都是口

b],贝[]a+b=.

【变式7-1]2.(2022秋•上海嘉定•高三校考期中)已知九x)=|(%-a).(x-3a)|,若函

数)/=/(吗,％6[0,1]的值域为[0/(1)],则实数a的取值范围是

【变式7-1】3.(2022•全国•高三专题练习)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且/(田+1)

=2/(因—1).若当尤6(0,1)时，/(%)=1-|2%-1|,贝II/⑺在区间(—1,3)上的值域

为,9(%)=/(x)—5在区间(-1,3)内的所有零点之和为

【变式7-1】4.(2020秋•河南•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=—#+轨且函数

g(x)=|/(x)-fc|-1有且只有两个零点，若仅k)=lg(9fc2-360),则％(k)的值域为()

19

A.(―8,3)B.(-y,0)

C.(0,+8)D.(-9号

【变式7-1】5.(2023・北京•高三专题练习)设函数f(x)={x2/黑11,:北给出下列

四个结论：①函数f(x)的值域是(②Va>l,方程f(x)=a恰有3个实数根；③次°eR+,

使得/'(一Xo)-f(Xo)=。；④若实数<%2<%3<%4,且F01)=/(久2)=/(久3)=f(x4)-

4

贝！1(久1+%2)(乂3-血)的最大值为4e-其中所有正确结论的序号是

题型8高斯函数值域问题

3.还可以引入“四舍五入”函数作对比因为它具有“类周期性"，所以考查函数值域多与数

列关联..

【例题8】（2022•全国•高三专题练习）已知函数/（久）=三三，gQ）=[/（W]（印表示不超

过工的最大整数，例如[1同=1,[—0.5]=—1）,则关于外为和g（x）这两个函数，以下说法

错误的是（）

A.八久）是R上的增函数B.7（比）是奇函数

C.g（x）是非奇非偶函数D.g（x）的值域是{-1,0,1}

【变式8-1]1.（2023•全国•高三对口高考）给定集合4=[a^ar-a^neN,n22）,定

义七+矶1<i<j<n,i,jeN*）中所有不同值的个数为集合A两个元素的容量，用”4）表示.

①若4=[0,1,2,3）,贝!JL（A）—；

②定义函数f（%）=[”因]其中国表示不超过x的最大整数，如[1.5]=1,[-1.3]=-2,当

xG[n,n+l）（n>3,neN）0yt,函数了（久）的值域为A,若LQ4）=2013,则几=；

【变式8-1】2.（2023春•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习）已知久6匕符号国表示

不超过x的最大整数，若函数/（*）=§（%>0）,则给出以下四个结论：

①函数/（幻的值域为[0,1]；

②函数/（比）的图象是一条连续的曲线；

③函数/（%）是（。,+8）上的减函数；

④方程f⑺=a有且仅有3个根时，l<a<1

其中正确的序号为

【变式8-1】3.（2022秋.江西赣州.高三赣州市麓县第三中学校考开学考试）定义函数f（X

）=[%[%]],其中冈表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1,卜1.5]=-2,[2]=2,当比e[0,n

1111

）时，/（X）的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则赤+赤+工石+…+嬴口的

值为

【变式8-1】4.(多选)(2022•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学

奠基者之一，享有"数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其

名字命名的“高斯函数"为：设xeR,用印表示不超过%的最大整数，则y=[%|称为高斯

函数，W：[-3.5]=-4,[2.1]=2.下列命题是真命题的是()

A.BxeR,x>[x]+1

B.Vx,yER,[x]+[y]<[x+y]

C.函数y=x-[x](xGR)的值域为[0,1)

D.若mteR,使得何=i,忙4]=2,陷=3,…即=”2同时成立，则正整数九的

最大值是5

题型9“倍缩”函数值域问题

【例题9](2023春・浙江宁波•高三宁波市北仑中学校考期中)已知函数f(x)=d+

m,若存在区间[a,6](b>a2—1),使得函数fO)在[a,句上的值域为[2a,2句，则实数小的取

值范围是()

171

A.m>——oBZ.0<m<T

17

C.m<—2D.——o<m<—2

【变式9-1】1.(2023・全国•高三专题练习)对于函数y=/(%),若存在区间[a,句，当久e[

a,句时，/(幻的值域为[ka,kb],则称y=/(x)为k倍值函数.若/(*)=/是k倍值函数，贝女的

取值范围为()

A.(0,|)B.(l,e)C.(e,+8)D.(1,+^)

【变式9-1]2.侈选)(2023云南昆明・昆明市第三中学校考模拟预测)函数/»)的定义域

为，若存在闭区间［a,0=D,使得函数f(x)同时满足①f。)在口目上是单调函数；②八功

在口0上的值域为［版,协］(k>0),则称区间［a用为/(久)的"k倍值区间".下列函数存在"3

倍值区间”的有()

A./(%)=InxB.f(x)=|(x>0)

C.f(x)=x2(x>0)D.f(%)=<%<1)

【变式9-1］3.(2022・全国•高三专题练习)设函数f(x)=xlnx+2,若存在区间［a,句a

［1,e］，使fO)在［a,句9大b)上的值域为收a+l),k(6+l)］,则实数k的取值范围是.

【变式9-1】4.(2022秋•江苏宿迁•高三校考开学考试)已知二次函数f(x)=a%2+bx(a

*0),满足/(x+1)为偶函数，且方程外切=x有两个相等的实数根，若存在区间四川使得

f(久)的值域为［3m,3n|,则ni+n=.

【变式9-1］5.(2022秋•重庆北倍・高三统考阶段练习)已知0<m<n,若函数/(x)在xe［

山间上的值域是［kg/m］,则称/'(%)是第k类函数.

⑴若人支)=1-幅第k类函数，求k的取值范围；

(2)若人久)=4x—/是第2类函数，求小,正的值.

题型10“类周期函数”值域问题

司F上重点

"似周期函数"或者"类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：

1.是从左往右放大，还是从右往左放大.

2.放大(缩小)时，要注意是否函数值有0.

3.放大(缩小)时，是否发生了上下平移.

【例题10】(2022•全国•高三专题练习)定义在R上的函数/⑺，当xe［―1,1］时，人%)=X2

+x,且对任意x,满足八乂+3)=2/(尤)，则/(%)在区间［5,7］上的值域是

【变式10-1】1.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/Of#二号三尹，其

中aeR,给出以下关于函数了(%)的结论：

①/(3=2②当％e［0,8］时，函娄好(%)值域为［0,8］③当ke@,1］时方程/(X)=kx恰有四个实

根④当xe［0,8］时，若-X)W25+a恒成立，则a21—四.其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【变式10-1】2.(多选)(2023春•辽宁朝阳•高三校联考开学考试)已知函数f(x)=

(8—811—%L0<x<2,

［］(X—加>2,则下列说法正确的是()

A.鸣)=1

B.当［2,6］时，函数了(x)值域为［0,4］

C.当ke巳,|］时，方程f(x)=丘恰有6个实根

D.若f(久)>2f+a(aeR)恒成立，贝！Ja<-1.

【变式10-1］3.(多选)(2022秋福建厦门•高三厦门外国语学校校考期中)已知函数f⑺

的定义域为［0,+8),且满/O)={|o；；(U：黑施)当乂22时，久久)=/久—2),人为

非零常数，则下列说法正确的是()

A.当4=一1时，/(log280)=j

B.当>>0时,/(久)在［10,11)单调递增

C.当4<-1时,f(x)在［0,4n］(nGN*)的值域为［冲-、科一］

D.当4>。时，目；I丰1时，若将函数g(x)=K与/(x)的图象在［0,2zi］(n6N*)的m个交点

x2n

记为(孙力)。=1,2,3,...m),则Z,i(；+7i)=n+2-1

【变式10-1】4.(2023・全国•高三专题练习)设函数f(x)的定义域为R,满足/(久—2)=2/

(久)，且当Xe(0,2］时，/■(%)=x(2-x).若对任意久e［a,+00),都有/'(x)<|成立，则a的取

值范围是()

A.'+8)B.[|>+°°)

C.(-8,—|]D.(—8,一|]

【变式10-1】5.(2022秋・广东深圳•高三北师大南山附属学校校考阶段练习)设函数/(x)

的定义域为R,满足了(久一2)=2/(%),且当xe[一2,0)时，/(久)=-2x(x+2).若对任意xe

Q_

[m,+oo),都有/'(吗4j则ni的取值范围是

题型11抽象函数值域问题

【例题11】(2023福建泉州•泉州五中校考模拟预测)已知函数/(乃的定义域为R,值域为

(0,+00),且/■(X一+y)==2,函数g(x)=/(%)+/(-久)的最小值为2,

则£/◎=()

A.12B.24C.42D.126

【变式11-1]1.(2023・全国•模拟预测)已知函数了⑶的定义域为R,值域为(0,+8),若

TI2023

/(%+1)/(%-1)=4,函数/(久一2)为偶函数，/(2024)=1,则〉f(n)=()

A.4050B.4553C.4556D.4559

【变式11-1】2.(2022秋•陕西咸阳•高三武功县普集高级中学校考阶段练习)设定义在R

上的函数/(久)满足f(0)=1,且对任意的%、yER,都有2/(孙+1)=;•(>)•f(y)-f(y)-

2%+6,则函数g(x)=x-的值域为()

A.[1,+oo)B.[—l,+oo)

C.[0,+8)D.[-1,+8)

题型12复合函数值域问题

【例题12】(2022•全国•高三专题练习)已知/⑴=｛；”+：产??，则函数F(x)=/(/(x

LX—1,(%>1)

))-2/(x)的值域为

【变式12-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知函娄好(x)是(0,+8)上的单调函数，且

/(/(x)-x-|Og2^=5,则/(比)在［1,8］上的值域为()

A.[2,10]B.[3,10]C.[2,13]D.[3,13]

【变式12-1]2.(2022秋福建福州•高三福州三中校考阶段练习)定义在R上的函娄好(%)

的值域为(0,(),且sin[/Q)]=cos[/(2,—1)].若/(2)=1,贝(J()

A.F⑴=)B./(log23)=1C./7)=”1D./(127)=7-1

【变式12-1】3.(2022秋•天津和平•高三耀华中学校考阶段练习)(2022秋•上海浦东新•高

三上海南汇中学校考期中)已知定义在R上的偶函数“久)，满足[/OOF—+

久2=0对任意的实数X都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=\x-m\-|x-1|(m<1),若

对任意的犯£(-2,3,存在%2>久1,使得。(久2)=f(肛)成立,则实数小的取值范围为.

题型13三角函数值域问题

【例题13](2022秋・福建福州•高三校联考期中)函数/(久)=cosfx-2)-sin3x的值域

是.

【变式13-1】1.(多选)(2022•江苏常州统考模拟预测)已知函数人支)=|sinx|cos久，久e

R,贝U()

A.函数f(x)的值域为[—技|

B.函娄好(久)是一个偶函数，也是一个周期函数

C.直线”=空是函数/(x)的一条对称轴

D.方程/(%)=Iog4%有且仅有一个实数根

【变式13-1】2.(2022・四川泸州统考一模)已知函数“久)=sin枭，任取teR,记函数”

切在匕t+1]上的最大值为Mt,最小值为mt,设旗=—小1，则函数h(t)的值域为()

A-[1-冽B.]

C.[1一苧阀D.惇,1+阴

[变式13-1]3.(2023-北京海淀•高三专题练习)设函数/(%)=

一acos%(l+cos2%),0<x<y

—acosx+cos2x,y<X<TX'

(1)当a=1时，f(x)的值域为；

(2)若/(久)=a恰有2个解，贝M的取值范围为

【变式13-1]4,(2023秋•江苏南通・高三统考开学考试)已知函数f(久)=4sin(a>x+6+1

(3>G,\<p\<勺，满足对V久eR/(%i)<f(x)</(为恒成立的|久1—冷1的最小值为与，且对

任意x均有f七+%)=/偿-，恒成立.则下列结论正确的有

①函数y=八久)的图像关于点(—,0)对称：

②函数y=久久)在区间僖，寄上单调递减；

③函数y=((x)在(0,。上的值域为(1一2V3.5)

④y=f(x)表达式可改写为f(x)=4cos(2x-》+1：

⑤若x1,x2为函数y=久久)的两个零点，贝山巧—冷1为段的整数倍•

【变式13-1】5.(多选)(2023•全国•高三专题练习)已知函娄好„(久)=sinn%+cosn%,(neN*),

则下列说法正确的是()

A.九(久)在区间[冶用上单调递增

B.f4(%)的最小正周期为,

C.%⑺的值域为(-孝，孝)

D.九(无)的图象可以由函数g(x)=3in4久的图象，先向左平移葭个单位，再向上平移泠单

位得到

题型14函数中的两边逼近思想

4

【例题14](2021春•湖州期末)若存在正实数吏得不等式Inx-x2+l>Iny+声-In

4成立，则x+y=()

A.乎B.V2C.呼D.乎

【变式14-1】1.(上饶二模)已知实数%,y满足l