2025年上海虹口区高三二模高考数学模拟试卷（含答案）

年上海市虹口区二模数学试卷考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1．已知全集，若，则．2.不等式的解集是________．3．若，则．4．若某圆柱的底面半径为，母线长为，则其侧面积为________．(结果保留)5．若直线与直线平行，且经过圆的圆心，则的方程为______．1013186238346．某公司为了解用电量（单位：千瓦时）与气温（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程，则实数．7．若的三条边的长分别为4、5、6，则的外接圆面积为______．(结果保留)8．已知是实系数一元二次方程的一个虚根，且，若在复平面上所对应的点在抛物线上，则．9.某工厂生产的零件长度（单位：毫米）服从正态分布，且，若对该工厂同批生产的个零件逐一检查，则仅有个零件的长度大于毫米的概率为_____．10．已知9个小球的编号为1、2、…、9，从中有放回地摸取小球三次，并依次记录其编号，若这三个编号按此顺序成等差数列，则共有______种不同的摸取方法．11．1798年，人口学家马尔萨斯假设：单位时间内的人口增长量与人口数成正比，进而建立马尔萨斯人口增长模型．19世纪中叶的生物学家们发现由于人类生存条件的限制，存在人口最大瞬时增长率，当达到时，人口增长率会随着的增长而下降，因此需要改进马尔萨斯的假设．他们假设：①是随着时间连续变化的函数；②存在最大人口数，人口数达到时，；③仅与和有关；④，那么在这些条件下建立的人口增长模型．（用含有、、的式子表示）12．记为有限集合中的元素个数．设，能被7整除，若对于任意实数和正整数，恒有，则实数的取值范围是_____．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.13．是实数，则“”是“”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．下列函数中为奇函数的是（）．A．B．C．D．15．春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束．若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生．任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为()．A．B．C．D．16．在空间中，点、均为定点，且．设集合，则以下说法正确的是（）．①若在上的数量投影为，则线段在运动过程中所形成的几何体体积为；②对于任意的以及任意的正实数，设，若，则．A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D．①是假命题，②是假命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)如图所示，在四棱锥中，平面，，∥，，．(1)求证：平面平面；(2)若异面直线和所成角为，求点到平面的距离．第17题图18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)已知函数的表达式为，．(1)解不等式：；(2)若存在，使得，，成等比数列，求实数的最小值．19．(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分)已知某区组建了一支120人的志愿者队伍，并由其中72人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有72人的周平均服务时长超过2小时，其中有54人来自“志愿模范队”，如下表所示．是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时5472周平均服务时长不超过2小时总计72120(1)已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过2小时的概率．(2)请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？(3)现从周平均服务时长超过2小时的人员中按照是否为“志愿模范队”进行分层抽样选取8人组建“志愿突击队”，并从这8人中随机选取2人做深度访谈，记随机变量为这2人中来自于“志愿模范队”的人数，求的分布与方差．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828附录：，其中．20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点和是双曲线的左、右焦点．(1)若是双曲线的一条渐近线，求的离心率；(2)当时，若双曲线上存在一点满足，求的面积；(3)若在双曲线上分别存在两点和，点在第一象限、点在第二象限，使得四边形的面积为，且存在实数使，求实数的取值范围．21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)对于定义在上的函数和，，设．(1)若，，求；(2)若，，，求实数的取值范围；(3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“是严格增函数”．2025年上海市虹口区二模数学试卷参考答案1.2.3．4．5．6．7．8．9.10．11．12．13．C14．D15．D16．A17．解：(1)，所以，故．…………2分由平面，在平面上，所以．…4分由于与是平面上的两条相交直线，所以平面．由于在平面上，所以平面平面．…………6分(2)以点为原点，分别以、、为、、轴的正方向建立直角坐标系．设，则，，………………8分所以．解得．…………10分，，设为平面的一个法向量，则即取，可得．………………12分故点到平面的距离．…………14分18．解：(1)，即．…………2分故…………………4分解得．………………………6分(2)由于，，成等比数列，故，即对有解．……………8分令，所以．…………………10分所以对有解．………………12分由于，等号当且仅当，即时成立．所以，故的最小值为．…………14分19．解：(1)事件表示志愿者是“志愿模范队”成员，事件表示其周平均服务时长超过2小时.则．…………2分(2)可得如下列联表:是“志愿模范队”成员不是“志愿模范队”成员总计周平均服务时长超过2小时541872周平均服务时长不超过2小时183048总计7248120提出原假设:是否“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关,确定显著性水平．………………4分可得．………………6分由于，拒绝原假设，即有99.9%的把握认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关．……………8分(3)根据列联表可得“志愿模范队”成员中“周平均服务时长超过2小时”占全部的．选取的8人中“周平均服务时长超过2小时”为6人，“周平均服务时长不超过2小时”为2人，．，，．的分布为．…………10分．……………12分又由于．所以．…14分20.解：(1)双曲线的渐近线为，由于是双曲线的一条渐近线，故．…………2分所以，故．…………………4分(2)由于点满足，所以点落在椭圆上．…6分设，则解得．……………8分由于，所以的面积．……10分(3)由于存在实数使，故∥．延长交双曲线于点，由双曲线的对称性，可得与关于原点对称，故四边形的面积与三角形的面积相等．………………12分设的直线方程为，其中，设，．化简得，故，．由于在第一象限，在第四象限，故，解得．…………14分所以三角形的面积．…………16分由，故对有解．化简得对有解．设，则对有解．设，可得恒成立，故，即，由，解得．…………18分21.解：(1)记，…………2分函数上的值域为，即．…………4分(2)设在上的最小值..当时，，严格增；当时，，严格减；当时，，严格增.当时取得极小值．………………6分当时，舍去．……8分当时，，．…10分综上，．(3)（充分性）若是严格增函数，则的最小值为，而，故对任意，都有，即与是相同函数．………………12分故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意，的零点个数有限．（必要性）对任意，都有，故的值域为，即在上的最小值为．先证是严格增函数．对任意，函数和的