浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题 含答案

浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷数学试题（2025年4月）一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量满足，，且的夹角为，则（）A. B.3 C. D.74.直线被圆截得的弦长为（）A2 B.4 C. D.5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（）A. B. C. D.6.已知函数，则（）A.当时，是偶函数，且在区间上单调递增B.当时，是奇函数，且在区间上单调递减C.当时，是偶函数，且在区间上单调递减D.当时，是奇函数，且在区间上单调递增7.已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C.10 D.148.已知的两个内角都是关于的方程的解，其中，则（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（）A.这组分值的极差变小B.这组分值均值变大C.这组分值的方差变小D.这组分值的第75百分位数不变10.已知函数，则（）A.在区间内存在零点B.0是的极小值点C.在区间内存在极大值D.在区间上单调递减11.已知数列满足，则（）A.数列为递增数列B.CD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.记的内角的对边分别为，若，则__________.13.已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________.14.设点在“笑口”型曲线上，则最小值为__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.16.已知数列满足（1）记，求，并证明数列是等比数列；（2）记，求满足的所有正整数的值.17.已知椭圆的焦距为2，且过点.（1）求的方程；（2）设为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为（异于），作，垂足为.记和的面积分别为，求的值.18.如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角正弦值；（3）设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.19.某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.（1）若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且.（i）求概率；（ii）记随机变量，求的均值.浙江省高考科目考试绍兴市适应性试卷数学试题（2025年4月）一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用交集概念进行求解.【详解】.故选：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】.故选：B.3.已知向量满足，，且的夹角为，则（）A. B.3 C. D.7【答案】C【解析】【分析】首先根据数量积的定义求出，再由及数量积的运算律计算可得.【详解】因为，，且的夹角为，所以，所以.故选：C4.直线被圆截得的弦长为（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可求出圆心到直线的距离，再由勾股定理计算可得.【详解】圆的圆心为，半径，又圆心到直线的距离，所以弦长.故选：B5.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简，再得到平移后的解析式，即可得到，，逐个检验即可得出答案.【详解】因为，将函数的图象向左平移个单位后得到函数，所以，则，，，，当时，，时，，故选：A.6.已知函数，则（）A.当时，是偶函数，且在区间上单调递增B.当时，是奇函数，且在区间上单调递减C.当时，是偶函数，且在区间上单调递减D.当时，奇函数，且在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法，针对不同的取值，对函数进行分析，即可判断和选择.【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数；又，当时，令，因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，故在单调递减，故AB都错误；对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数；又，当时，均为减函数，故为上的减函数，故为上的增函数，故C错误，D正确.故选：D.7.已知双曲线左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（）A.4 B.6 C.10 D.14【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值．【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．

设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；同理，点在双曲线的右支上，则，即．所以．

根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．又，则，即．所以的最小值为10．

故选：C．8.已知的两个内角都是关于的方程的解，其中，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将方程转化为关于的一元二次方程，利用根与系数关系得到和的表达式，通过三角恒等式求出，进而求出得解.【详解】方程变形为，由题，是方程的两根，则，，又，又，所以，，又，则，，.故选：B.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（）A.这组分值的极差变小B.这组分值的均值变大C.这组分值的方差变小D.这组分值的第75百分位数不变【答案】AC【解析】【分析】对A，根据极差的定义求解判断；对B，计算前后两组数据的均值判断；对C，利用方差的公式计算判断；对D，根据百分位数的定义计算判断.【详解】对于A，原来6个数据的极差为，去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为，极差变小了，故A正确；对于B，原来6个数据的均值为，后来这4个数据的均值为，所以均值不变，故B错误；对于C，原来6个数据的方差为，后来这4个数据的方差为，所以这组分值的方差变小，故C正确；对于D，因为，所以原来6个数据的第75百分位数为，又，所以后来这4个数据的第75百分位数为，故D错误.故选：AC.10.已知函数，则（）A.在区间内存在零点B.0是的极小值点C.在区间内存在极大值D.在区间上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A：令，得到零点，看区间内有无这些零点，没有则不存在零点．对于选项B：在附近，分析、、正负．时，时，所以是极小值点．对于选项C：对求导．在内，分析各项正负，判断是否存在极大值．对于选项D：在上，分析正负，再分析各项正负，得，所以单调递减．【详解】函数，令，则或或．由，解得；

由，解得，；

由，即，解得．在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，A选项错误．

当在附近时，，在上单调递增，且．当时，，，所以；当时，，在附近正负交替，但，所以是的极小值点，B选项正确．

对求导，得：．当时，，，，．，且在内，随着的变化，会先大于后小于，所以在区间内存在极大值，C选项正确．

当时，，，，则．对分析，在上，，，，所以；，，，所以；，，，所以．即，所以在区间上单调递减，D选项正确．

故选：BCD．11.已知数列满足，则（）A.数列为递增数列B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对于A选项：构造函数，求导判断其单调递增．由算出，得．假设，可推出，再构造，求导判断其单调性，得出，所以数列递增．对于B选项：由A选项分析知，所以不存在使．对于C选项：要证，构造，多次求导判断单调性，得出，从而证明不等式成立．对于D选项：由C，取倒数后构造数列，再用累加法求和计算证明即可.【详解】设，对其求导可得．因为恒成立，所以在上单调递增．已知，则，依次有，,，设，，对求导得．当时，，所以，在上单调递减．则，即，所以为递增数列，A选项正确．

由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．

要证，即证．设，，对求导得．令，求导得，当时，，所以上单调递减．则，所以在上单调递增．所以，即，所以，，C选项正确.由选项C知，移项可得，两边同时乘以得.两边同时取倒数得，移项可得.因为，所以，即.利用累加法：.已知，则，所以，两边同时取倒数得，移项可得，选项D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.记的内角的对边分别为，若，则__________.【答案】【解析】【分析】先由正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后得到.【详解】，由正弦定理可得，，又由余弦定理可得，，，.故答案为：.13.已知偶函数的定义域为，且，则的值域为__________.【答案】【解析】【分析】通过赋值法求得，以及的解析式，再求其值域即可.【详解】对，令，则，解得；对，令，则，又为偶函数，，故，解得；又，故其值域为.故答案为：.14.设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为__________.【答案】##-0.125【解析】【分析】分和两种情况去绝对值化简，利用二次函数求最值即可【详解】当时，，即，平方得，即，此时，.当时，，即，平方得，即，此时，综上，的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值的曲线方程，解题的关键是去绝对值，得到不含绝对值的曲线方程.本题中将获得的新曲线方程代入，消元后可得到所求的最小值.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出单调区间.（2）由（1）的信息，结合零点存在性定理确定的值，再利用导数的几何意义求出切线方程.【小问1详解】函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.【小问2详解】由（1）知，，因此函数有两个零点，且，即，则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为所以曲线在点处的切线方程为.16.已知数列满足（1）记，求，并证明数列是等比数列；（2）记，求满足的所有正整数的值.【答案】（1），证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件判断数列的类型，再用等比数列定义证明即可；（2）先运用等比数列公式求，再求出的表达式，进而求出的表达式，最后根据其单调性确定满足条件的正整数的取值．【小问1详解】因为，所以.又因为所以数列是首项为5，公比为2的等比数列.【小问2详解】由（1）知，所以，所以，因为单调递增，且，所以正整数的所有取值为.17.已知椭圆的焦距为2，且过点.（1）求的方程；（2）设为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为（异于），作，垂足为.记和的面积分别为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，代入，得到方程组，求出，得到答案；（2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据相切，由根的判别式得到方程，求出，求出，，表达出直线的方程为，设与交于点，求出，所以，为中点，得到答案.【小问1详解】由题意知，且过点，即，解得，所以的方程为.【小问2详解】设，直线的方程为，代入的方程得.因为直线与相切，所以，化简得，所以，所以，代入直线的方程得，设与交于点，又，直线的方程为，因为，代入直线的方程得，所以，所以为中点.因此点到直线的距离相等，所以.18.如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）取中点，连接，即可得到，从而得到平面，即可得证；（2）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；（3）设在平面内的射影为，即可得到点到平面的距离，即可求出四面体的体积，再求出四面体的表面积，即可求出四面体的内切球半径，即可得证.【小问1详解】取中点，连接，又分别为的中点，则，，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】由（1）知是二面角的平面角，所以.如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，可取，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】因为与的面积为，设在平面内的射影为，即平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，所以点到平面的距离，因此四面体的体积为.又，平面，所以，所以到直线的距离等于，所以边的高，所以的面积，注意到，因此的面积也为，所以四面体的表面积为，因此四面体的内切球半径，所以，即.19.某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.（1）