2025年山东淄博博山区中考一模数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页初四数学试题本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清楚，写在答题卡各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B．C． D．2．点A表示的数可能是（

）A． B． C． D．3．我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于．将用科学记数法可以表示为（）A． B． C． D．4．如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的深度，则截面圆中弦的长为（

）A． B． C． D．5．下列各式中，运算正确的是（

）A． B．C． D．6．如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若，，则（

）A．4 B．5 C．6 D．87．图是一个正方体的表面展开图，正方体相对两个面上的代数式的积相同则A为（）A． B． C． D．8．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是，，，，卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是（）A． B． C． D．9．下列命题中，真命题有（）（1）平方根等于它本身的数只有0；（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0；（3）27是3的立方根；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行；（6）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．11．若式子有意义，则实数x的取值范围是．12．将多项式进行因式分解得到，则的值为．13．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有（填序号）．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则．14．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有（填序号．）

15．如图，等腰的直角边长为4，以A为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，再以A为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧与、围成的阴影部分面积为，，按此规律继续作下去，则得到的阴影部分的面积．三、解答题：本大题共8个小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（1）计算：；（2）解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集．17．如图，在中，点G在边上，的延长线与的延长线交于点E，点F在边上，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，求的度数．18．如图，笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后到达点C，此时，从B测得渔船在北偏西的方向．(1)填空：度，度；(2)求观测站A，B之间的距离；（结果保留根号）(3)求点C与点B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：）19．甲、乙两名运动员进行射击练习，两人在相同条件下各射10次，对射击成绩进行整理，绘制如图所示的统计图：对上述数据进行分析，得到如下统计表：平均数中位数众数方差甲6.5a2.2乙7b7(1)填空：___________，___________；(2)求甲运动员10次射击成绩的平均数；(3)求乙运动员10次射击成绩的方差；(4)根据你所学的统计知识，利用上述某些统计量，对甲、乙两人的射击水平进行评价（写出两条即可）．20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，过点作轴的垂线，垂足为点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求的面积；(3)在轴上求一点，使的值最小，并求出此时点的坐标．21．如图，是的外接圆，为的直径，在外侧作，过点C作于点D，交延长线于点P．(1)求证：是的切线；(2)用无刻度的直尺和圆规作出所对弧的中点F．(不写作法，保留作图痕迹)；(3)在(2)基础上连接，交于点E，连接，求线段的长．22．如图，、、、为矩形的四个顶点，，，动点、分别从、同时出发，点以的速度向点移动，点以相同的速度向点移动，当点到达点时，点、均停止运动，设运动时间为秒．(1)当________秒时，四边形为矩形．(2)运动过程中，四边形可能为菱形吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．(3)运动过程中，点和点的距离可能是吗？若能，求出运动时间，若不能，请说明理由．23．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．(1)求该抛物线的表达式；(2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标；(3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；故选：D．2．C【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，任意有理数都可以用数轴上的点表示.设点A表示的数为，则，逐项判断即可.【详解】解：设点A表示的数为，则，A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项符合题意；D、，故该选项不符合题意；故选：C3．C【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．【详解】解：故选：C．4．D【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案．【详解】解：如图所示，连接，由题意知三点共线，由题意得：，在中，根据勾股定理得，即截面圆中弦的长为，故选：D．5．B【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键．根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意；B．，故该选项正确，符合题意；C．，故该选项不正确，不符合题意；D．，故该选项不正确，不符合题意；故选：B．6．B【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键．利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，根据折叠可知，可知，，则在中，，∴，∴，∴，设，则，在中，，即：，解得：，即．故选：B．7．D【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字、分式的混合运算法则等知识点，掌握正方体表面展开图中相对两个面的特征“相间、Z端是对面”是正确解答的前提．利用正方体及其表面展开图的特点可得：面“”与面“A”相对，面“”与面“”相对，再根据相对两个面上的代数式的积相同表示出A，最后运用整式的混合吞噬法则化简即可．【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“”与面“A”相对，面“”与面“”相对，由题意可得：，∴．故选D．8．C【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，以及概率公式，解题的关键在于正确掌握相关知识．根据题意列出表格，得到所有的情况数与数字之和为正数的情况数，再结合概率公式求解，即可解题．【详解】解：根据题意列表如下：2102321131002110由表格可知，总共有12种情况，两张卡片上数字之和为正数的情况有8种，所以抽取的两张卡片上数字之和为正数的概率是．故选：C．9．B【分析】本题考查了判断命题真假，根据平方根，算术平方根与立方根的定义，平行线公理及推论，点到直线的距离解答即可．【详解】解：（1）平方根等于它本身的数只有0，是真命题；（2）一个数的立方根和算术平方根都等于它本身，则这个数一定是0或，原命题是假命题；（3）27的立方根是3，原命题是假命题；（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题；（5）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，是真命题；（6）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；故选：B．10．A【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键．【详解】解：∵是正六边形，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∴，∵轴，∴，∴，∴，∴，∵将绕点顺时针旋转，每次旋转，∴第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，第次旋转结束时，点的坐标为，∵，∴第次旋转结束时，点的坐标为，故选：．11．且【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出，，计算即可得解．【详解】解：∵式子有意义，∴，，解得：且，故答案为：且．12．5【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．【详解】解：依题意，，∵多项式进行因式分解得到，∴，∴，故答案为：5．13．①②③⑤⑦【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴；故①正确；∴；故③正确；∴；故②正确；∴；故⑥错误；∵，，∴，∴；故⑤正确；若，则：，∴；故⑦正确；条件不足，无法得到；故④错误；故答案为：①②③⑤⑦．14．①②③④【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确；货车的速度为：，故货车到达地一共需要，设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，由题意可得：，解得：，∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确；设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，由题意可得：，解得：，∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确；由得，解得：，∵，∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确；综上所述，正确的有①②③④．故答案为：①②③④．15．【分析】由是等腰直角三角形且直角边长为可得，，由题意可得，由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，进而可得，于是可得，同理可得，，，，，于是得解．【详解】解：是等腰直角三角形，且直角边长为，，，由题意可得：，，，，，，在中，根据勾股定理可得：，，，同理可得：，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，求不规则图形的面积，求扇形面积，三角形的面积公式，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．16．（1）；（2）；数轴见解析【分析】本题主要考查了实数混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握运算法则，是解题的关键．（1）根据负整数指数幂，零指数幂运算法则，立方根定义进行求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上．【详解】（1）解：；（2），解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．将解集表示在数轴上，如图所示：17．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质可知，再由可知，进而可证四边形是平行四边形；（2）利用平行四边形的性质推出，，进而有．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴．∴四边形是平行四边形．（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴．18．(1)30，45(2)观测站A，B之间的距离为海里(3)点C与点B之间的距离约为27海里【分析】本题主要考查方位角得解直角三角形和三角形内角和定理，（1）根据已知的方位角得和，结合三角形内角和定理即可求得；（2）过点P作，垂足为D．利用解直角三角形得，进一步求得，则；（3）过点B作，垂足为F，在中，，则，在中，即可．【详解】（1）解：∵从A处测得点P处渔船在北偏西的方向，∴，∵从B处测得渔船点P处在其东北方向，从B测得点C渔船在北偏西的方向，∴，∴，故答案为：30，45．（2）解：过点P作于D点，如图，则，在中，，海里，∴（海里），（海里），在中，，∴（海里），∴海里，∴观测站A，B之间的距离为海里；（3）解：如图，过点B作，垂足为F，根据题意，得．在中，，，海里．在中，，，（海里），则点C与点B之间的距离约为27海里．19．(1)6，7(2)7环(3)1.2(4)见解析【分析】本题考查统计图，求众数，平均数，方差，利用平均数和方差作决策：（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行判断即可；（2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可；（3）利用方差的计算公式进行计算即可；（4）从平均数和方差两方面进行分析即可．【详解】（1）解：由扇形图可知，甲射击击中环数最多的是6环，由条形图可知，乙射击击中环数最多的是7环，∴；（2）答：甲运动员10次射击击中环数的平均数为7环．（3）答：乙10次射击成绩的方差1.2．（4）从平均数来看，两人平均数相同，射击水平相当；从方差看，甲射击成绩的方差大于乙射击成绩的方差，所以乙射击成绩比较稳定．20．(1)，(2)(3)见解析，【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点的坐标为，再由三角形面积公式计算即可得解；（3）作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．先求出直线的解析式，即可得解．【详解】（1）解：将点代入，得，．一次函数的解析式为．将点代入，得，．反比例函数的解析式为．（2）解：在反比例函数中，令，得．点的坐标为．．（3）解：如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，连接，交轴于点，点即为所求．设直线的解析式为，则，解得，直线的解析式为．令，得．点的坐标为．21．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）利用等边对等角得到，结合，推出，证明，由，得到，即可证明；（2）作直径的垂直平分线交所对弧于点F即可；（3）连接，利用圆周角定理证明是等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的性质列方程求解即可．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是圆半径，∴是的切线；（2）解：如图所示为所求：（3）解：连接，∵，平分，∴，∴，∵，，∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴，，∵，∴，∴，设，则，∴，解得，∴．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键．22．(1)4(2)能，(3)能，或【分析】本题是四边形综合题，主要考查了动点在几何图形的运动，勾股定理矩形和菱形的性质，灵活掌握相关知识是解决问题的关键．（1）根据当时，四边形为矩形，列出方程，求出解即可；（2）根据当时，四边形为菱形，在中，根据勾股定理列出方程，求出解即可；（3）先作出辅助线，表示，再根据勾股定理列出方程，求出解即可．【详解】（1）解：∵点P、Q分别从点A、C同时出发，速度相同