第27讲 尺规作图 2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第七章图形的变化第27讲：尺规作图（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一：尺规作图04题型精研·考向洞悉命题点一实数的分类命题点一：尺规作图►题型01尺规作图-作线段►题型02尺规作图-作角度类型一作一个角等于已知角类型二过直线外一点作这条线的平行►题型03作角平分线►题型04尺规作图-作三角形（含特殊三角形）►题型05尺规作图-作三角形的中线与高、垂直平分线►题型06尺规作图-画圆►题型07尺规作图-过圆外一点作圆的切线►题型08尺规作图-作圆内接正多边形►题型09尺规作图-格点作图05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测尺规作图能用尺规作图:①作一个角等于已知角；作一个角的平分线.

②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线.

③过直线外一点作这条直线的平行线.

④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形.

⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形.

⑥过圆外一点作圆的切线.10年8考本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2025年广东中考还将继续考查这两个知识点.中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而考点一尺规作图尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．五种基本作图：类型图示作图依据作一条线段等于已知线段圆上的点到圆心的距离等于半径.作一个角等于已知角1)三边分别相等的两个三角形全等；2)全等三角形的对应角相等；3)两点确定一条直线.作一个角的平分线作一条线段的垂直平分线1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2)两点确定一条直线.过一点作已知直线的垂线1)等腰三角形“三线合一”；

2)两点确定一条直线.根据基本作图作三角形类型图示已知三角形的三边，求作三角形已知三角形的两边及其夹角，求作三角形已知三角形的两角及其夹边，求作三角形已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形根据基本作图作圆类型图示过不在同一直线上的三点作圆

（即三角形的外接圆）作三角形的内切圆尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹．命题点一：尺规作图►题型01尺规作图-作线段1．（2024·广东中山·模拟预测）已知：线段a和，求作：，使，且，．【答案】见详解【分析】本题主要考查作图，涉及作已知角的角平分线、坐一个角等于已知角和作垂线，首先作的角平分线，其次，以已知线段的一个端点为点作，再次过点B作已知角的另一边的垂线，垂足为C，此时即为所求．【详解】解：如图，2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在菱形中，，．(1)实践操作：用尺规作图法过点B作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）(2)应用与证明：在（1）的条件下，在线段上截取线段，使，连接，求证四边形是矩形，并求出它的周长．【答案】(1)图见解析(2)图与证明见解析，周长为【分析】（1）根据垂线作法直接作垂线即可；（2）截取线段，连接，根据菱形的性质结合可证得四边形是平行四边形，再结合（1）作法可得，从而证得平行四边形是矩形，再根据锐角三角函数和菱形的性质即可求得矩形的长与宽，从而求得四边形的周长．【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求作的高．（2）证明：如图所示，截取线段，连接．∵四边形是菱形，∴，，∴，∴四边形是平行四边形．由（1）作法知：，∴，∴平行四边形是矩形，∴，∴，∴．∵四边形是菱形，，∴．在中，∵，，∴，，∴，∴矩形的周长为：．【点睛】本题考查了作垂线，作线段等于已知线段，矩形的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．3．（2024·广东佛山·二模）已知如图，中．(1)尺规作图：作的平分线交于点，在上取点，使得（不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的条件下，连接，证明：四边形是菱形．【答案】(1)图见解析；(2)证明见解析．【分析】本题考查作图—复杂作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．（1）根据角平分线的作图方法作图可得；以点为圆心，的长为半径画弧，与的交点即为点；（2）根据平行四边形的性质得出，再结合角平分线的定义得出、根据菱形的判定，即可证明．【详解】（1）解：如图，和点即为所求．（2）证明：四边形为平行四边形，∴，．为的平分线，，，．，，四边形为平行四边形．，四边形为菱形．4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，是的直径，点C、D在圆上，，平分，与相交于点E．(1)在的延长线上找一点F，使，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：是的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据基本作图的基本要求作图解答即可．（2）连接．根据直径，得到，进而得出，再由圆周角定理，得到，，从而推出，得到，即可证明是的切线．本题考查了基本作图，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，切线的判定定理，熟练掌握作图，切线的判定定理是解题的关键．【详解】（1）解：根据题意，作图如下：则点、为所求．（2）证明：连接．是的直径，，平分，，，，，．，，，，，．，，，，，．又为半径，是切线．►题型02尺规作图-作角度类型一作一个角等于已知角5．（2024·广东佛山·一模）如图，在中，是边上的一点．(1)请用尺规作图，在内部求作，使交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)9【分析】本题考查作图-复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识．（1）根据要求作出图形；（2）利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．6．（2024·广东·一模）已知：如图，在矩形中，是边上的点，连接．(1)尺规作图，以为边，为顶点作，交线段于点．（要求：基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．(2)求证：四边形为平行四边形【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析．【分析】（）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；（）由矩形得到，，，，再证明得到，进而得到，即可求证；本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵四边形为矩形，∴，，，，，∴，在和中，，∴，∴，∴，即，∴四边形为平行四边形．7．（2023·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在中，是边上的一点．

(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据要求，利用基本作图（作一个角等于已知角）；（2）根据，则可判断出利用相似三角形的性质求解．【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2），，，，，，．【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8．（2023·广东·模拟预测）作图并证明：(1)如图，在的边AC的上方作，在射线AE上截取，连接CD；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，证明：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】对于（1），以点C为圆心，任意长为半径画弧，再以点A为圆心，为半径画弧，然后以点G为圆心，为半径画弧，交于点H，作射线，再截取，连接；对于（2），根据（1）可知，进而得出，即可得出四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出答案．【详解】（1）图中的，AD，CD为所求作的图形；（2）∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了尺规作一个角等于已知角，平行四边形的性质和判定等，尺规作出一个角等于已知角是解题的关键．类型二过直线外一点作这条线的平行9．（2020·广东东莞·一模）如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB．（1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【分析】（1）利用尺规作∠CBD=∠C即可．（2）根据SAS证明三角形全等即可．【详解】解：（1）如图，射线BD即为所求．

（2）∵BD∥AC，∴∠EBD＝∠A，∵BE＝AB，BF＝AC，∴△EBF≌△BAC（SAS）．【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点．求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．【答案】见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．11．（2024·江苏连云港·二模）如图，为的直径，点为外一点，连接．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，连接，当点满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，掌握平行四边形的判定方法．（1）在上方作等于的邻补角即可；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形判断即可．【详解】（1）解：（1）如图，射线即为所求；（2）当时，四边形是平行四边形．理由：，，四边形是平行四边形．12．（2024·河南郑州·三模）如图，平行四边形中，，点为的中点，连接.(1)过点作，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：四边形为菱形；(3)若平行四边形的周长为18，，求四边形的面积.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】本题考查作图-基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．（1）利用作一个角等于已知角作图即可解题；（2）先根据平行四边形的性质得到，再结合作图得到四边形为平行四边形，然后证明即可得到结论；（3）连接，先利用勾股定理求出长，再证明是平行四边形，求出长，利用菱形的性质求面积即可．【详解】（1）如图，即为所作；（2）证明：∵是平行四边形，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∵，点为的中点，∴，∴四边形为菱形；（3）连接，设，∵平行四边形的周长为18，∴，即，∵，即，解得，又∵四边形为菱形，∴，，又∵，∴是平行四边形，∴，∴．►题型03作角平分线13．（2025·广东广州·一模）如图，在中，是的角平分线．(1)实践与操作：作的角平分线，交于点（尺规作图，不要求写作法，保留作图痕迹）；(2)应用与证明：求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查尺规基本作图-作角的平分线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作角的平分线以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）按照尺规基本作图-作角的平分线的作图步骤作图即可．（2）证明，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，为所求．（2）证明：，．平分平分，．在和中，，．．14．（2025·广东·模拟预测）如图，是的一个外角，，．(1)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若，求证：四边形是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了作图—基本作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和菱形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用基本作图作的平分线即可；（2）根据题意得到，进而得到，，得证四边形是平行四边形，即可证明结论．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）证明：，，平分，，，，，，，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是菱形．15．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，．(1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；(2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．（2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解．【详解】（1）如图所示，即为所求．（2）解：∵，∴，∵为的平分线，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质．16．（2024·广东东莞·三模）如图，矩形．(1)尺规作图：作的角平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，若，，写出长为____________．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法求解即可；（2）首先根据矩形的性质得到，，，然后等量代换得到，求出，最后利用勾股定理求解即可．【详解】（1）如图所示；线段即为所求；（2）∵四边形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】此题考查了尺规作角平分线，矩形的性质，角平分线的概念和平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．►题型04尺规作图-作三角形（含特殊三角形）17．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，四边形是正方形．

(1)尺规作图：以为边，在正方形内部作等边．（保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，在第（1）问的基础上，若，求点E到的距离．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）结合等边三角形的判定，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，即可．（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，利用等边三角形的性质、正方形性质可得：，，利用锐角三角函数在和中分别求出，的值，再在中，求出的值，即为点到的距离．【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧在正方形内部交于点，连接，，则等边三角形即为所求．

（2）过点作，交于点，作，分别交、于点、，∵四边形是正方形，，∴，，∴，∵是等边三角形，，∴，，，在和中，，∴，，∴，∵，，∴，在中，，∴，∴，即点到的距离为．【点睛】本题考查作图—复杂作图、等边三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．18．（2023·广东珠海·二模）如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）．(1)如图2，小明的作法是：以点B为圆心，为半径作弧，交于点D，连接．请你帮助小明说明这样作图的理由；(2)请用另一种作法完成作图．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）分别求出，即可得到；（2）可以作的垂直平分线或者的角平分线都可以．【详解】（1）解理由如下：∵∴由作图可知，∴∴∴∴∴（2）如图所示或【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．19．（2024·广东广州·一模）数学中的轴对称就像镜子一样，可以展现出图形对称的美，初中常见的轴对称图形有：等腰三角形、菱形、圆等．如图，在等腰中，．(1)尺规作图：作关于直线对称的（保留作图痕迹，不写作法）；(2)连接，交于点，若，四边形周长为，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）分别以点A、C为圆心，为半径画弧，两弧相交于点D，连接、即可；（2）先根据轴对称的性质，得，，则可求得，再根据（1）知四边形为菱形，根据菱形的周长可求得，由勾股定理，可求出，从而求得，然后由菱形的面积公式可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求，由作图可知：，∵∴∴四边形为菱形，∴与关于直线对称．（2）解：如图，∵与关于直线对称．∴，，∴，由（1）知四边形为菱形，∴，∵四边形周长为，∴，由勾股定理，得，∴．∴四边形的面积．【点睛】本题考查尺规作三角形，轴对称的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，菱形的面积．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．20．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，，．

(1)求作及，满足为等边三角形，，其中，点，与点在的同侧；（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先由三边相等的三角形为等边三角形作，再由题中条件，根据邻补角定义作即可得到答案；（2）根据等腰三角形的性质求解．【详解】（1）解：如图所示：

，，，延长，尺规作图，及即为所求；（2）解：连接，，，如图所示：

，，，，，，，三点共线，．【点睛】本题考查了复杂作图-作相等线段及作相等角，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．►题型05尺规作图-作三角形的中线与高、垂直平分线21．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，且．(1)作的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接，延长，交直线于点F；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）所作的图中，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明是等腰三角形是解题的关键．（1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点D，交于点，即可求解；（2）根据和（1）的结论，证明是等腰三角形，且，即可证明．【详解】（1）解：如图，为所作；（2）如（1）中所作的图，且是的垂直平分线，，，，，，，，，，是等腰三角形，又，．22．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中，(1)实践与操作：用尺规作图法作边的高（保留作图痕迹，不用写作法）；(2)在（1）的条件下，若，，，求的长．【答案】(1)图见解析(2)【分析】本题考查尺规作图—作垂线及解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．（1）过点作边的垂线，垂足为，即为所求；（2）利用、的正切值分别求出、的长即可得答案．【详解】（1）解：如图所示：为所要求作的高．（2）∵为边上的高，∴，∴，在中，，即，∴，在中，，即，∴，∴．23．（2024·广东·模拟预测）如图，已知矩形的平分线交的延长线于点E．(1)尺规作图：过点B作的垂线交于点G（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）所作的图形中，连接，若平分，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）以点B为圆心，画弧交于两点，再以这两个交点为圆心画弧交于一点，连接B与这点，并延长交于于一点，即为G；（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出，再证明因为四边形是矩形，所以，用等角对等边，得，结合，则结合勾股定理，得，，因为，所以，即可作答．本题考查了尺规作图——作垂线，角平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【详解】（1）解：如图（1）所示，即为所求．（2）证明：如图（2），∵平分，∴又∵，∴∴．∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴．∵平分，∴．又∵，∴，，∵，∴24．（2024·广东中山·模拟预测）如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使．(1)用尺规作图的方法，过点作，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）．(2)求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了过直线外一点作已知直线的垂线及考查了等边三角形和等腰三角形的性质；作图题要注意保留做题痕迹．证得是正确解答本题的关键．（1）按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤来作图；（2）要证可证，根据三线合一得出．【详解】（1）作图如下：（2）是等边三角形，是的中点平分（三线合一）又又又．►题型06尺规作图-画圆25．（2023·广东湛江·一模）如图，已知四边形是矩形，把沿对角线翻折得到，交于点，是的外接圆．

(1)利用尺规作出的外接圆（要求保留作图痕迹，不写作法）；(2)求证：；(3)若，试判断与直线的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)直线是的切线，理由见解析【分析】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，求出是解本题的关键．（1）先作出，的垂直平分线，找出圆心，即可得出结论；（2）先判断出，即可得出结论；（3）先求出，进而依次求出，，，再判断出，进而求出，判断出是等边三角形，即可得出结论．【详解】（1）解：如图，为所求作的图形．

（2）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，由折叠知，，∴，∴．（3）解：直线是的切线，如图，连接，，

∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，由折叠知，，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵点在上，∴直线是的切线．26．（2023·广东梅州·二模）如图所示，已知在中，，；

(1)求的面积以及的值；(2)作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）如图所示，过点作，垂足为，由等腰三角形三线合一，得，，由勾股定理可知，所以，．（2）如图，分别作线段，的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，为半径作圆，即为所求．【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为，

∵

∴为中点即，平分即，由勾股定理可知，∴，∴．（2）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，两垂直平分线的交点O到三角形三个顶点的距离相等，即外接圆圆心，以O为圆心，为半径作圆，即为所求．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，尺规作图作三角形外接圆；作等腰三角形的底边上高，运用三线合一的性质是解题的关键．27．（2023·广东广州·一模）如图，在中，．

(1)尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点（点位于右侧，点位于左侧）；(2)连接，，求证：；(3)若，，求的值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意作出图即可；（2）由为的直径，得到，由，得到，从而得到，又由即可得到；（3）在中，，得到，即可得到，从而得到为等边三角形，再根据三角形的外角得到，即，作交于，根据三角函数即可求得的长，根据勾股定理可求出的长，最后即可得到答案．【详解】（1）解：根据题意画出图如图所示：

；（2）解：如图所示：

，为的直径，，，，，，，；（3）解：在中，，，，，，为等边三角形，，，，作交于，

，，，，，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理，锐角三角函数，尺规作图，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键．28．（2023·广东广州·二模）如图，在等腰中，，过点C作交于点D，

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径作（保留痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）所作的图形中，①求证：是的切线；②若的半径为，问线段上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与相似?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2)①见解析；②存在，或1【分析】（1）因为，所以以为直径作圆即为；（2）①过半径外端点C，要证是过A，D，C三点的圆的切线，只证即可；②通过证明，再利用相似比即可求得的长．【详解】（1）作的垂直平分线，交于点O，

以点O为圆心，长为半径作圆即为所作的．（2）①∵，∴，∴是的直径．连接，∵，∴．又∵，∴．∴．∴．∴是的切线．②存在．∵，∴．∴．在中，，∴．过点D作，则，∴．∵，∴．②过点D作，则，∴．∵，∴．综上，的长为或1．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．►题型07尺规作图-过圆外一点作圆的切线29．（2024·广东东莞·一模）如图，点为外一点．(1)过点作两条切线、(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；(2)证明：平分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接，作的垂直平分线，以的中点为圆心，长为半径作圆，交于点，作直线，则即为所求；（2）根据切线的性质，证明，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）解：如图，、为所求，理由：为直径，，，，是的切线；（2）证明：连接、，、为两条切线，，，在与中，，，，平分．【点睛】本题考查了作垂线，作圆的切线，直径所对的圆周角是直角，切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．30．（2024·广东广州·一模）如图，为经过圆心的一条线段，且与交于点．(1)过在的上方作的切线，切点为，过作，垂足为，与交于点．请尺规作图，不用写作图的详细步骤．(2)求证：平分；(3)若，，求的半径．【答案】(1)作图见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，交于点，作射线，由直径所对的圆周角是直角可得，即为的切线，再根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出；（）证明可得，又由，得到，进而得到，即可求证；（）连接，证明，得到，由根据，得到，求出即可求解；本题考查了过圆外一点作圆的切线，过直线外一点作已知直线的垂线，圆周角定理，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，正确画出图形是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：如图，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分（3）解：连接，∵是直径，∴，∴，∵是切线，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得，，∴，∴的半径为．31．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，则直线即为所求；（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，∵是的切线，∴，∴，当点在优弧上时，，当点在劣弧上时，，∴或．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．32．（2023·江苏徐州·三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：

(1)作图：(保留作图的痕迹)①连接，与交与点A，延长，与交于点B；②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．(2)证明：为的切线；(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据题意完成作图即可；（2）先连接，得到是等腰三角形，点D是的中点，再利用等腰三角形“三线合一”证明即可；（3）测量出圆的半径和扇形的圆心角，再根据面积公式计算即可；数据仅供参考，以实际测量为准．【详解】（1）解：依题意画图如下：

（2）如下图：连接，依题意得：，；

∵，∴是等腰三角形，∵，，∴∴点D是的中点，是中底边上的中线，∴是中底边上的高，即，∴，∴为的切线；（3）经测量得到，半径，(数据仅供参考，以实际测量为准)过点O作于E，则由垂径定理可知，

∵，，∴°，∴，∴∴弧与弦所围“弓形”的面积为：．【点睛】本题考查用尺规作圆的切线的方法，圆切线的证明，弓形面积的求法等知识，根据题意正确作出图形是解题的关键．►题型08尺规作图-作圆内接正多边形33．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法．过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求．【详解】解：正方形如图所示：34．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图：(1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上；(2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可；（2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解．【详解】（1）解：如图，菱形即为所求，（2）解：如图，点、即为所求，【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键．35．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法．①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点；②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、；③顺次连接、、、、、．(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．①作的两条互相垂直的直径和；②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点；③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点．如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．（参考数据：，，，，．）【答案】(1)，(2)，证明五边形是正五边形见详解【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案；（2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论．【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形．故答案为：，；（2）解：根据题意，可得，，∵点为半径的中点，∴，∴在中，，∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点，∴，∴，∴在中，，∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点，∴；如下图，连接，，，，，∵为直径，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，同理可得，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，，∴五边形是正五边形．【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．36．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形背景素材六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．已知条件点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为操作步骤①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，长为半径作圆；③以的长为半径，在上顺次截取；④顺次连接，，，，，得到正六边形．问题解决任务一根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）任务二将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．【答案】任务一：见解析；任务二：【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可；任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为．【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作；任务二：如图，由旋转可知，∴，∴．故答案为：．►题型09尺规作图-格点作图37．（2024·广东梅州·一模）（综合与实践）下图是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，回答下列问题．（要求：作图只用无刻度的直尺）(1)作，使得；(2)作出的角平分线，并简要说明点的位置是如何找到的（不用证明）．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了余弦的定义，根据等腰三角形的性质作已知角的角平分线等，根据网格作图知识．（1）根据三角函数的定义，构造，其中，，即可得到；（2）在上取点E，使得，连接，取的中点C，就是的平分线．【详解】（1）解：如图1，即为求作的角：；证明：在中，，∴；（2）解：如图2所示，在上取点E，使得，连接，取的中点C，就是的平分线．证明：∵，C为线段的中点，∴就是的平分线．38．（2024·浙江宁波·一模）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

(1)在图1中画出一个以为边的，且点C和点D均在格点上；(2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握等边三角形的性质、平行四边形的性质及菱形的性质是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质及平行四边形的性质作图；（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图．【详解】（1）如图所示，即为所求；

（2）如图所示，菱形即为所求；

39．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线，且（点C在A的上方）；②连接，交于点D；③连接，与交于点E．(1)求证：为的切线；(2)求的长度．【答案】(1)画图见解析，证明见解析(2)【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）如图所示，∵是的切线，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵点D在上，∴为的切线；（2）∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40．（2022·广东广州·三模）图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．(1)在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）；(2)在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度．【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析．较长的对角线NQ=3【分析】（1）根据菱形的周长为以及菱形的性质可知菱形的边长为，因此只需利用网格特点构造直角边长分别为2、4的直角三角形，则直角三角形的斜边即为，由此进行作图即可；（2）根据面积为9可以设计底和高都是3的平行四边形，再利用小正方形的对角线和边长成45°即可画出，利用勾股定理可以求对角线长．【详解】（1）解：如图1中，菱形ABCD即为所求．（2）如图2中，平行四边形MNPQ即为所求．∴较长的对角线NQ==3．【点睛】本题考查了作图，熟练掌握菱形的判定、平行四边形判定、勾股定理以及网格的结构特征是解题的关键．基础巩固1．（2025·广东深圳·一模）在矩形中，连接．(1)如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）(2)如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了尺规作图—作垂线、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）作的垂直平分线交于，点即为所求；（2）设，则，由勾股定理可得，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解．【详解】（1）解：如图，即为所作；，由作图可得：，∴；（2）解：如图，，∵，又，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，设，∴，∴，解得，∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，又，∴．2．（2024·广东·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的顶点均在网格的格点上．(1)求的值．(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作，垂足为E，并直接写出的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）【答案】(1)(2)图见解析，【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、正弦、作垂线，熟练掌握正弦的定义是解题关键．（1）先根据勾股定理和勾股定理的逆定理得出是以为直角的直角三角形，再根据正弦的定义求解即可得；（2）先以点为圆心、为半径画弧交于点，再分别以点为圆心，长为半径画弧，分别交于点，然后画直线，交于点，则即为所作；最后利用正弦的定义即可求出的长．【详解】（1）解：如图，连接，∵，，，∴，∴是以为直角的直角三角形，∴．（2）解：用尺规作图法过点作，垂足为，作图如下：在中，．3．（2024·广东·模拟预测）如图所示，已知中，．

(1)过点B作平分面积的直线l．（尺规作图，不写作法，保留痕迹）(2)设（1）中的直线交于点D．若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据三角形的中线平分面积，作的中垂线，连接中垂线与的交点与点形成的直线即为直线l；（2）过点A作，垂足为点E，过点D作，三线合一结合勾股定理以及锐角三角函数进行求解即可．【详解】（1）解：如图，直线l即为所求；

（2）过点A作，垂足为点E，过点D作，垂足为点F，

∵，在中，∵平分面积，∴点D为的中点，即在中，在中，，【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，三角形的中线，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．4．（2024·广东东莞·三模）已知：点是外一点．(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，证明切线长定理（，平分）．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】（1）解：如图所示，，即为所求，证明：连接，，∵是圆的直径，∴，∴，，∵、是的半径，∴、是的切线；（2）证明：连接，，∵、是的切线，∴，，在和中，，∴∴，，∴平分．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，尺规作线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，射线交一圆于点B，C，射线交该圆于点D，E，且．(1)判断与的数量关系．（不必证明）(2)利用尺规作图，分别作线段的垂直平分线与的平分线，两线交于点F（保留作图痕迹，不写作法），求证：平分．【答案】(1)相等(2)图见解析，证明见解析【分析】本题考查圆周角定理，尺规作图—作垂线，作角平分线，中垂线的性质：（1）连接，根据等弧所对的圆周角相等，得到，等角对等边，即可得出结论；（2）根据尺规作—垂线和角平分线的方法，作图，根据中垂线的性质，结合等边对等角，进行判断即可．【详解】（1）解：连接，．（2）如图所示，点F即为所求作的点．证明：，，∵是的垂直平分线，且平分，．∴平分．6．（2024·广东广州·模拟预测）如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点D．

(1)试利用无刻度的直尺画出的平分线，并说明理由；(2)若，的半径为2，求劣弧的长．【答案】(1)画图见解析；理由见解析(2)【分析】（1）延长交于E，由，可得垂直平分，进而可得平分；（2）设，则，，，由，可得，则，由，可得，由，可得，可求，则，由圆周角定理得，根据劣弧的长为，计算求解即可．【详解】（1）解：如图，为的平分线．理由如下：

延长交于E，∵，∴垂直平分，∴平分；（2）解：设，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵∴，∴劣弧的长为∴劣弧的长为．【点睛】本题考查了外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长等知识．熟练掌握外接圆，等腰三角形的判定与性质，作角平分线，垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，圆周角定理，弧长是解题的关键．7．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，为边上的高．(1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则等边即为所作，延长交于点，点即为所作；（2）证明，进而可证．【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则，等边即为所作，延长交于点，点即为所作；（2）证明：∵为等边三角形，为边上的高，∴，∵等边，∴，∴，又∵，∴，∴．8．（2024·广东广州·三模）如图，中，是斜边的中线．(1)尺规作图：作出以为直径的，与交于点，与交于点；(2)若，，求的长；(3)连接，交于点，若，求的值．【答案】(1)见详解(2)(3)【分析】（1）以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；（2）连接，由相似三角形的判定与性质可得，，的长，然后由三角形的面积公式可得问题的答案；（3）根据直角三角形斜边上中线的性质及平行线的判定得，再由平行线截线段成比例得，令，则，，根据勾股定理得长，即可得到答案．【详解】（1）解：以为圆心定长为半径画弧，以为圆心定长为半径画弧，两弧交于点、，连接交于点，以为圆心，为半径画圆；（2）连接，，，，同理，，，，，，．（3）为中线，，，，，，，，令，则，，，．即【点睛】此题考查圆的综合，作图及直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，求角的正切值，掌握其性质定理是解决此题关键．能力提升1．（2024·广东中山·三模）如图，已知中，为的中点．(1)请用尺规作图法作边的中点，并连接保留作图痕迹，不要求写作法(2)在（1）的条件下，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)6【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、三角形中位线的应用等知识点，掌握运用尺规作图作线段的垂直平分线成为解题的关键．（1）先尺规作图作出的中点，然后连接即可；（2）先说明是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．【详解】（1）解：如图：即为所求．（2）解：∵点为的中点，点为的中点，是的中位线，，．2．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，已知等腰中，，D是上中点．(1)实践与操作：作的垂直平分线分别交、于点E、F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了是在等腰三角形为几何背景下的尺规作图，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，需要清晰线段垂直平分线的作法，理解等腰三角形的性质，本题旨在引导教师在教学中注重培养学生分析问题和解决问题的能力，从而培养学生的核心素养，形成良好的学习习惯和数学思维品质．（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可；（2）根据等腰三角形性质得出，，，根据垂直平分线性质得出，，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据三角形内角和定理得出，最后求出结果即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：∵，D是上中点，∴，，，∵垂直平分线，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．3．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中，，(1)在上作一点，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在（1）的条件下，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查尺规作图作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三