2024高考数学一轮复习第八章解析几何课时作业45圆的方程文

PAGEPAGE1课时作业45圆的方程[基础达标]一、选择题1．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝1，))即所求圆的圆心坐标为(1,1)，又由该圆过点(1,0)，得其半径为1，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案：B2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：圆上任一点(x，y)关于原点的对称点(－x，－y)在圆(x＋2)2＋y2＝5上，即(－x＋2)2＋(－y)2＝5，即(x－2)2＋y2＝5.答案：A3．[2024·湖南五校联考]圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.答案：B4．[2024·福州质检]设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是()A．原点在圆上B．原点在圆外C．原点在圆内D．不确定解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即eq\r(0＋a2＋0＋12)>eq\r(2a)，所以原点在圆外．答案：B5．已知方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A．(－1,1)B．(－1,0)C．(1，－1)D．(0，－1)解析：由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0知所表示圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(－3k2＋4)，当k＝0时，rmax＝eq\f(1,2)eq\r(4)＝1，此时圆的方程为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，所以圆心为(0，－1)．答案：D二、填空题6．[2024·天津卷]已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq\r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq\f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝eq\f(2a,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝eq\r(4＋5)＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝97．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq\f(y－1,x－2)的最大值与最小值分别为________．解析：设eq\f(y－1,x－2)＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值．由eq\f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)；－eq\f(\r(3),3)8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．解析：∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，即a<5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.答案：(－∞，1)三、解答题9．已知圆心为C的圆经过点A(0，－6)，B(1，－5)，且圆心在直线l：x－y＋1＝0上，求圆的标准方程．解析：解法一设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(F,2))).由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－62－6E＋F＝0,12＋－52＋D－5E＋F＝0,D－E－2＝0))消去F得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋E－10＝0,D－E－2＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝6,E＝4))，代入求得F＝－12，所以圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y－12＝0，标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.解法二因为A(0，－6)，B(1，－5)，所以线段AB的中点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(11,2)))，直线AB的斜率kAB＝eq\f(－5－－6,1－0)＝1，因此线段AB的垂直平分线l的方程是y＋eq\f(11,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即x＋y＋5＝0.圆心C的坐标是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5＝0,x－y＋1＝0))的解，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝－2))，所以圆心C的坐标是(－3，－2)．圆的半径长r＝|AC|＝eq\r(0＋32＋－6＋22)＝5，所以，圆心为C的圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上随意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解析：(1)因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2,7)，半径r＝2eq\r(2)，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝eq\f(|2＋2×7－t|,\r(12＋22))≤2eq\r(2)，解上式得，16－2eq\r(10)≤t≤16＋2eq\r(10)，所以所求的最大值为16＋2eq\r(10).(2)记点Q(－2,3)，因为eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.由直线MQ与圆C有公共点，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).[实力挑战]11．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解析：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2,－1－a2＋1－b2＝r2,a＋b－2＝0))解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝eq\f(1,2)|AM|·|PA|＋eq\f(1,2)|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|