第20讲 锐角三角函数及其应用 2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第四章三角形第20讲锐角三角函数及其应用（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一锐角三角函数考点二解直角三角形考点三解直角三角形的应用04题型精研·考向洞悉命题点一锐角三角函数►题型01理解正弦、余弦、正切的概念►题型02求角的三角函数值►题型03已只三角函数值求边长►题型04由特殊角的三角函数值判断三角形形状►题型05含特殊角的三角函数值的混合运算命题点二解直角三角形►题型01构造直角三角形解直角三角形►题型02解非直角三角形►题型03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积►题型04解直角三角形的综合问题命题点三解直角三角形的应用►题型01仰角、俯角问题►题型02方位角问题►题型03坡度坡比问题►题型04坡度坡比与仰角俯角问题综合05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升考点要求新课标要求考查频次命题预测锐角三角函数利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函数值.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.10年7考实数这一考点在中考数学中锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点,其考察内容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2025年广东中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.解直角三角形能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题.10年6考考点一锐角三角函数1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定义表达式图形正弦余弦正切3.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：，2)互余两角的三角函数关系：sinA=cosB,sinB=cosA,4.特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°1【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.5.锐角三角函数的性质性质前提：0°＜∠A＜90°sinA随∠A的增大而增大cosA随∠A的增大而减小tanA随∠A的增大而增大考点二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B2）三边之间的关系：（勾股定理）3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°4）边角之间的关系：sinA==，sinB==cosA==tanA==解直角三角形常见类型及方法：已知类型已知条件解法步骤两边斜边和一直角边(如c,a)①②③∠B=90°－∠A两直角边(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一边和一锐角斜边和一锐角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角边和一锐角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角边和一锐角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③考点三解直角三角形的应用解直角三角形的相关的名词、术语：1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形实际应用的一般步骤：1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．测量物体的高度的常见模型：1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.2）测量底部可以到达的物体高度模型需测量数据数量关系原理测量仪高m，水平距离n，倾斜角αh=m+n矩形的性质与直角三角形的边角关系水平距离n，仰角α，俯角β，h==n（）3）测量底部不可到达的物体的高度命题点一锐角三角函数►题型01理解正弦、余弦、正切的概念1．（2024·广西·模拟预测）如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可．【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意；．，正确，故该选项不符合题意；．，正确，故该选项不符合题意；．，原表示方法错误，故该选项符合题意；故选：D．2．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．【详解】解：，设，，由勾股定理得：，．故选：B．3．（2024·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断．【详解】解：，，、，故不符合题意；、结论正确，故符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意．故选：B．4．（2022·湖北·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合题意；B．=tanA，不符合题意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意；D．=sin∠DBC=sinA，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．►题型02求角的三角函数值5．（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据锐角三角函数的定义即可求得答案．【详解】解：已知，，，∴，∴A、，故选项错误；B、，故选项错误；C、，故选项错误；A、，故选项正确；故选：D．6．（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查求锐角三角函数值，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，，，∴，∴，，，；故选A．7．（23-24九年级上·北京平谷·期末）如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形，可过点B作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．【详解】解：过点B作的垂线，垂足为D，令小正方形的边长为1，则，在中，．故选：D．8．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，是边上的中线，，，则的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据正切函数的定义列式求出的正切值，即为的值．【详解】解：∵是边上的中线，∴，∴，∵，，，∴，∴的值．故选：D．►题型03已只三角函数值求边长9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，菱形周长为，，垂足为，，则长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，勾股定理，根据题意得出，，勾股定理求得，进而可得，最后利用勾股定理，即可求解．【详解】解：∵菱形周长为，∴∵，，∴，则∴∴，故选：B．10．（2023·广东广州·二模）如图，在中，，，则的长是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据余弦函数的定义直接求解即可．【详解】解：在中，，，，故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握余弦函数的定义是解题的关键．11．（2024·湖南·模拟预测）如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可．【详解】解：∵四边形是矩形∴，，由折叠可得，，∴，又∵∴，∴，设，则在中，解得：．故选C．【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．12．（2024·陕西榆林·一模）如图，在中，，D是的中点，，，则的长为（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数，掌握已知正切值求边长是解题的关键，根据正切的概念可得，可得，再由线段中点即可求出答案；【详解】解：在中，，，D是的中点，，故选：B．►题型04由特殊角的三角函数值判断三角形形状13．（2021·广东广州·二模）在中，，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【答案】B【分析】计算出∠A和∠C的角度来即可确定．【详解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC为直角三角形，故选：B．【点睛】本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．14．（2021·贵州黔西·模拟预测）在中，若，都是锐角，且，，则的形状是（

）A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断，，从而可求出，即证明的形状是直角三角形．【详解】∵，都是锐角，且，，∴，，∴，∴的形状是直角三角形．故选D．【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．15．（2021·浙江金华·三模）若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，则△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：∵∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是锐角三角形故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16．（22-23九年级上·辽宁盘锦·期末）在中，、均为锐角，且，则是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可．【详解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．►题型05含特殊角的三角函数值的混合运算17．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开立方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【详解】解：原式．18．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：.【答案】【分析】本题考查了含特殊角的三角函数混合运算，先化简零次幂、正切值，绝对值，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．【详解】解：19．（2024·广东东莞·模拟预测）计算：．【答案】4【分析】本题主要考查了实数的混合运算．先根据零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．【详解】解：．20．（2024·广东惠州·模拟预测）计算：．【答案】【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可．【详解】解：．命题点二解直角三角形►题型01构造直角三角形解直角三角形21．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，延长到点，使，连接．利用此图，可算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据锐角三角函数可求，由勾股定理求得，根据等腰三角形的性质以及外角求得，最后在中，．【详解】解：在中，，，，，，，在中，，故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练利用数形结合的思想是解题的关键．22．（2024·广东东莞·三模）如图，中，，，，是上的一点，垂足为，若，则的长为（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，则．【详解】解：∵在中，，，，∴，∴，在中，，故选：C．23．（2025·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，过D作于点E，若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本题考查的是平行四边形的性质，锐角三角函数的应用，证明，，根据可得答案．【详解】解：在平行四边形中，，∴，，∵，，∴，∴，故选：C24．（2025·陕西·一模）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得，得到，利用正弦函数的定义求得，，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．►题型02解非直角三角形25．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（）​A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为，∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，∴，，，∴，∵，∴点是的中点，∴，在中，，∴，∴的值为．故选：C．26．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，则AC的长为（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长．【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示：

由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．27．（2024·四川乐山·模拟预测）如图所示，矩形中，，则点B的坐标为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，解直角三角形，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，解直角三角形，求出，利用矩形的性质得到，求出，进而求出，即可得到点B的坐标．【详解】解：如图，过点A作y轴的平行线交x轴与点E，过点B过作该平行线的垂线垂足为点I，交y轴于点F，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，则，∵矩形中，，∴，∴，∴，同理，，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∵，∴四边形是矩形，∴∴，∵点B在第二象限，∴点B的坐标为:故选：A．28．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：连接交于点F，设，则，∵四边形是矩形，∴，∴∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线对称，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故选：A．【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．►题型03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积29．（2020·江西南昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，直线与直线所夹锐角的度数为．

【答案】【分析】过点B作于点E，作于点F，构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形，求出BE、CF的长，利用的正弦值为，得到它是，即直线BC与直线AD所夹的锐角度数．【详解】解：如图，过点B作于点E，作于点F，∵AB=40，，∴，∵，∴四边形BEDF是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴直线BC与直线AD所夹的锐角度数等于的度数，是．故答案是：．

【点睛】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是掌握构造直角三角形的方法和特殊角的锐角三角函数值．30．（2020·山西·模拟预测）如图，在中，，过点作，，连接，则的周长为．【答案】【分析】通过添加辅助线构造出直角三角形，再根据等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及平行线的性质求得，，然后利用勾股定理、锐角三角函数、线段的和差以及三角形周长公式即可求得答案．【详解】解：过点作交延长线于点，如图：∴∵，∴是等边三角形∴，∵四边形是平行四边形∴，∴∵∴∵∴∴在中，，∴，∴∴在中，∴的周长为．故答案是：【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、锐角三角函数、线段的和差、三角形的周长公式等，适当的添加辅助线构造出直角三角形是解题的关键．31．（2018·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，则线段BC的长是．【答案】6【分析】作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可证Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根据tan∠BAC=∠DAE=，可设DE=3a，AE=a，根据勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根据勾股定理求BC的长．【详解】如图：作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB∴CF=DE，且AC=AD∴Rt△ADE≌Rt△AFC∴AE=AF，∠DAE=∠BAC∵tan∠BAC=3∴tan∠DAE=3∴设AE=a，DE=3a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2∴52=（4+a）2+27a2解得a1=1，a2=-（不合题意舍去）∴AE=1=AF，DE=3=CF∴BF=AB-AF=3在Rt△BFC中，BC=＝6【点睛】本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可．32．（2019·四川成都·一模）如图，AC是□ABCD的对角线，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，连接BH交AC于点F，过点C作CE平分∠ACB交BH于点G，且GF＝，CG＝3，则AC＝．【答案】.【分析】连接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．想办法证明等G是△ABC的内心，推出∠FGN＝∠CAG＝45°，解直角三角形即可解决问题．【详解】如图，连接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AHB＝∠HBC，∵AB＝AH，∴∠ABH＝∠AHB，∴∠ABH＝∠CBH，∵∠ECA＝∠ECB，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GBC+∠GCB＝45°，∴∠FGC＝∠GBC+∠GCB＝45°，∵FM⊥CG，GN⊥AC，FG＝，∴FM＝GM＝1，∵CG＝3，∴CM＝2，∴tan∠FCM＝，∴CN＝2CG，∴GN＝，∵BG，CG是△ABC的角平分线，∴AG也是△ABC的角平分线，∴∠NAG＝45°，∴AN＝GN＝，∴AC＝AN+NC＝．故答案为．【点睛】考查平行四边形的性质，解直角三角形，三角形的内心等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．►题型04解直角三角形的综合问题33．（2022·广东·模拟预测）如图，正方形ABCD，菱形EFGP，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，延长DC，PH⊥DC于H．(1)求证：GH＝AE；(2)若菱形EFGP的周长为20cm，，FD＝2，求△PGC的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据菱形、正方形性质证明，即可证明GH＝AE；（2）解直角三角形求出的长度，利用勾股定理求出的长度，从而得到的长度，利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）证明：由菱形性质可知，，，是正方形，，又，，可得，，，，又，，，．（2）解：菱形EFGP的周长为20cm，，在中，，，，，，在中，，，由（1）知，．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，需要根据已知条件综合运用相关知识．34．（2024·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分．(1)求证：四边形是菱形；(2)过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．（1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论；（2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论．【详解】（1）证明：平分，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形；（2）解：四边形是菱形，，，，中，，，，，，过点C作的垂线交其延长线于点E，，中，，．35．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，D，E是上的两点，且在直径的两侧，过点D作的切线交的延长线于点C，连接．(1)求证：．(2)若，，求的半径．【答案】(1)详见解析(2)的半径为【分析】本题考查相似三角形性质及判定，圆周角定理，解直角三角形．（1）根据题意连接，利用圆周角定理得，继而得，又因为，所以；（2）根据题意证明，继而得，，所以，所以的半径为【详解】（1）解：证明：连接，如图所示，则，．∵为直径，∴．∴，即．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：由（1），得．又∵，∴．∴．∵，∴．设的半径为r，则．∴，．∴的半径为．36．（2024·北京·模拟预测）如图，是等腰直角三角形，，，是的中点，连接，过作于点，与交于点．

(1)求的值；(2)是线段上一点，且，过点作的垂线交于点，请在图中补全图形，用等式表示和的数量关系，并证明．【答案】(1)；(2)．见解析【分析】（1）证和相似得，由点为的中点及得，设，，则，，进而得，由此可得的值；（2）先证为等腰直角三角形得，，再由得，则，设，由（1）可知，，，则，，进而可求出，，再证和相似得，即，由此得，据此可得和的数量关系．【详解】（1）解：，，，又，，，即，点为的中点，，，，，设，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，由勾股定理得：，；（2）解：补全图形如下图所示，，证明如下：

，，为等腰直角三角形，，，，，，设，由（1）可知：，，，，，在中，，，则，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，即，，，，．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．命题点三解直角三角形的应用►题型01仰角、俯角问题37．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（

）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，米，斜坡的坡度，，设米，则米，在中，（米，米，，解得：，米，米，设米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，（米，这棵木棉树的高度约为20米，故选：C．38．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为30°，若旗杆底部为的中点，则，矮建筑物的高为（）A．18米 B．20米 C．米 D．米【答案】B【分析】过点D作于点F，则点F，D，C三点共线，根据，可得，可得米，然后和中，根据锐角三角函数求出，的长，即可求解．【详解】解：如图，过点D作于点F，则点F，D，C三点共线，根据题意得：，∴，∵点G是中点，∴，∴米．在中，，∴米．在中，米，则米．∴米．故选B．【点睛】解直角三角形的应用——仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．39．（2023·广东深圳·模拟预测）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（

）

A．80米 B．米 C．160米 D．米【答案】B【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：如图，过点A作于点D，

根据题意得：，∵，∴，∴，∴米，在中，米．即该主塔的高度是米．故选：B【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．40．（2023·广东广州·一模）在某校的科技节活动中，九年级开展了测量教学楼高度的实践活动．“阳光小组”决定利用无人机A测量教学楼的高度．如图，已知无人机A与教学楼的水平距离为m米，在无人机上测得教学楼底部B的俯角为，测得教学楼顶部C的仰角为．根据以上信息，可以表示教学楼（单位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分别解，，求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，，在中，，在中，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确计算是解题的关键．►题型02方位角问题41．（2024·广东广州·一模）端午节，赛龙舟，小亮在点处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离为（

）米.A． B． C．87 D．173【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的实际应用．过点作于，设，则用表示出，再根据列出等式解出即可．【详解】解：如图，过点作于，设米．即点到赛道的距离为米．故选：B．42．（2023·山东泰安·一模）某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（

）．（参考数据，，）

A．140 B．340 C．360 D．480【答案】D【分析】作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可．【详解】解：作于，于，

则四边形为矩形，，，设，则，，在中，，，则，在中，，由题意得，，解得，，即点到的距离约为480，故选：D．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．43．（2023·陕西西安·三模）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口，接到上级指令，发现在其北偏东方向上有一艘可疑船只，与此同时在港口处北偏东方向上且距离处有另一艘驱逐舰也收到了相关指令，驱逐舰恰好在可疑船只的南偏东的方向上，则可疑船只距离港口的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题目条件，，得到是直角三角形，由的正弦定义即可求解．【详解】解：船只在港口北偏东方向，在港口A处北偏东方向，，驱逐舰在可疑船只的南偏东的方向上，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形-方位角的应用，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．44．（2022·广东深圳·三模）如图，在距离铁轨200米的B处，观察由深圳开往广州的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；一段时间后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的运动路程是（

）米（结果保留根号）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BC⊥AC于点D，在中利用三角函数求得AD的长，在中，利用三角函数求得CD的长，则AC即可求得．【详解】解：如图，作BD⊥AC于点D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），则(米)．故选：B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．定理：直角三角形中所对直角边是斜边的一半．►题型03坡度坡比问题45．（2024·广东深圳·三模）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是米的旗杆，从办公楼顶端测得旗杆顶端的俯角是，旗杆底端到大楼前梯坎底边的距离是米，梯坎坡长是米，梯坎坡度，则大楼的高度约为（

）（精确到米，参考数据：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，仰角俯角问题，过点作于，则，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，进而得米，米，即得米，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点作于，则，，米，∴，在中，∵梯坎坡度，∴，∴，∴米，米，∴米，米，∴米，∴米，故选：．46．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D点测得塔顶A的仰角为，斜坡长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（

）米．（结果精确到米，参考数据：，，）A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米【答案】D【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角、坡度坡角等知识点，根据题意作出辅助线、构造出直角三角形是解题的关键．如图：延长交过点D的水平面于F，作于E，先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数求出即可．【详解】解：如图：延长交过点D的水平面于F，作于E，由题意得：米，米，，在中，，米，∴米，米，在中，米，，∴（米），∴（米），即建筑物的高度为米；故选：D．47．（2024·广东深圳·二模）如图，在坡比为的斜坡上有一电线杆．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长为30米，则电线杆的高为（

）米．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，作，由坡比得到，在中，应用三角函数，求出、的长，根据题意求出的长度，根据即可求解．【详解】解：过点作，交延长线于点，∵坡比为，∴，∴，∵，∴（米），（米），∵某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，∴（米），∴（米），故选：．48．（2024·广东深圳·模拟预测）位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔位于坡度的斜坡上，测量员从斜坡底端处往前沿水平方向走了达到地面处，此时测得电视塔顶端的仰角为，电视塔底端的仰角为，已知、、、在同一平面内，则该塔的高度为（），（结果保留整数，参考数据；，）

A．24 B．31 C．60 D．136【答案】B【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题等知识，关键是根据已知条件在合适的直角三角形中通过解直角三角形求解．设于，设，则，根据可先列出方程求出的值，从而得出，的长，在中可求出的长，从而由可得到结论．【详解】解：如图，设于，设，则，

在中，∵，∴，∴，∴，∴，，在中，（），∴，故选：．►题型04坡度坡比与仰角俯角问题综合49．（2024·广东中山·一模）如图，线段分别表示甲、乙建筑物的高，于点，于点，两座建筑物间的距离为．若甲建筑物的高为，在点处测得点的仰角为，则乙建筑物的高为多少？【答案】【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用：仰角俯角问题，易得四边形是矩形，由矩形的性质得，在中，由的正切函数可求出的长，进而根据即可算出答案．【详解】解：由题意得：四边形是矩形，，在中，，，答：乙建筑物的高为．50．（2024·广东·模拟预测）如图1，明代科学家徐光启所著的《农政全书》中记载了中国古代的一种采桑工具—桑梯，其简单示意图如图2，已知，，与的夹角为α．为保证安全，农夫将桑梯放置在水平地面上，将夹角α调整为，并用铁链锁定B、C两点、此时农夫站在离顶端D处的E处时可以高效且安全地采桑．求此时农夫所在的E处到地面的高度．（结果精确到，参考数据：）

【答案】农夫所在的E处到地面的高度为米．【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点作于，先利用三角形内角和等边对等角求出，，解直角三角形，求解即可．【详解】解：如图所示，过点作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：农夫所在的E处到地面的高度为米．51．（2024·广东·模拟预测）如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨，可伸缩支撑杆和手柄构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨支撑杆与手柄在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上．(1)如图①，固定若求的度数；(2)如图②，固定，若时，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点B，求滑轨的长度．（结果精确到0.1，参考数据：π取3.14，【答案】(1)(2)【分析】（1）过点作，垂足为，根据平角定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答；（2）过点作，垂足为，根据已知过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，从而可得，进而可得圆弧形滑轨所在的圆的圆心为，先利用三角形的外角性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，最后根据垂直定义可得，从而可得，进而可得为等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，，从而利用弧长公式进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，弧长的计算，切线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，，，在中，，，在中，，，，的度数约为；（2）解：如图，过点作，垂足为，圆弧形滑轨所在的圆恰好与直线相切于点，过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，，圆弧形滑轨所在的圆的圆心为，，，，在中，，，在中，，，，，，为等边三角形，，，滑轨的长度，滑轨的长度约为．52．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1，佛山电视塔坐落于佛山市禅城区文华公园内，它集广播电视发射、旅游观光以及饮食娱乐于一体，是佛山市标志性建筑之一．小梁和小罗利用卷尺和自制的测角仪对电视塔的高度进行了测量．如图2，小梁站在点A处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为，小罗站在点B处利用测角仪测得电视塔顶端D的仰角为．已知测角仪高度均为，两人相距．(点A，B，C，D，E，F在同一竖直平面内，点A，B，C在一条直线上)(1)求电视塔的高度．(结果精确到．参考数据：，，，)(2)根据“景点简介”显示，佛山电视塔总高为．请提出一条减小误差的合理化建议．【答案】(1)的高度约为；(2)减小误差可多次测量，去测量数据的平均值．【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．（1）根据题意可得，再根据锐角三角函数表示出的长，结合图形列出方程，解方程得到答案；（2）结合（1）误差为，进而可得减小误差的建议：多次测量，求平均值．【详解】（1）解：如图，延长交于点．由题意知，四边形和四边形均为矩形．，，．设，则．在中，，，在中，，，．解得．答：电视塔的高度约为；（2）误差为．减小误差可多次测量，去测量数据的平均值．基础巩固单选题1．（2024·广东广州·模拟预测）在中，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据在直角三角形中锐角三角函数的定义解答．【详解】在中，，，，，．故选：A．2．（2024·广东佛山·三模）下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（

）题目测量树顶到地面的距离测量目标示意图

相关数据米，，A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解．【详解】在中，，即，在中，，即，∵米，，，∴，即：，则有：，故选：B．3．（2024·广东阳江·二模）如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形．根据圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义即可得到结论．【详解】解：连接，为的直径，，，，，，故选：A．4．（2024·云南文山·二模）如图，正方形网格中，点，，，均在格点上，过点，且与交于点，点是上一点，则（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】此题主要考查了同弧所对的圆周角相等，锐角三角函数的定义，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而得出，求出答案即可．【详解】解：由题意可得：，则．故选：C．5．（2024·广东汕头·二模）如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为．【答案】【分析】本题考查特殊角三角函数值的计算，根据平行线的性质及特殊角的三角函数值解答，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【详解】解：，，，，故答案为：．二、填空题6．（2024·广东广州·三模）如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为（结果保留根号）．

【答案】【分析】此题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，矩形的判定与性质，过作于，根据题意及三角函数可求得的长，从而得到的长，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．【详解】如图，过作于，

∴四边形是矩形，∴，在中，，，则，∴，故答案为：．7．（2024·广东韶关·二模）第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的．如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为．【答案】【分析】此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边是5，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和是24，求得两条直角边的乘积是12．再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边分别是3，4，即可求解．【详解】解：根据题意，大正方形边长，小正方形的边长．∴三角形的面积．设三角形两直角边为，则．又，联立解得，（舍去）所以．故答案为：．三、解答题8．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：【答案】6【分析】本题考查了含特殊角的三角函数混合运算，先化简零次幂、正切值正弦值，绝对值，负整数指数幂，再运算乘法，最后运算加减，即可作答．【详解】解：9．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，．(1)实践与操作：作的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；(2)应用与计算：记的平分线交于点D，E是上一点，且．若，，求的面积．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据作法利用尺规作图即可．（2）由（1）得为的平分线，利用角平分线的性质可得，再利用三角函数得到，再根据三角形全等的判断及性质即可求解．【详解】（1）如图所示，即为所求．（2）解：∵，∴，∵为的平分线，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查了尺规作图（角平分线），角平分线的定义，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质．10．（2024·广东深圳·三模）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接．

(1)求证：平分；(2)若，求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则根据平行线的判定方法得到，再利用平行线的性质得到，加上，从而得到；（2）根据圆周角定理得，再证明，利用相似三角形的性质得到，则，接着利用正弦的定义得到，然后根据特殊角的三角函数值求解．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和解直角三角形．【详解】（1）证明：连接，如图，

为的切线，，，，，，，，平分；（2）解：是的直径，，，，，，，在中，，，．能力提升一、单选题1．（2024·广东深圳·模拟预测）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，延长交于点，由题意得，，在中，利用解直角三角形得，则利用进而可求解，根据题意构造直角三角是的关键．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，如图：由题意得：，，在中，，，，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过，故选C．2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案．【详解】解：如图，延长至点，使，连接，．是的中点，，四边形是平行四边形，∴，，当最大时，最小．过点A作交的延长线于点，∴，当且仅当时等号成立，此时最大，，的最小值为，故选：D．3．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可．【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵点与点分别在反比例函数与的图像上，∴，，∴，∴，∵，∴；故选C．4．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，港珠澳大桥是粤港澳大湾区的标志性工程，是世界上最长的跨海大桥．项目于2009年12月30日开工建设，2016年9月15日完成竣工验收．被誉为“当代桥梁建设的巅峰之作”．某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处，此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（）A．160 B． C．200 D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，是的一个外角，，，，，米，在中，（米），该主塔的高度是米，故选：D．5．（2024·山东临沂·模拟预测）菱形是日常生活中常见的图形，如伸缩衣架（如图1）等，为兼顾美观性和实用性，活动角的取值范围宜为（如图2），亮亮选购了折叠后如图所示的伸缩衣架，则其拉伸长度的适宜范围最接近（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了菱形及其计算，解直角三角形的相关计算，解题关键是找准直角三角形进行计算．由菱形中，，，得，当时，得，得，得，此时拉伸长度；同理当时，拉伸长度，即可得到答案．【详解】解：由菱形中，，，得，当时，得，得，得，此时拉伸长度；同理当时，拉伸长度．总之，．故选：B．6．（2024·广东·模拟预测）陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座D点2米的A点处测量，塑像底部C点的仰角为，顶部B点的仰角为，点B，C，D在同一条直线上，则塑像的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此题考查了解直角三角形的应用，在中，，在中，，即可求出答案.【详解】解：由题意得，在中，，在中，，∴米．故选：C7．（2024·广东汕头·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，边在x轴正半轴上，反比例画数的图象经过点A，交菱形对角线于点D，轴于点E，若，则长为（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，作于，分别求出、即可求解．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．【详解】解：作于．设，∵，∴，∵四边形是菱形，∴，则，∴，，∴，∵反比例函数的图象经过点，∴，∴或（舍去），∴，∵四边形是菱形，∴，设，则，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴，故选：C．二、填空题8．（2024·广东广州·一模）如图，为等边三角形，点D为外的一点，，，，则的面积为．【答案】【分析】将绕点顺时针旋转得到，得出是等边三角形，根据得出，进而勾股定理求得，即可求解．【详解】解：如图所示，∵为等边三角形，将绕点顺时针旋转得到，则∴，∴是等边三角形，∵∴∴，过点作于点∵∴∵，∴在中，∴解得：（负值舍去）∴故答案为：．9．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，将绕点D旋转得到，此时点A、E、D三点共线，若，时，则的长为．【答案】/【分析】作交线段于点P，根据旋转的性质得到为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，结合解直角三角形、勾股定理和等腰直角三角形的性质，可得，，，再证明，可得算出，最后结合勾股定理可求得的长．【详解】解：作交线段于点P，绕点D旋转得到，为等腰直角三角形，，，为等腰直角三角形，，，，，为等腰直角三角形，则，，，∴，即，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．10．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为．(结果保留到．参考数据：)【答案】5.5【分析】本题解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，由题意得：，，在中，，，，，∵，∴，在中，，∴，∴，则，∴，答：A，C两地的距离约为．故答案为：5.5．11．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，将矩形沿折叠，点A与点重合，连接并延长分别交、于点G、F，且．若，，则．【答案】【分析】如图，过作于，可得，，利用，结合矩形的性质证明，即，设，而，则，，，再求解，由折叠可得：，，利用，再建立方程求解即可．【详解】解：如图，过作于，∴四边形是矩形，则，，∵，，∵矩形，∴，∴，，∴，，∴设，∵矩形，，，∴，∴，∴，∴，∴，由折叠可得：，∴，∵，∴，∴，∴，

解得：，经检验符合题意；∴．故答案为：．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．12．（2024·广东深圳·二模）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为．【答案】【分析】根据等腰三角形的性质，锐角三角函数可求得，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，求得根据勾股定理求得，即；当线段达到最短时，此时点G在点C的上方，且B，C，G三点共线，则根据勾股定理求得，即，进而求出的值【详解】解：∵为等腰直角三角形，，，∴，当线段达到最长时，此时点G在点C的下方，且B，C，G三点共线，如图：则在中，，，当线段达到最短时，此时点G在点C的