27.2.2 相似三角形的性质课件2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章相似27.2相似三角形27.2.2相似三角形的性质

新课讲解

知识点1相似三角形对应线段的比合作探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ABCA'B'C'新课讲解练一练1.如果两个相似三角形的对应高的比为2:3，那么对应角平分线的比是

，对应边上的中线的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为3:4，若BC边上的高AD＝12cm，则B'C'边上的高A'D'＝______.2:32:316cm新课讲解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，从而结论相似三角形周长的比等于相似比.新课讲解

知识点2相似三角形面积的比合作探究

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ABCA'B'C'新课讲解由前面的结论，我们有ABCA'B'C'D'D新课讲解结论相似三角形面积的比等于相似比的平方．课堂小结相似三角形性质的运用相似三角形面积的比等于相似比的平方相似三角形的性质相似三角形对应线段的比等于相似比当堂小练1.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为原来的5倍

()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也扩大为原来的9倍

()√×当堂小练3.

连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中线，若AP＝2，则DQ的值为()A．2B．4C．1D.C如图，两个三角形相似，则：相似比k＝对应边的比＝

的比＝

的比＝

的比．

对应角平分线对应中线相似三角形对应线段的性质对应高小结：一般地，相似三角形对应线段的比等于相似比.(1)对应角平分线的比等于

；

(2)对应边上的高的比等于

；

(3)对应边上的中线的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北师9上P106)如图，若△ABC∽△DEF，相似比为2∶3，则：

2∶3

相似三角形周长的比＝

．

相似三角形周长的性质相似比2．若△ABC∽△DEF，周长比为2∶1，则下列说法错误的是(

)A．相似比为2∶1 B．对应中线的比为2∶1C．对应角的比为2∶1 D．对应高的比为2∶1C相似三角形面积的比＝

．

相似三角形面积的性质相似比的平方

C小结：相似三角形对应线段、周长和面积的性质的简单综合，注意其中只有面积比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面积比为9∶1，则下列说法正确的是(

)A．相似比为9∶1 B．对应中线的比为9∶1C．周长比为9∶1 D．对应角的比为1∶1D小结：应用相似三角形的性质求三角形的面积比.

B6．【例3】如图，在▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，且AF＝2FD．(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．(2)解：∵AF＝2FD，∴AD＝3FD，∴DF∶BC＝1∶3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴△ABF∽△DEF，△CEB∽△DEF，∴S△ABF∶S△DEF＝AF2∶FD2，S△BCE∶S△FDE＝BC2∶FD2，∵△CEB的面积为9，∴△FDE的面积为1，∴△ABF的面积为4，∴▱ABCD的面积＝9－1＋4＝12．(2)若△CEB的面积为9，求▱ABCD的面积．小结：求面积的一种新方法——应用相似三角形面积的性质.

D

C

(2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则AD∶DB等于多少？

据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.知识点1利用相似三角形测量高度知识探究素养考点1利用相似三角形测量高度知识探究解：太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF.因此金字塔的高为134m.又∠AOB=∠DFE=90°，例1、如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO.∴△ABO∽△DEF.AFEBO┐┐还可以有其他测量方法吗？△ABO∽△AEF平面镜【想一想】知识探究知识探究测高方法二：可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.【归纳总结】测量不能到达顶部的物体的高度2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P

处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端C

处，已知AB=2米，且测得

BP=3米，DP=12米，那么该古城墙的高度是（）A.6米B.8米C.18米D.24米B知识探究素养考点2利用相似三角形测量宽度知识探究

如图，为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,RT确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.知识探究分析：设河宽PQ长xm,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到_______∽_______，△PST△PQR再解x的方程可求出河宽．因此有即已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.知识探究解：

设河宽PQ长Xm，依题意得：a//b∴△PST∽△PQR∴∴解得X=90

因此河宽为90m。经检验：X=90是原分式方程的解。已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据,计算河宽PQ.【讨论】测量前面例题中的河宽，你还有哪些方法？【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造相似三角形，构造的相似三角形可以为“A”字型，也可以为“X”字型，并测量出必要的数据，然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离．知识探究巩固练习3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝80m，DC＝30m，EC＝24m，求两岸间的大致距离AB．EADCB30m24m80m巩固练习解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

解得AB=64.因此，两岸间的大致距离为64m.EADCB30m24m80m巩固练习测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.【归纳总结】例3

已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树底部的距离BD＝5m．一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C了？分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域（盲区）之内．素养考点3利用相似三角形测量有遮挡的物体图（1）仰角水平线视线知识探究解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上．由题意可知，AB⊥l，CD⊥l∴AB∥CD，△AEH∽△CEK即解得EH＝8（m）由此可知，如果观察者继续前进，即她与左边树的距离小于8m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．图（2）∴知识探究【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的?【方法总结】一般情况下，可以从人眼所在的部位向物体作垂线，根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型，利用相似三角形对应边的比相等解决问题．知识探究4.

如图，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，DH⊥BC，DH交EF于G点，则AD＝_____＝_____，图中的相似三角形是______∽______．EGBH△DGF△DHC巩固练习1.

如图，要测量旗杆AB

的高度，可在地面上竖一根竹竿DE，测量出DE

的长以及DE

和AB

在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是（）

A．B．

C．D．C课堂检测2.

如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高1.6米的楚阳同学站在C

处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得AC=2米，AB=10米，则旗杆的高度是____米．

8课堂检测3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．

此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．EADCB60m50m120m课堂检测解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴

，即，解得AB=100(m).因此，两岸间的大致距离为100m.EADCB60m50m120m课堂检测

4.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度.ABCDGEF课堂检测ABCDGEF解：由题意可得：△DEF∽△DCA，∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5米，DC=20米，则

解得：AC=10，AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）.答：旗杆的高度为11.5m.∴

课堂检测

5.如图，某一时刻，旗杆AB的影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m．请帮助小明求出旗杆的高度．ABCD课堂检测解：如图：过点D作DE∥BC，交AB于点E，∴DE=CB=9.6m，BE=CD=2m，∵在同一时刻